北京市石景山區(qū)高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（文）試題

石景山區(qū)2017—2018學(xué)年第一學(xué)期高三期末試卷數(shù)學(xué)（文）一、選擇題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)．1.若集合，，則集合等于（）A.B.C.D.【答案】C【解析】,選C.2.設(shè)是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】A【解析】因?yàn)?，所以?duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第一象限，選A.3.若實(shí)數(shù)滿足則的最大值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】作可行域如圖：直線過點(diǎn)A（）取最大值6，選C.4.已知函數(shù)則下列結(jié)論正確的是（）A.是偶函數(shù)B.是增函數(shù)C.是周期函數(shù)D.的值域?yàn)椤敬鸢浮緿【解析】因?yàn)?所以是奇函數(shù)；時(shí)有增有減，所以B錯(cuò)；不為周期函數(shù)，C錯(cuò)；時(shí)，所以的值域?yàn)?選D.5.“”是“方程表示雙曲線”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若方程表示雙曲線，則所以“”是“方程表示雙曲線”的充分不必要條件，選A.點(diǎn)睛：充分、必要條件的三種判斷方法．1．定義法：直接判斷“若則”、“若則”的真假．并注意和圖示相結(jié)合，例如“?”為真，則是的充分條件．2．等價(jià)法：利用?與非?非，?與非?非，?與非?非的等價(jià)關(guān)系，對(duì)于條件或結(jié)論是否定式的命題，一般運(yùn)用等價(jià)法．3．集合法：若?，則是的充分條件或是的必要條件；若＝，則是的充要條件．6.函數(shù)，的部分圖象如圖所示，則的值分別是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】點(diǎn)睛：已知函數(shù)的圖象求解析式(1).(2)由函數(shù)的周期求(3)利用“五點(diǎn)法”中相對(duì)應(yīng)的特殊點(diǎn)求.7.《九章算術(shù)》卷五商功中有如下問題：今有芻甍（底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w），下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈，問積幾何．下圖網(wǎng)格紙中實(shí)線部分為此芻甍的三視圖，設(shè)網(wǎng)格紙上每個(gè)小正方形的邊長為丈，那么此芻甍的體積為（）A.3立方丈B.5立方丈C.6立方丈D.12立方丈【答案】B【解析】幾何體如圖：體積為，選B.點(diǎn)睛：(1)解決本類題目的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以根據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行判斷；(2)解決本類題目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐是常用的幾何模型，有些問題可以利用它們舉特例解決或者學(xué)會(huì)利用反例對(duì)概念類的命題進(jìn)行辨析．8.小明在如圖1所示的跑道上勻速跑步，他從點(diǎn)出發(fā)，沿箭頭方向經(jīng)過點(diǎn)跑到點(diǎn)，共用時(shí)，他的教練選擇了一個(gè)固定的位置觀察小明跑步的過程，設(shè)小明跑步的時(shí)間為，他與教練間的距離為，表示與的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，則這個(gè)固定位置可能是圖1中的（）A.點(diǎn)B.點(diǎn)C.點(diǎn)D.點(diǎn)【答案】D【解析】由圖知固定位置到A點(diǎn)距離大于到點(diǎn)C距離，所以舍去N,M點(diǎn)，不選B,C;若是P點(diǎn)，則從最高點(diǎn)到C點(diǎn)依次遞減，與圖1矛盾，因此取Q,即選D.點(diǎn)睛：(1)運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)研究函數(shù)圖像時(shí)，先要正確理解和把握函數(shù)相關(guān)性質(zhì)本身的含義及其應(yīng)用方向.(2)在運(yùn)用函數(shù)性質(zhì)特別是奇偶性、周期、對(duì)稱性、單調(diào)性、最值、零點(diǎn)時(shí)，要注意用好其與條件的相互關(guān)系，結(jié)合特征進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化研究.如奇偶性可實(shí)現(xiàn)自變量正負(fù)轉(zhuǎn)化，周期可實(shí)現(xiàn)自變量大小轉(zhuǎn)化，單調(diào)性可實(shí)現(xiàn)去，即將函數(shù)值的大小轉(zhuǎn)化自變量大小關(guān)系二、填空題共6小題，每小題5分，共30分．9.若，，，則的大小關(guān)系為_______.【答案】【解析】，，即10.拋物線上一點(diǎn)到此拋物線焦點(diǎn)的距離為_______.【答案】3【解析】點(diǎn)到此拋物線焦點(diǎn)的距離為11.執(zhí)行右面的程序框圖，若輸入的的值為，則輸出的的值是________.【答案】13【解析】點(diǎn)睛：算法與流程圖的考查，側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過循環(huán)規(guī)律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問題，是求和還是求項(xiàng).12.在數(shù)列中,，且對(duì)任意的有,則_______.【答案】64【解析】13.平面向量與的夾角為，，，則_______.【答案】【解析】14.若集合且下列四個(gè)關(guān)系：①；②；③；④有且只有一個(gè)是正確的.請(qǐng)寫出滿足上述條件的一個(gè)有序數(shù)組__________,符合條件的全部有序數(shù)組的個(gè)數(shù)是_________.【答案】(1).(3,2,1,4)(2).6【解析】若，則，所以；若，則或時(shí)；若，則所以共6個(gè)三、解答題共6小題，共80分．解答應(yīng)寫出文字說明，演算步驟或證明過程．15.已知數(shù)列為遞增的等比數(shù)列，，.（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）記，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】試題分析：（1）先根據(jù)等比數(shù)列通項(xiàng)公式列關(guān)于公比與首項(xiàng)的方程組，解得或，再根據(jù)遞增舍去，最后代入通項(xiàng)公式（2）因?yàn)閿?shù)列是一個(gè)等比數(shù)列與等差數(shù)列之和，所以利用分組求和法求數(shù)列的前項(xiàng)和.試題解析：（Ⅰ）由及得或（舍）所以，所以（Ⅱ）由（Ⅰ）得所以點(diǎn)睛：本題采用分組轉(zhuǎn)化法求和，將原數(shù)列轉(zhuǎn)化為一個(gè)等差數(shù)列與一個(gè)等比數(shù)列的和.分組轉(zhuǎn)化法求和的常見類型主要有分段型（如），符號(hào)型（如），周期型（如）16.如圖，在中，為邊上一點(diǎn)，，，．（Ⅰ）若，求的大??；（Ⅱ）若，求的面積．【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）．【解析】試題分析：（1）設(shè)，，可得，，再根據(jù)兩角和正切公式求，最后根據(jù)角的范圍得的大??；（2）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，根據(jù)直角三角形可得高，再根據(jù)三角形面積公式求面積試題解析：（Ⅰ）設(shè)，，則，所以因?yàn)?，所以，即．（Ⅱ）過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，因?yàn)?，所以，所以；所以?7.某學(xué)校高三年級(jí)共有1000名學(xué)生，其中男生650人，女生350人，為了調(diào)查學(xué)生周末的休閑方式，用分層抽樣的方法抽查了200名學(xué)生.（Ⅰ）完成下面的列聯(lián)表；不喜歡運(yùn)動(dòng)喜歡運(yùn)動(dòng)合計(jì)女生50男生合計(jì)100200（Ⅱ）在抽取的樣本中，調(diào)查喜歡運(yùn)動(dòng)女生的運(yùn)動(dòng)時(shí)間，發(fā)現(xiàn)她們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間介于30分鐘到90分鐘之間，右圖是測(cè)量結(jié)果的頻率分布直方圖，若從區(qū)間段和的所有女生中隨機(jī)抽取兩名女生，求她們的運(yùn)動(dòng)時(shí)間在同一區(qū)間段的概率.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）試題解析：（Ⅰ）根據(jù)分層抽樣的定義，可知抽取男生130人，女生70人，不喜歡運(yùn)動(dòng)喜歡運(yùn)動(dòng)合計(jì)女生502070男生5080130合計(jì)100100200（Ⅱ）由直方圖可知在內(nèi)的人數(shù)為2人，設(shè)為，在內(nèi)的人數(shù)為4人，設(shè)為.設(shè)“兩人的運(yùn)動(dòng)時(shí)間在同一區(qū)間段”的事件為.從中抽取兩名女生的可能情況有：，兩人的運(yùn)動(dòng)時(shí)間恰好在同一區(qū)間段的可能情況有7種.18.如圖，在多面體中，四邊形是矩形，，，，，.（Ⅰ）若點(diǎn)是中點(diǎn)，求證：；（Ⅱ）求證：；（Ⅲ）求三棱錐的體積．【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）見解析（Ⅲ）【解析】試題分析：（1）根據(jù)平面幾何知識(shí)證得四邊形為平行四邊形，即得；再根據(jù)線面平行判定定理得結(jié)論（2）先根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得；即得；再根據(jù)勾股定理計(jì)算得；最后根據(jù)線面垂直判定定理證結(jié)果（3）根據(jù)錐體體積公式，利用等體積法求體積試題解析：（Ⅰ）證明:因?yàn)?，，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以；又因?yàn)椋裕á颍┳C明:因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平?又因?yàn)椋?；因?yàn)?，所以；因?yàn)?，，所以，所以，所以；又因?yàn)樗?（Ⅲ）.19.已知橢圓離心率等于，、是橢圓上的兩點(diǎn).（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）是橢圓上位于直線兩側(cè)的動(dòng)點(diǎn)，若直線的斜率為，求四邊形面積的最大值.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ【解析】試題分析：（1）由條件列關(guān)于a,b,c的方程組，解得（2）將PQ作為底，則四邊形面積為，設(shè)方程，并與橢圓方程聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理可得，最后根據(jù)t范圍確定最大值試題解析：（Ⅰ）因?yàn)?，又，所以設(shè)橢圓方程為,代入,得橢圓方程為（Ⅱ）設(shè)設(shè)方程為，代入化簡得：，，又當(dāng)時(shí)，最大為20.已知函數(shù).（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若對(duì)于任意都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（Ⅲ）若過點(diǎn)可作函數(shù)圖象的三條不同切線，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（Ⅰ）見解析（Ⅱ）（Ⅲ）【解析】試題分析：（1）先求導(dǎo)數(shù)，再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)，列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律，進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間（2）先化簡不等式，利用變量分離得最小值，再利用基本不等式求最小值，即得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）先設(shè)切點(diǎn)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)幾何意義建立方程，轉(zhuǎn)化為有三個(gè)不同的解，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)圖像，根據(jù)極值點(diǎn)位置確定實(shí)數(shù)的取值范圍.試題解析：（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，得．因?yàn)?，所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增；當(dāng)或時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減．所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為和（Ⅱ）由，得．因?yàn)閷?duì)于任意都有成立，即對(duì)于任意都有成立，即對(duì)于任意都有成立，設(shè),,則等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)即.所以實(shí)數(shù)的取值范圍為．（Ⅲ）設(shè)點(diǎn)是函數(shù)圖象上的切點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線的斜率