北師大版必修一課后作業(yè)第二章　函數(shù)22（二）-23

2．2函數(shù)的表示法(二)2．3映射學習目標1.會用解析法及圖像法表示分段函數(shù).2.給出分段函數(shù)，能研究有關(guān)性質(zhì).3.了解映射的概念．知識點一分段函數(shù)思考設(shè)集合A＝R，B＝[0，＋∞)．對于A中任一元素x，規(guī)定：若x≥0，則對應(yīng)B中的y＝x；若x＜0，則對應(yīng)B中的y＝－x.按函數(shù)定義，這一對是不是函數(shù)？答案是函數(shù)．因為從整體來看，A中任一元素x，在B中都有唯一確定的y與之對應(yīng)．梳理(1)一般地，分段函數(shù)就是在函數(shù)定義域內(nèi)，對于自變量x的不同取值范圍，有著不同的對應(yīng)關(guān)系的函數(shù)．(2)分段函數(shù)是一個函數(shù)，其定義域、值域分別是各段函數(shù)的定義域、值域的并集；各段函數(shù)的定義域的交集是空集．(3)作分段函數(shù)圖像時，應(yīng)在同一坐標系內(nèi)分別作出每一段的圖像．知識點二映射思考設(shè)A＝{三角形}，B＝R，對應(yīng)關(guān)系f：每個三角形對應(yīng)它的周長．這個對應(yīng)是不是函數(shù)？它與函數(shù)有何共同點？答案因為A不是非空數(shù)集，故該對應(yīng)不是函數(shù)．但滿足“A中任一元素，在B中有唯一確定的元素與之對應(yīng)”．梳理映射的概念兩個非空集合A與B間存在著對應(yīng)關(guān)系f，而且對于A中的每一個元素x，B中總有唯一的一個元素y與它對應(yīng)，就稱這種對應(yīng)為從A到B的映射，記作f：A→B.A中的元素x稱為原像，B中的對應(yīng)元素y稱為x的像，記作f：x→y.函數(shù)一定是映射，映射不一定是函數(shù)．類型一建立分段函數(shù)模型例1如圖所示，已知底角為45°的等腰梯形ABCD，底邊BC長為7cm，腰長為2eq\r(2)cm，當垂直于底邊BC(垂足為F)的直線l從左至右移動(與梯形ABCD有公共點)時，直線l把梯形分成兩部分，令BF＝x，試寫出左邊部分的面積y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并畫出大致圖像．解過點A，D分別作AG⊥BC，DH⊥BC，垂足分別是G，H.因為四邊形ABCD是等腰梯形，底角為45°，AB＝2eq\r(2)cm，所以BG＝AG＝DH＝HC＝2cm，又BC＝7cm，所以AD＝GH＝3cm.(1)當點F在BG上，即x∈[0,2]時，y＝eq\f(1,2)x2；(2)當點F在GH上，即x∈(2,5]時，y＝eq\f(1,2)×2×2＋2(x－2)＝2x－2；(3)當點F在HC上，即x∈(5,7]時，y＝S五邊形ABFED＝S梯形ABCD－SRt△CEF＝eq\f(1,2)(7＋3)×2－eq\f(1,2)(7－x)2＝－eq\f(1,2)(x－7)2＋10.綜合(1)(2)(3)，得函數(shù)的解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)x2，x∈[0，2]，,2x－2，x∈2，5]，,－\f(1,2)x－72＋10，x∈5，7].))圖像如圖所示：反思與感悟當目標在不同區(qū)間有不同的解析表達方式時，往往需要用分段函數(shù)模型來表示兩變量間的對應(yīng)關(guān)系，而分段函數(shù)圖像也需要分段畫．跟蹤訓練1某市“招手即停”公共汽車的票價按下列規(guī)則制定：(1)5公里以內(nèi)(含5公里)，票價2元；(2)5公里以上，每增加5公里，票價增加1元(不足5公里按照5公里計算)．如果某條線路的總里程為20公里，請根據(jù)題意，寫出票價與里程之間的函數(shù)解析式，并畫出函數(shù)的圖像．解設(shè)票價為y元，里程為x公里，定義域為(0,20]．由題意得函數(shù)的解析式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，0<x≤5，,3，5<x≤10，,4，10<x≤15，,5，15<x≤20.))函數(shù)圖像如圖所示：類型二研究分段函數(shù)的性質(zhì)eq\x(命題角度1給x求y)例2已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x≤－2，,x2＋2x，－2<x<2，,2x－1，x≥2.))試求f(－5)，f(－eq\r(3))，f(f(－eq\f(5,2)))的值．解∵－5∈(－∞，－2]，∴f(－5)＝－5＋1＝－4.∵－eq\r(3)∈(－2,2)，∴f(－eq\r(3))＝(－eq\r(3))2＋2(－eq\r(3))＝3－2eq\r(3)，∵－eq\f(5,2)∈(－∞，－2]，∴f(－eq\f(5,2))＝－eq\f(5,2)＋1＝－eq\f(3,2)∈(－2,2)，∴f(f(－eq\f(5,2)))＝f(－eq\f(3,2))＝(－eq\f(3,2))2＋2(－eq\f(3,2))＝－eq\f(3,4).引申探究例2中f(x)解析式不變，若x≥－5，求f(x)的取值范圍．解當－5≤x≤－2時，f(x)＝x＋1∈[－4，－1]；當－2<x<2時，f(x)＝x2＋2x＝(x＋1)2－1∈[－1,8)；當x≥2時，f(x)＝2x－1∈[3，＋∞)；∴x≥－5時，f(x)∈[－4，－1]∪[－1,8)∪[3，＋∞)＝[－4，＋∞)．反思與感悟分段函數(shù)求函數(shù)值的方法(1)確定要求值的自變量屬于哪一區(qū)間．(2)代入該段的解析式求值，直到求出值為止．當出現(xiàn)f(f(x0))的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值．跟蹤訓練2已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋4，x≤0，,x2－2x，0<x≤4，,－x＋2，x>4.))(1)求f(f(f(5)))的值；(2)畫出函數(shù)f(x)的圖像．解(1)因為5>4，所以f(5)＝－5＋2＝－3.因為－3<0，所以f(f(5))＝f(－3)＝－3＋4＝1.因為0<1<4，所以f(f(f(5)))＝f(1)＝12－2×1＝－1.(2)f(x)的圖像如下：eq\x(命題角度2給y求x)例3已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，x≤2，,x2＋2，x>2.))(1)若f(x0)＝8，求x0的值；(2)解不等式f(x)>8.解(1)當x0≤2時，由2x0＝8，得x0＝4，不符合題意；當x0>2時，由xeq\o\al(2,0)＋2＝8，得x0＝eq\r(6)或x0＝－eq\r(6)(舍去)，故x0＝eq\r(6).(2)f(x)>8等價于eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x≤2，,2x>8，))①或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x>2，,x2＋2>8，))②解①，x∈?，解②得x>eq\r(6)，綜合①②，f(x)>8的解集為{x|x>eq\r(6)}．反思與感悟已知函數(shù)值求x取值的步驟(1)先對x的取值范圍分類討論．(2)然后代入到不同的解析式中．(3)通過解方程求出x的解．(4)檢驗所求的值是否在所討論的區(qū)間內(nèi)．(5)若解不等式，應(yīng)把所求x的范圍與所討論區(qū)間求交集，再把各區(qū)間內(nèi)的符合要求的x的值并起來．跟蹤訓練3已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2，－1≤x≤1，,1，x>1或x<－1.))(1)畫出f(x)的圖像；(2)若f(x)≥eq\f(1,4)，求x的取值范圍；(3)求f(x)的值域．解(1)利用描點法，作出f(x)的圖像，如圖所示．(2)由于f(±eq\f(1,2))＝eq\f(1,4)，結(jié)合此函數(shù)圖像可知，使f(x)≥eq\f(1,4)的x的取值范圍是(－∞，－eq\f(1,2)]∪[eq\f(1,2)，＋∞)．(3)由圖像知，當－1≤x≤1時，f(x)＝x2的值域為[0,1]，當x>1或x<－1時，f(x)＝1.所以f(x)的值域為[0,1]．類型三映射的概念例4以下給出的對應(yīng)是不是從集合A到集合B的映射？(1)集合A＝{P|P是數(shù)軸上的點}，集合B＝R，對應(yīng)關(guān)系f：數(shù)軸上的點與它所代表的實數(shù)對應(yīng)；(2)集合A＝{P|P是平面直角坐標系中的點}，集合B＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，對應(yīng)關(guān)系f：平面直角坐標系中的點與它的坐標對應(yīng)；(3)集合A＝{x|x是三角形}，集合B＝{x|x是圓}，對應(yīng)關(guān)系f：每一個三角形都對應(yīng)它的內(nèi)切圓；(4)集合A＝{x|x是新華中學的班級}，集合B＝{x|x是新華中學的學生}，對應(yīng)關(guān)系f：每一個班級都對應(yīng)班里的學生．解(1)按照建立數(shù)軸的方法可知，數(shù)軸上的任意一個點，都有唯一的實數(shù)與之對應(yīng)，所以這個對應(yīng)f：A→B是從集合A到集合B的一個映射．(2)按照建立平面直角坐標系的方法可知，平面直角坐標系中的任意一個點，都有唯一的一個實數(shù)對與之對應(yīng)，所以這個對應(yīng)f：A→B是從集合A到集合B的一個映射．(3)由于每一個三角形只有一個內(nèi)切圓與之對應(yīng)，所以這個對應(yīng)f：A→B是從集合A到集合B的一個映射．(4)新華中學的每一個班級里的學生都不止一個，即與一個班級對應(yīng)的學生不止一個，所以這個對應(yīng)f：A→B不是從集合A到集合B的一個映射．反思與感悟映射是一種特殊的對應(yīng)，它具有：(1)方向性：一般地從A到B的映射與從B到A的映射是不同的．(2)唯一性：集合A中的任意一個元素在集合B中都有唯一的元素與之對應(yīng)，可以是：一對一，多對一，但不能一對多．跟蹤訓練4設(shè)集合A＝{x|1≤x≤2}，B＝{y|1≤y≤4}，則下述對應(yīng)關(guān)系f中，不能構(gòu)成從A到B的映射的是()A．f：x→y＝x2B．f：x→y＝3x－2C．f：x→y＝－x＋4D．f：x→y＝4－x2答案D解析對于D，當x＝2時，由對應(yīng)關(guān)系y＝4－x2得y＝0，在集合B中沒有元素與之對應(yīng)，所以D選項不能構(gòu)成從A到B的映射．1．如圖中所示的對應(yīng)：其中構(gòu)成映射的個數(shù)為()A．3 B．4C．5 D．6答案A2．f(x)的圖像如圖所示，其中0≤x≤1時是一段頂點在坐標原點的拋物線，則f(x)的解析式是()A．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x≤1,2，1<x<2,3，x>2))B．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x<1,2，1<x<2,3，x≥2))C．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x≤1,2，1<x≤2,3，x>2))D．f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x≤1,2，1<x<2,3，x≥2))答案D3．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1，x>0，,1，x＝0，,－1，x<0，))則f(f(0))等于()A．1B．0C．2D．－1答案C4．已知函數(shù)y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋1，x≤0，,－2x，x>0，))則使函數(shù)值為5的x的值是()A．－2或2B．2或－eq\f(5,2)C．－2D．2或－2或－eq\f(5,2)答案C5．設(shè)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x為有理數(shù)，,0，x為無理數(shù)，))則f(g(π))的值為()A．1 B．0C．－1 D．π答案B1．對分段函數(shù)的理解(1)分段函數(shù)是一個函數(shù)而非幾個函數(shù)．分段函數(shù)的定義域是各段上“定義域”的并集，其值域是各段上“值域”的并集．(2)分段函數(shù)的圖像應(yīng)分段來作，特別注意各段的自變量取值區(qū)間端點處函數(shù)的取值情況，以決定這些點的虛實情況．2．函數(shù)與映射的關(guān)系映射f：A→B，其中A、B是兩個非空的集合；而函數(shù)y＝f(x)，x∈A，A為非空的數(shù)集，其值域也是數(shù)集．于是，函數(shù)是數(shù)集到數(shù)集的映射．由此可知，映射是函數(shù)的推廣，函數(shù)是一種特殊的映射．課時作業(yè)一、選擇題1．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x，x≤0，,x2，x>0，))若f(α)＝4，則實數(shù)α等于()A．－4或－2 B．－4或2C．－2或4 D．－2或2答案B解析當α≤0時，由f(α)＝－α＝4，得α＝－4；當α>0時，f(α)＝α2＝4，得α＝2.∴α＝－4或α＝2.2．已知函數(shù)f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝0，,nfn－1，n∈N*，))則f(5)的值是()A．4B．48C．240D．1440答案C解析因為f(n)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，n＝0，,nfn－1，n∈N*，))所以f(5)＝5f(4)＝5×4f(3)＝5×4×3f(2)＝5×4×3×2f(1)＝5×4×3×2×1×f(0)＝5×4×3×2×1×2＝240.故選C.3．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x2，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2))的值域是()A．R B．[0，＋∞)C．[0,3] D．{x|0≤x≤2或x＝3}答案D解析值域為[0,2]∪{3,2}＝{x|0≤x≤2或x＝3}．4．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2，x∈[－1，1]，,x，xD∈/[－1，1]，))若f(f(x))＝2，則x的取值范圍是()A．?B．[－1,1]C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．{2}∪[－1,1]答案D解析若x∈[－1,1]，則f(x)＝2，f(f(x))＝f(2)＝2，符合題意；若x>1，則f(x)＝x，f(f(x))＝f(x)＝x＝2，此時只有x＝2符合題意；若x<－1，則f(x)＝x，f(f(x))＝f(x)＝x＝2，但因為x<－1，此時沒有x符合題意．綜上，選D.5．若集合A＝{a，b，c}，B＝{d，e}，則從A到B可以建立不同的映射個數(shù)為()A．5 B．6C．8 D．9答案C解析用樹狀圖寫出所有的映射為：a→deq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b→d\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c→d，,c→e，)),b→e\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c→d，,c→e，))))a→eeq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b→d\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c→d，,c→e，)),b→e\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(c→d，,c→e，))))共8個．6．某單位為鼓勵職工節(jié)約用水，作出了如下規(guī)定：每位職工每月用水不超過10立方米的，按每立方米m元收費；用水超過10立方米的，超過部分按每立方米2m元收費．某職工某月繳水費16m元，則該職工這個月實際用水為()A．13立方米 B．14立方米C．18立方米 D．26立方米答案A解析該單位職工每月應(yīng)繳水費y與實際用水量x滿足的關(guān)系式為y＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(mx，0≤x≤10，,2mx－10m，x>10.))由y＝16m，可知x>10.令2mx－10m＝16m，解得x＝13(立方米)．二、填空題7．函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2))的定義域是________．答案[0，＋∞)解析定義域為[0,1]∪(1,2)∪[2，＋∞)＝[0，＋∞)．8．函數(shù)f(x)的圖像如圖，則函數(shù)f(x)的解析式為__________________．答案f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2))解析當0≤x≤1時，設(shè)f(x)＝kx，代入(1,2)，得k＝2，∴f(x)＝2x.當1<x<2時，f(x)＝2，當x≥2時，f(x)＝3，∴f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x，0≤x≤1，,2，1<x<2，,3，x≥2.))9．已知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1，x≥0，,0，x<0，))則不等式xf(x)＋x≤2的解集是________．答案{x|x≤1}解析當x≥0時，f(x)＝1，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤1，∴0≤x≤1；當x<0時，f(x)＝0，代入xf(x)＋x≤2，解得x≤2，∴x<0.綜上可知x≤1.10．若定義運算a⊙b＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b，a≥b，,a，a<b，))則函數(shù)f(x)＝x⊙(2－x)的值域是________．答案(－∞，1]解析由題意知f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－x，x≥1，,x，x<1.))畫出圖像為由圖易得函數(shù)f(x)的值域為(－∞，1]．三、解答題11．設(shè)函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋bx＋c，x≤0，,2，x>0，))若f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，求關(guān)于x的方程f(x)＝x的解．解∵x≤0時，f(x)＝x2＋bx＋c，∴f(－2)＝(－2)2－2b＋c，f(0)＝c，f(－1)＝(－1)2－b＋c.∵f(－2)＝f(0)，f(－1)＝－3，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－22－2b＋c＝c，,－12－b＋c＝－3，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝2，,c＝－2.))則f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－2，x≤0，,2，x>0，))當x≤0時，由f(x)＝x，得x2＋2x－2＝x，得x＝－2或x＝1.由于x＝1>0，故舍去．當x>0時，由f(x)＝x得x＝2，∴方程f(x)＝x的解為－2,2.12．已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2x，x<－1，,2，－1≤x≤1，,2x，x>1.))(1)求feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，f(4.5)，feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))；(2)若f(a)＝6，求a的值．解(1)∵－eq\f(3,2)∈(－∞，－1)，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝－2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)))＝3.∵eq\f(1,2)∈[－1,1]，∴feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝2.又2∈(1，＋∞)，∴feq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))))＝f(2)＝2×2＝4.∵4.5∈(1，＋∞)，∴f(4.5)＝2×4.5＝9.(2)經(jīng)觀察可知a?[－1,1]，否則f(a)＝2.若a∈(－∞，－1)，令－2a＝6，得a＝－3，符合題意；若a∈(1，＋∞)，令2a＝6，得a＝3，符合題意．∴a的值為－3或3.13．已知函數(shù)f(x)＝|x－3|－|x＋1|.(1)求f(x)的值域；(2)解不等式：f(x)>0；(3)若直線y＝a與f(x)的圖像無交點，求實數(shù)a的取值范圍．解若x≤－1，則x－3<0，x＋1≤0，f(x)＝－(x－3)＋(x＋1)＝4；若－1<x≤3，則x－3≤0，x＋1>0，f(x)＝－(x－3)－(x＋1)＝－2x＋2；若x>3，則x－3>0，x＋1>0，f(x)＝(