2021北京中考數學二模分類匯編《幾何綜合》含答案解析

2021北京中考數學二模分類匯編——幾何綜合12021MON90AOMPONOAPA逆時針旋轉60ABOB繞點O順時針旋轉60°，得到線段CHON．1）如圖1α60依題意補全圖形；，求∠的度數；22P在射線ONOA與之間的數量關系，并證明．22021?西城區(qū)二模）如圖，在△中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點P為△外一點，點PC位于直線異側，且∠APB45°，過點C作CD⊥，垂足為D．（1）當∠ABP＝90°時，在圖1中補全圖形，并直接寫出線段與之間的數量關2）如圖2，當∠ABP90用等式表示線段與之間的數量關系，并證明；在線段上取一點，使得∠ABK＝∠ACD，畫出圖形并直接寫出此時的值．第1頁（共6頁）32021和△ADE＝∠BAC90P為的中點，連接．1）如圖1，，D在同一條直線上，直接寫出DP與的位置關系；2）將圖1中的△A逆時針旋轉，當落在圖2所示的位置時，點CD，P恰好在同一條直線上．2中，按要求補全圖形，并證明∠BAE＝∠ACP；．判斷線段與DF的數量關系，并證明．42021ABCDDAD旋轉得到線段DP與直線相交于點E，直線與直線DC相交于點F．1）如圖1，當點P在正方形內部，且∠ADP60°時，求證：DECEDF；2DP運動到圖22CEDF之間的數量關系，并證明．第2頁（共6頁）52021?豐臺區(qū)二模）已知∠MON＝90°，點A，B分別在射線OM，ON上（不與點O＞OBOP平分∠MON的垂直平分線分別與ABOM點，D，，連接CB，在射線ON上取點，使得＝，連接CF．1）依題意補全圖形；2）求證：CBCF；3）用等式表示線段與之間的數量關系，并證明．62021?石景山區(qū)二模）已知等邊△ABCD中點，M上一點（不與，CDM．（1）如圖1，點E是邊的中點，當M在線段上（不與A，E重合）時，將DMD逆時針旋轉120°得到線段DF，連接．依題意補全圖；與的數量關系為：，∠DBF＝°．22DM2MC上有一點NDM120示線段BNND之間的數量關系，并證明．第3頁（共6頁）72021?房山區(qū)二模）如圖，已知是矩形的對角線，∠BAC＝30°，點M是DC延長線上一點，∠的平分線與∠的平分線交于點E，將線段繞點C逆時針旋轉，得到線段CF，使點F在射線上，連接EF．1）依題意補全圖形；2）求∠的度數；3）用等式表示線段AECE之間的數量關系，并證明．82021AB＝BAC＝D是E是ADBEA作DE的垂線交DE的延長線于點．1）依題意補全圖形；2）當∠AED＝，請你用含α的式子表示∠AGC；3）用等式表示線段與之間的數量關系，并寫出證明思路．第4頁（共6頁）92021?順義區(qū)二模）已知：如圖，在△中，∠ACB90°，∠CAB30°，P是邊上任意一點，D是邊的中點，連接CPCD，并將繞點P逆時針旋轉°PE，連接AE．1）求證：＝BC；2依題意補全圖形；用等式表示線段與的數量關系，并證明．102021?平谷區(qū)二模）在△中，∠ACB＝90°，AC＝BC，G是邊上一點，過點G作射線CP，過點A作AMM，過點B作BN⊥．1）求證：CM＝；2）取中點O，連接OMON，依題意補全圖，猜想線段BNAM、OM的數量關系，并證明．第5頁（共6頁）2021MAN90B是∠MANAM，B作射線交B逆時針旋轉90D．1）依題意補全圖形；2）求證：BCBD；3）連接AB，用等式表示線段ABAC，之間的數量關系，并證明．第6頁（共6頁）2021北京中考數學二模分類匯編——幾何綜合參考答案與試題解析12021MON90AOMPONOAPA逆時針旋轉60ABOB繞點O順時針旋轉60°，得到線段CHON．1）如圖1α60依題意補全圖形；，求∠的度數；22P在射線ONOA與之間的數量關系，并證明．【分析】1）根據要求畫出圖形即可．證明△是等邊三角形，推出∠APB60°，再證明∠APO30°，可得結論．2＝2BPBCPC＝明∠CPH30°可得結論．【解答】1）下圖即為所求：A逆時針旋轉°得到AB，ABAP，且∠60第1頁（共25頁）∴△是等邊三角形，∴∠＝°，∵∠OAP60∴∠APO30∴∠BPO＝∠+∠APO90∴∠BPH902）結論：＝CH．理由：如圖2中，連接BP，BCPC．由（）可知，△是等邊三角形，BABP，∠ABP＝∠60OBO順時針旋轉°得到，＝OC，∠BOC60∴△是等邊三角形，＝BC，∠OBC＝°，∴∠ABO60°﹣∠OBP＝∠PBC，∴△ABO≌△PBCSAS＝PC，∠BPC＝∠BAO，∵∠OAP，∴∠BAO＝∠BAP∠OAP60+，∴∠BPC60+，∵∠BPN180°﹣∠APO﹣∠＝120°﹣（90°﹣）＝30α，∴∠HPC＝∠BPC﹣∠BPN＝°，第2頁（共25頁）⊥ON，∴∠＝°，Rt中，PC＝CH，＝2．【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質，全等三角形的判30題，屬于中考壓軸題．22021?西城區(qū)二模）如圖，在△中，∠ACB＝90°，AC＝BC，點P為△外一點，點PC位于直線異側，且∠APB45°，過點C作CD⊥，垂足為D．（1）當∠ABP＝90°時，在圖1中補全圖形，并直接寫出線段與之間的數量關2）如圖2，當∠ABP90用等式表示線段與之間的數量關系，并證明；在線段上取一點，使得∠ABK＝∠ACD，畫出圖形并直接寫出此時的值．【分析】1和2根據等腰直角三角形的性質，可得與的關系，根據相似三角形的判定與性質，可得與的關系，根據等量代換，可得答案；交于點QAGC∽△QGBCAGQ45QDK∽△PBKPBK＝∠＝等腰直角三角形的性質即可求解．【解答】1）如圖1，第3頁（共25頁）∵∠ACB90°，＝BC，∴∠CAB45AB＝AC，∵∠ABP90°，∠APB45∴∠BAP45∴∠CAP＝∠CAB∠BAP＝°，⊥，和重合，AP＝AP＝AB，×AC2AC2；2AP＝2，證明：過點A作AFF，∵∠＝°，∴∠＝∠45∴＝，AP＝AF．∵∠ABF＝∠BAP+P＝∠BAP+45又∵∠CAD＝∠BAP+CAB＝∠BAP+45∴∠CAD＝∠FBA．第4頁（共25頁）又∵∠ADC＝∠AFB＝°，∴△CAD∽△ABF，∴，AF＝AP＝CD，AF2；、交于點Q，∵∠＝∠2，∠ACG＝∠ABK，∴△AGC∽△，∴∠CAG＝∠Q45∵∠＝°，∴∠Q＝∠，∵∠＝∠4，∴△∽△PBK，∴∠PBK＝∠QDK90∵∠＝°，KP＝BP，∴．【點評】本題是三角形綜合題，考查了相似形三角形的判定與性質，利用了等腰直角三角形的性質，正確作出輔助線，熟練掌握相似三角形的判定與性質是解題關鍵．32021和△ADE＝∠BAC90P為的中點，連接．第5頁（共25頁）1）如圖1，，D在同一條直線上，直接寫出DP與的位置關系；2）將圖1中的△A逆時針旋轉，當落在圖2所示的位置時，點CD，P恰好在同一條直線上．2中，按要求補全圖形，并證明∠BAE＝∠ACP；．判斷線段與DF的數量關系，并證明．【分析】（1）根據△是等腰直角三角形，可得AD＝ED，由P為的中點，依據⊥；（2）按照題意補全圖形，根據等腰三角形性質可得∠BAE+∠CAD＝∠BAC﹣∠45°，即可證明結論；②延長至G，使PG＝DP，連接AG，BG，利用SAS證明△APG≌△APD，△≌△CADBGC＝∠APGPFBG證明結論．【解答】1）∵△是等腰直角三角形，∠ADE＝°，＝ED，P為的中點，⊥AE；2補全圖形如圖2所示；證明：∵△和△都是等腰直角三角形，∠ADE＝∠BAC90∴∠DAE45°，＝ED，P為的中點，∴∠ADP＝∠EDP45∴∠BAE∠CAD＝∠BAC﹣∠DAE＝°，∵∠CADACP＝∠ADP45∴∠BAE＝∠ACP；第6頁（共25頁）BFDF．證明：如圖3，延長至GPGDP，BG，∵△是等腰直角三角形，∠ADE＝°，＝DE，∠DAE＝°，P為的中點，∴∠APD＝∠APG90°，＝DPPG，∠ADP＝°，∴△APG≌△APDSAS＝AD，∠＝∠DAE＝∠AGP45∴∠＝∠BAC90∴∠BAGBAD＝∠CAD+BAD＝°，∴∠BAG＝∠CAD，＝ADAB＝，∴△BAG≌△CADSAS∴∠AGB＝∠ADC180°﹣∠ADP135∴∠BGC＝∠AGB﹣∠AGP90∴∠BGC＝∠APG，PFBG，∴＝＝，BFDF．第7頁（共25頁）【點評】本題考查了等腰直角三角形性質和判定，全等三角形判定和性質，三角形內角和定理，旋轉變換的性質，平行線分線段成比例定理等，解題關鍵是添加輔助線構造全等三角形．42021ABCDDAD旋轉得到線段DP與直線相交于點E，直線與直線DC相交于點F．1）如圖1，當點P在正方形內部，且∠ADP60°時，求證：DECEDF；2DP運動到圖22CEDF之間的數量關系，并證明．【分析】1）證△是等邊三角形．得∠＝°，再由含°角的直角三角形的性質得DF＝＝CE＝CD＝＝CE＝2DE﹣＝D作DH⊥交HADF（DFCH，再證EDEH，即可得出結論．【解答】1）證明：設AB＝a．第8頁（共25頁）∵四邊形ABCD是正方形，＝CDAB＝．＝DP，∠ADP＝°，∴△是等邊三角形．∴∠＝°，在△中，∠AFD＝°，＝在△中，∠CDE＝°，CE＝＝DE2CE＝+CEDF；AD＝，，2）解：依題意補全圖形，如圖2所示：CEDF，證明如下：過D作DH交H，如圖3所示：DH⊥AF，∴∠∠AFD＝°，∵∠∠DHC90∴∠AFD＝∠，在△和△，∴△ADF≌△（AAS＝CH，＝DP，∴∠＝∠EDH，∥BC，∴∠＝∠EHD，∴∠＝∠EHD，＝EH，﹣CE＝．第9頁（共25頁）【點評】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、旋轉的性質、等腰三角形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、含°角的直角三角形的性質等知識；熟練掌握正方形的性質和旋轉的性質，證明三角形全等是解題的關鍵．52021?豐臺區(qū)二模）已知∠MON＝90°，點A，B分別在射線OM，ON上（不與點O＞OBOP平分∠MON的垂直平分線分別與ABOM點，D，，連接CB，在射線ON上取點，使得＝，連接CF．1）依題意補全圖形；2）求證：CBCF；3）用等式表示線段與之間的數量關系，并證明．【分析】1）根據幾何語言畫出對應的幾何圖形；2）過點C作垂直平分AB，CFOP，垂足分別為DC，根據線段的垂直平分線的性質得到CA＝CB，根據角平分線的定義得到∠AOC＝∠FOC，則可判斷△AOC≌△FOC，從而得到CBCF；3ACB902）證明三角形是等腰直角三角形，進而可得線段第頁（共25頁）與之間的數量關系．【解答】1）解：如圖即為補全的圖形；2）證明：連接，OP是∠的平分線，∴∠AOC＝∠FOC，在△和△，∴△AOC≌△FOCSASCACF，是線段的垂直平分線，CACB，CBCF；3AB＝CF，證明：∵△AOC≌△FOC，∴∠CAO＝∠CFB，CFCB，∴∠CBF＝∠CFB，∴∠CAO＝∠CBF，∵∠CBF∠CBO180∴∠CAOCBO＝180°，∴∠AOBACB180∵∠AOB90∴∠ACB90第頁（共25頁）CACB，∴△是等腰直角三角形，AB＝AB＝CB，CF．【點評】本題考查了作圖，全等三角形的判定與性質，垂直平分線的性質，解決此類題目的關鍵是熟悉基本幾何圖形的性質，結合幾何圖形的基本性質把復雜作圖拆解成基本作圖，逐步操作．也考查了線段垂直平分線的性質．62021?石景山區(qū)二模）已知等邊△ABCD中點，M上一點（不與，CDM．（1）如圖1，點E是邊的中點，當M在線段上（不與A，E重合）時，將DMD逆時針旋轉120°得到線段DF，連接．依題意補全圖；與的數量關系為：EM＝，∠DBF＝12022DM2MC上有一點NDM120示線段BNND之間的數量關系，并證明．【分析】（1①根據題意作圖即可；連接DE，根據SAS，證△BDF≌△EDM，即可EMBF，∠DBF＝1202點D作DG交于G出DG為△ASA證△≌△MDC，得出DNDM，NGCM，然后根據各邊關系得出BN+ND．【解答】1）；，第頁（共25頁）D為的中點，E為的中點，DE為△的中位線，＝且∥，∵△為等邊三角形，∴∠ABC＝∠＝°，AB＝，D為的中點，＝BC＝，∥AB，∴∠CDE＝∠ABC60∴∠BDE120°＝∠BDMEDM，∵∠BDM∠BDF＝∠MDF120°，∴∠BDF＝∠EDM，∴△BDF≌△EDM（SASEM＝BF，∠DBF＝∠DEM，∵∠CED60∴∠DEM120∴∠DBF＝∠DEM＝120°；故答案為EMBF，1202）如圖2，過點D作DG交于G，∴∠＝∠C60°，∠BGD＝∠＝°，∴△為等邊三角形，又∵D是邊上的中點，＝DG＝BC，DG為△的中位線，DG＝DC，∵∠NDM120°＝∠NDG∠GDM，∠GDC120°＝∠GDM+MDC，∴∠＝∠MDC，∴△≌△MDCASA＝DM，＝CM，BNNGBGDM2CM，第頁（共25頁）＝2，BN+DNBG，＝AB，＝BC，＝CD，BNCD﹣，即BN+ND＝．【點評】本題主要考查圖形變換的綜合題，熟練掌握圖形的旋轉，全等三角形的判定和性質等知識是解題的關鍵．72021?房山區(qū)二模）如圖，已知是矩形的對角線，∠BAC＝30°，點M是DC延長線上一點，∠的平分線與∠的平分線交于點E，將線段繞點C逆時針旋轉，得到線段CF，使點F在射線上，連接EF．1）依題意補全圖形；第頁（共25頁）2）求∠的度數；3）用等式表示線段AECE之間的數量關系，并證明．【分析】1）按照題意畫出圖形即可；（2）根據矩形性質可得∠ABC＝∠BCD＝∠BCM＝90°．由∠的平分線與∠BCM的平分線交于點BAE＝∠CAE＝ECF＝進行計算即可；3上截取EHECSAS證明△≌△HCA，運用全等三角形性質即可得到答案．【解答】1）補全圖形如圖所示：2）∵是矩形ABCD的對角線，延長DC至M，∴∠ABC＝∠BCD＝∠＝°．∵將線段CCF在射線BAC30∴∠ACF60∵∠的平分線與∠的平分線交于點，∴∠BAE＝∠CAE＝°，∠ECF＝°，∴∠ACE＝∠ACF∠ECF＝°°＝105∴∠AEC180°﹣∠ACE﹣∠CAE＝180°﹣105°﹣15°＝°；3）答：AE＝+EF．第頁（共25頁）證明：在上截取EHEC，連接CH，∵∠AEC60∴△是等邊三角形，∴∠EHC＝∠ECH60°，＝CHEH．∴∠ECF∠FCH＝∠FCHHCA＝°，∴∠ECF＝∠HCA，∵將線段C逆時針旋轉，得到線段CF，CFCA．在△與△，∴△ECF≌△HCASASEFHA．AEEHHA，AECE+．【點評】本題考查了矩形性質，全等三角形判定和性質，角平分線定義，三角形內角和定理，等邊三角形判定和性質等，解題關鍵是合理添加輔助線構造全等三角形．82021AB＝BAC＝D是E是ADBEA作DE的垂線交DE的延長線于點．1）依題意補全圖形；2）當∠AED＝，請你用含α的式子表示∠AGC；3）用等式表示線段與之間的數量關系，并寫出證明思路．第頁（共25頁）【分析】1）依題意補全圖形即可；2）由等腰直角三角形的性質和三角形的外角性質得AGC∠CAG45＝∠DAF，即可求解；3）解法一：過G作GH⊥交的延長線于H，則△是等腰直角三角形，得CH＝GH，CG＝GH，設AB＝AC＝a，AD＝BE＝b，CH＝GH＝m，再證△ADE∽△，得出mb，即可得出結論；＝上截取AHADDHDH＝AD，證明△EHD≌△ACGASA【解答】1）依題意補全圖形如圖1所示：2）∵ABAC，∠BAC＝°，∴∠ACB45∴∠AGCCAG＝∠ACB45∵∠⊥DE，∴∠AFE90°＝∠DAE，∴∠AEDEAF＝∠DAF∠EAF90∴∠DAF＝∠AEDα，∴∠CAG＝∠DAF，∴∠AGC45°﹣；3CG＝，證明思路如下：解法一：過G作GH交的延長線于H，如圖2所示：則∠＝°＝∠DAE，△是等腰直角三角形，得CHGH，＝GH，設ABAC＝，ADBEbCH＝GHm，第頁（共25頁）由（）可知，∠AED＝∠HAG，則△ADE∽△，得＝整理得：+bmabbmmb，故CG＝＝b＝AD；＝，解法二：在上截?。紸D，連接DH，如圖3所示：則△是等腰直角三角形，DH＝AD，∠AHD45∴∠＝135°，＝BE，＝BE，BEBHAHBH＝AB，ABAC，＝AC，∵△是等腰直角三角形，∴∠ACB45∴∠ACG135°，∴∠＝∠ACG，由（）得：∠E＝∠CAG，在△和△，∴△≌△ACG（ASA＝DH＝．第頁（共25頁）【點評】本題考查了等腰直角三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質等知識；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質和相似三角形的判定與性質是解題的關鍵．92021?順義區(qū)二模）已知：如圖，在△中，∠ACB90°，∠CAB30°，P是邊上任意一點，D是邊的中點，連接CPCD，并將繞點P逆時針旋轉°PE，連接AE．1）求證：＝BC；2依題意補全圖形；用等式表示線段與的數量關系，并證明．第頁（共25頁）【分析】1）證明△是等邊三角形即可．2根據要求作出圖形即可．證明△CPB≌△SASCDE＝∠B60ADE≌△CDESAS可得結論．【解答】1）解：∵∠ACB90°，∠CAB30∴∠ABC60D是邊的中點，＝BD，∴△是等邊三角形，＝BC．2圖形如圖所示：與之間的數量關系為PE＝AE．理由：連接ECED．PEPC，∠EPC＝°，∴△是等邊三角形，CPCE，∠ECP＝°，∵∠DCB＝∠ECP60∴∠ECD＝∠PCB，＝CB，第頁（共25頁）∴△CPB≌△CEDSAS∴∠CDE＝∠＝°，∵∠CDB60∴∠ADE60∴∠ADE＝∠CDE，＝DC，∴△ADE≌△CDESASAECE，AEPE．【點評】本題屬于幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考壓軸題．102021?平谷區(qū)二模）在△中，∠ACB＝90°，AC＝BC，G是邊上一點，過點G作射線CP，過點A作AMM，過點B作BN⊥．1）求證：CM＝；2）取中點O，連接OMON，依題意補全圖，猜想線段BNAM、OM的數量關系，并證明．【分析】）由題意補全圖形，證明△ACM≌△（出CM＝．（2）連接OC，證明△OCM≌△OBN（SASOM＝ON，COM＝∠COM＝∠BON，由等腰直角三角形的性質得出MN＝【解答】1）補全圖形如圖，OM，則可