2021北京中考數(shù)學(xué)一模分類匯編《幾何綜合》含答案解析

2021北京市中考數(shù)學(xué)一模分類匯編——幾何綜合1（2021ABCAB＝BAC40CMACM＝80D上，連接，E是CE的對(duì)稱點(diǎn)為，連接DF．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）判斷與DF的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）平面內(nèi)一點(diǎn)GDGDC，F(xiàn)GFB，求∠的值．2（2021ABCAB＝BAC90D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠ADC＝∠BAC．過點(diǎn)B作BE交的延長線于點(diǎn)．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求證：∠CAD＝∠ABE；（3）在（）補(bǔ)全的圖形中，不添加其他新的線段，在圖中找出與相等的線段并加以證明．第1頁（共7頁）32021?東城區(qū)一模）已知∠＝°，點(diǎn)BAM上一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AB上BP關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)QBQA關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，CP．（1）如圖1，若點(diǎn)P的中點(diǎn)；①直接寫出∠AQB的度數(shù)；②依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若線段與交于點(diǎn)D．①設(shè)∠BQPα，求∠CPQ的大?。ㄓ煤立谟玫仁奖硎揪€段DCDQDP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．42021?朝陽區(qū)一模）如圖，在等腰三角形ABC中，∠BAC＜°，ABACD為BC邊的中點(diǎn)，將線段ACA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連接交于點(diǎn)F．（1）依題意補(bǔ)全圖形（2）求∠AFE的度數(shù)；（3）用等式表示線段，BFEF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．第2頁（共7頁）52021?豐臺(tái)區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90CA＝CBP在線段AB上，作射線CP0°＜∠ACP＜45繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到射線CQ，過點(diǎn)A作ADD，交，連接．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）用等式表示線段，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．62021?石景山區(qū)一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝（°＜α60E是△ABCAECEA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)AC△ADB，延長CE與射線MMD（1）依題意補(bǔ)全圖1；（2）探究∠ADM與∠AEM的數(shù)量關(guān)系為；（3DE平分∠ADBMCAE明．第3頁（共7頁）72021?通州區(qū)一模）已知點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段AC；再將線段B120°，得到線段BD；連接ADAD中點(diǎn)，連接BMCM．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)PCM上時(shí)，求證：PMBD；（22P不在線段CM與的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明．82021?房山區(qū)一模）已知：在△ABC中，∠＝°，∠ABCαBC為斜邊作等腰Rt△BDC，使得AD兩點(diǎn)在直線BC的同側(cè)，過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E．（1）如圖1＝°時(shí)，①求∠的度數(shù)；②判斷線段與的數(shù)量關(guān)系；（2°＜α90AE與的數(shù)量關(guān)系是否保持不變？依題意補(bǔ)全圖證明．第4頁（共7頁）9（2021ABCACB＝ACBCD是直線ABD不與點(diǎn)ABDC并延長到E，使得CE＝CD，過點(diǎn)E作EF⊥直線BC直線BC．（1DEFCF的數(shù)量關(guān)系，并證明；（D為線段CF、AC的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變，并證明．102021?順義區(qū)一模）如圖，等腰三角形ABC中，ABAC，⊥D，∠α．（1DCB的大?。ㄓ煤粒?）延長ECE＝AC，連接并延長交的延長線于點(diǎn)F．①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段EF與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．第5頁（共7頁）2021?延慶區(qū)一模）在正方形ABCD中，點(diǎn)E在射線BC上（不與點(diǎn)、C接DBDEDEE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接BF．（1）如圖1E在BC邊上．①依題意補(bǔ)全圖1；②若AB＝6EC＝，求的長；（2）如圖，點(diǎn)E在邊的延長線上，用等式表示線段BDBEBF之間的數(shù)量關(guān)系．122021?大興區(qū)一模）如圖1，等邊△P是邊上一點(diǎn)，作點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)D，連接，BDAE⊥于點(diǎn)；（1）若∠＝°，依題意補(bǔ)全圖1，并直接寫出∠BCD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠＝（0°＜＜°①求證：∠BCD＝∠BAE；②用等式表示線段BDCD之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．第6頁（共7頁）13（2021ABCDA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（°＜α＜°）得到線段AE，與延長線相交于點(diǎn)，過B作BG交G，連接BE．（1）如圖1，求證：∠BGC＝∠AEB；（2°＜＜°）時(shí)，依題意補(bǔ)全圖2，用等式表示線段AHEFDG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．第7頁（共7頁）2021北京市中考數(shù)學(xué)一模分類匯編——幾何綜合1（2021ABCAB＝BAC40CMACM＝80D上，連接，E是CE的對(duì)稱點(diǎn)為，連接DF．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）判斷與DF的數(shù)量關(guān)系并證明；（3）平面內(nèi)一點(diǎn)GDGDC，F(xiàn)GFB，求∠的值．【分析】（）由題意畫出圖形，如圖所示；（2）由“”可證△AEC≌△DEF，可得ACDF＝AB；（3）由題意可得點(diǎn)G在以點(diǎn)DDC為半徑的圓上，點(diǎn)G在以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)BGSSSABF≌△DFGBAF＝∠FDG＝140°，即可求解．【解答】）如圖所示：（2ABDF，理由如下：∵E是的中點(diǎn)，∴AEDE，∵C關(guān)于點(diǎn)E的對(duì)稱點(diǎn)為F，∴CEEF，又∵∠AEC＝∠FED，第1頁（共27頁）∴△AECDEF（SAS，∴ACDF，∵ABAC，∴ABDF；（3）如圖2，連接AF，∵AEDECE＝EF，∴四邊形ACDF是平行四邊形，∴∠ACM+CAF＝180°，AFCDDF＝＝，∴∠CAF＝100°＝∠CDF，∴∠BAF＝140∵DG＝，∴點(diǎn)G在以點(diǎn)DDC為半徑的圓上，∵FGFB，∴點(diǎn)G在以點(diǎn)F為圓心，F(xiàn)B為半徑的圓上，∴兩圓的交點(diǎn)為G，∵ABDF，＝DG，＝FG，∴△ABF≌△DFGSSS，∴∠BAF＝∠FDG140∴∠CDG＝°，第2頁（共27頁）同理可證△ABF≌△DFG，∴∠BAF＝∠GDF140∴∠CDG＝360°﹣100°﹣140°＝120綜上所述：∠CDG＝120°．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，確定點(diǎn)G的位置是本題的關(guān)鍵．2（2021ABCAB＝BAC90D是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠ADC＝∠BAC．過點(diǎn)B作BE交的延長線于點(diǎn)．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）求證：∠CAD＝∠ABE；（3）在（）補(bǔ)全的圖形中，不添加其他新的線段，在圖中找出與相等的線段并加以證明．【分析】（）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）利用三角形內(nèi)角和定理以及平行線的性質(zhì)證明即可．（3）結(jié)論：＝AEABE≌△（AAS【解答】（）解：圖形如圖所示．（2）證明：∵CDBE，∴∠CDEAEB，∵∠ADCBAC，∴∠ABC∠ACB＝∠+ACD＝∠CDE＝∠AEB，第3頁（共27頁）∵∠BAE∠ABE∠AEB180°，∠BAE+DAC+2∠ABC＝180°，∴∠BAE∠ABE+2∠＝180°，∴∠CADABE．（3）解：結(jié)論：＝．理由：在AE的延長線上取一點(diǎn)TCDCT，∵CDCT，∴∠＝∠CDT，∵CDBE，∴∠AEB＝∠T，∵ABAC，∠ABE，∴△ABE≌△（AAS，∴AECT，∴CDAE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣復(fù)雜作圖，全等三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．32021?東城區(qū)一模）已知∠＝°，點(diǎn)BAM上一個(gè)定點(diǎn)，點(diǎn)P為線段AB上BP關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)QBQA關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)，連接，CP．（1）如圖1，若點(diǎn)P的中點(diǎn)；①直接寫出∠AQB的度數(shù)；②依題意補(bǔ)全圖形，并直接寫出線段與的數(shù)量關(guān)系；（2）如圖2，若線段與交于點(diǎn)D．①設(shè)∠BQPα，求∠CPQ的大?。ㄓ煤立谟玫仁奖硎揪€段DCDQDP之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．第4頁（共27頁）【分析】（）PQ＝PB，可得結(jié)論．②圖形如圖所示：結(jié)論：PC＝．證明∠APC＝°，可得結(jié)論．（2①2BCCQPQCCPB＝∠CQB＝∠AQB，由∠APC∠CPB＝180°，推出∠+PDQ＝180°，推出∠PDQ＝120°，推出∠DQPDPQ60°，可得結(jié)論．②21CDDPDQAD上取一點(diǎn)TDTDP用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．【解答】）∵QAN對(duì)稱，∴APAQ，∠＝∠QAN＝∴△APQ是等邊三角形，∴PQ，∵點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，∴PB，∴PQPB，∴∠AQB90②圖形如圖所示：結(jié)論：PC＝．第5頁（共27頁）理由：∵∠AQB＝°，，C關(guān)于對(duì)稱，∴AQQC，∴PQQCAQ，∴∠60∴＝tan60∴PC＝．（2①2中，連接BCCQ．∵，C關(guān)于對(duì)稱，∴BCBA，＝，∵BQBQ，∴△BQCBQA（SSS∴∠BCQBAQ60°，∠BQCBQA，∵∠APQ60∴∠BPQ120°，∴∠BPQ+BCQ＝180第6頁（共27頁）∴，，QC∴∠CPB＝∠CQB＝∠AQB，∵∠APC∠CPB＝180∴∠+PDQ＝180∴∠PDQ＝120°，∴∠DQP+DPQ＝°，∴∠CPQ60α．②21中，結(jié)論：CDDPDQ．理由：連接AD上取一點(diǎn)TDTDP．∵∠+PDQ＝180∴，，DQ∴∠PDT＝∠PQA＝∵DTDP，∴△PDT是等邊三角形，∴PDPT，∠DPT＝∴∠DPQ＝∠，∵PDPT，＝，∴△DPQ≌△SAS，∴DQ＝，∴ADDT＝DQ，∵，C關(guān)于對(duì)稱，∴DCAD，第7頁（共27頁）∴CDDPDQ．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，四點(diǎn)共圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?jí)狠S題．42021?朝陽區(qū)一模）如圖，在等腰三角形ABC中，∠BAC＜°，ABACD為BC邊的中點(diǎn)，將線段ACA逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到線段AE，連接交于點(diǎn)F．（1）依題意補(bǔ)全圖形（2）求∠AFE的度數(shù)；（3）用等式表示線段，BFEF之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）利用圓周角定理解決問題即可．（3）結(jié)論：EFAFBF．如圖，連接CFEC上取一點(diǎn)，使得FTFC接CT．證明△FCA≌△TCE（SAS＝ET，可得結(jié)論．【解答】）圖形如圖所示：（2）∵ABACAE，第8頁（共27頁）∴點(diǎn)A是△的外心，∵∠CAE＝°，∠CBE＝CAE，∴∠CBE＝∵ABAC，＝，∴ADBC，∴∠BDF90∴∠AFE＝∠BFD＝°﹣30°＝°．（3）結(jié)論：EFAFBF．理由：如圖，連接CF，EC上取一點(diǎn)，使得FTFC，連接CT．∵垂直平分線段BC，∴FBFC，∴∠BFDCFD＝∠AFE＝∴∠CFE＝∵FT＝，∴△CFT是等邊三角形，∴CFCT，∠FCT＝∵ACAE，∠CAE60∴△ACE是等邊三角形，∴CACE，∠ACE＝∠FCT60∴∠FCA＝∠TCE，∴△FCA≌△TCE（SAS，∴AFET，∴EFFT+ETBF+AF．【點(diǎn)評(píng)】本題屬于幾何變換綜合題，考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，等邊三角構(gòu)造全等三角形解決問題．52021?豐臺(tái)區(qū)一模）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90CA＝CBP在線段AB上，作射線CP0°＜∠ACP＜45繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°，得到射線CQ，第9頁（共27頁）過點(diǎn)A作ADD，交，連接．（1）依題意補(bǔ)全圖形；（2）用等式表示線段，DE之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．【分析】（）根據(jù)要求作出圖形即可．（2）結(jié)論：+BE．延長DA至FDFDE，連接CF．利用全等三角形的性質(zhì)解決問題即可．【解答】）如圖所示：（2）結(jié)論：+BE．理由：延長DA至，使DFDE，連接CF．∵ADCPDFDE，∴CECF，∴∠DCFDCE45∵∠ACB＝∴∠ACD+ECB45∵∠DCA+ACFDCF＝45∴∠FCA＝∠ECB，在△ACF和△第10頁（共27頁），∴△ACF≌△BCE（SAS，∴AFBE，∴ADBEDE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．62021?石景山區(qū)一模）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝（°＜α60E是△ABCAECEA順時(shí)針旋轉(zhuǎn)AC△ADB，延長CE與射線MMD（1）依題意補(bǔ)全圖1；（2）探究∠ADM與∠AEM的數(shù)量關(guān)系為∠ADM＝∠AEM或∠ADM+∠AEM＝180°；（3DE平分∠ADBMCAE明．【分析】（）按要求作圖即可；（2）△A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADB可得∠AEC＝∠ADB，即可得到答案；（3）由∠ADM＝∠AEM可得A、DE共圓，證明△AMD≌△得AD＝ME，從而可得MCAEBD．【解答】）補(bǔ)全圖1如下：第11頁（共27頁）（2M在線段延長線上時(shí)，如上圖1，∵將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADB，∴∠AEC＝∠ADB，∴∠ADM＝∠AEM，當(dāng)M在線段上時(shí)，如上圖，∵將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADB，∴∠AEC＝∠ADB，∵∠AEC∠AEM＝180∴∠ADM∠AEM180故答案為：∠ADM＝∠AEM或∠ADM∠AEM＝180°；（3）MCAEBD，理由如下：連接AM，△AMD和△AME公共邊為AM，且∠ADM＝∠AEM，∴、MDE共圓，如圖：第12頁（共27頁）∵、MDE共圓，∴∠MAD＝∠MED，∵DE平分∠ADB，∴∠ADE＝∠EDB，∵將△AEC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ADB，∴ADAE，＝EC，∴∠ADE＝∠AED，∴∠EDB＝∠AED，∴BM∥AE，∴∠DME＝∠AEM，∵∠ADM＝∠AEM，∴∠DME＝∠ADM，在△AMD和△EDM中，，∴△AMD≌△EDMAAS，∴AD＝ME，∴AE＝ME，∵M(jìn)C＝MEEC，∴MC＝AEBD．【點(diǎn)評(píng)】DEAMD≌△EDM．72021?通州區(qū)一模）已知點(diǎn)P為線段AB上一點(diǎn)，將線段繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到線段AC；再將線段B120°，得到線段BD；連接ADAD第13頁（共27頁）中點(diǎn)，連接BMCM．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)PCM上時(shí)，求證：PMBD；（22P不在線段CM與的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系，并證明．【分析】（）由旋轉(zhuǎn)可得，△APC是等邊三角形，∠PBD＝120°，則∠+PBD＝180°，所以PMBD．（GMG＝CBG是等邊三角形且點(diǎn)M是的中點(diǎn)，則有CM⊥BMCM＝MB．【解答】）有題意可得，∠CAP＝60°，且AP＝AC，∴△APC是等邊三角形，∴∠APC＝∴∠BPM＝°，又∵∠PBD＝120∴∠BPM+PBD＝180∴PM∥BD．（2）猜想，CM⊥MBCM＝MB，理由如下：如圖，延長BMG，使得＝MB，連接，BCGCPCGD，∵AM＝MDGMBM，∴四邊形AGDB是平行四邊形，第14頁（共27頁）∴AGBDAGBD，∴∠BAG180°﹣∠ABD＝60∴∠CAG120°，∵△APC是等邊三角形，∴ACCP，∠CPB＝120°，∵PBDB＝，∴△CAGCPB（SAS，∴CGCB，∠ACG＝∠PCB，∴∠GCB60∴△CBG是等邊三角形，∵GM＝BM，∴CM⊥BMCM＝MB．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)與判定等；構(gòu)造合適輔助線是解題關(guān)鍵．82021?房山區(qū)一模）已知：在△ABC中，∠＝°，∠ABCαBC為斜邊作等腰Rt△BDC，使得AD兩點(diǎn)在直線BC的同側(cè)，過點(diǎn)D作DEAB于點(diǎn)E．（1）如圖1＝°時(shí)，①求∠的度數(shù)；②判斷線段與的數(shù)量關(guān)系；（2°＜α90AE與的數(shù)量關(guān)系是否保持不變？依題意補(bǔ)全圖證明．【分析】（）由余角的性質(zhì)可求∠CDE＝∠DBE＝25②通過證明點(diǎn)A，點(diǎn)H四點(diǎn)共圓，由垂徑定理可得AE＝BE；（2）通過證明點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)CH四點(diǎn)共圓，由垂徑定理可得AEBE．第15頁（共27頁）【解答】）∵∠CDB＝°，CDDB，∴∠DBCDCB45∴∠DBEDBC﹣∠ABC＝∵DEAB，∴∠DEB90°＝∠CDB，∴∠CDE+EDB＝∠EDB+ABD＝°，∴∠CDEDBE25②AEBE，理由如下：如圖，延長BD至HBDDH，連接，∵BDDHCDBD，∴CHBC，∴∠CHBCBH45∴∠A＝∠CHB＝°，∠HCB90∴點(diǎn)A，點(diǎn)H四點(diǎn)共圓，∵∠HCB90∴D是圓心，∵DEAB，∴AEBE；（2）不變，理由如下：如圖，延長BD至HBDDH，連接，第16頁（共27頁）∵BDDHCDBD，∴CHBC，∴∠CHBCBH45∴∠A＝∠CHB＝°，∠HCB90∴點(diǎn)A，點(diǎn)，點(diǎn)H四點(diǎn)共圓，∵∠HCB90∴D是圓心，∵DEAB，∴AEBE．【點(diǎn)評(píng)】本題是三角形綜合題，考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，四點(diǎn)共圓，垂徑定理等知識(shí)，證明點(diǎn)A，點(diǎn)H四點(diǎn)共圓是本題的關(guān)鍵．92021ABCACB＝ACBCD是直線ABD不與點(diǎn)ABDC并延長到E，使得CE＝CD，過點(diǎn)E作EF⊥直線BC直線BC．（1DEFCF的數(shù)量關(guān)系，并證明；（D為線段CF、AC的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變，并證明．第17頁（共27頁）【分析】（D作DH⊥于H，由“”可證△FECHDCCH＝，DHEF，可得結(jié)論；（2D作DH于HAASFEC≌△HDCCH＝DHEF，可得結(jié)論．【解答】）結(jié)論：ACEF+，理由如下：過D作DH⊥于H，∵EFCF，∴∠EFCDHC90在△FECHDC中，，∴△FECHDCAAS，∴CHFCDHEF，∵∠DHB＝°，∠＝°，∴DH＝HBEF，∴ACBC＝+＝EF；第18頁（共27頁）（2）依題意補(bǔ)全圖形，結(jié)論：EF＝FCAC，理由如下：過D作DH交CB的延長線于H，∵EFCF，∴∠EFCDHC90在△FECHDC中，，∴△FECHDCAAS，∴CHFCDHEF，∵∠DHB＝°，∠＝°，∴DH＝HBEF，∴EFCHBC＝+AC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．102021?順義區(qū)一模）如圖，等腰三角形ABC中，ABAC，⊥D，∠α．（1DCB的大小（用含α（2）延長ECE＝AC，連接并延長交的延長線于點(diǎn)F．①依題意補(bǔ)全圖形；②用等式表示線段EF與之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．第19頁（共27頁）【分析】（）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得出結(jié)論；（2①根據(jù)題意即可補(bǔ)全的圖形；②E作⊥于點(diǎn)HA作AGGAGC≌△可得CGEHEHFH＝EF＝x，進(jìn)而可得結(jié)論．【解答】）∵等腰三角形ABC中，ABAC，∠Aα，∴∠ACB＝∠＝∵CDAB，＝90，∴∠ACD90°﹣∠A°﹣α，∴∠DCBACB﹣∠ACD90﹣90α＝（2①如圖即為補(bǔ)全的圖形；；②＝，證明：∵∠ACE＝∠ACB﹣∠DCB90∵CEAC，﹣＝°﹣α，∴∠CAE＝∠CEA＝＝°+，∵∠AEC＝∠+ECF，∴45+＝∠F+∴∠F＝，過點(diǎn)E作EHH，過點(diǎn)A作⊥于點(diǎn)G，第20頁（共27頁）∴∠BAGCAG＝，在△AGC和△CHE中，，∴△AGCCHEAAS，∴CGEH，∵∠F＝∴FHEH，設(shè)EHFH＝EF＝∴BC＝CG2x，x，∴＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，等腰三角形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)．2021?延慶區(qū)一模）在正方形ABCD中，點(diǎn)E在射線BC上（不與點(diǎn)、C接DBDEDEE逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到EF，連接BF．（1）如圖1E在BC邊上．①依題意補(bǔ)全圖1；②若AB＝6EC＝，求的長；（2）如圖，點(diǎn)E在邊的延長線上，用等式表示線段BDBEBF之間的數(shù)量關(guān)系．【分析】（）根據(jù)要求畫出圖形即可；②F作⊥CB的延長線于HDCE≌△EHFAAS出EC＝FH，DC＝，推出CE＝BHFH，再利用勾股定理解決問題即可；（2）由可得△DCEEHF，推出EC＝，＝EH，推出CE＝＝，再利用第21頁（共27頁）等腰直角三角形的性質(zhì)解決問題即可【解答】解（）圖形如圖所示．過點(diǎn)F作FHCB的延長線于H，∵四邊形ABCD∴CDAB＝，∠C°，∵∠DEFC＝°，∴∠DEC+FEH＝90°，∠DEC∠EDC＝∴∠FEH＝∠EDC，在△DEC和△EFH中，，∴△DECEFHAAS，∴ECFH＝，＝＝EH6，∴HBEC＝，∴RtFHB中，BF＝（2）結(jié)論：BF+BD＝＝2．BE．理由：過點(diǎn)F作⊥，交CB于H，∵四邊形ABCD第22頁（共27頁）∴CDAB＝，∠DCE＝°，∵∠DEFDCE90∴∠DEC+FEH＝90°，∠DEC∠EDC＝∴∠FEH＝∠EDC，在△DEC和△EFH中，，∴△DECEFHAAS，∴ECFHCD＝＝，∴HBECHF，∴△DCB和△BHF都是等腰直角三角形，∴BD＝∵HEBHBE，∴BFBD＝BE．BC＝HE，BF＝，【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖﹣旋轉(zhuǎn)變換，全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)和判定等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．122021?大興區(qū)一模）如圖1，等邊△P是邊上一點(diǎn)，作點(diǎn)C關(guān)于直線AP的對(duì)稱點(diǎn)D，連接，BDAE⊥于點(diǎn)；（1）若∠＝°，依題意補(bǔ)全圖1，并直接寫出∠BCD的度數(shù)；（2）如圖2，若∠＝（0°＜＜°①求證：∠BCD＝∠BAE；②用等式表示線段BDCD之間的數(shù)量關(guān)系并加以證明．【分析】（1）由題意畫出圖形；根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠ABD，由∠BCD＝∠ACD﹣∠ACB即可得到結(jié)論；第23頁（共27頁）（由軸對(duì)稱的性質(zhì)可得垂直平分AB＝ADBAP＝，由等腰三角形的性質(zhì)可求解；②在AE上截?。紺D定理證得△BAF≌△BCD三角形的性質(zhì)得到∠ABF＝∠CBD，BF＝BD，可得∠FBE＝∠ABC＝60°，由三角函數(shù)的定義求得EF＝BDAECD+BD．【解答】（）解：∵△是等邊三角形，∴∠ACB＝∵C關(guān)于直線的對(duì)稱是D，∴APCDAC＝，∴∠ACD90°﹣°＝°，∴∠BCDACD﹣∠ACB＝（2①證明：如圖，連接AD，根據(jù)題意得，AO⊥∵∠，∴∠ACD90α，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ACB＝∴∠BCDACD﹣∠ACB＝°﹣﹣°＝°﹣，∵C關(guān)于直線的對(duì)稱是D，∴APCDAC＝，∴∠＝∠＝，∵ABAC＝，AE，∴∠BAE＝∠DAE＝∠BAD＝（∠BAC﹣∠CAD（60°﹣α）＝°﹣，∴∠BCDBAE；②解：用等式表示線段BD，CD之間的數(shù)量關(guān)系是AE＝+BD．證明：在AE上截取CD，連接BF，∵△ABC是等邊三角形，∴ABAC，∵