2025屆山西省祁縣中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

2025屆山西省祁縣中學(xué)高二數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，若對任意的，，都有成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.2．下列直線中，傾斜角最大的為（）A. B.C. D.3．已知雙曲線上的點到的距離為15，則點到點的距離為（）A.7 B.23C.5或25 D.7或234．如圖，在四棱錐中，平面，底面是正方形，，則下列數(shù)量積最大的是（）A. B.C. D.5．已知點分別為圓與圓的任意一點，則的取值范圍是（）A. B.C. D.6．已知定義在R上的函數(shù)滿足，且有，則的解集為（）A B.C. D.7．設(shè)變量，滿足約束條件，則目標(biāo)函數(shù)的最大值為（）A. B.0C.6 D.88．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一.如圖是一個窗花的圖案，以正六邊形各頂點為圓心、邊長為半徑作圓，陰影部分為其公共部分.現(xiàn)從該正六邊形中任取一點，則此點取自于陰影部分的概率為（）A. B.C. D.9．已知向量，，且，則實數(shù)等于（）A1 B.2C. D.10．已知函數(shù)，若對任意的，，且，總有，則的取值范圍是（）A B.C. D.11．已知、為非零實數(shù)，若且，則下列不等式成立的是()A. B.C. D.12．如圖為某幾何體的三視圖，則該幾何體中最大的側(cè)面積是（）A.B.C.D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．如圖，在長方體ABCD﹣A'B'C'D'中，點P，Q分別是棱BC，CD上的動點，BC＝4，CD＝3，CC'＝2，直線CC'與平面PQC'所成的角為30°，則△PQC'的面積的最小值是__14．已知橢圓與雙曲線具有相同的焦點，，且在第一象限交于點，設(shè)橢圓和雙曲線的離心率分別為，，若，則的最小值為_______.15．若分別是平面的法向量，且，，，則的值為________.16．已知、是橢圓的兩個焦點，點在橢圓上，且，，則橢圓離心率是___________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（1）記函數(shù)，當(dāng)時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）設(shè)，若存在兩個不同的零點，證明：為自然對數(shù)的底數(shù)）.18．（12分）如圖，四邊形是矩形，平面平面，為中點，，，（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值19．（12分）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知橢圓C：的焦距為4，且過點.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)橢圓C的上頂點為B，右焦點為F，直線l與橢圓交于M，N兩點，問是否存在直線l，使得F為的垂心（高的交點），若存在，求出直線l的方程：若不存在，請說明理由.20．（12分）橢圓的一個頂點為，離心率（1）求橢圓方程；（2）若直線與橢圓交于不同的兩點．若滿足，求直線的方程21．（12分）已知平面直角坐標(biāo)系上一動點滿足：到點的距離是到點的距離的2倍.（1）求點的軌跡方程；（2）若點與點關(guān)于直線對稱，求的最大值.22．（10分）已知橢圓C：的長軸長為4，離心率e是方程的一根（1）求橢圓C的方程；（2）已知O是坐標(biāo)原點，斜率為k的直線l經(jīng)過點，已知直線l與橢圓C相交于點A，B，求面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為對任意的，，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值，再分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求其最大值，即可求得參數(shù)的取值范圍.【詳解】由題可知：對任意的，，都有恒成立，故可得對任意的，；又，則，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，，則當(dāng)時，,.對任意的，，即，恒成立.也即，不妨令，則，故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減.故，則只需.故選：B.2、D【解析】首先分別求直線的斜率，再結(jié)合直線傾斜角與斜率的關(guān)系，即可判斷選項.【詳解】A.直線的斜率；B.直線的斜率；C.直線的斜率；D.直線的斜率，因為，結(jié)合直線的斜率與傾斜角的關(guān)系，可知直線的傾斜角最大.故選：D3、D【解析】根據(jù)雙曲線的定義知，，即可求解.【詳解】由題意，雙曲線，可得焦點坐標(biāo)，根據(jù)雙曲線的定義知，，而，所以或故選：D【點睛】本題主要考查了雙曲線的定義及其應(yīng)用，其中解答中熟記雙曲線的定義，列出方程是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題.4、B【解析】設(shè)，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得，，，，根據(jù)向量數(shù)量積的定義逐一計算，比較可得答案.【詳解】解：設(shè)，因為平面，所以，，，，又底面是正方形，所以，，對于A，；對于B，；對于C，；對于D，，所以數(shù)量積最大的是，故選：B.5、B【解析】先判定兩圓的位置關(guān)系為相離的關(guān)系，然后利用幾何方法得到的取值范圍.【詳解】的圓心為,半徑，的圓心為,半徑，圓心距，∴兩圓相離，∴，故選：B.6、A【解析】構(gòu)造，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及已知條件判斷的單調(diào)性，而題設(shè)不等式等價于即可得解.【詳解】設(shè)，則，∴在R上單調(diào)遞增.又，則.∵等價于，即，∴，即所求不等式的解集為.故選：A7、C【解析】畫出可行域，利用幾何意義求出目標(biāo)函數(shù)最大值.【詳解】畫出圖形，如圖所示：陰影部分即為可行域，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過點時，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.故選：C8、D【解析】求得陰影部分的面積，結(jié)合幾何概型概率計算公式，計算出所求的概率.【詳解】設(shè)正六邊形的邊長為，則其面積為.陰影部分面積為，故所求概率為.故選：D9、C【解析】利用空間向量垂直的坐標(biāo)表示計算即可得解【詳解】因向量，，且，則，解得，所以實數(shù)等于.故選：C10、B【解析】根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義、二次函數(shù)性質(zhì)及對稱軸方程，即可求解參數(shù)取值范圍.【詳解】依題意可得，在上為減函數(shù)，則，即的取值范圍是故選：B【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性定義，二次函數(shù)性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.11、D【解析】作差法即可逐項判斷.【詳解】或，對于A：，∵，無法判斷正負(fù)，故A錯誤；對于B：，∵無法判斷正負(fù)，故B錯誤；對于C：，∵，，∴，，故C錯誤；對于D：，∴，故D正確.故選：D.12、B【解析】由三視圖還原原幾何體，確定幾何體的結(jié)構(gòu)，計算各面面積可得【詳解】由三視圖，原幾何體是三棱錐，平面，，尺寸見三視圖，，，故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】設(shè)三棱錐C﹣C′PQ的高為h，CQ＝x，CP＝y(tǒng)，由體積法求得的關(guān)系，由直線CC’與平面C’PQ成的角為30°，得到xy≥8，再由VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，能求出△PQC'的面積的最小值【詳解】解：設(shè)三棱錐C﹣C′PQ的高為h，CQ＝x，CP＝y(tǒng)，由長方體性質(zhì)知兩兩垂直，所以，，，，，所以，由得，所以，∵直線CC’與平面C’PQ成的角為30°，∴h＝2，∴，，∴xy≥8，再由體積可知：VC﹣C′PQ＝VC′﹣CPQ，得，S△C′PQ＝xy，∴△PQC'的面積的最小值是8故答案為：814、【解析】由題意設(shè)焦距為，橢圓長軸長為，雙曲線實軸為，令在雙曲線的右支上，由已知條件結(jié)合雙曲線和橢圓的定義推出，由此能求出的最小值【詳解】由題意設(shè)焦距為，橢圓長軸長為，雙曲線實軸為，令在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，由橢圓定義，可得，，又，，可得，得，即，可得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，上式取得等號，可得的最小值為故答案為：【點睛】本題考查橢圓和雙曲線的性質(zhì)，主要是離心率，解題時要熟練掌握雙曲線、橢圓的定義，注意均值定理的合理運用15、－1或－2【解析】由題可得，即求.【詳解】依題意，，解得或.故答案為：或.16、【解析】先由，根據(jù)橢圓的定義，求出，，再由余弦定理，根據(jù)，即可列式求出離心率.【詳解】因為點在橢圓上，所以，又，所以，因，在中，由，根據(jù)余弦定理可得，解得（負(fù)值舍去）故答案為：.【點睛】本題主要考查求橢圓的離心率，屬于?？碱}型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減（2）證明見解析【解析】（1）先求導(dǎo)，然后對導(dǎo)數(shù)化簡整理后再解不等式即可得單調(diào)性；（2）要證明，通過求函數(shù)的極值可證明，要證，根據(jù)有兩個不同的零點，將問題轉(zhuǎn)化為證明成立，再通過換元從求函數(shù)的最值上證明.【小問1詳解】因為，所以，令，得或.所以時，或；時，.所以在和上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.【小問2詳解】因為，所以.當(dāng)時，，可得在上單調(diào)遞減，此時不可能存在兩個不同的零點，不符合題意.當(dāng)時，.令，得.當(dāng)時，；當(dāng)時，.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.而當(dāng)時，，時，.所以要使存在兩個不同的零點，則，即，解得.因為存在兩個不同的零點，則，即.不妨設(shè)，則，則，要證，即證，即證，即，.即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，即，所以成立.綜上有.【關(guān)鍵點點睛】解決本題的第（1）問的關(guān)鍵是對導(dǎo)函數(shù)的分子因式分解；解決第（2）問的關(guān)鍵一是分步證明，二是研究函數(shù)的單調(diào)性，三是轉(zhuǎn)化思想的運用，四是換元思想的運用.18、（1）證明見解析；（2）【解析】(1)利用面面垂直的性質(zhì)，證得平面，進而可得，平面即可得證；(2)在平面ABC內(nèi)過點A作Ax⊥AB，以A為原點建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量而得解.【詳解】（1）因為，為中點，所以，因為是矩形，所以，因為平面平面，平面平面，平面，所以平面，因為平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）在平面ABC內(nèi)過點A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以點A為坐標(biāo)原點，分別以，，的方向為軸，軸，軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：則，，，，，則，所以，，，，由（1）知，為平面的一個法向量，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，，所以，所以，因為二面角為銳角，則二面角的余弦值為.【點睛】思路點睛：二面角大小求解時要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角19、（1）（2）存在：【解析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于a，b，c的關(guān)系，計算求值，即可得答案.（2）由（1）可得B、F點坐標(biāo)，可得直線BF的斜率，根據(jù)F為垂心，可得，可得直線l的斜率，設(shè)出直線l的方程，與橢圓聯(lián)立，根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合垂心的性質(zhì)，列式求解，即可得答案.【小問1詳解】因為焦距為4，所以，即，又過點，所以，又，聯(lián)立求得，所以橢圓C的方程為【小問2詳解】由（1）可得，所以，因為F為垂心，直線BF與直線l垂直，所以，則，即直線l的斜率為1，設(shè)直線l的方程為，，與橢圓聯(lián)立得，，所以，因為F為垂心，所以直線BN與直線MF垂直，所以，即，又，所以，即，所以，解得或，由，解得，又時，直線l過點B，不符合題意，所以，所以存在直線l：，滿足題意.20、（1）；（2）【解析】（1）首先由橢圓的一個頂點可以求出的值，再根據(jù)離心率可得到、的關(guān)系，聯(lián)立即可求得的值，進而得到橢圓的方程；（2）先聯(lián)立直線與橢圓，結(jié)合韋達(dá)定理得到線段的中點的坐標(biāo)，再根據(jù)，即可求得的值，進而求得直線的方程【詳解】（1）由一個頂點為，離心率，可得，，，解得，，即有橢圓方程為（2）由知點在線段的垂直平分線上，由，消去得，由，得方程的，即方程有兩個不相等的實數(shù)根設(shè)、，線段的中點，則，所以，所以，即，因為，所以直線的斜率為，由，得，所以，解得：，即有直線的方程為21、（1）（2）【解析】（1）直接法求動點的軌跡方程，設(shè)點，列方程即可.（2）點關(guān)于直線對稱的對稱點問題，可以先求出點到直線的距離最值的兩倍就是的距離，也可以求出點的軌跡方程直接求解的距離.【小問1詳解】設(shè)，由題意，得：，化簡得，所以點軌跡方程為【小問2詳解】方法一：設(shè)，因為點與點關(guān)于點對稱，則點坐標(biāo)為，因為點在圓，即上運動，所以，所