2025屆上海市上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量檢測模擬試題含解析

2025屆上海市上海師范大學(xué)第二附屬中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末質(zhì)量檢測模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．已知全集，集合，集合，則集合為A. B.C. D.2．已知奇函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，則不等式的解集為（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)和，則下列結(jié)論正確的是A.兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱圖形B.兩個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形C.兩個(gè)函數(shù)的最小正周期相同D.兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上都是單調(diào)增函數(shù)4．若過，兩點(diǎn)的直線的傾斜角為，則y等于（）A. B.C.1 D.55．如圖，在正方體中，與平面所成角的余弦值是A. B.C. D.6．如果函數(shù)對任意的實(shí)數(shù)x，都有，且當(dāng)時(shí)，，那么函數(shù)在的最大值為A.1 B.2C.3 D.47．已知集合，，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A.2 B.3C.4 D.58．的值等于A. B.C. D.9．已知扇形的面積為，當(dāng)扇形的周長最小時(shí)，扇形的圓心角為（）A1 B.2C.4 D.810．過點(diǎn)且平行于直線的直線方程為（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．經(jīng)過點(diǎn)P(3,2),且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等的直線方程為（寫出一般式）___12．函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間是__________13．不等式的解集是______14．已知，則___________.（用含a的代數(shù)式表示）15．已知函數(shù)f(x)=(5-a)x-a+1,x<1ax,x≥1，滿足對任意都有成立，那么實(shí)數(shù)16．已知函數(shù)是偶函數(shù)，它在上是減函數(shù)，若滿足，則的取值范圍是___________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，其中，再從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇兩個(gè)作為已知．條件①：；條件②：的最小正周期為；條件③：的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1）求的解析式；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間18．甲乙兩人用兩顆質(zhì)地均勻的骰子（各面依次標(biāo)有數(shù)字1、2、3、4、5、6的正方體）做游戲，規(guī)則如下：若擲出的兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)，則由原投擲人繼續(xù)投擲，否則由對方接著投擲．第一次由甲投擲（1）求第二次仍由甲投擲的概率；（2）求游戲前4次中乙投擲的次數(shù)為2的概率19．已知函數(shù)在區(qū)間上有最大值5和最小值2，求、的值20．已知函數(shù)，（，且）.（1）求的定義域，并判斷函數(shù)的奇偶性；（2）對于，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.21．已知函數(shù)是奇函數(shù)，且；（1）判斷函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性，并給予證明；（2）已知函數(shù)（且），已知在的最大值為2，求的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、C【解析】,選C2、A【解析】由題意可得在單調(diào)遞減，且，從而可得當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，然后分和求出不等式的解集【詳解】因?yàn)槠婧瘮?shù)在上單調(diào)遞減，且，所以在單調(diào)遞減，且，所以當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)或時(shí)，，當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，所以或，解得，當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，所以或，解得或，綜上，不等式的解集為，故選：A3、D【解析】由題意得選項(xiàng)A中，由于的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，的圖象不關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，故A不正確選項(xiàng)B中，由于函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對稱，的圖象關(guān)于直線成軸對稱圖形，故B不正確選項(xiàng)C中，由于的周期為2π，的周期為π，故C不正確選項(xiàng)D中，兩個(gè)函數(shù)在區(qū)間上都是單調(diào)遞增函數(shù)，故D正確選D4、B【解析】根據(jù)斜率的定義和坐標(biāo)表達(dá)式即可求得結(jié)果.【詳解】，.【點(diǎn)睛】本題考查斜率的定義和坐標(biāo)表達(dá)式，注意認(rèn)真計(jì)算，屬基礎(chǔ)題.5、D【解析】連接，設(shè)正方體棱長為1.∵平面，∴∠為與平面所成角.∴故選D6、C【解析】由題意可得的圖象關(guān)于直線對稱，由條件可得時(shí)，為遞增函數(shù)，時(shí)，為遞減函數(shù)，函數(shù)在遞減，即為最大值，由，代入計(jì)算可得所求最大值【詳解】函數(shù)對任意的實(shí)數(shù)x，都有，可得的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)時(shí)，，且為遞增函數(shù)，可得時(shí)，為遞減函數(shù)，函數(shù)在遞減，可得取得最大值，由，則在的最大值為3故選C【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的最值求法，以及函數(shù)對稱性和單調(diào)性，以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，屬于中檔題．將對稱性與單調(diào)性綜合考查一直是命題的熱點(diǎn)，解這種題型往往是根據(jù)函數(shù)在所給區(qū)間上的單調(diào)性，根據(jù)對稱性判斷出函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性(軸對稱函數(shù)在對稱區(qū)間上單調(diào)性相反，中心對稱函數(shù)在對稱區(qū)間單調(diào)性相同)，然后再根據(jù)單調(diào)性求解.7、B【解析】采用列舉法列舉出中元素的即可.【詳解】由題意，，故中元素的個(gè)數(shù)為3.故選：B【點(diǎn)晴】本題主要考查集合的交集運(yùn)算，考查學(xué)生對交集定義的理解，是一道容易題.8、C【解析】因?yàn)?，所以可以運(yùn)用兩角差的正弦公式、余弦公式，求出的值.【詳解】，，，故本題選C.【點(diǎn)睛】本題考查了兩角差的正弦公式、余弦公式、以及特殊角的三角函數(shù)值.其時(shí)本題還可以這樣解：，.9、B【解析】先表示出扇形的面積得到圓心角與半徑的關(guān)系，再利用基本不等式求出周長的最小值，進(jìn)而求出圓心角的度數(shù).【詳解】設(shè)扇形的圓心角為，半徑為，則由題意可得∴，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),即時(shí)取等號，∴當(dāng)扇形的圓心角為2時(shí),扇形的周長取得最小值32.故選：B.10、A【解析】設(shè)直線的方程為，代入點(diǎn)的坐標(biāo)即得解.【詳解】解：設(shè)直線的方程為，把點(diǎn)坐標(biāo)代入直線方程得.所以所求的直線方程為.故選：A二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、x+y-5=0或2x-3y=0【解析】當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，可得其方程為2x﹣3y＝0；當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，可得它的斜率為﹣1，由此設(shè)出直線方程并代入P的坐標(biāo)，可求出其方程為x+y﹣5＝0，最后加以綜合即可得到答案【詳解】當(dāng)直線經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為y＝kx，∵直線經(jīng)過點(diǎn)P（3，2），∴2＝3k，解之得k，此時(shí)的直線方程為yx，即2x﹣3y＝0；當(dāng)直線不經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)方程為x+y+c＝0，將點(diǎn)P（3，2）代入，得3+2+c＝0，解之得c＝﹣5，此時(shí)的直線方程為x+y﹣5＝0綜上所述，滿足條件的直線方程為：2x﹣3y＝0或x+y﹣5＝0故答案為：x+y-5=0或2x-3y=0【點(diǎn)睛】本題給出直線經(jīng)過定點(diǎn)且在兩個(gè)軸上的截距相等，求直線的方程．著重考查了直線的基本量與基本形式等知識，屬于基礎(chǔ)題12、【解析】，在上遞增，在上遞增，在上遞增，在上遞減，復(fù)合函數(shù)的性質(zhì)，可得單調(diào)減區(qū)間是，故答案為.13、【解析】先利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得，再解一元二次不等式即可【詳解】故答案為【點(diǎn)睛】本題考查了指數(shù)不等式和一元二次不等式的解法，屬中檔題14、【解析】利用換底公式化簡，根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則求解即可【詳解】因?yàn)椋怨蚀鸢笧椋?15、【解析】利用求解分段函數(shù)單調(diào)性的方法列出不等式關(guān)系，由此即可求解【詳解】由已知可得函數(shù)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，則需滿足，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為，故答案為：16、【解析】由偶函數(shù)的性質(zhì)可得，再由函數(shù)在上是減函數(shù)，可得，從而可求出的取值范圍【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以可化為，因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以，所以或，解得或，所以的取值范圍是，故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）條件選擇見解析，；（2）單調(diào)遞增區(qū)間為，.【解析】（1）利用三角恒等變換化簡得出.選擇①②：由可求得的值，由正弦型函數(shù)的周期公式可求得的值，可得出函數(shù)的解析式；選擇②③：由正弦型函數(shù)的周期公式可求得的值，由可求得的值，可得出函數(shù)的解析式；選擇①③：由可求得的值，由結(jié)合可求得的值，可得出函數(shù)的解析式；（2）解不等式，可得出函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間.【小問1詳解】解：.選擇①②：因?yàn)椋?，又因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，所以；選擇②③：因?yàn)榈淖钚≌芷跒?，所以，則，又因?yàn)?，所以，所以；選擇①③：因?yàn)?，所以，所以又因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋?，所以【小?詳解】解：依題意，令，，解得，，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，.18、（1）（2）【解析】（1）由題意利用古典概型求概率的計(jì)算公式求得結(jié)果（2）游戲的前4次中乙投擲的次數(shù)為2，包含3種情況，根據(jù)獨(dú)立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式，可計(jì)算結(jié)果【小問1詳解】求第二次仍由甲投，說明第一次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)，所有的情況共有種，其中，擲出的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)的情況有、、、、、，、、、、、，共計(jì)12種情況，故第二次仍由甲投擲的概率為【小問2詳解】由（1）可得擲出的兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)的概率為，所以兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和不為3的倍數(shù)的概率為，游戲的前4次中乙投擲的次數(shù)為2，可能乙投擲的次數(shù)為第二次第三次，則概率為，或第二次第四次，則概率為，或第三次第四次，則概率為，以上三個(gè)事件互斥，所以其概率為.19、，.【解析】利用對稱軸x=1，[1，3]是f（x）的遞增區(qū)間及最大值5和最小值2可以找出關(guān)于a、b的表達(dá)式，求出a、b的值試題解析：依題意，的對稱軸為，函數(shù)在上隨著的增大而增大，故當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最大值，即，當(dāng)時(shí)，該函數(shù)取得最小值，即，即，∴聯(lián)立方程得，解得，.20、（1）定義域?yàn)椋黄婧瘮?shù);（2）時(shí)，；時(shí)，.【解析】（1）由對數(shù)的真數(shù)大于0，解不等式可得定義域；運(yùn)用奇偶性的定義，即可得到結(jié)論；（2）對a討論，，，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，以及參數(shù)分離法，二次函數(shù)的最值求法，可得m的范圍【詳解】（1）由題意，函數(shù)，由，可得或，即定義域?yàn)?；由，即有，可得為奇函?shù)；2對于，恒成立，可得當(dāng)時(shí)，，由可得的最小值，由，可得時(shí)，y取得最小值8，則，當(dāng)時(shí)，，由可得的最大值，由，可得時(shí)，y取得最大值，則，綜上可得，時(shí)，；時(shí)，【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性的判定，以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性的定義，以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的合理應(yīng)用是解答的關(guān)鍵，著重考查了分類討論思想，以及推理與運(yùn)算能力，試題有一定的綜合性，屬于中檔試題.21、（1）函數(shù)在區(qū)間是遞增函數(shù)；證明見解析；（2）或【解析】（1）由奇函數(shù)定義建立方程組可求出，再用定義法證明單調(diào)性即可；（2）根據(jù)