福建省福州四中2025屆數(shù)學高二上期末監(jiān)測模擬試題含解析

福建省福州四中2025屆數(shù)學高二上期末監(jiān)測模擬試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線的左、右焦點分別為，，為坐標原點，為雙曲線在第一象限上的點，直線，分別交雙曲線的左，右支于另一點，，若，且，則雙曲線的離心率為（）A. B.3C.2 D.2．南宋數(shù)學家楊輝在《詳解九章算法》和《算法通變本末》中，提出了一些新的垛積公式，他所討論的高階等差數(shù)列與一般等差數(shù)列不同，前后兩項之差并不相等，而是逐項差數(shù)之差或者高次差相等.對這類高階等差數(shù)列的研究，在楊輝之后一般稱為“垛積術”.現(xiàn)有一個高階等差數(shù)列，其前7項分別為1，5，11，21，37，61，95，則該數(shù)列的第7項為（）A.101 B.99C.95 D.913．對于實數(shù)a，b，c，下列命題為真命題的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則4．已知是空間的一個基底，若，，若，則（）A B.C.3 D.5．記不超過x的最大整數(shù)為，如，.已知數(shù)列的通項公式，則使的正整數(shù)n的最大值為（）A.5 B.6C.15 D.166．若直線l與橢圓交于點A、B,線段的中點為,則直線l的方程為()A. B.C. D.7．已知等比數(shù)列的公比為，則“是遞增數(shù)列”的一個充分條件是（）A. B.C. D.8．已知橢圓C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過點F1作直線l交橢圓C于M，N兩點，則的周長為（）A.3 B.4C.6 D.89．已知拋物線C：，焦點為F，點到在拋物線上，則（）A.3 B.2C. D.10．如圖，在長方體中，，，則直線和夾角的余弦值為（）A. B.C. D.11．拋物線的焦點是A. B.C. D.12．按照小李的閱讀速度，他看完《三國演義》需要40個小時.2021年12月20日，他開始閱讀《三國演義》，當天他讀了20分鐘，從第二天開始，他每天閱讀此書的時間比前一天增加10分鐘，則他恰好讀完《三國演義》的日期為（）A.2022年1月8日 B.2022年1月9日C.2022年1月10日 D.2022年1月11日二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．復數(shù)的共軛復數(shù)是__________14．已知，用割線逼近切線的方法可以求得___________.15．已知點在拋物線上，那么點到點的距離與點到拋物線焦點距離之和取得最小值時，點的坐標為______16．某學生到某工廠進行勞動實踐，利用打印技術制作模型.如圖，該模型為一個大圓柱中挖去一個小圓柱后剩余部分（兩個圓柱底面圓的圓心重合），大圓柱的軸截面是邊長為的正方形，小圓柱的側面積是大圓柱側面積的一半，打印所用原料的密度為，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為________g.（取）三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列滿足各項均不為0，，且，.（1）證明：為等差數(shù)列，并求的通項公式；（2）令，，求.18．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，數(shù)列是等比數(shù)列，，，，.(1)求數(shù)列和的通項公式；(2)若，設數(shù)列的前項和為，求.19．（12分）已知等差數(shù)列的前項和為，，且.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：數(shù)列的前項和.20．（12分）已知極坐標系的極點在直角坐標系的原點處，極軸與軸的正半軸重合，直線的極坐標方程為，曲線的參數(shù)方程是（是參數(shù)）（1）求直線的直角坐標方程及曲線的普通方程；（2）求曲線上的點到直線的距離的最大值21．（12分）已知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0．x2+y2-10x-12y+m=0（1）m取何值時兩圓外切？（2）m取何值時兩圓內(nèi)切？（3）當m=45時，求兩圓公共弦所在直線的方程和公共弦的長22．（10分）已如空間直角標系中，點都在平面內(nèi)，求實數(shù)y的值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】由雙曲線的定義可設，，由平面幾何知識可得四邊形為平行四邊形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由離心率公式可得所求值【詳解】由雙曲線的定義可得，由，可得，，結合雙曲線性質(zhì)可以得到，而，結合四邊形對角線平分，可得四邊形為平行四邊形，結合，故，對三角形，用余弦定理，得到，結合，可得，，，代入上式子中，得到，即，結合離心率滿足，即可得出，故選：D【點睛】本題考查求雙曲線的離心率，熟記雙曲線的簡單性質(zhì)即可，屬于?？碱}型.2、C【解析】根據(jù)所給數(shù)列找到規(guī)律：兩次后項減前項所得數(shù)列為公差為2的數(shù)列，進而反向確定原數(shù)列的第7項.【詳解】根據(jù)所給定義，用數(shù)列的后一項減去前一項得到一個數(shù)列，得到的數(shù)列也用后一項減去前一項得到一個數(shù)列，即得到了一個等差數(shù)列，如圖：故選：C.3、D【解析】判斷不等式的真假，就是要考慮在不等式的變形過程中是否遵守不等式變形的規(guī)則.【詳解】若，令，，，，，故A錯誤；若，令c=0，則，故B錯誤；若，令a=-1，b=-2，，，故C錯誤；∵，故，根據(jù)不等式運算規(guī)則，在不等式的兩邊同時乘以或除以一個正數(shù)，不等式的方向不變，故D正確.故選：D.4、C【解析】由，可得存在實數(shù)，使，然后將代入化簡可求得結果【詳解】，，因為，所以存在實數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C5、C【解析】根據(jù)取整函數(shù)的定義，可求出的值，即可得到答案；【詳解】，，，，，，當時，，使的正整數(shù)n的最大值為，故選：C6、A【解析】用點差法即可獲解【詳解】設.則兩式相減得即因為,線段AB的中點為,所以所以所以直線的方程為,即故選:A7、D【解析】由等比數(shù)列滿足遞增數(shù)列，可進行和兩項關系的比較，從而確定和的大小關系.【詳解】由等比數(shù)列是遞增數(shù)列，若，則，得；若，則，得；所以等比數(shù)列是遞增數(shù)列，或，；故等比數(shù)列是遞增數(shù)列是遞增數(shù)列的一個充分條件為，.故選：D.8、D【解析】由的周長為，結合橢圓的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，如圖所示，根據(jù)橢圓的定義，可得的周長為故選：D.9、D【解析】利用拋物線的定義求解.【詳解】因為點在拋物線上，，解得，利用拋物線的定義知故選：D10、D【解析】如圖建立空間直角坐標系，分別求出的坐標，由空間向量夾角公式即可求解.【詳解】如圖：以為原點，分別以，，所在的直線為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，所以，，所以，所以直線和夾角的余弦值為，故選：D.11、D【解析】先判斷焦點的位置，再從標準型中找出即得焦點坐標.【詳解】焦點在軸上，又，故焦點坐標為，故選D.【點睛】求圓錐曲線的焦點坐標，首先要把圓錐曲線的方程整理為標準方程，從而得到焦點的位置和焦點的坐標.12、B【解析】由等差數(shù)列前n項和列不等式求解即可.【詳解】由題知，每天的讀書時間為等差數(shù)列，首項為20，公差為10，記n天讀完.則40小時=2400分鐘，令，得或（舍去），故，即第21天剛好讀完，日期為2022年1月9日.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】利用復數(shù)除法化簡，由共軛復數(shù)的概念寫出即可.【詳解】，∴.故答案為：14、【解析】根據(jù)導數(shù)的定義直接計算即可【詳解】因為，所以，故答案為：15、【解析】由拋物線定義可得，由此可知當為與拋物線的交點時，取得最小值，進而求得點坐標.【詳解】由題意得：拋物線焦點為，準線為作，垂直于準線，如下圖所示：由拋物線定義知：（當且僅當三點共線時取等號）即的最小值為，此時為與拋物線的交點故答案為【點睛】本題考查拋物線線上的點到焦點的距離與到定點距離之和最小的相關問題的求解，關鍵是能夠熟練應用拋物線定義確定最值取得的位置.16、4500【解析】根據(jù)題意可知大圓柱底面圓的半徑，兩圓柱的高，設小圓柱的底面圓的半徑為，再根據(jù)小圓柱的側面積是大圓柱側面積的一半，求出小圓柱的底面圓的半徑，然后求出該模型的體積，從而可得出答案.【詳解】解：根據(jù)題意可知大圓柱的底面圓的半徑，兩圓柱的高，設小圓柱的底面圓的半徑為，則有，即，解得，所以該模型的體積為，所以制作該模型所需原料的質(zhì)量為.故答案為：4500.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析，，（2）【解析】（1）根據(jù)題意，結合遞推公式，易知，即可求證；（2）根據(jù)題意，結合錯位相減法，即可求解.【小問1詳解】∵，∴，，∴等差數(shù)列，首項為，公差為3.∴，即，.【小問2詳解】根據(jù)題意，得，，①，②①-②得，故.18、（1），；（2）.【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為,根據(jù)題意列出表達式，解出公比和公差，再根據(jù)等差數(shù)等比列的通項公式的求法求出通項即可；（2）根據(jù)第一問得到前n項和，數(shù)列,分組求和即可.解析：(1)設等差數(shù)列的公差為，等比數(shù)列的公比為，∵，，，，∴，∴，，∴，.(2)由(1)知，，∴，∴.19、（1）（2）證明見解析.【解析】（1）設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)題意可得出關于、的方程組，解出這兩個量的值，可得出數(shù)列的通項公式；（2）求得，利用裂項法可求得，即可證得原不等式成立.【小問1詳解】解：設等差數(shù)列的公差為，則，解得，因此，.【小問2詳解】證明：，因此，.故原不等式得證.20、（1）直線的直角坐標方程是，曲線的普通方程是（2）【解析】（1）利用極坐標與直角坐標互化的公式進行求解，消去參數(shù)求出普通方程；（2）設曲線上任一點以，利用點到直線距離公式和輔助角公式進行求解.【小問1詳解】因為，所以，即，將，代入，得直線的直角坐標方程是由得曲線的普通方程是【小問2詳解】設曲線上任一點以，則點到直線的距離當時，，故曲線上的點到直線的距離的最大值為21、（1）（2）（3）直線方程為4x+3y-23=0，弦長為【解析】（1）先把兩個圓的方程化為標準形式，求出圓心和半徑，再根據(jù)兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，求得m的值；（2）由兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之差為，求得m的值．（3）當m=45時，把兩個圓的方程相減，可得公共弦所在的直線方程．求出第一個圓的圓心（1，3）到公共弦所在的直線的距離d，再利用弦長公式求得弦長試題解析：（1）由已知可得兩個圓的方程分別為（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，兩圓的圓心距d==5，兩圓的半徑之和為+，由兩圓的半徑之和為+=5，可得m=（2）由兩圓的圓心距d=="5"等于兩圓的半徑之差為|-|，即|-|=5，可得-="5"（舍去），或-=-5，解得m=（3）當m=45時，兩圓的方程分別為（x-1）2+（y-3）2=