江蘇省鹽城市鹽城中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

江蘇省鹽城市鹽城中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．甲烷是一種有機化合物，分子式為，其在自然界中分布很廣，是天然氣、沼氣的主要成分．如圖所示的為甲烷的分子結(jié)構(gòu)模型，已知任意兩個氫原子之間的距離（H-H鍵長）相等，碳原子到四個氫原子的距離（C-H鍵長）均相等，任意兩個H-C-H鍵之間的夾角為（鍵角）均相等，且它的余弦值為，即，若，則以這四個氫原子為頂點的四面體的體積為（）A. B.C. D.2．橢圓焦距為（）A. B.8C.4 D.3．下列函數(shù)的求導(dǎo)正確的是（）A. B.C. D.4．曲線在點處的切線方程是A. B.C. D.5．若，則x的值為（）A.4 B.6C.4或6 D.86．已知圓錐的表面積為，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則這個圓錐的體積為（）A. B.C. D.7．如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，若，且，則的長為（）A. B.C. D.8．平行六面體中，若，則（）A. B.1C. D.9．在區(qū)間內(nèi)隨機取一個數(shù)，則方程表示焦點在軸上的橢圓的概率是A. B.C. D.10．變量，滿足約束條件則的最小值為()A. B.C. D.511．若雙曲線經(jīng)過點，且它的兩條漸近線方程是，則雙曲線的方程是（）A. B.C. D.12．已知橢圓的左、右焦點分別為，，焦距為，過點作軸的垂線與橢圓相交，其中一個交點為點(如圖所示)，若的面積為，則橢圓的方程為()A B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知命題：平面上一矩形ABCD的對角線AC與邊AB和AD所成角分別為，則，若把它推廣到空間長方體中，體對角線與平面，平面，平面所成的角分別為，則可以類比得到的結(jié)論為___________________.14．已知，為橢圓C的焦點，點P在橢圓C上，，則的面積為___________.15．已知，若三個數(shù)成等差數(shù)列，則_________；若三個數(shù)成等比數(shù)列，則__________16．已知雙曲線與橢圓有公共的左、右焦點分別為，，以線段為直徑的圓與雙曲線C及其漸近線在第一象限內(nèi)分別交于M，N兩點，且線段的中點在另一條漸近線上，則的面積為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在一個盒子中裝有四個形狀大小完全相同的球，球的編號分別為1，2，3，4，先從盒子中隨機取出一個球，該球的編號記為，將球放回盒子中，然后再從盒子中隨機取出一個球，該球的編號記為.（1）寫出試驗的樣本空間；（2）求“”的概率.18．（12分）在空間直角坐標系Oxyz中，O為原點，已知點，，，設(shè)向量，.（1）求與夾角的余弦值；（2）若與互相垂直，求實數(shù)k的值.19．（12分）如圖，在三棱錐P-ABC中，△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點.（1）證明：PO⊥平面ABC；（2）若點M在棱BC上，且，求平面MAP與平面CAP所成角的大小.20．（12分）已知拋物線C：，過點且斜率為k的直線與拋物線C相交于P，Q兩點.（1）設(shè)點B在x軸上，分別記直線PB，QB的斜率為.若，求點B的坐標；（2）過拋物線C的焦點F作直線PQ的平行線與拋物線C相交于M，N兩點，求的值.21．（12分）設(shè)等差數(shù)列的前n項和為，已知（1）求數(shù)列通項公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前n項和為．定義為不超過x的最大整數(shù)，例如．當(dāng)時，求n的值22．（10分）某中醫(yī)藥研究所研制出一種新型抗過敏藥物，服用后需要檢驗血液抗體是否為陽性，現(xiàn)有n（n∈N*）份血液樣本，每個樣本取到的可能性均等，有以下兩種檢驗方式：①逐份檢驗，需要檢驗n次；②混合檢驗，將其中k（k∈N*，2≤k≤n）份血液樣本分別取樣混合在一起檢驗，若結(jié)果為陰性，則這k份的血液全為陰性，因而這k份血液樣本只需檢驗一次就夠了，若檢驗結(jié)果為陽性，為了明確這k份血液究竟哪份為陽性，就需要對這k份再逐份檢驗，此時這k份血液的檢驗次數(shù)總共為k+1次.假設(shè)在接受檢驗的血液樣本中，每份樣本的檢驗結(jié)果是陽性還是陰性都是相互獨立的，且每份樣本是陽性的概率為p（0＜p＜1）.（1）假設(shè)有5份血液樣本，其中只有兩份樣本為陽性，若采取逐份檢驗的方式，求恰好經(jīng)過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來的概率.（2）現(xiàn)取其中的k（k∈N*，2≤k≤n）份血液樣本，采用逐份檢驗的方式，樣本需要檢驗的次數(shù)記為ξ1；采用混合檢驗的方式，樣本需要檢驗的總次數(shù)記為ξ2.（i）若k＝4，且，試運用概率與統(tǒng)計的知識，求p的值；（ii）若，證明：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】利用余弦定理求得，計算出正四面體的高，從而計算出正四面體的體積.【詳解】設(shè)，則由余弦定理知：，解得，故該正四面體的棱長均為由正弦定理可知：該正四面體底面外接圓的半徑，高故該正四面體的體積為故選：A2、A【解析】由題意橢圓的焦點在軸上，故，求解即可【詳解】由題意，，故橢圓的焦點在軸上故焦距故選：A3、B【解析】對各個選項進行導(dǎo)數(shù)運算驗證即可.【詳解】，故A錯誤；，故B正確；，故C錯誤；，故D錯誤.故選：B4、D【解析】先求導(dǎo)數(shù)，得切線的斜率，再根據(jù)點斜式得切線方程.【詳解】，選D.點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)幾何意義以及直線點斜式方程，考查基本求解能力，屬基礎(chǔ)題.5、C【解析】根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)可求解.【詳解】,或，即或.故選：C6、D【解析】設(shè)圓錐的半徑為，母線長，根據(jù)已知條件求出、的值，可求得該圓錐的高，利用錐體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐的半徑為，母線長，因為側(cè)面展開圖是一個半圓，則，即，又圓錐的表面積為，則，解得，，則圓錐的高，所以圓錐的體積，故選：D.7、D【解析】由向量線性運算得，利用數(shù)量積的定義和運算律可求得，由此可求得.【詳解】由題意得：，，且，又，，，，.故選：D.8、D【解析】根據(jù)空間向量的運算，表示出，和已知比較可求得的值，進而求得答案.【詳解】在平行六面體中，有，故由題意可知：，即，所以，故選：D.9、D【解析】若方程表示焦點在軸上的橢圓，則，解得，，故方程表示焦點在軸上的橢圓的概率是，故選D.10、A【解析】根據(jù)不等式組，作出可行域，數(shù)形結(jié)合即可求z的最小值.【詳解】根據(jù)不等式組作出可行域如圖，，則直線過A(－1，0)時，z取最小值.故選：A.11、A【解析】根據(jù)雙曲線漸近線方程設(shè)出方程，再由其過的點即可求解.【詳解】漸近線方程是，設(shè)雙曲線方程為，又因為雙曲線經(jīng)過點，所以有，所以雙曲線方程為，化為標準方程為.故選：A12、A【解析】由題意可得，令，可得，再由三角形的面積公式，解方程可得，，即可得到所求橢圓的方程【詳解】由題意可得，即，即有，令，則，可得，則，即，解得，，∴橢圓的方程為故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先由線面角的定義得到，再計算的值即可得到結(jié)論【詳解】在長方體中，連接，在長方體中，平面，所以對角線與平面所成的角為，對角線與平面所成的角為,對角線與平面所成的角為，顯然，，，所以,，故答案為：14、##【解析】設(shè)，然后根據(jù)橢圓的定義和余弦定理列方程組可求出，再由三角形的面積公式可求得結(jié)果【詳解】由，得，則，設(shè)，則，在中，，由余弦定理得，，所以，所以，所以，所以，故答案為：15、①.4②.【解析】由等差中項與等比中項計算即可.【詳解】若a，b，c三個數(shù)成等差數(shù)列.所以.若a，b，c三個數(shù)成等比數(shù)列.所以故答案為：4，.16、【解析】求出橢圓焦點坐標，即雙曲線焦點坐標，即雙曲線的半焦距，再求出點坐標，利用中點在漸近線上得出的關(guān)系式，從而求得，然后可計算面積【詳解】由題意橢圓中，即，以線段為直徑的圓的方程為，由，解得（取第一象限交點坐標），，雙曲線的不在第一象限的漸近線方程為，，的中點坐標為，它在漸近線上，所以，化簡得，又，所以，雙曲線方程為，則得，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）見解析（2）【解析】（1）利用列舉法列出試驗的樣本空間，（2）由（1）可知共有16種情況，其中和為5的有4種，然后利用古典概型的概率公式求解即可【小問1詳解】由題意可知試驗的樣本空間為：（1，1），（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，2），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，3），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），（4，4）【小問2詳解】由（1）可知共有16種等可能情況，其中滿足的有：（1，4），（2，3），（3，2），（4，1），4種，所以“”的概率為18、（1）（2）【解析】（1）由向量的坐標先求出，，，由向量的夾角公式可得答案.（2）由題意可得，從而求出參數(shù)的值【小問1詳解】由題，，，故，，，所以故與夾角余弦值為.【小問2詳解】由與的互相垂直知，，，即19、（1）證明見解析（2）【解析】（1）接BO，由是等邊三角形得，由得出，再利用線面垂直的判斷定理可得平面；（2）建立以為坐標原點，分別為軸的空間直角坐標系，求出平面的法向量、平面的法向量，利用二面角的向量求法可得答案.【小問1詳解】連接BO，由已知△ABC是以AC為底的等腰直角三角形，且PA=PB=PC=AC=4，O為AC的中點，則是等邊三角形，，，在中，，滿足，即是直角三角形，則，又，平面，所以平面.【小問2詳解】建立以為坐標原點，分別為軸的空間直角坐標系如圖所示，則，，，，則平面的法向量為，由已知，得到點坐標，，設(shè)平面的法向量則，令，則，即，設(shè)平面MAP與平面CAP所成角為，則，則平面MAP與平面CAP所成角為.20、（1）（2）【解析】（1）直線的方程為，其中，聯(lián)立直線與拋物線方程，由韋達定理結(jié)合已知條件可求得點的坐標；（2）直線的方程為，利用傾斜角定義知，，聯(lián)立直線與拋物線方程，利用弦長公式求得，進而得解.小問1詳解】由題意，直線的方程為，其中.設(shè)，聯(lián)立，消去得..，，即.，即.，，∴點的坐標為.【小問2詳解】由題意，直線的方程為，其中，為傾斜角，則，設(shè).聯(lián)立，消去得...21、（1）（2）10【解析】（1）由等差數(shù)列的前項和公式求得公差，可得通項公式；（2）用裂項相消法求和求得，根據(jù)新定義求得，然后分組，結(jié)合等差數(shù)列的前項和公式計算后解方程可得【小問1詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為d，因為，則.因為，則，得.所以數(shù)列的通項公式是【小問2詳解】因為，則所以.當(dāng)時，因為，則.當(dāng)時，因為，則.因為，則，即，即，即．因為，所以22、（1）；（2）（i）；（ii）證明見解析.【解析】（1）設(shè)恰好經(jīng)過3次檢驗就能把陽性樣本全部檢驗出來為事件A