甘肅省天水市第三中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題含解析

甘肅省天水市第三中學(xué)2025屆數(shù)學(xué)高二上期末達(dá)標(biāo)檢測(cè)試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．連續(xù)拋擲一枚硬幣3次，觀察正面出現(xiàn)的情況，事件“至少2次出現(xiàn)正面”的對(duì)立事件是（）A.只有2次出現(xiàn)反面 B.至多2次出現(xiàn)正面C.有2次或3次出現(xiàn)正面 D.有2次或3次出現(xiàn)反面2．斗笠，用竹篾夾油紙或竹葉粽絲等編織，是人們遮陽(yáng)光和雨的工具.某斗笠的三視圖如圖所示（單位：），若該斗笠水平放置，雨水垂直下落，則該斗笠被雨水打濕的面積為（）A. B.C. D.3．若，則（）A B.C. D.4．若，則下列等式一定成立的是（）A. B.C. D.5．設(shè)是雙曲線的兩個(gè)焦點(diǎn),是雙曲線上的一點(diǎn),且,則的面積等于（）A. B.C.24 D.486．已知，，，執(zhí)行如圖所示的程序框圖，輸出值為（）A. B.C. D.7．已知橢圓C：的左，右焦點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線l與橢圓C相交于M，N兩點(diǎn)．其中M在第一象限．，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）A. B.C. D.8．《鏡花緣》是清代文人李汝珍創(chuàng)作的長(zhǎng)篇小說(shuō)，書中有這樣一個(gè)情節(jié)：一座樓閣到處掛滿了五彩繽紛的大小燈球，燈球有兩種，一種是大燈下綴2個(gè)小燈，另一種是大燈下綴4個(gè)小燈，大燈共360個(gè)，小燈共1200個(gè).若在這座樓閣的燈球中，隨機(jī)選取一個(gè)燈球，則這個(gè)燈球是大燈下綴4個(gè)小燈的概率為A. B.C. D.9．設(shè)，，，…，，，則（）A. B.C. D.10．瑞士數(shù)學(xué)家歐拉1765年在其所著的《三角形的幾何學(xué)》一書中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一條直線上，后人稱這條直線為歐拉線.已知的頂點(diǎn)，，其歐拉線方程為，則頂點(diǎn)的坐標(biāo)可以是（）A. B.C. D.11．已知是空間的一個(gè)基底，若，，若，則（）A. B.C.3 D.12．“”是“函數(shù)在上有極值”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則的值為__________.14．如圖，已知底面為正方形且各側(cè)棱均相等的四棱錐可繞著任意旋轉(zhuǎn)，平面，分別是的中點(diǎn)，，，點(diǎn)在平面上的射影為點(diǎn)，則當(dāng)最大時(shí)，二面角的大小是________15．已知函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為___________.16．曲線在處的切線斜率為___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）已知數(shù)列是公差為2的等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和為Sn，且成等比數(shù)列.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前n項(xiàng)和.18．（12分）已知數(shù)列是公差不為0的等差數(shù)列，數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列，是，的等比中項(xiàng)，，.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19．（12分）已知圓的圓心為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn).（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）已知直線與圓相交于、兩點(diǎn)，求.20．（12分）已知函數(shù)（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)），（），.（1）若直線與函數(shù)，的圖象都相切，求a的值；（2）若方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，求a的取值范圍.21．（12分）已知集合，（1）若，求m的取值范圍；（2）若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，求m的取值范圍22．（10分）已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)和，且圓心在直線上（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）直線過(guò)點(diǎn)，且與圓相切，求直線的方程；（3）設(shè)直線與圓相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)為圓上的一動(dòng)點(diǎn)，求的面積的最大值

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】根據(jù)對(duì)立事件的定義即可得出結(jié)果.【詳解】對(duì)立事件是指事件A和事件B必有一件發(fā)生，連續(xù)拋擲一枚均勻硬幣3次，“至少2次出現(xiàn)正面”即有2次或3次出現(xiàn)正面，對(duì)立事件為0次或1次出現(xiàn)正面，即“有2次或3次出現(xiàn)反面”故選：D2、A【解析】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環(huán)組成的幾何體，則所求面積積為圓錐的側(cè)面積與圓環(huán)的面積之和【詳解】根據(jù)三視圖可知，該幾何體是由一個(gè)底面半徑為10，高為20的圓錐和寬度為20的圓環(huán)組成的幾何體，所以該斗笠被雨水打濕的面積為，故選：A3、D【解析】直接利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可【詳解】因?yàn)?，所以，故選：D4、D【解析】利用復(fù)數(shù)除法運(yùn)算和復(fù)數(shù)相等可用表示出，進(jìn)而得到之間關(guān)系.【詳解】，，，則.故選：D.5、C【解析】雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)為2,焦距為.根據(jù)題意和雙曲線的定義知,所以,,所以,所以.所以.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了焦點(diǎn)三角形以及橢圓的定義運(yùn)用,屬于基礎(chǔ)題型.6、A【解析】模擬程序運(yùn)行可得程序框圖的功能是計(jì)算并輸出三個(gè)數(shù)中的最小數(shù)，計(jì)算三個(gè)數(shù)判斷作答.【詳解】模擬程序運(yùn)行可得程序框圖的功能是計(jì)算并輸出三個(gè)數(shù)中的最小數(shù)，因，，，則，不成立，則，不成立，則，所以應(yīng)輸出的x值為.故選：A7、D【解析】由題設(shè)易知四邊形為矩形，可得，結(jié)合已知條件有即可求橢圓C的離心率的取值范圍.【詳解】由橢圓的對(duì)稱性知：，而，又，即四邊形為矩形，所以，則且M在第一象限，整理得，所以，又即，綜上，，整理得，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由橢圓的對(duì)稱性及矩形性質(zhì)可得，由已知條件得到，進(jìn)而得到橢圓參數(shù)的齊次式求離心率范圍.8、B【解析】設(shè)大燈下綴2個(gè)小燈為個(gè)，大燈下綴4個(gè)小燈有個(gè)，根據(jù)題意求得，再由古典概型及其概率的公式，即可求解【詳解】設(shè)大燈下綴2個(gè)小燈為個(gè)，大燈下綴4個(gè)小燈有個(gè)，根據(jù)題意可得，解得，則燈球的總數(shù)為個(gè)，故這個(gè)燈球是大燈下綴4個(gè)小燈的概率為，故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了古典概型及其概率的計(jì)算，其中解答中根據(jù)題意列出方程組，求得兩種燈球的數(shù)量是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題9、B【解析】根據(jù)已知條件求得的規(guī)律，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】，，，，，……，以此類推，，所以.故選：B10、C【解析】設(shè)出點(diǎn)C坐標(biāo)，求出的重心并代入歐拉線方程，驗(yàn)證并排除部分選項(xiàng)，余下選項(xiàng)再由外心、垂心驗(yàn)證判斷作答.【詳解】設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的重心坐標(biāo)為，依題意，，整理得：，對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，排除A；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，不滿足題意，排除D；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，直線AB的斜率，線段AB中點(diǎn)，線段AB中垂線方程：，即，由解得：，于是得的外心，若點(diǎn)，則直線BC的斜率，線段BC中點(diǎn)，該點(diǎn)與點(diǎn)M確定直線斜率為，顯然，即點(diǎn)M不在線段BC的中垂線上，不滿足題意，排除B；若點(diǎn)，則直線BC的斜率，線段BC中點(diǎn)，線段BC中垂線方程為：，即，由解得，即點(diǎn)為的外心，并且在直線上，邊AB上的高所在直線：，即，邊BC上的高所在直線：，即，由解得：，則的垂心，此時(shí)有，即的垂心在直線上，選項(xiàng)C滿足題意.故選：C【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：的三頂點(diǎn)，則的重心為.11、C【解析】由，可得存在實(shí)數(shù)，使，然后將代入化簡(jiǎn)可求得結(jié)果【詳解】，，因，所以存在實(shí)數(shù)，使，所以，所以，所以，得，，所以，故選：C12、B【解析】對(duì)求導(dǎo)，取得函數(shù)在上有極值的等價(jià)條件，再根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可【詳解】解：，則，令，可得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，函數(shù)在處取得極小值，若函數(shù)在上有極值，則，，因?yàn)?，但是由推不出，因此是函?shù)在上有極值的必要不充分條件故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】由題知，進(jìn)而根據(jù)向量數(shù)量積運(yùn)算的坐標(biāo)表示求解即可.【詳解】解：因?yàn)橄蛄?，所以，所以故答案為?4、##【解析】先計(jì)算得到二面角的大小為60°，設(shè)二面角C-AB-O的大小為，則，計(jì)算得到答案.【詳解】解：由題可得，，因?yàn)榉謩e是的中點(diǎn)，所以，，又，所以平面因?yàn)?，所?所以二面角為，設(shè)二面角的大小為，即，則，在中，利用余弦定理得到：，故當(dāng)時(shí)，取得最大值.故答案為：15、【解析】由題意可得與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，經(jīng)判斷時(shí)不符合題意，當(dāng)時(shí)，時(shí)，兩個(gè)函數(shù)圖象有一個(gè)交點(diǎn)，可得時(shí)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，等價(jià)于與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，對(duì)求導(dǎo)，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】令可得，若函數(shù)函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則可得方程有三個(gè)根，即與的圖象有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作出的圖象如圖：當(dāng)時(shí)，是以為頂點(diǎn)開口向下的拋物線，此時(shí)與的圖象沒有交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，與的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時(shí)，時(shí)，與的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，所以時(shí)與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，即方程有兩個(gè)不等的實(shí)根，可得與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，令，則，由即可得，由即可得，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，作出其圖象如圖：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，可得與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，即時(shí)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.16、##【解析】首先求得的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線的斜率.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為，所以可得在處的切線斜率，故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2）【解析】（1）由題意可得，從而可求出，進(jìn)而可求得的通項(xiàng)公式；（2）由（1）可得，然后利用裂項(xiàng)相消求和法可求得結(jié)果【詳解】（1）因?yàn)閿?shù)列是公差為2的等差數(shù)列，且成等比數(shù)列，所以即，解得，所以；（2）由（1）得，所以.18、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)是，的等比中項(xiàng)，且，，由求解；（2）由（1）得到，再利用錯(cuò)位相減法求解.【小問1詳解】解：因?yàn)槭?，的等比中?xiàng)，且，，所以，解得，，所以；【小問2詳解】由（1）得，所以，則，兩式相減得，，，所以.19、（1）；（2）.【解析】（1）求出圓的半徑長(zhǎng)，結(jié)合圓心坐標(biāo)可得出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）求出圓心到直線的距離，利用勾股定理可求得.小問1詳解】解：圓的半徑為，因此，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】解：圓心到直線的距離為，因此，.20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義進(jìn)行求解即可；（2）利用常變量分離法，通過(guò)構(gòu)造新函數(shù)，由方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解問題，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)問題，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】設(shè)曲線的切點(diǎn)坐標(biāo)為，由，所以過(guò)該切點(diǎn)的切線的斜率為，因此該切線方程為：，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象相切，所以，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象相切，且函數(shù)過(guò)原點(diǎn)，所以曲線的切點(diǎn)為，于是有，即；【小問2詳解】由可得：，當(dāng)時(shí)，顯然不成立，當(dāng)時(shí)，由，設(shè)函數(shù)，，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最小值，最小值為，而，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)圖象如下圖所示：方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)的圖象，在當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，由圖象可知：，故a的取值范圍為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用常變量分離法，結(jié)合轉(zhuǎn)化法進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵.21、（1）（2）【解析】（1）先求出，由得到，得到不等式組，求出m的取值范圍；（2）根據(jù)充分不必要條件得到是的真子集，分與兩種情況進(jìn)行求解，求得m的取值范圍.【小問1詳解】，解得：，故，因?yàn)?，所以，故，解得：，所以m的取值范圍是.【小問2詳解】若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要條件，則是的真子集，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，需要滿足：或，解得：綜上：m取值范圍是22、（1）（2）或（3）【解析】（1）解法一，根據(jù)題意設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，進(jìn)而待定系數(shù)法求解即可；解法二：由題知圓心在線段的垂直平分線上，進(jìn)而結(jié)合題意得圓的圓心與半徑，寫