專題8.4 直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題8.4直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系【十大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1直線與圓的位置關(guān)系的判斷】 5【題型2弦長(zhǎng)問(wèn)題】 7【題型3切線問(wèn)題、切線長(zhǎng)問(wèn)題】 9【題型4圓上的點(diǎn)到直線距離個(gè)數(shù)問(wèn)題】 11【題型5面積問(wèn)題】 13【題型6直線與圓位置關(guān)系中的最值問(wèn)題】 15【題型7直線與圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題】 18【題型8圓與圓的位置關(guān)系】 23【題型9兩圓的公共弦問(wèn)題】 25【題型10兩圓的公切線問(wèn)題】 261、直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)能根據(jù)給定直線、圓的方程，判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系(2)能用直線和圓的方程解決一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)問(wèn)題與實(shí)際問(wèn)題2022年新高考全國(guó)I卷：第14題，5分2023年新高考I卷：第6題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第15題，5分2023年全國(guó)乙卷（理數(shù)）：第12題，5分2024年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第10題，5分直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來(lái)看，直線與圓結(jié)合命題時(shí)，主要考察直線與圓的位置關(guān)系、圓的弦長(zhǎng)等，多以選擇題或填空題的形式考查，難度不大；有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在壓軸題的位置，此時(shí)多與圓錐曲線相結(jié)合，難度較大，需要學(xué)會(huì)靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系】1．直線與圓的位置關(guān)系及判定方法(1)直線與圓的位置關(guān)系及方程組的情況如下：位置相交相切相離交點(diǎn)個(gè)數(shù)兩個(gè)一個(gè)零個(gè)圖形d與r的關(guān)系d<rd=rd>r方程組

解的情況有兩組不

同的解僅有一組解無(wú)解(2)直線與圓的位置關(guān)系的判定方法

①代數(shù)法：通過(guò)聯(lián)立直線方程與圓的方程組成方程組，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)來(lái)研究，若有兩組不同的實(shí)數(shù)解，即>0，則直線與圓相交；若有兩組相同的實(shí)數(shù)解，即=0，則直線與圓相切；若無(wú)實(shí)數(shù)解，即<0，則直線與圓相離.

②幾何法：由圓心到直線的距離d與半徑r的大小來(lái)判斷，當(dāng)d<r時(shí)，直線與圓相交；當(dāng)d=r時(shí)，直線與圓相切；當(dāng)d>r時(shí)，直線與圓相離.2．圓的弦長(zhǎng)問(wèn)題設(shè)直線l的方程為y=kx+b，圓C的方程為，求弦長(zhǎng)的方法有以下幾種：

(1)幾何法

如圖所示，半徑r、圓心到直線的距離d、弦長(zhǎng)l三者具有關(guān)系式：.(2)代數(shù)法

將直線方程與圓的方程組成方程組，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)分別為A,B.

①若交點(diǎn)坐標(biāo)簡(jiǎn)單易求，則直接利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解.

②若交點(diǎn)坐標(biāo)無(wú)法簡(jiǎn)單求出，則將方程組消元后得一元二次方程，由一元二次方程中根與系數(shù)的關(guān)系可得或的關(guān)系式，通常把或叫作弦長(zhǎng)公式.【知識(shí)點(diǎn)2圓與圓的位置關(guān)系】1．圓與圓的位置關(guān)系及判斷方法(1)圓與圓的位置關(guān)系圓與圓有五種位置關(guān)系：外離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含，其中外離和內(nèi)含統(tǒng)稱為相離，外切和內(nèi)切統(tǒng)稱為相切.(2)圓與圓的位置關(guān)系的判定方法

①利用圓心距和兩圓半徑比較大小(幾何法)：

設(shè)兩圓與的圓心距為d，則d=，兩圓的位置關(guān)系表示如下：位置關(guān)系關(guān)系式圖示公切線條數(shù)外離d>r1+r2四條外切d=r1+r2三條相交|r1-r2|<d<r1+r2兩條內(nèi)切d=|r1-r2|一條內(nèi)含0≤d<|r1-r2|無(wú)②代數(shù)法：聯(lián)立兩圓方程，根據(jù)方程組解的個(gè)數(shù)即可作出判斷.

當(dāng)>0時(shí)，兩圓有兩個(gè)公共點(diǎn)，相交；當(dāng)=0時(shí)，兩圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，包括內(nèi)切與外切；當(dāng)<0時(shí)，兩圓無(wú)公共點(diǎn)，包括內(nèi)含與外離.2．兩圓的公共弦問(wèn)題(1)求兩圓公共弦所在的直線的方程的常用方法兩圓相交時(shí)，有一條公共弦，如圖所示.設(shè)圓:，①

圓:，②

①-②，得，③

若圓與圓相交，則③為兩圓公共弦所在的直線的方程.若為圓與圓的交點(diǎn)，則點(diǎn)滿足且，所以.即點(diǎn)適合直線方程，故在③所對(duì)應(yīng)的直線上，③表示過(guò)兩圓與交點(diǎn)的直線，即公共弦所在的直線的方程.(2)求兩圓公共弦長(zhǎng)的方法

①代數(shù)法：將兩圓的方程聯(lián)立，解出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式求公共弦長(zhǎng).

②幾何法：求出公共弦所在直線的方程，利用圓的半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成的直角三角形，由勾股定理求出公共弦長(zhǎng).3．兩圓的公切線(1)兩圓公切線的定義

兩圓的公切線是指與兩圓相切的直線，可分為外公切線和內(nèi)公切線.

(2)兩圓的公切線位置的5種情況①外離時(shí)，有4條公切線，分別是2條外公切線，2條內(nèi)公切線；

②外切時(shí)，有3條公切線，分別是2條外公切線，1條內(nèi)公切線；

③相交時(shí)，有2條公切線，都是外公切線；

④內(nèi)切時(shí)，有1條公切線；

⑤內(nèi)含時(shí)，無(wú)公切線.

判斷兩圓公切線的條數(shù),實(shí)質(zhì)就是判斷兩圓的位置關(guān)系。

(3)求兩圓公切線方程的方法

求兩圓的公切線方程時(shí)，首先要判斷兩圓的位置關(guān)系，從而確定公切線的條數(shù)，然后利用待定系數(shù)法，設(shè)公切線的方程為y=kx+b，最后根據(jù)相切的條件，得到關(guān)于k,b的方程組，求出k,b的值即可.要注意公切線的斜率可能不存在.【知識(shí)點(diǎn)3與圓有關(guān)的最值問(wèn)題的解題策略】1．解與圓有關(guān)的最值問(wèn)題(1)利用圓的幾何性質(zhì)求最值的問(wèn)題

求圓上點(diǎn)到直線的最大值、最小值，需過(guò)圓心向直線作垂線.

①如圖2-5-1-4①，當(dāng)直線l與圓C相交時(shí)，最小距離為0，最大距離為AD=r+d.其中r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離；②如圖2-5-1-4②，當(dāng)直線l與圓C相切時(shí)，最小距離為0，最大距離為AD=2r；③如圖2-5-1-4③，當(dāng)直線l與圓C相離時(shí)，最小距離為BD=d-r，最大距離為AD=d+r.(2)利用直線與圓的位置關(guān)系解決最值(取值范圍)問(wèn)題

解析幾何中的最值問(wèn)題一般是根據(jù)條件列出所求目標(biāo)——函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)函數(shù)關(guān)系式的特征選用參數(shù)法、配方法、判別式法等，應(yīng)用不等式求出其最值(取值范圍).對(duì)于圓的最值問(wèn)題，要利用圓的特殊幾何性質(zhì)，根據(jù)式子的幾何意義求解，這常常是簡(jiǎn)化運(yùn)算的最佳途徑.

①形如u=的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線斜率的最值問(wèn)題.②形如t=ax+by的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)直線截距的最值問(wèn)題.

③形如的最值問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方的最值問(wèn)題.

(3)經(jīng)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)弦就是經(jīng)過(guò)這點(diǎn)的直徑，過(guò)這點(diǎn)和最長(zhǎng)弦垂直的弦就是最短弦.【方法技巧與總結(jié)】1．圓的切線方程常用結(jié)論(1)過(guò)圓x2+y2=r2上一點(diǎn)P(x0,y0)的圓的切線方程為x0x+y0y=r2.(2)過(guò)圓x2+y2=r2外一點(diǎn)M(x0,y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在直線方程為x0x+y0y=r2.2．圓與圓的位置關(guān)系的常用結(jié)論兩圓相交時(shí)，其公共弦所在的直線方程由兩圓方程相減得到.【題型1直線與圓的位置關(guān)系的判斷】【例1】（2024·山東淄博·二模）若圓C:x2+2x+y2?3=0，則直線l:mx+y=0與圓C的位置關(guān)系是（）A．相交 B．相切C．相離 D．相交或相切【解題思路】直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，然后證明定點(diǎn)在圓內(nèi)可判斷.【解答過(guò)程】l:mx+y=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)故直線l:mx+y=0與圓故選：A.【變式1-1】（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）“k=125”是“直線kx?y+1+k=0與圓(x?2)2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑得到方程，求出k=0或k=12【解答過(guò)程】圓(x?2)2+(y?3)所以點(diǎn)2,3到直線kx?y+1+k=0的距離為2k?3+1+kk解得k=0或k=12故“k=125”是“直線kx?y+1+k=0與圓故選：A．【變式1-2】（2024·安徽·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l:x+1+ay=2?a，圓C:xA．相離 B．相切 C．相交 D．不確定【解題思路】根據(jù)題意可得直線l表示過(guò)定點(diǎn)A3,?1，且除去y=?1的直線，點(diǎn)A在圓上，可判斷直線l與圓C【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€l:x+1+ay=2?a，即當(dāng)y+1=0時(shí)，x+y?2=0，解得x=3y=?1所以直線l表示過(guò)定點(diǎn)A3,?1，且除去y=?1將圓C的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為x?32+y+22=1所以直線l與圓C可能相交，可能相切，相切時(shí)直線l為y=?1，不合題意，所以直線l與圓C相交.故選：C.【變式1-3】（2024·北京大興·三模）已知直線l:y=kx+1與圓C:x+12+y2=r2r>0，則“?k∈RA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】利用直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法，當(dāng)?k∈R，直線l與圓C有公共點(diǎn)時(shí)，1?k1+k2【解答過(guò)程】易知圓C:x+12+y2當(dāng)?k∈R，直線l與圓C有公共點(diǎn)時(shí)，1?k1+k2則r2?1>0且Δ=4?4(r2?1)所以“?k∈R，直線l與圓C有公共點(diǎn)”是“r>2故選：B.【題型2弦長(zhǎng)問(wèn)題】【例2】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）直線l:x+y=1，圓C:x2+y2?2x?2y?2=0.則直線A．2 B．23 C．27 【解題思路】先將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式，求出圓心坐標(biāo)與圓的半徑，再求出圓心到直線的距離，最終利用勾股定理即可求解.【解答過(guò)程】圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x?12由此可知圓C的半徑為r=2，圓心坐標(biāo)為C1,1所以圓心C1,1到直線l:x+y=1的距離為d=所以直線被圓截得的弦長(zhǎng)為2r故選：D.【變式2-1】（2024·貴州六盤水·三模）已知直線ax?y+2=0與圓x?12+y2=4相交于A，BA．43 B．1 C．?3【解題思路】首先求出圓心到直線的距離，進(jìn)一步利用垂徑定理建立等量關(guān)系式，最后求出a的值．【解答過(guò)程】圓x?12+y2=4與直線ax?y+2=0與相交于A則圓心1,0到直線ax?y+2=0的距離d=a+2利用垂徑定理得d2+32=4故選：C．【變式2-2】（2024·北京豐臺(tái)·一模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l:ax+by=1上有且僅有一點(diǎn)P，使OP=1，則直線l被圓C:x2A．1 B．3 C．2 D．2【解題思路】利用垂徑定理直接求解即可.【解答過(guò)程】由題意知：坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離d=1；∵圓C的圓心為O0,0，半徑r=2，∴l(xiāng)被圓C截得的弦長(zhǎng)為2故選：D.【變式2-3】（2024·湖南婁底·一模）已知圓C:(x?1)2+(y+2)2=16，過(guò)點(diǎn)D0,1的動(dòng)直線l與圓C相交于M,NA．4x+3y?3=0 B．3x?4y+4=0C．x=0或4x+3y?3=0 D．4x+3y?3=0或3x?4y+4=0.【解題思路】考慮直線l與x軸垂直和不垂直兩種情況，斜率不存在時(shí)，滿足要求，斜率存在時(shí)，設(shè)出直線方程，利用點(diǎn)到直線距離公式得到方程，求出答案.【解答過(guò)程】當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，易知直線l的方程為x=0，C:(x?1)2+(y+2)2=16中令故此時(shí)MN=y=當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為y=kx+1，即kx?y+1=0，則圓心到直線的距離為d=k+2+1k2∴d=k+2+1k2+1=1，解得k=?即4x+3y?3=0，綜上可知直線l的方程為x=0或4x+3y?3=0.故選：C.【題型3切線問(wèn)題、切線長(zhǎng)問(wèn)題】【例3】（2024·遼寧丹東·二模）過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作圓C:x2+y2?4x?4y+4=0的兩條切線OA，OB，切點(diǎn)分別為A，A．2 B．2 C．22 【解題思路】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作出圓的圖形，易得切點(diǎn)坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)之間距離公式計(jì)算即得.【解答過(guò)程】

如圖，由圓C:x?22+y?22=4可得所以切點(diǎn)為A2,0，B0,2，故故選：C.【變式3-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P在圓C:x?a2+y2=a2a>0．上，點(diǎn)A0,2，若PAA．x=0或7x+24y?48=0 B．x=0或7x?24y?48=0C．x=1或24x?7y?48=0 D．x=1或24x+7y?48=0【解題思路】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，根據(jù)PA的最小值為1，得到方程求出a的值，即可求出圓的方程，再分斜率存在與不存在兩種情況，分別求出切線方程，即可得解.【解答過(guò)程】由圓C方程可得圓心為Ca,0，半徑r=a，因?yàn)镻A的最小值為1，所以a解得a=32，故圓若過(guò)點(diǎn)A0,2設(shè)切線方程為y=kx+2，則32k?0+21+所以切線方程為y=?724x+2若過(guò)點(diǎn)A0,2的切線斜率不存在，由圓C方程可得，圓C過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)0,0，所以切線方程為x=0綜上，過(guò)點(diǎn)A且與圓C相切的直線方程為x=0或7x+24y?48=0．故選：A.【變式3-2】（2024·北京西城·模擬預(yù)測(cè)）已知圓O:x2+y2=1，過(guò)直線3x+4y?10=0上的動(dòng)點(diǎn)P作圓O的一條切線，切點(diǎn)為A．1 B．2 C．3 D．2【解題思路】連接PO，PA2=PO2?【解答過(guò)程】如圖所示：連接PO，則PA2當(dāng)PO最小時(shí)，PA最小，POmin故PA的最小值為22故選：C.【變式3-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)直線y=x上一點(diǎn)M作圓C：x?22+y2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q．若直線PQ過(guò)點(diǎn)1,3A．5x?y?2=0 B．x?5y+14=0C．5x+y?8=0 D．x+5y?16=0【解題思路】設(shè)Mt,t，先利用兩圓方程相減得到直線PQ的方程，再利用直線PQ過(guò)點(diǎn)1,3求得t的值，進(jìn)而得到直線PQ【解答過(guò)程】圓C：x?22+y設(shè)Mt,t，則以MCx?與圓C的方程x?22+yt?2因?yàn)橹本€PQ過(guò)點(diǎn)1,3，所以t?2+3t?2t+3=0，解得t=?1所以直線PQ的方程為?52x?故選：C．【題型4圓上的點(diǎn)到直線距離個(gè)數(shù)問(wèn)題】【例4】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)圓C:x?22+y?12=36和不過(guò)第三象限的直線l:4x+3y?a=0，若圓C上恰有三點(diǎn)到直線l的距離為A．2 B．4 C．26 D．41【解題思路】首先得到圓心坐標(biāo)與半徑，依題意圓心到直線的距離為3，即可求出a的值，再由直線不過(guò)第三象限求出a的取值范圍，即可得解.【解答過(guò)程】因?yàn)閳AC:x?22+y?12因?yàn)閳AC上恰有三點(diǎn)到直線l的距離為3，所以圓心C2,1到直線l的距離d=4×2+3×1?a42+又直線l:4x+3y?a=0不過(guò)第三象限，則a3≥0，解得所以a=26.故選：C.【變式4-1】（2024·四川成都·三模）已知圓C：x2+y2=1，直線l：x?y+c=0，則“c=22”是“圓CA．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要【解題思路】利用圓C上恰存在三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于12，等價(jià)于O0,0到直線l：x?y+c=0的距離為【解答過(guò)程】因?yàn)閳AC：x2+y2=1當(dāng)圓C上恰存在三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于12則O0,0到直線l：x?y+c=0的距離為1所以0?0+c1+1=1當(dāng)c=22時(shí)，由上可知O0,0到直線l：x?y+c=0此時(shí)圓C上恰存在三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于12所以“c=22”是“圓C上恰存在三個(gè)點(diǎn)到直線l的距離等于故選：A.【變式4-2】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l:y=kx+2，圓x2+y2A．1或2 B．－1或?2 C．2或－1 【解題思路】結(jié)合題意，利用點(diǎn)到直線的距離公式列式求解，再進(jìn)行驗(yàn)證即可.【解答過(guò)程】如圖所示，圓x2+y2=4圓心O到直線l:y=kx+2的距離d=21+k2①當(dāng)k=1時(shí)，與直線y=x+2平行且距離等于1的直線是y=x，y=x+2與圓的三個(gè)交點(diǎn)是P1，P2，②當(dāng)k=?1時(shí)，與直線y=?x+2平行且距離等于1的直線是y=?x，y=?x+22，與圓的三個(gè)交點(diǎn)是P1，P綜上，k=±1.故選：D.【變式4-3】（2024·山西·二模）已知O是坐標(biāo)原點(diǎn)，若圓C:x2+y2+2x?4y+a=0上有且僅有2個(gè)點(diǎn)到直線A．(?4?45,45C．(?2?25,25【解題思路】求出平行于直線2x?y?1=0且距離為2的直線方程，再求出與圓心較近的直線與圓相交，另一條平行直線與圓相離的a的范圍.【解答過(guò)程】圓C:(x+1)2+(y?2)2設(shè)與直線l:2x?y?1=0平行且距離為2的直線方程為2x?y?t=0(t≠1)，則|t?1|22+(?1)2=2，解得點(diǎn)C(?1,2)到直線l1的距離d1=|?5+25由圓C上有且僅有2個(gè)點(diǎn)到直線2x?y?1=0的距離為2，得圓C與直線l1相交，且與直線l則d1<rd2>r所以實(shí)數(shù)a的取值范圍為(?4?45故選：A.

【題型5面積問(wèn)題】【例5】（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知A，B是直線l：x+3y?2=0上的兩點(diǎn)，且AB=1，P為圓D：x2+A．32+2C．32?2【解題思路】根據(jù)題意，求得圓心到直線的距離，得到dmax【解答過(guò)程】由圓x2+y2+2x?1=0設(shè)點(diǎn)P到直線l的距離為d，圓心D到直線l的距離為?，可得?=?1?212又由AB=1，所以△PAB面積的最大值為1故選：B.【變式5-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知A(?3,0)，B(0,3)，設(shè)C是圓M:x2+y2A．12 B．62 C．6 D．【解題思路】求出C到直線AB的距離的最大值與最小值，結(jié)合面積公式做差即可得.【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€AB與圓M:(x?1)設(shè)圓心M(1,0)到直線AB:y=x+3的距離為d，則d=42=2所以C到直線AB的距離的最小值為d?r=22C到直線AB的距離的最大值為d+r=22因此△ABC面積的最大值與最小值之差等于：|AB|22故選：B．【變式5-2】（2024·山西呂梁·一模）已知圓Q:(x?4)2+(y?2)2=4，點(diǎn)P為直線x+y+2=0上的動(dòng)點(diǎn)，以PQ為直徑的圓與圓Q相交于A．27 B．47 C．2【解題思路】寫出面積表達(dá)式，從而得到當(dāng)PQ與直線垂直時(shí)面積最小，代入數(shù)據(jù)計(jì)算即可.【解答過(guò)程】由題意得PA⊥AQ，PB⊥AQ，Q4,2S四邊形當(dāng)PQ垂直直線x+y+2=0時(shí)，PQmin∴(故選：B.【變式5-3】（23-24高三上·廣東深圳·期末）P是直線3x?4y+5=0上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓C:x2+y2?4x+2y+4=0的兩條切線，切點(diǎn)分別為A．2 B．22 C．42 【解題思路】根據(jù)給定條件，結(jié)合切線長(zhǎng)定理列出四邊形面積的函數(shù)關(guān)系，再借助幾何意義求出最小值.【解答過(guò)程】圓C:(x?2)2+(y+1)2點(diǎn)C到直線3x?4y+5=0的距離d=|3×2?4×(?1)+5|32由于PA,PB切圓C于點(diǎn)A,B，則|PA|=|PC四邊形PACB的面積S=2S當(dāng)且僅當(dāng)直線PC垂直于直線3x?4y+5=0時(shí)取等號(hào)，所以四邊形PACB面積的最小值為22故選：B.【題型6直線與圓位置關(guān)系中的最值問(wèn)題】【例6】（2024·四川攀枝花·三模）由直線y=x上的一點(diǎn)P向圓x?42+y2=4引切線，切點(diǎn)為QA．2 B．2 C．6 D．2【解題思路】根據(jù)已知條件，求得PQ=d2?r【解答過(guò)程】由已知有：圓的圓心4,0，半徑為r=2，直線的一般方程為x?y=0，設(shè)點(diǎn)P到圓心的距離為d，則有PQ⊥CQ，所以PQ=所以d取最小值時(shí)，PQ取得最小值，因?yàn)橹本€上點(diǎn)P到圓心的距離最小值為圓心到直線的距離，所以d=4?01+1=22，故故選：B.【變式6-1】（2024·陜西漢中·二模）已知⊙M:x2+y2?2x?2y?2=0，直線l:2x+y+2=0,P為l上的一動(dòng)點(diǎn)，A，B為A．?255 B．?45 【解題思路】根據(jù)題意分析得當(dāng)PA，PB分別為圓的切線，且MP最小時(shí)，∠APB最大，此時(shí)cos∠APB【解答過(guò)程】由題意得⊙M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?1)2+(y?1)所以圓心M到直線l的距離為|2+1+2|4+1=5>2，所以直線所以當(dāng)PA，PB分別為圓的切線，且MP最小時(shí)，sin∠APM=AMPM=2所以∠APB=2∠APM最大，此時(shí)cos∠APB此時(shí)cos∠APB=故選：D.【變式6-2】（2024·北京門頭溝·一模）在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)Pcosθ，sinθ到直線kx?y?3k+4=0的距離，則當(dāng)θ，A．2 B．3 C．4 D．6【解題思路】由直線方程得到其過(guò)定點(diǎn)A(3,4)，而Pcosθ，sinθ可看成單位圓上的一點(diǎn)，故可將求點(diǎn)P到直線之距轉(zhuǎn)化為求圓心到直線之距，要使距離最大，需使直線【解答過(guò)程】由直線l:kx?y?3k+4=0整理得k(x?3)?y+4=0，可知直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A(3,4)，而由Pcosθ，sinθ知，點(diǎn)于是求點(diǎn)Pcosθ，sin

如圖知當(dāng)直線l與圓相交時(shí)，Pcosθ，sinθ到直線要使點(diǎn)P到直線l距離最大，需使圓心O(0,0)到直線l距離最大，又因直線l過(guò)定點(diǎn)A(3,4)，故當(dāng)且僅當(dāng)l⊥OA時(shí)距離最大，（若直線l與OA不垂直，則過(guò)點(diǎn)O作直線l的垂線段長(zhǎng)必定比OA短）此時(shí)|OA|=5，故點(diǎn)P到直線l距離的最大值為dmax=|OA|+r=5+1=6，即d的最大值與最小值之差為故選：D.【變式6-3】（2024·陜西西安·一模）已知圓O的方程為：x2+y2=1，點(diǎn)A2,0，B0,2，P是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)P作圓O的切線，切點(diǎn)分別為C，D，現(xiàn)有以下四種說(shuō)法：①四邊形PCOD的面積的最小值為1；②四邊形PCOD的面積的最大值為3；③PC?PDA．①③④ B．①②④ C．②③④ D．①④【解題思路】利用數(shù)形結(jié)合，將面積PCOD的最值轉(zhuǎn)化為求OP的最值，即可判斷①②；利用數(shù)量積和三角函數(shù)表示PC?【解答過(guò)程】如圖，當(dāng)點(diǎn)P是AB的中點(diǎn)時(shí)，此時(shí)OP⊥AB，OP最短，最小值為2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)A或點(diǎn)B重合時(shí)，此時(shí)OP最長(zhǎng)，最大值為2，因?yàn)镻C,PD是圓O的切線，所以PC⊥OC，PD⊥OD，則四邊形PCOD的面積為PCOC所以四邊形PCOD的面積的最小值為2?1=1，最大值為4?1PC?=PC=PO2+設(shè)y=t+2t?3,t∈故選：B.【題型7\t"/gzsx/zj165988/_blank"\o"直線與圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題"直線與圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題】【例7】（2024高三·全國(guó)·專題練習(xí)）已知圓A：(x+2)2+y2=25，A為圓心，動(dòng)直線l過(guò)點(diǎn)P(2,0)，且與圓A交于B，C兩點(diǎn)，記弦BC(1)求曲線E的方程；(2)過(guò)A作兩條斜率分別為k1，k2的直線，交曲線E于M，N兩點(diǎn)，且k1【解題思路】（1）根據(jù)題意可得：AQ⊥BC，AQ⊥PQ，即點(diǎn)Q的軌跡為以AP為直徑的圓，從而得到曲線E的方程；（2）討論當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=kx+t，M(x1,y1)，N(x2,y2)，聯(lián)立x2+y2=4，結(jié)合韋達(dá)定理可得：x1+x2=?2ktk2+1，【解答過(guò)程】（1）因?yàn)镼是弦BC的中點(diǎn)，所以AQ⊥BC，即AQ⊥PQ，所以點(diǎn)Q的軌跡為以AP為直徑的圓，所以曲線E的方程為x2（2）當(dāng)直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線MN的方程為y=kx+t，代入x2+y設(shè)M(x1,y1)，則Δ>0，x1+k根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，得t2即(t?k)(t?2k)=0.若t?2k=0，則直線MN過(guò)點(diǎn)A，舍去；所以t?k=0，即t=k，直線MN的方程為y=k(x+1)，故直線過(guò)定點(diǎn)(?1,0).當(dāng)直線MN斜率不存在時(shí)，設(shè)直線MN：x=t(?2<t<2)，與曲線E的方程聯(lián)立，可得M(t,4?t2)，N(t,?4?故直線MN的方程為x=?1綜上，直線MN過(guò)定點(diǎn)(?1,0).【變式7-1】（23-24高二上·廣東廣州·期末）已知圓心C在直線y=?2x上，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2,?1，與直線x+y?1=0(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)對(duì)于圓C上的任意一點(diǎn)P，是否存在定點(diǎn)B（不同于原點(diǎn)O）使得PBPO恒為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)B【解題思路】（1）利用點(diǎn)在圓上以及相切，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式以及點(diǎn)點(diǎn)距離公式，求出圓的半徑和圓心，即可求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)P(x,y)，定點(diǎn)B(m,n)(m，n不同時(shí)為0)，根據(jù)|PA||PO|=λ(λ為常數(shù)），可得(x?m)2+(y?n)【解答過(guò)程】（1）圓心C在直線y=?2x，故設(shè)圓心為a,?2a，半徑為r，則a?22+?2a所以圓的方程為x?1（2）設(shè)P(x,y)，且x?12+y+2設(shè)定點(diǎn)B(m,n)，(m,n不同時(shí)為0)，PBPO則(x?m)2兩邊平方，整理得(1?代入x2+y化簡(jiǎn)得2(1?所以，2(1?λ2)?2m=0?4(1?λ即B(3【變式7-2】（23-24高三上·黑龍江哈爾濱·期末）圓G經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,23,?4,0(1)求圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若圓G與x軸分別交于M,N兩點(diǎn)，A為直線l:x=16上的動(dòng)點(diǎn)，直線AM,AN與曲線圓G的另一個(gè)交點(diǎn)分別為E,F，求證直線EF經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo)．【解題思路】（1）設(shè)出圓心坐標(biāo)，利用圓心到圓上各點(diǎn)的距離等于半徑求解即可；（2）設(shè)出直線AM的方程和直線AN的方程，分別與圓的方程聯(lián)立寫出E、F的坐標(biāo)，進(jìn)而寫出直線EF的方程，化簡(jiǎn)即可證明直線EF經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，并求出定點(diǎn)的坐標(biāo).【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閳A心在直線y=x上，設(shè)圓心為a,a又因?yàn)閳AG經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,2則a?22+a?2所以圓心0,0,半徑為0+4所以圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為x（2）由圓G與x軸分別交于M,N兩點(diǎn)，不妨設(shè)M?4,0又A為直線l:x=16上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)A16,tt≠0則AM方程為y=t20x+4，AN設(shè)Ex聯(lián)立方程y=t20x+4所以?4x1=16t聯(lián)立方程y=t12x?4所以4x2=16t當(dāng)t≠±415時(shí)，kEF=所以直線EF的方程為y?化簡(jiǎn)得y=32t240?t2x?1當(dāng)t=±415時(shí)，x1=x2綜上，直線EF過(guò)定點(diǎn)1,0.

【變式7-3】（23-24高二上·浙江杭州·期中）已知圓C過(guò)點(diǎn)A2,6，圓心在直線y=x+1上，截y軸弦長(zhǎng)為2(1)求圓C的方程；(2)若圓C半徑小于10，點(diǎn)D在該圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)B3,2，記M為過(guò)B、D兩點(diǎn)的弦的中點(diǎn)，求M(3)在（2）的條件下，若直線BD與直線l:y=x?2交于點(diǎn)N，證明：BM?【解題思路】（1）設(shè)圓心為Ca,a+1，設(shè)圓C的半徑為r，根據(jù)圓的幾何性質(zhì)可得出關(guān)于a、r的方程組，解出這兩個(gè)量的值，即可得出圓C（2）利用圓的幾何性質(zhì)得CM⊥EM，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求得動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；（3）設(shè)直線CB與直線l交于點(diǎn)F，通過(guò)斜率關(guān)系得CE⊥l，利用幾何關(guān)系得△CBM∽△NBF，從而BM?【解答過(guò)程】（1）解：設(shè)圓心為Ca,a+1，設(shè)圓C的半徑為r圓心到y(tǒng)軸的距離為a，且圓Cy軸弦長(zhǎng)為25，則r且有r=AC聯(lián)立①②可得a=2r=3或a=12所以，圓C的方程為x?22+y?3（2）解：因?yàn)镃半徑小于10，則圓C的方程為x?22由圓的幾何性質(zhì)得CM⊥ED即CM⊥EM，所以CM?設(shè)Mx,y，則CM=所以x?2x?3+y?3y?2=0（3）解：設(shè)直線CB與直線l交于點(diǎn)F，由C2,3、B3,2可知直線CB的斜率是

因?yàn)橹本€l的斜率為1，則BC⊥l，則∠BMC=∠BFN=90°，所以，△CBM∽△NBF，因此，BM?又E到l的距離BF=3?2?21所以，BM?BN=2?【題型8圓與圓的位置關(guān)系】【例8】（2024·吉林長(zhǎng)春·模擬預(yù)測(cè)）已知圓E:(x?2)2+(y?4)2A．內(nèi)含 B．相切 C．相交 D．外離【解題思路】求出兩圓圓心坐標(biāo)與半徑，再求出圓心距與半徑之和、半徑之差的絕對(duì)值比較，即可判斷.【解答過(guò)程】圓E:(x?2)2+(y?4)2=25的圓心圓F:(x?2)2+(y?2)2=1的圓心則EF=(2?2)2故選：A.【變式8-1】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測(cè)）圓C1:(x?2)2+A．相交 B．外切 C．內(nèi)切 D．相離【解題思路】求得兩圓的圓心與半徑，進(jìn)而求得兩圓的圓心距C1C2【解答過(guò)程】由已知得圓C1的圓心為C1(2,?1)圓C2的圓心為C2(0,1)，半徑為r故0=r所以圓C1與圓C故選：A.【變式8-2】（2024·廣東廣州·二模）若直線ax+by=1與圓O:x2+y2=1相切，則圓A．外切 B．相交 C．內(nèi)切 D．沒有公共點(diǎn)【解題思路】由直線ax+by=1與圓O:x2+y2=1相切，得【解答過(guò)程】直線ax+by=1與圓O:x則圓心O0,0到直線ax+by=1的距離等于圓O即d=1a2圓(x?a)2+(y?b)2=其圓心在圓O上，所以兩圓相交.故選：B.【變式8-3】（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）已知圓M:x2+y2+2ay=0a>0的圓心到直線3x+2y=2的距離是13A．相離 B．相交 C．內(nèi)切 D．內(nèi)含【解題思路】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式求a的值，再利用幾何法判斷兩圓的位置關(guān)系.【解答過(guò)程】圓M：x2+y2+2ay=0?x由點(diǎn)到直線距離公式得：2a+232+22又圓N的圓心N2,?2所以MN=22由652故選：D.【題型9\t"/gzsx/zj165988/_blank"\o"直線與圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題"兩圓的公共弦問(wèn)題】【例9】（2024·黑龍江·模擬預(yù)測(cè)）圓C1:x2+A．27 B．7 C．6 D．【解題思路】?jī)蓤A方程相減可得公共弦所在的直線方程為3x?4y+7=0，即可利用點(diǎn)到線的距離公式以及圓的弦長(zhǎng)公式求解.【解答過(guò)程】C1,CR?r<C將兩個(gè)圓的方程作差得6x?8y+14=0，即公共弦所在的直線方程為3x?4y+7=0，又知C2?2,4，則C2?2,4到直線的3x?4y+7=0的距離所以公共弦長(zhǎng)為24故選:A．【變式9-1】（2024·江西宜春·模擬預(yù)測(cè)）圓C1:x2+A．555 B．2555 C．3【解題思路】先求出兩圓的公共弦所在直線的方程，再求出圓心C1到公共弦x+2y+2=0的距離，由弦長(zhǎng)=【解答過(guò)程】由C1:x得兩圓的公共弦所在直線的方程為x+2y+2=0．由C1:x所以圓心C1?1,4，半徑則圓心C1到公共弦x+2y+2=0的距離d=所以兩圓的公共弦長(zhǎng)為225?故選：D．【變式9-2】（2024·河北石家莊·二模）已知圓O1:x2+y2=5與圓O2A．52 B．5 C．15 D．【解題思路】根據(jù)題意，兩圓方程相減即可得到直線AB的方程，再由弦長(zhǎng)公式，即可得到結(jié)果.【解答過(guò)程】因?yàn)閳AO1:x2+y2則直線AB的方程即為兩圓相減，可得2x+4y?5=0，且圓O1:xO10,0到直線2x+4y?5=0的距離所以|AB|=25故選：C.【變式9-3】（2024·河南·二模）若圓C1:x2+y2=1與圓A．2ax+by?1=0 B．2ax+by?3=0C．2ax+2by?1=0 D．2ax+2by?3=0【解題思路】將兩圓方程相減得到直線AB的方程為a2+b2?2ax?2by=0【解答過(guò)程】將兩圓方程相減可得直線AB的方程為a2即2ax+2by?a因?yàn)閳AC1的圓心為(0,0)，半徑為1，且公共弦AB的長(zhǎng)為1則C1(0,0)到直線2ax+2by?a所以a2+b所以直線AB的方程為2ax+2by?3=0，故選：D.【題型10\t"/gzsx/zj165988/_blank"\o"直線與圓中的定點(diǎn)定值問(wèn)題"兩圓的公切線問(wèn)題】【例10】（2024·河北石家莊·三模）已知圓C1:x2+A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】根據(jù)圓與圓的位置關(guān)系求兩圓圓心距及兩圓半徑，從而可判斷兩圓位置關(guān)系，即可得公切線條數(shù).【解答過(guò)程】圓C1:x2+y2=1的圓心為C1則C1C2故選：C.【變式10-1】（23-24高三下·山東·開學(xué)考試）圓C1:x2+A．y=?x+1 B．y=?x+1或y=x+5C．y=?x+5 D．y=x+1或y=2x+5【解題思路】先判斷兩個(gè)圓的位置關(guān)系，確定公切線的條數(shù)，求解出兩圓的公共點(diǎn)，然后根據(jù)圓心連線與公切線的關(guān)系求解出公切線的方程.【解答過(guò)程】解：C1:(x+4)2+C2:(x+3)2+因?yàn)镃1所以兩圓相內(nèi)切，公共切線只有一條，因?yàn)閳A心連線與切線相互垂直，kC所以切線斜率為?1，由方程組x2+y故圓C1與圓C2的切點(diǎn)坐標(biāo)為故公切線方程為y?3=?(x+2)，即y=?x+1．故選：A.【變式10-2】（23-24高三上·山東棗莊·期末）已知圓C1:(x+1)2+A．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】由兩圓的位置關(guān)系即可確定公切線的條數(shù).【解答過(guò)程】由題意圓C1:(x+1)C2:x2+圓心距滿足d=9+9所以兩圓的公切線條數(shù)為4.故選：D.【變式10-3】（23-24高三上·重慶·階段練習(xí)）已知圓C1:x2+y2+4x+3=0，圓A．3x+3y=0 B．C．x+35y+8=0 【解題思路】利用點(diǎn)到直線的距離公式逐項(xiàng)驗(yàn)證即可.【解答過(guò)程】由題意知：C1所以圓C1的圓心為(?2,0)，半徑為1；圓C2的圓心為對(duì)于A，圓C1的圓心(?2,0)到直線的距離為d圓C2的圓心(4,0)到直線的距離為d即直線3x+3y=0對(duì)于B，圓C1的圓心(?2,0)到直線的距離為d圓C2的圓心(4,0)到直線的距離為d即直線3x?3y=0對(duì)于C，圓C1的圓心(?2,0)到直線的距離為d圓C2的圓心(4,0)到直線的距離為d即直線x+35對(duì)于D，圓C1的圓心(?2,0)到直線的距離為d即直線x?35故選：D.一、單選題1．（2024·北京海淀·三模）已知直線l:kx?y+1?k=0和圓⊙O:x2+y2=r2(r>0)，則“r=A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【解題思路】先由r=2，點(diǎn)到直線距離公式列出方程，求出此時(shí)k=?1，充分性成立；求出l:kx?y+1?k=0所過(guò)定點(diǎn)，再由存在唯一k使得直線l與⊙O相切”，得到r=1【解答過(guò)程】r=2時(shí)，l:kx?y+1?k=0到⊙O:x2故1?2k+k2=2+2滿足存在唯一k使得直線l與⊙O相切”，充分性成立，l:kx?y+1?k=0經(jīng)過(guò)定點(diǎn)M1,1若r=1，⊙O:x2+y2直線l:y=1與⊙O相切，另一條切線斜率不存在，故滿足存在唯一k使得直線l與⊙O相切”，當(dāng)M1,1在⊙O:x2+y2=故r2又r>0，解得r=2故“r=2”是“存在唯一k使得直線l與⊙O故選：A.2．（2024·福建福州·模擬預(yù)測(cè)）已知圓x2+y2+4mx?2my+m=0m∈R與A．1 B．0或14 C．0或1 D．【解題思路】根據(jù)一般式得圓的標(biāo)準(zhǔn)式方程，即可根據(jù)相切得r=5【解答過(guò)程】將x2+y故圓心為?2m,m半徑為r=5m2?m，且由于x2+y2+4mx?2my+m=0解得m=14，或故選：D.3．（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C1:x2+A．x+y+2=0 B．x+y?2=0 C．x+y+1=0 D．x+y?1=0【解題思路】?jī)蓤A方程作差即可.【解答過(guò)程】由圓C1:x兩式作差得，4x+4y?4=4，即x+y?2=0，所以兩圓的公共弦所在直線方程是x+y?2=0.故選：B.4．（2024·青海西寧·二模）已知圓C:x?32+y?42=9，直線l:m+3A．27 B．10 C．22 【解題思路】先求出直線l所過(guò)的定點(diǎn)P2,3，數(shù)形結(jié)合得到當(dāng)CP⊥l時(shí)，直線l被圓C【解答過(guò)程】直線l:m+3令x?y+1=03x?2y=0，解得x=2y=3，所以直線l恒過(guò)定點(diǎn)圓C:x?32+y?42且PC2=2?3當(dāng)CP⊥l時(shí)，圓心C到直線l的距離最大為d=PC此時(shí)，直線l被圓C截得的弦長(zhǎng)最小，最小值為2r故選：A.5．（2024·內(nèi)蒙古赤峰·三模）已知圓C?:x+12+y+12A．4 B．3 C．2 D．1【解題思路】確定兩圓的位置關(guān)系后可得公切線條數(shù)．【解答過(guò)程】圓C2標(biāo)準(zhǔn)方程為(x?2)則已知兩圓圓心分別為C1(?1,?1),C圓心距為C1因此兩圓外切，它們有三條公切線，故選：B．6．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知P為直線l:x?y+1=0上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C:x?12+y2=1的一條切線，切點(diǎn)為A．1 B．2 C．3 D．2【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合勾股定理以及點(diǎn)到直線的距離公式求解即可.【解答過(guò)程】連接CA，則PA=而PC的最小值為點(diǎn)C到直線l的距離d=1?0+1所以PAmin故選：A.7．（2024·廣西賀州·一模）已知點(diǎn)P為直線l1:mx?2y?m+6=0與直線l2:2x+my?m?6=0(m∈R)的交點(diǎn)，點(diǎn)Q為圓C:(x+3)A．[22,82] B．(22,8【解題思路】先求出點(diǎn)P的軌跡方程，再判斷兩圓的位置關(guān)系，即可求出|PQ|的取值范圍.【解答過(guò)程】因?yàn)辄c(diǎn)P為直線l1:mx?2y?m+6=0與直線所以由2m+(?2)m=0可得l1⊥l2，且l1過(guò)定點(diǎn)(1,3)所以點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)(1,3)與點(diǎn)(3,1)為直徑端點(diǎn)的圓(去除(1,1))，圓心為(2,2)，半徑r=(1?3)而圓C:(x+3)2+(y+3)2所以兩個(gè)圓心的距離d=(2+3)2+所以|PQ|的最大值為：d+r+R=82因?yàn)?,1不在圓C上，故|PQ|>d?r?R=22所以|PQ|的取值范圍是(22故選：B.8．（2024·廣西南寧·三模）已知圓C:x?42+y2=4，點(diǎn)M在線段y=x（0≤x≤3）上，過(guò)點(diǎn)M作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，以AB為直徑作圓A．π B．2π C．5π2【解題思路】由題意得AB=21?4MC2，進(jìn)而分析得當(dāng)MC【解答過(guò)程】由題可知，AC=BC=2，AB⊥CM，AC=BC=2，AC⊥AM,BC⊥BM當(dāng)圓C′的面積取最大值時(shí)AB而SMACB所以AB=因?yàn)辄c(diǎn)M在線段y=x（0≤x≤3）上，所以MC=故ABmax=21?416所以圓C′的面積的最大值為3故選：D．二、多選題9．（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l:y=kx?3+3與曲線C:x2+A．0 B．1 C．2 D．3【解題思路】分類去絕對(duì)值可得x2+y2?2x?2y=0x≥0,x2+y2+2x?2y=0x<0，當(dāng)x≥0時(shí)，曲線C是以1,1為圓心，2為半徑的圓在【解答過(guò)程】曲線C:x2+即x?12當(dāng)x≥0時(shí)，曲線C是以1,1為圓心，2為半徑的圓在y軸及y軸右側(cè)的部分，直線l:kx?y+3?3k=0，則當(dāng)直線l與曲線C相切時(shí)，有k?1+3?3k1+解得k=2+3或k=2?當(dāng)x<0時(shí)，曲線C是以?1,1為圓心，2為半徑的圓在y軸左側(cè)的部分，直線l:kx?y+3?3k=0，則當(dāng)直線l與曲線C相切時(shí)，有∣?k?1+3?3k∣1+解得k=17或k=1（舍去）．綜上，若直線l與曲線C有公共點(diǎn)，則故選：BCD．10．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l:kx?y?2k+3=0，圓C:x2?2x+A．圓心C的坐標(biāo)為(1,4)B．直線l與圓C始終有兩個(gè)交點(diǎn)C．當(dāng)k=2時(shí)，直線l與圓C相交于M,N兩點(diǎn)，則△CMN的面積為3D．點(diǎn)C到直線l的距離最大時(shí)，k=1【解題思路】對(duì)于A，對(duì)圓的方程配方后可求出圓心判斷，對(duì)于B，先求出過(guò)定點(diǎn)(2,3)，再判斷點(diǎn)(2,3)與圓的位置關(guān)系，從而可得結(jié)論，對(duì)于C，先求出圓心到直線的距離，再求出弦長(zhǎng)，從而可求出△CMN的面積，對(duì)于D，由于直線過(guò)定點(diǎn)P(2,3)，則當(dāng)直線與CP垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，從而可求出k的值.【解答過(guò)程】對(duì)于A：x2?2x+y2?8y+13=0配方得x?1對(duì)于B：由kx?y?2k+3=0，得k(x?2)+(3?y)=0，則直線kx?y?2k+3=0過(guò)定點(diǎn)(2,3)，因?yàn)??12+3?42=2<4所以直線kx?y?2k+3=0與圓C始終有兩個(gè)交點(diǎn)，所以B正確;對(duì)于C：設(shè)圓心C到直線2x?y?1=0的距離為d，則d=2?4?14+1=所以面積S=1對(duì)于D：由題意得直線過(guò)定點(diǎn)P(2,3)，故當(dāng)直線與CP垂直時(shí)，圓心到直線的距離最大，由于kCP=4?3故選：ABD．11．（2024·山東青島·三模）已知?jiǎng)狱c(diǎn)M，N分別在圓C1:x?12+y?22A．圓C2B．圓C1和圓CC．PM+PND．過(guò)點(diǎn)P做圓C1的切線，則切線長(zhǎng)最短為【解題思路】求出兩個(gè)圓的圓心、半徑判斷AB；求出圓C1關(guān)于x【解答過(guò)程】圓C1的圓心C1(1,2)，半徑r1=1，圓C對(duì)于A，圓C2的半徑為3對(duì)于B，|C1C2|=2對(duì)于C，圓C1關(guān)于x軸對(duì)稱的圓為C0:(x?1)2+(y+2)2=1，C由圓的性質(zhì)得，PM≥|C0C2|?1?且M,N是線段P1C1,P對(duì)于D，設(shè)點(diǎn)P(t,0)，過(guò)點(diǎn)P的圓C1的切線長(zhǎng)|PA|=當(dāng)且僅當(dāng)t=1，即P(1,0)時(shí)取等號(hào)，D正確.故選：BD.三、填空題12．（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）圓x?a2+y?2a?32=9上總存在兩個(gè)點(diǎn)到2,3的距離為1，則a【解題思路】問(wèn)題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)圓的位置關(guān)系，通過(guò)圓心距與半徑和與差的關(guān)系列出不等式求解即可.【解答過(guò)程】圓x?a2+y?2a?3轉(zhuǎn)化為：以2,3為圓心1為半徑的圓與已知圓相交，可得3?1<2?a2+解得?65<a<0或45<a<2故答案為：?613．（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C:x2+y2=1，直線l:x+y+2=0，P為直線l上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線【解題思路】設(shè)出P點(diǎn)坐標(biāo)，可得以PC為直徑的圓的方程，與圓C方程作差即可得公共弦方程，即可得定點(diǎn)坐標(biāo).【解答過(guò)程】根據(jù)題意，P為直線l：x+y+2=0上的動(dòng)點(diǎn)，設(shè)P的坐標(biāo)為t,?2?t，過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則PA⊥AC，PB⊥BC，則點(diǎn)A、B在以PC為直徑的圓上，又由C0,0，Pt,?2?t，則以PC為直徑的圓的方程為變形可得：x2則有x2+y變形可得：1+2y?tx?y=0，即直線AB的方程為則有1+2y=0x?y=0，解可得x=?12y=?1故答案為：?114．（2024·湖北黃岡·模擬預(yù)測(cè)）已知圓C:x2+y?22=1和圓D:x2+y2?6x?10y+30=0，M、N分別是圓C、【解題思路】先得到PM+PN≥PC+PD?3，當(dāng)且僅當(dāng)P,M,C三點(diǎn)共線，且P,N,D三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，設(shè)C關(guān)于x【解答過(guò)程】C:x2+D:x2+結(jié)合兩圓位置可得，PM+當(dāng)且僅當(dāng)P,M,C三點(diǎn)共線，且P,N,D三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，設(shè)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C′0,?2，連接C′