專題6.5 數(shù)列求和（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題6.5數(shù)列求和【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1公式法】 3【題型2錯(cuò)位相減法求和】 5【題型3裂項(xiàng)相消法求和】 8【題型4分組（并項(xiàng)）法求和】 10【題型5倒序相加法求和】 13【題型6含有（-1）n的類型求和】 16【題型7奇偶項(xiàng)問題求和】 19【題型8先放縮再裂項(xiàng)求和】 21【題型9新定義、新情景下的數(shù)列求和】 251、數(shù)列求和考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)熟練掌握等差、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式(2)掌握非等差數(shù)列、非等比數(shù)列求和的幾種常用方法2023年新高考I卷：第20題，12分2023年新高考Ⅱ卷：第18題，12分2023年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第17題，12分2024年新高考Ⅱ卷：第12題，5分2024年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第17題，12分2024年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第18題，12分?jǐn)?shù)列是高考的熱點(diǎn)內(nèi)容，命題形式多種多樣，大小均有，屬于高考的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，數(shù)列求和往往以解答題的形式考查，難度中等或稍難，往往在解決數(shù)列基本問題后考查數(shù)列求和，在求和后往往與不等式、函數(shù)、最值等問題綜合，與不等式結(jié)合時(shí)“放縮”思想及方法尤為重要，需要靈活求解.去年高考?jí)狠S題中出現(xiàn)數(shù)列的新定義、新情景題，綜合性強(qiáng)，難度大，需要靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1數(shù)列求和的幾種常用方法】1．公式法直接利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和.①等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：.②等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：=.2．分組求和法與并項(xiàng)求和法(1)分組求和法若一個(gè)數(shù)列是由若干個(gè)等差數(shù)列或等比數(shù)列或可求和的數(shù)列組成，則求和時(shí)可用分組求和法，分別求和后相加減.(2)并項(xiàng)求和法一個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和中，可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項(xiàng)求和.形如類型，可采用兩項(xiàng)合并求解.3．錯(cuò)位相減法如果一個(gè)數(shù)列的各項(xiàng)是由一個(gè)等差數(shù)列和一個(gè)等比數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)之積構(gòu)成的，那么這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用此法來求，如等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式就是用此法推導(dǎo)的.4．裂項(xiàng)相消法把數(shù)列的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，在求和時(shí)中間的一些項(xiàng)可以相互抵消，從而求得其和.常見的裂項(xiàng)技巧：(1).

(2).

(3).(4).

(5).5．倒序相加法如果一個(gè)數(shù)列{}的前n項(xiàng)中與首末兩端等“距離”的兩項(xiàng)的和相等或等于同一個(gè)常數(shù)，那么求這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)和即可用倒序相加法求解.【方法技巧與總結(jié)】常用求和公式(1).(2).(3).(3).【題型1公式法】【例1】（2024·四川達(dá)州·二模）等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a1=8，且S9=0.(1)求Sn(2)若bn為等比數(shù)列，b1=【解題思路】（1）應(yīng)用等差數(shù)列基本量運(yùn)算得出d=?2，再求Sn（2）應(yīng)用等比數(shù)列通項(xiàng)公式基本量運(yùn)算得出公比，再求通項(xiàng)即可.【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列an公差為d,∵S9（2）b∴數(shù)列bn公比為1【變式1-1】（2024·四川成都·模擬預(yù)測(cè)）已知{an}是等差數(shù)列，a1=1，且a(1)求數(shù)列{a(2)求數(shù)列{2an}的前【解題思路】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}（2）由數(shù)列{2an}的通項(xiàng)，公式法求前【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，由a1，有(1+2d)2=1+8d，解得d=1或（2）由（1）因此數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為a由于2an=2由等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式得Sn=2n或【變式1-2】（2024·遼寧·一模）已知Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，滿足Sn=1(1)求證：當(dāng)n≥5時(shí)，{a(2)求{an}的前n【解題思路】(1)利用an+1=Sn+1?(2)結(jié)合(1)中結(jié)論得an+1+an=0n≤5，求出【解答過程】（1）∵Sn∴2Sn=兩式相減，得2a即an+1當(dāng)n≥5時(shí)，an>0，∴∴當(dāng)n≥5時(shí)，an（2）由a1=12a又a1∴由(1)得an+1+a而a5>0，∴a1∴an∴Sn【變式1-3】（2024·江西贛州·二模）已知數(shù)列an滿足a1=14，a(1)求證：數(shù)列1an?1(2)記an的前n項(xiàng)和為Sn，證明：【解題思路】（1）由an，32an+1，2ana（2）關(guān)鍵是對(duì)an=13n【解答過程】（1）由an，32an+1，因?yàn)閍1=14，可得an上式可化為：1所以數(shù)列1an?1所以1an（2）因?yàn)閍所以S=又因?yàn)閍所以Sn=a（當(dāng)n＝1時(shí)等號(hào)成立），綜上可知：38【題型2錯(cuò)位相減法求和】【例2】（2024·河南·三模）已知等差數(shù)列an滿足a2=5(1)求an(2)求數(shù)列an?2【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算得出通項(xiàng)；（2）應(yīng)用錯(cuò)位相減法求出數(shù)列的和.【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d由題意可得a1+d=52所以an（2）設(shè)bn所以Tn所以2T兩式相減得，?T所以?Tn=2+4×【變式2-1】（2024·黑龍江牡丹江·一模）設(shè)n∈N?，若數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an(1)求數(shù)列an(2)若an?bn是以2為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，求數(shù)列bn【解題思路】（1）依題意可得2an=2+Sn（2）依題意可得an?b【解答過程】（1）因?yàn)閍n是2與Sn的等差中項(xiàng)，可得當(dāng)n=1時(shí)，可得2a1=2+當(dāng)n≥2時(shí)，由2an=2+兩式相減可得2a即為an可得數(shù)列an是首項(xiàng)和公比均為2所以an（2）若an?bn是以則an可得bn數(shù)列bn的前n項(xiàng)和T12兩式相減可得12=1+1?化簡(jiǎn)可得Tn【變式2-2】（2024·陜西渭南·模擬預(yù)測(cè)）已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,2S(1)求an(2)若bn=an2n,求數(shù)列【解題思路】（1）根據(jù)公式an=S（2）由（1）知bn,根據(jù)通項(xiàng)公式規(guī)律,用錯(cuò)位相減來求T【解答過程】（1）當(dāng)n=1時(shí),2S1=a1+1,解出當(dāng)n≥2時(shí),由2Sn=na即an+1n?a利用上述等式有ann?1?因此ann?1?a2當(dāng)n=1,2時(shí),a1=1,a2=3（2）由（1）可知,bn=n+1兩邊同時(shí)乘以12得,1錯(cuò)位相減得12即1整理得，Tn【變式2-3】（2024·天津·模擬預(yù)測(cè)）數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，數(shù)列bn是等比數(shù)列，S3?S2=3，(1)求數(shù)列an、b(2)anbn的前n項(xiàng)和T【解題思路】（1）記數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為（2）根據(jù)錯(cuò)位相減法求和，記cn【解答過程】（1）記數(shù)列an的公差為d，數(shù)列bn的公比為q，由題知，S3?S2=由b1?b1q=b1（2）由（1）可知an則Tn12兩式相減得12所以Tn記cn=n+2所以cn單調(diào)遞減，所以cn=所以12≤2?n+2【題型3裂項(xiàng)相消法求和】【例3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足a(1)證明：數(shù)列2n(2)設(shè)bn=an+1an+2a【解題思路】（1）利用等差數(shù)列的定義即可證明；（2）根據(jù)（1）問，求出數(shù)列2nan的通項(xiàng)公式，從而求得數(shù)列an【解答過程】（1）證明：令cn=2cn+1又a1=2所以數(shù)列2n（2）由（1）知，cn又cn=2所以bn所以T====2【變式3-1】（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測(cè)）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=(?1)na【解題思路】（1）先求Sn=n（2）利用裂項(xiàng)相消法可求T2024【解答過程】（1）由Sn?n則Sn=n2+n兩式相減得，an當(dāng)n=1時(shí)，a1=S1=2（2）由（1）得，bn所以數(shù)列bnT=?1+【變式3-2】（2024·福建龍巖·三模）若數(shù)列an是公差為1的等差數(shù)列，且a3=2，點(diǎn)an,bn在函數(shù)f(x)=3x(1)求數(shù)列an(2)設(shè)cn=bn4SnSn+1【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列基本量的計(jì)算即可求解an=n?1，代入(an,（2）利用裂項(xiàng)求和即可求解.【解答過程】（1）由a3=2得a1∵點(diǎn)(an,bn∴（2）∴bn=3a∴c∴==∴T【變式3-3】（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)若a1=?1，求數(shù)列1ana【解題思路】（1）設(shè)出公差，根據(jù)Sn+n（2）得到an【解答過程】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d，則a因?yàn)镾n+nSn+1所以d+2=0，解得d=?2（2）因?yàn)閍1=?1，所以1a故Tn【題型4分組（并項(xiàng)）法求和】【例4】（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an為公差不為零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn，S7=49，且a2(1)求an(2)若數(shù)列an+bn是公比為3的等比數(shù)列，且b3=22，求【解題思路】（1）設(shè)公差為d，根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式與等比中項(xiàng)公式列出關(guān)于a1和d的方程，求解即可得a（2）由（1）可得等比數(shù)列an+bn的第三項(xiàng)a3+b3，進(jìn)而得【解答過程】（1）因?yàn)閍n為等差數(shù)列，設(shè)公差為d由S7=49，得a1+a由a2，a5，a14成等比數(shù)列得a化簡(jiǎn)7+d2=7?2d7+10d得d2所以an綜上an（2）由an=2n?1知a1又an+b所以a3+b所以an+bn所以T=3×綜上Tn【變式4-1】（2024·山西·三模）已知等差數(shù)列an的公差d>0，前n項(xiàng)和為Sn，且a3(1)求數(shù)列an(2)若bn=an,n=2k?12n【解題思路】（1）依題意得到關(guān)于a1、d的方程組，解得a1、（2）由（1）可得bn【解答過程】（1）因?yàn)閍3a6所以a1+2da1+5d因?yàn)閐>0，所以a1=?9d=2（2）由（1）可得bn所以T==2n【變式4-2】（2024·黑龍江·三模）已知等差數(shù)列an的公差d>0，a2與a8(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=an,n【解題思路】（1）根據(jù)等差中項(xiàng)求出a5=5，再根據(jù)a4a6（2）先寫出bn，對(duì)n為偶數(shù)的情況進(jìn)行裂項(xiàng)，再用分組求和法求出T【解答過程】（1）因?yàn)閍n為等差數(shù)列，且a2與所以a2+a因?yàn)閍4所以(5?d)(5+d)=24，解得d=±1，因?yàn)閐>0，所以d=1，所以an故數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a（2）由題知，b即b所以T=1+=1+19故數(shù)列bn的前20項(xiàng)和T20為【變式4-3】（2024·湖南岳陽·三模）已知等差數(shù)列an滿足：a1=2，且a1，(1)求數(shù)列an(2)若等差數(shù)列an的公差不為零且數(shù)列bn滿足：bn=4n2【解題思路】（1）設(shè)數(shù)列公差，由條件列出方程，求解后運(yùn)用等差數(shù)列基本量運(yùn)算即得；（2）求出數(shù)列bn的通項(xiàng)公式，根據(jù)其形式結(jié)構(gòu)進(jìn)行拆項(xiàng)和裂項(xiàng)，利用分組求和法與裂項(xiàng)求和法即可求得T【解答過程】（1）設(shè)數(shù)列an的公差為d，依題意，2,2+d,2+3d成等比數(shù)列，所以(2+d)解得d=0或d=2，當(dāng)d=0時(shí)，an=2；當(dāng)d=2所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=2（2）因?yàn)榈炔顢?shù)列an的公差不為零，由（1）知an=4n2所以Tn即Tn【題型5倒序相加法求和】【例5】（2024·上海·模擬預(yù)測(cè)）已知fx=12x2+12x，數(shù)列(1)求數(shù)列an(2)若gx=4x4x+2【解題思路】（1）由題意得Sn=12n（2）先求得g(x)+g(1?x)=1，bn【解答過程】（1）因?yàn)辄c(diǎn)n,Snn∈所以Sn當(dāng)n=1時(shí)，S1=1當(dāng)n≥2時(shí)，a=1因?yàn)閍1所以an（2）因?yàn)間x所以g(x)+g(1?x)=4因?yàn)閍n=n，所以所以T=g1又T=g2024①+②，得2T所以T2024【變式5-1】（23-24高二下·四川成都·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足：a12+a(1)求數(shù)列an(2)求bn(3)求b1【解題思路】（1）根據(jù)題意，當(dāng)n≥2時(shí)，可得a12+a222+a（2）由（1）得bn=1（3）由（2）知bn【解答過程】（1）由數(shù)列an滿足：a當(dāng)n≥2時(shí)，可得a1兩式相減，可得an2n當(dāng)n=1，可得a12=1所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a（2）由數(shù)列bn滿足b則bn+b（3）由（2）知bn可得b1則b99兩式相加可得2(b1+【變式5-2】（23-24高二下·湖南益陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列an滿足a12+a(1)求數(shù)列an(2)求數(shù)列nan的前n項(xiàng)和(3)求數(shù)列bn的前99項(xiàng)的和T【解題思路】（1）利用數(shù)列的前n項(xiàng)和，求通項(xiàng)；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，利用錯(cuò)位相減法求和；（3）觀察數(shù)列bn的形式，求得b【解答過程】（1）由a1得a1①－②得：an2在①式中令n=1得a12=1，a1（2）Sn=兩式相減得：1整理得：S（3）bn所以b所以bn+且T99=b99+【變式5-3】（23-24高二下·全國(guó)·課前預(yù)習(xí)）已知函數(shù)fx(1)求證fx(2)若數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=fnm（m為正整數(shù)，n=1，2，?，m），求數(shù)列a【解題思路】（1）由函數(shù)fx的解析式得出f1?x的表達(dá)式，化簡(jiǎn)后可得（2）由于fx+f1?x=12，可得【解答過程】（1）證明：由于函數(shù)fx則f1?x所以fx（2）由（1）可知，fx則fkm+f1?k即fkm+f所以ak+am?k=且amSm變化前m?1項(xiàng)順序后，可得：Sm①+②得：2S因此Sm【題型6含有（-1）n的類型求和】【例6】（2024·遼寧沈陽·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an滿足a1=1，an>0，Sn是數(shù)列a(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=(?1)【解題思路】（1）根據(jù)an=Sn?（2）由（1）可得bn=(?1)n?1×【解答過程】（1）由2Sn=2an兩式相減得2an=2因?yàn)閍n>0，所以2a故an是首項(xiàng)為1，公差為1所以an（2）由（1）知bn所以b2n?1記cn=b∴b【變式6-1】（23-24高二下·廣東佛山·期中）設(shè)an是等差數(shù)列，bn是公比大于0的等比數(shù)列，已知a1=b(1)求an和b(2)設(shè)cn=?1nan+【解題思路】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為（2）由cn【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為q，且依題意得2q=2+d2q2=6+d，解得2q又因?yàn)閝>0，所以q=2，所以q=2d=2故an=2n，（2）cnT2n===?2+4+?6+8【變式6-2】（2024·陜西渭南·二模）已知等比數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足bn=an+(?1)【解題思路】（1）根據(jù)給定條件，借助等比數(shù)列的通項(xiàng)公式求出公比q及首項(xiàng)即可.（2）由（1）的結(jié)論，利用分組求和法，結(jié)合等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解即得.【解答過程】（1）設(shè)等比數(shù)列an的公比為q(q>0)，由a1+得a3解得q=2，于是a1+a所以數(shù)列an的通項(xiàng)公式是a（2）由（1）知，bn所以T=1?【變式6-3】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知(1)求an(2)若bn=(?1)nan+【解題思路】（1）根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得到Sn+1n+1?Snn=1（2）由（1）得到，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn=1?2n；當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn【解答過程】（1）解：由nSn+1?n+1S又由a1=1，所以S1所以Snn=1+當(dāng)n≥2時(shí)，Sn?1=(n?1)又當(dāng)n=1時(shí)，a1所以an的通項(xiàng)公式為a（2）由（1）可知當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，bn當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，bn所以T==2n+23=2n+8×【題型7奇偶項(xiàng)問題求和】【例7】（2024·山東·二模）已知an是公差不為0的等差數(shù)列，其前4項(xiàng)和為16，且a(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=2an,n為奇數(shù)【解題思路】（1）設(shè)出公差，借助等差數(shù)列性質(zhì)與等比數(shù)列性質(zhì)計(jì)算即可得；（2）分奇數(shù)項(xiàng)及偶數(shù)項(xiàng)分組求和，結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)與裂項(xiàng)相消法計(jì)算即可得.【解答過程】（1）設(shè)an的公差為dd≠0，由題意知a1即有2a1+3d=8d=2a1，因?yàn)樗詀n（2）設(shè)數(shù)列bn的前2n項(xiàng)中的奇數(shù)項(xiàng)之和為A，偶數(shù)項(xiàng)之和為B則A==2?B====1所以T2n【變式7-1】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）記數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知an(1)證明：an(2)記bn=2an,n為奇數(shù)【解題思路】（1）借助an與Sn的關(guān)系計(jì)算可得（2）計(jì)算出an通項(xiàng)公式后，可得b【解答過程】（1）當(dāng)n=1時(shí)，2a1=因?yàn)?Sn=an兩式相減得2an=因?yàn)閍n≥1，所以an?1故an（2）由（1）知，an=1+n?1故T==2【變式7-2】（2024·福建泉州·二模）已知數(shù)列an和bn的各項(xiàng)均為正，且a3=18b1，bn是公比3的等比數(shù)列．?dāng)?shù)列a(1)求數(shù)列an，b(2)設(shè)cn=bn+3bn+3?3【解題思路】（1）利用遞推公式可證得數(shù)列an是等差數(shù)列，可求出數(shù)列an的通項(xiàng)；利用等比數(shù)列的性質(zhì)，可求出（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消和分組求和法求解即可；【解答過程】（1）由題設(shè)，當(dāng)n=1時(shí)4S1=由4Sn=兩式相減得an∴an+an?1∴數(shù)列an是首項(xiàng)為2，公差為2的等差數(shù)列，∴又a3（2）c=則Tn=當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Tn當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Tn所以Tn【變式7-3】（2024·福建廈門·三模）設(shè)Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知a1(1)求an(2)若bn=an,n為奇數(shù)1【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列定義可得Sn=n(n+1)2，利用an（2）采用分組求和法，分別對(duì)奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)求和，結(jié)合等差數(shù)列求和公式和裂項(xiàng)相消法可求得結(jié)果.【解答過程】（1）設(shè)等差數(shù)列Snn的公差為d，因?yàn)樗許44?所以Snn=1+當(dāng)n≥2時(shí)，an當(dāng)n=1時(shí)，a1=1，滿足上式，所以（2）由（1）知b則T=(1+3+5+?+2n?1)+=n(1+2n?1)2所以數(shù)列bn的前2n項(xiàng)和為T【題型8先放縮再裂項(xiàng)求和】【例8】（2024·福建廈門·二模）已知數(shù)列an滿足a1=2（1）證明：數(shù)列1a（2）令bn=1【解題思路】（1）依題意可得an+1?1=a（2）由（1）可得an=1+1n，則【解答過程】解：（1）因?yàn)閍n+1=2因?yàn)閍1=2，所以所以1所以1又因?yàn)?a1?1（2）由（1）得1an?1所以a1a2所以b=1?即b1【變式8-1】（23-24高三上·陜西咸陽·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1（1）求證1a（2）求證：Sn【解題思路】（1）由已知得1an+1=an（2）有（1）知an=3【解答過程】證明：（1）∵數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=1，∴1an+1+13=41（2）∵1an+13是以43為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，∴S1=a1=1<當(dāng)n≥3時(shí)，∴S<6綜上所述，Sn【變式8-2】（23-24高一下·四川眉山·期末）已知數(shù)列an滿足a1=1，2an+1an+a(1)求證：數(shù)列bn(2)若存在n∈N+，使不等式a1(3)設(shè)正項(xiàng)數(shù)列cn滿足cn2【解題思路】（1）根據(jù)等差數(shù)列的定義證明；（2）根據(jù)裂項(xiàng)相消法計(jì)算求解；（3）求出通項(xiàng)公式，然后根據(jù)放縮法證明.【解答過程】（1）因?yàn)閎n+1?b（2）由（1）問可知bn=2n?1；故所以a1a2所以存在n∈N+，使不等式即存在n∈N+，使不等式即存在n∈N+，使不等式n(2n+1)(n+18)因?yàn)閚(2n+1)(n+18)當(dāng)且僅當(dāng)n=9n，即綜上：實(shí)數(shù)λ的取值范圍是：?∞（3）因?yàn)閎n=2n?1，所以Sn=n因?yàn)閏n所以cn∴c=n+1?1綜上：原不等式得證．【變式8-3】（2024·廣東惠州·一模）約數(shù)，又稱因數(shù)．它的定義如下：若整數(shù)a除以整數(shù)mm≠0除得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱a為m的倍數(shù)，稱m為a的約數(shù)．設(shè)正整數(shù)a共有k個(gè)正約數(shù)，記為a1，a2，…，ak?1，(1)當(dāng)k=4時(shí)，若正整數(shù)a的k個(gè)正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，請(qǐng)寫出一個(gè)a的值；(2)當(dāng)k≥4時(shí)，若a2?a1，a3(3)記A=a1a【解題思路】（1）根據(jù)題意即可寫出a的一個(gè)值；（首項(xiàng)為1，公比為質(zhì)數(shù)的等比數(shù)列的第四項(xiàng)均可）（2）由題意知，a1=1，ak=a，ak?1=aa2，ak?2=aa3，結(jié)合a2?a1，a3?a2，…，（3）由題意知，a1ak=a，a2ak?1=a，【解答過程】（1）（1）當(dāng)k=4時(shí)，正整數(shù)a的4個(gè)正約數(shù)構(gòu)成等比數(shù)列，如1，2，4，8為8的所有正約數(shù)，即a=8；或1，3，9，27為27的所有正約數(shù)，即a=27；或1，5，25，125為125的所有正約數(shù)，即a=125；（首項(xiàng)為1，公比為質(zhì)數(shù)的等比數(shù)列的第四項(xiàng)均可）（2）由題意可知，a1=1，ak因?yàn)閍2?a1，a3則q=a3?化簡(jiǎn)得：a32?(又因?yàn)閍3>1，所以a3所以ak又因?yàn)閍k=a，ak?1又因?yàn)閍2>1，所以（3）由題意知，a1ak=a，a2ak?1所以A=a因?yàn)?a1a2≤所以A=a2a因?yàn)閍1=1，a所以A≤a21【題型9新定義、新情景下的數(shù)列求和】【例9】（2024·陜西·三模）數(shù)列an的前n項(xiàng)的最大值記為Mn，即Mn=maxa1,a2,???,an(1)設(shè)數(shù)列pn的“生成數(shù)列”為qn，求證：(2)若an=2n?3n【解題思路】（1）由“生成數(shù)列”的定義證明即可；（2）由分組求和求解即可.【解答過程】（1）由題意可知Mn+1所以Mn+1?m即pn是單調(diào)遞增數(shù)列，且p由“生成數(shù)列”的定義可得qn（2）當(dāng)n≥3時(shí)，an∴a1>∴p當(dāng)n≥3時(shí)，pn設(shè)數(shù)列pn的前n項(xiàng)和為Sn．則當(dāng)n≥3時(shí)，S=1+=1+又S2=1符合上式，所以【變式9-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測(cè)）對(duì)于數(shù)列an，定義Δan=an+1?ann∈(1)試寫出“2?函數(shù)”f(2,n)，并求f(2,3)的值；(2)若“1?函數(shù)”f(1,n)≤15，求n的最大值；(3)記函數(shù)S(x)=x+2x2+?+nxn，其導(dǎo)函數(shù)為S【解題思路】結(jié)合新定義可得ΔΔan=Δan+1?Δan【解答過程】（1）由定義及ΔΔan所以Δan是公差為m的等差數(shù)列，所以因?yàn)閍1=a所以Δan=(n?1)m當(dāng)n≥2時(shí)，有a3a4……an所以an即an（1）當(dāng)m=2時(shí)，an所以“2?函數(shù)”f(2,n)=1×2+1×2當(dāng)n=3時(shí)，f(2,3)=1×2+1×2（2）當(dāng)m=1時(shí)，an故“1?函數(shù)”f(1,n)==1+1+?+====n由f(1,n)≤15，得n3令g(x)=x3?3所以g(x)=x3?3因?yàn)間(5)=0．所以當(dāng)1≤x≤5時(shí)，g(x)≤0，所以當(dāng)1≤n≤5時(shí)，f(1,n)≤15，故n的最大值為5．（3）證明：由題意得f(m,n)==m+=m+=由S(x)=x+2x2+?+n所以xS′(x)=x+4所以f(m,n)=m【變式9-2】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an是斐波那契數(shù)列，其數(shù)值為：1,1,2,3,5,8,13,21,34??????.這一數(shù)列以如下遞推的方法定義：a1=1，a2=1，an+2=an+1+a(1)已知數(shù)列cn滿足cn=man（n∈N*，(2)設(shè)數(shù)列{dn}的前n項(xiàng)和為S（i）若數(shù)列{dn}為“1（ii）在（i）問的前提下，若數(shù)列fn滿足fn=anSn，n∈N*，其前n【解題思路】（1）由已知可得c1=m,c（2）當(dāng)n≥2時(shí)，dn=Sn?Sn?1=2?3n?1，（i）由已知可得存在正整數(shù)n使得（ii）法一：當(dāng)n≥2時(shí)，易得an2=anan+1?anan?1，計(jì)算可得a12+a2【解答過程】（1）存在，理由如下：由已知得a1=1，a2∴∴c3=∴對(duì)?m∈R，當(dāng)正整數(shù)k=1時(shí)，存在n=即數(shù)列cn為“1（2）∵S∴當(dāng)n=1時(shí)，d1當(dāng)n≥2時(shí)，dn（i）若數(shù)列{dn}為“1階可分拆數(shù)列”，則存在正整數(shù)n當(dāng)n=1時(shí)，d2=d1+當(dāng)n≥2時(shí)，2?3n=因a≥0，所以3?a≤3，又4?3故方程4?3綜上所述，符合條件的實(shí)數(shù)a的值為0.（ii）方法一：證明：∵a∴當(dāng)n≥2時(shí)，an∴a=a1=a12?a∴a由（i）知Sn=3∴T13由①-②可得2===1∵T∴2∴T當(dāng)n∈N?且n≥3時(shí)，方法二：證明：∵a∴當(dāng)n≥2時(shí)，an∴a=a1=a12?a∴a由（i）知Sn=3∴T1313由①?②?③可得5=1∴T當(dāng)n∈N?且n≥3時(shí)，【變式9-3】（2024·江西·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)元代數(shù)學(xué)家朱世杰在他的《四元玉鑒》一書中對(duì)高階等差數(shù)列求和有精深的研究，即“垛積術(shù)”．對(duì)于數(shù)列a1,a2,???,an,???，①，從第二項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前面相鄰一項(xiàng)的差構(gòu)成數(shù)列a11,a12,???,a1n?1,???，②，稱該數(shù)列②為數(shù)列①的一階差分?jǐn)?shù)列，其中a1i=ai+1(1)若高階等差數(shù)列an為3,4,9,18,31,48,???，求數(shù)列a(2)若r階等差數(shù)列bn的通項(xiàng)公式b（?。┣髍的值；（ⅱ）求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和S附：12【解題思路】（1）根據(jù)r階等差數(shù)列的定義，分別求出一階差分?jǐn)?shù)列和二階差分?jǐn)?shù)列，發(fā)現(xiàn)二階差分?jǐn)?shù)列為常熟列，即可得出a2n=4，即a1n+1?a1n（2）（?。└鶕?jù)r階等差數(shù)列的定義，從一階差分?jǐn)?shù)列、二階差分?jǐn)?shù)列、三階差分?jǐn)?shù)列…依次往下求，當(dāng)出現(xiàn)常數(shù)列時(shí)為止，即可確定為r的值；（?、。┙Y(jié)合二項(xiàng)式定理將2n?14轉(zhuǎn)化為了16【解答過程】（1）數(shù)列an的一階差分?jǐn)?shù)列為1,5,9,13,17,???二階差分?jǐn)?shù)列為4,4,4,4,4,???，為非零常數(shù)列，所以a2n=4，即a1所以數(shù)列a1n所以a1n=1+n?1×4=4n?3，即所以當(dāng)n≥2時(shí)，a=4n?1當(dāng)n=1時(shí)，a1綜上，數(shù)列an的通項(xiàng)公式為a（2）（?。゜n=2n?1b2n所以b3n所以b4n所以數(shù)列bn是4階等差數(shù)列，即r=4（ⅱ）n=n所以n4又2n?1=16所以S==16一、單選題1．（2024·新疆·二模）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，若a7a8A．S4 B．S5 C．S6【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求解即可，或根據(jù)題意利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式化簡(jiǎn)，再化簡(jiǎn)S10【解答過程】因?yàn)閍7a8=?1，所以因?yàn)镾10?S另解：設(shè)等差數(shù)列an的公差為d由a7a8所以a1+6d+a1+7d=0所以S10因?yàn)镾4S5S6S7所以S故選：A．2．（2024·四川內(nèi)江·模擬預(yù)測(cè)）在數(shù)列an中，已知a1=12A．1929 B．2829 C．2930【解題思路】由題意可得an+1an【解答過程】解：由(n+2)a可得an+1所以當(dāng)n≥2時(shí)，an又a1所以an所以S30故選：D．3．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，a1+a2+aA．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】由已知得a1q6【解答過程】由題設(shè)易知，公比q≠1，設(shè)an從而由a1+a由a1a2則1a故選：D．4．（23-24高三上·云南曲靖·階段練習(xí)）已知數(shù)列bn是公比為q（q≠1）的正項(xiàng)等比數(shù)列，且2lnb1012=0，若fA．4069 B．2023C．2024 D．4046【解題思路】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得b1?b2023=b2?b【解答過程】由數(shù)列bn是公比為q（q≠1）的正項(xiàng)等比數(shù)列，故b2lnb1012即有b1由fx=4有fx故fb故2fb1故fb故選：D.5．（2024·河北張家口·三模）已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1,aA．3×251?156 B．3×251?103【解題思路】分奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)求遞推關(guān)系，然后記bn=a【解答過程】因?yàn)閍1所以a2k+2=a2k+1+1=2所以a2k+2記bn=a2n+所以bn+3是以所以bn+3=6×2記bn的前n項(xiàng)和為Tn，則故選：A.6．（2024·四川攀枝花·三模）數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，a1=?1，nan=A．?149 B．?49 C．49 D．149【解題思路】由an與Sn的關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求得an【解答過程】因?yàn)閚a當(dāng)n≥2時(shí)，na即(n?1)S可得Snn?Sn?1n?1=1，又S所以Snn=?1+n?1=n?2當(dāng)n≥2時(shí)Sn?1所以an=Sn?所以bn可得數(shù)列bn的前51項(xiàng)之和為(1+1)+(?3+5)+故選：B．7．（2024·天津北辰·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)數(shù)列an滿足a1+2a2A．53 B．85 C．127【解題思路】利用遞推關(guān)系求出an【解答過程】當(dāng)n=1時(shí)，a1當(dāng)n≥2時(shí)，a1a1兩式相減可得：nan=2又n=1時(shí)，a1=2，所以a1所以an=3,n=12n,n≥2，設(shè)bn所以bn設(shè)數(shù)列anT=3故選：D.8．（2024·四川綿陽·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an的各項(xiàng)均為正數(shù)，a1=1,an+1?an=A．615 B．620 C．625 D．630【解題思路】根據(jù)等差數(shù)列的定義求出an，再根據(jù)新定義對(duì)n分情況求出n【解答過程】因?yàn)閍1所以an+12?所以an2=1+所以an=n當(dāng)1≤n<4時(shí)，n=1當(dāng)4≤n<9時(shí)，n=2當(dāng)9≤n<16時(shí)，n=3當(dāng)16≤n<25時(shí)，n=4當(dāng)25≤n<36時(shí)，n=5當(dāng)36≤n<49時(shí)，n=6當(dāng)49≤n<64時(shí)，n=7當(dāng)64≤n<81時(shí)，n=8當(dāng)81≤n<100時(shí)，n=9100=10則a1+a故選：C.二、多選題9．（2023·山東日照·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列an中，an=2n+1,A．a(chǎn)nbB．(?1)nC．1anan+1D．a(chǎn)n+【解題思路】A.由anbn=2n+12n【解答過程】A.易知anbn=3?22T兩式相減得?T=6+2=6+2=?19?211?2B.易知(?1)nanC.1anaD.易知an+64an=2n+1+642n+1，令t=2n+1≥3，則y=t+64t≥2t?64t=16，當(dāng)且僅當(dāng)t=64t，即t=8故選：BC.10．（2024·吉林·模擬預(yù)測(cè)）已知在公差不為0的等差數(shù)列an中，a4=?5,a5是a2與a6的等比中項(xiàng)，數(shù)列bn的前A．a(chǎn)n=2n?13 C．Sn=?1【解題思路】先由等差數(shù)列an的條件求得通項(xiàng)公式an=2n?13，進(jìn)而求得bn，Sn【解答過程】設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a5=a6=a4+2d=?5+2d，因?yàn)閍5是即?5+d2=?5?2d?5+2d，解得d=0或2，又因?yàn)樗詀nbn令bn<0，則12n?13<12n?11，又因?yàn)榧粗挥衝=6時(shí)，bn<0且bn所以?n∈NSn因?yàn)橹挥衝=6時(shí)，bn<0，除此之外bn>0，所以又n>6時(shí)，Sn=12?所以?n∈N故選：ABD.11．（2024·貴州畢節(jié)·三模）已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S4A．a(chǎn)n=2n?1 C．?dāng)?shù)列1anan+1的前n項(xiàng)和為2n2n+1 D．?dāng)?shù)列【解題思路】由等差數(shù)列的性質(zhì)和前n項(xiàng)和公式可求出d=2,a1=1，可判斷A；由等差數(shù)列a【解答過程】對(duì)于A，設(shè)等差數(shù)列an的首項(xiàng)和公差為a所以S4=4a又因?yàn)閍2n=2a所以a1+d=a所以an對(duì)于B，Sn對(duì)于C，1a所以數(shù)列1anan+1的前對(duì)于D，令bn所以數(shù)列an+2n=n故選：ABD.三、填空題12．（2024·山東青島·三模）已知等差數(shù)列an的公差d≠0，首項(xiàng)a1=12，a4是a2與a8的等比中項(xiàng)，記Sn為數(shù)列【解題思路】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得到方程，即可求出公差d，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【解答過程】等差數(shù)列{an}中，a1=12，a所以a42=解得d=12或所以S20故答案為：105．13．（2024·四川·三模）在數(shù)列an中，已知a1=12，20242025【解題思路】由n+2an