專題6.2 等差數(shù)列及其前n項和（舉一反三）（新高考專用）（學(xué)生版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題6.2等差數(shù)列及其前n項和【十一大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1等差數(shù)列的基本量運算】 3【題型2等差數(shù)列的判定與證明】 4【題型3等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】 5【題型4等差數(shù)列的通項公式】 5【題型5等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)】 6【題型6等差數(shù)列的前n項和的最值】 6【題型7等差數(shù)列的簡單應(yīng)用】 7【題型8等差數(shù)列的奇偶項討論問題】 8【題型9含絕對值的等差數(shù)列問題】 9【題型10等差數(shù)列中的恒成立問題】 10【題型11與等差數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問題】 111、等差數(shù)列及其前n項和考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)理解等差數(shù)列的概念和通項公式的意義(2)探索并掌握等差數(shù)列的前n項和公式，理解等差數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系(3)能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題(4)體會等差數(shù)列與一元函數(shù)的關(guān)系2022年全國乙卷（文數(shù)）：第13題，5分2023年新高考I卷：第7題，5分2023年新高考Ⅱ卷：第18題，12分2024年新高考I卷：第19題，17分2024年新高考Ⅱ卷：第12題，5分等差數(shù)列是高考的熱點內(nèi)容，屬于高考的?？純?nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，等差數(shù)列的基本量計算和基本性質(zhì)、等差數(shù)列的中項性質(zhì)、判定是高考考查的熱點，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；等差數(shù)列的證明、求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點，一般出現(xiàn)在解答題中，難度中等.去年高考壓軸題中出現(xiàn)數(shù)列的新定義、新情景題，難度較大，需要靈活求解.【知識點1等差數(shù)列的概念】1．等差數(shù)列的概念一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差，常用字母d表示.2．等差中項由三個數(shù)a,A,b組成的等差數(shù)列可以看成是最簡單的等差數(shù)列，這時A叫做a與b的等差中項，則有2A=a+b.反之，若2A=a+b，則a,A,b三個數(shù)成等差數(shù)列.3．等差數(shù)列的通項公式等差數(shù)列的通項公式為=+(n-1)d，其中為首項，d為公差.4．等差數(shù)列的單調(diào)性由等差數(shù)列的通項公式和一次函數(shù)的關(guān)系可知等差數(shù)列的單調(diào)性受公差d影響.

①當(dāng)d>0時，數(shù)列為遞增數(shù)列，如圖①所示；

②當(dāng)d<0時，數(shù)列為遞減數(shù)列，如圖②所示；

③當(dāng)d=0時，數(shù)列為常數(shù)列，如圖③所示.

因此，無論公差為何值，等差數(shù)列都不會是擺動數(shù)列. 5．等差數(shù)列的性質(zhì)設(shè){}為等差數(shù)列，公差為d，則

(1)若m+n=p+q(m,n,p,q)，則+=+.

(2)數(shù)列{+b}(,b是常數(shù))是公差為d的等差數(shù)列.

(3)若{}是公差為d'的等差數(shù)列，{}與{}的項數(shù)一致，則數(shù)列{+(,為常數(shù))是公差為d+d'的等差數(shù)列.

(4)下標(biāo)成等差數(shù)列且公差為m的項,,,(k,m)組成公差為md的等差數(shù)列.

(5)在等差數(shù)列{}中，若=m，=n，m≠n，則有=0.【知識點2等差數(shù)列的基本運算的解題策略】1．等差數(shù)列的基本運算的兩大求解思路：(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想來解決問題.(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法.【知識點3等差數(shù)列的判定的方法與結(jié)論】1．證明數(shù)列是等差數(shù)列的主要方法：(1)定義法：對于n≥2的任意自然數(shù)，驗證an-an-1為同一常數(shù).即作差法，將關(guān)于an-1的an代入an-an-1，在化簡得到定值.(2)等差中項法：驗證2an-1=an+an-2（n≥3，n∈N*）都成立.2．判定一個數(shù)列是等差數(shù)列還常用到的結(jié)論：(1)通項公式：an=pn+q（p,q為常數(shù)）是等差數(shù)列.(2)前n項和公式：Sn=An2+Bn（A,B為常數(shù)）是等差數(shù)列.問題的最終判定還是利用定義.【知識點4等差數(shù)列及其前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用】1．項的性質(zhì)：在等差數(shù)列中，若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*)，則am+an=ap+aq.2．和的性質(zhì)：在等差數(shù)列中，Sn為其前n項和，則(1)S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1)；(2)S2n-1=(2n-1)an；(3)依次k項和成等差數(shù)列，即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差數(shù)列.3．求等差數(shù)列前n項和的最值的常用方法：(1)鄰項變號法：利用等差數(shù)列的單調(diào)性，求出其正負轉(zhuǎn)折項，或者利用性質(zhì)求其正負轉(zhuǎn)折項，便可求得和的最值；(2)二次函數(shù)法：利用公差不為零的等差數(shù)列的前n項和Sn=An2+Bn（A,B為常數(shù)，A≠0）為二次函數(shù)，通過二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.(3)不等式組法：借助當(dāng)Sn最大時，有，解此不等式組確定n的范圍，進而確定n的值和對應(yīng)Sn的值(即Sn最大值)，類似可求Sn的最小值.【方法技巧與總結(jié)】1．已知數(shù)列{}的通項公式是=pn+q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{}一定是等差數(shù)列，且公差為p.2．在等差數(shù)列{}中，a1>0，d<0，則Sn存在最大值；若a1<0，d>0，則Sn存在最小值.3．等差數(shù)列{}的單調(diào)性：當(dāng)d>0時，{}是遞增數(shù)列；當(dāng)d<0時，{}是遞減數(shù)列；當(dāng)d=0時，{}是常數(shù)列.4．?dāng)?shù)列{}是等差數(shù)列(A,B為常數(shù)).【題型1等差數(shù)列的基本量運算】【例1】（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）若等差數(shù)列an滿足an+an+1=4n+1，則a1=（

）A．3 B．32 C．1 D．【變式1-1】（2024·河北保定·三模）已知在等差數(shù)列{an}中，a1=1，公差d>0.若數(shù)列aA．1 B．2 C．3 D．4【變式1-2】（2024·內(nèi)蒙古包頭·三模）設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若S5=4a1，a1>0，若A．11 B．12 C．20 D．22【變式1-3】（2024·北京·模擬預(yù)測）記等差數(shù)列an的公差為d，前n項和為Sn，若a5+a11=62A．3 B．4 C．5 D．6【題型2等差數(shù)列的判定與證明】【例2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an，則“an?2+an+2A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【變式2-1】（2024·安徽阜陽·模擬預(yù)測）設(shè)正數(shù)數(shù)列an的前n項和為Sn，且SnA．a(chǎn)n是等差數(shù)列B．Sn是等差數(shù)列C．a(chǎn)n單調(diào)遞增【變式2-2】（2023·新疆·一模）非零數(shù)列an滿足an+1?(1)設(shè)bn=a(2)設(shè)cn=1anan+1【變式2-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項的積記為Tn，且滿足(1)證明：數(shù)列Tn(2)設(shè)bn=1TnTn+1【題型3等差數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】【例3】（2024·山西運城·三模）已知數(shù)列an是等差數(shù)列，12a3?A．4 B．?2 C．?4 D．?【變式3-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）在數(shù)列an中，已知2an+1=an+A．256 B．196 C．144 D．96【變式3-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an滿足a1a3+A．52 B．5 C．5或－5 D．52【變式3-3】（2024·廣西貴港·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列{an}的公差不為0，a2024=0，給定正整數(shù)m，使得對任意的n∈N*（n<m且m>2A．4047 B．4046 C．2024 D．4048【題型4等差數(shù)列的通項公式】【例4】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知Sn為正項數(shù)列an的前n項和，a1=3.【變式4-1】（23-24高二下·廣東汕尾·階段練習(xí)）已知數(shù)列an的前n項和Sn=n2+n+c（其中c為常數(shù)，c∈R【變式4-2】（2024高三·廣東·專題練習(xí)）已知數(shù)列an為公差不為零的等差數(shù)列，S7=77（1）求數(shù)列an（2）若數(shù)列bn滿足1bn+1?1bn【變式4-3】（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知數(shù)列an,bn，其中數(shù)列an是等差數(shù)列，且滿足b(1)求數(shù)列an和b(2)若cn=1anan+1【題型5等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)】【例5】（2024·陜西咸陽·二模）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若S4=2，S8A．30 B．58 C．60 D．90【變式5-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an,bn的前n項和分別為Sn,TA．516 B．716 C．1116【變式5-2】（2024·四川樂山·一模）設(shè)等差數(shù)列an的前n項和Sn，若S3=9，S6A．18 B．27 C．45 D．63【變式5-3】（2024·廣東佛山·模擬預(yù)測）設(shè)等差數(shù)列an，bn的前n項和分別為Sn，Tn，若對任意正整數(shù)n都有SnA．37 B．521 C．1941 D．【題型6等差數(shù)列的前n項和的最值】【例6】（2024·遼寧葫蘆島·二模）等差數(shù)列an中，a1>0，S7=S9A．7 B．8 C．9 D．10【變式6-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知an是等差數(shù)列，Sn是其前n項的和，則下列結(jié)論錯誤的是（A．若an=2n?25，則SnB．若an=?3n+27，則C．若S13=D．若首項a1>0，S6=S【變式6-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）記等差數(shù)列an的前n項和為Sn，公差為d，已知a4=?2,S9=0A．1 B．4 C．5 D．4或5【變式6-3】（2024·遼寧·二模）設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點(n,SA．C0=1 B．若A=0，則?nC．若A>0，則?n0∈N?，使Sn最大 D．若【題型7等差數(shù)列的簡單應(yīng)用】【例7】（2024·湖南·二模）張揚的父親經(jīng)營著一家童鞋店，該店提供從25碼到36.5碼的童鞋，尺寸之間按0.5碼為公差排列成等差數(shù)列．有一天，張揚幫助他的父親整理某一型號的童鞋，以便確定哪些尺寸需要進貨，張揚在進貨單上標(biāo)記了兩個缺貨尺寸．幾天后，張揚的父親詢問那些缺貨尺寸是哪些，但張揚無法找到標(biāo)記缺貨尺寸的進貨單，他只記得其中一個尺寸是28.5碼，并且在當(dāng)時將所有有貨尺寸加起來的總和是677碼．現(xiàn)在問題是，另外一個缺貨尺寸是（

）A．28碼 B．29.5碼 C．32.5碼 D．34碼【變式7-1】（2023·四川達州·一模）《孫子算經(jīng)》是我國南北朝時著名的數(shù)學(xué)著作，其中有物不知數(shù)問題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二，問物幾何？意思是：有一些物品，不知道有多少個，只知道將它們?nèi)齻€三個地數(shù)，會剩下2個；五個五個地數(shù)，會剩下3個；七個七個地數(shù)，也會剩下2個.這些物品的數(shù)量是多少個？若一個正整數(shù)除以三余二，除以五余三，將這樣的正整數(shù)由小到大排列，則前5個數(shù)的和為（

）A．189 B．190 C．191 D．192【變式7-2】（2024·山西晉城·一模）生命在于運動，某健身房為吸引會員來健身，推出打卡送積分活動（積分可兌換禮品），第一天打卡得1積分，以后只要連續(xù)打卡，每天所得積分都會比前一天多2分．若某天未打卡，則當(dāng)天沒有積分，且第二天打卡須從1積分重新開始．某會員參與打卡活動，從3月1日開始，到3月20日他共得193積分，中途有一天未打卡，則他未打卡的那天是（

）A．3月5日或3月16日 B．3月6日或3月15日C．3月7日或3月14日 D．3月8日或3月13日【變式7-3】（2024·四川達州·一模）《孫子算經(jīng)》是我國南北朝時著名的數(shù)學(xué)著作，其中有物不知數(shù)問題：今有物不知其數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，七七數(shù)之剩二.問物幾何？意思是：有一些物品，不知道有多少個，只知道將它們?nèi)齻€三個地數(shù)，會剩下2個；五個五個地數(shù)，會剩下3個；七個七個地數(shù)，也會剩下2個，這些物品的數(shù)量是多少個？若一個正整數(shù)除以三余二，除以五余三，將這樣的正整數(shù)由小到大排列，則前10個數(shù)的和為（

）A．754 B．755 C．756 D．757【題型8等差數(shù)列的奇偶項討論問題】【例8】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知數(shù)列an的前n項和為Sn,(1)求S9(2)求數(shù)列an【變式8-1】（2023·山東威?！ひ荒＃┮阎獢?shù)列an的各項均為正數(shù)，記Sn為an的前n(1)求數(shù)列an(2)記cn=?1nana【變式8-2】（2024·湖北·模擬預(yù)測）數(shù)列an中，a1=1，a(1)求數(shù)列an(2)數(shù)列bn的前n項和為Sn，且滿足bn2=【變式8-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項積為T(1)求證：數(shù)列Tn是等差數(shù)列，并求數(shù)列a(2)令bn=?1n?1an+1【題型9含絕對值的等差數(shù)列問題】【例9】（2024·四川成都·二模）已知數(shù)列an的前n項和Sn=?12(1)確定常數(shù)k，并求an(2)求數(shù)列an的前15項和T【變式9-1】（2024·安徽宣城·二模）已知數(shù)列an是首項為1的等差數(shù)列，公差d>0，設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且S1，(1)求an(2)求數(shù)列an?8的前n項和【變式9-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an,a1=?10，記Sn為an的前n(1)求Sn(2)設(shè)an的前n項和為Tn，求【變式9-3】（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an與bn為等差數(shù)列，a2=b3，a1(1)求出an與b(2)是否存在每一項都是整數(shù)的等差數(shù)列cn，使得對于任意n∈N+，cn都能滿足【題型10等差數(shù)列中的恒成立問題】【例10】（2024·貴州六盤水·三模）已知an為等差數(shù)列，且a5＝(1)求an(2)若2n?λ≥a【變式10-1】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)若a1≠2，求證：(2)對任意n,m∈N*,m≠n，都有S【變式10-2】（23-24高三上·山東棗莊·期末）已知Sn為各項均為正數(shù)的數(shù)列{an}的前(1)求{a(2)設(shè)bn=1anan+1，數(shù)列{bn【變式10-3】（23-24高二下·吉林長春·階段練習(xí)）設(shè)正項數(shù)列an的前n項之和bn=a1+a2+?+(1)求證：1cn為等差數(shù)列，并分別求(2)設(shè)數(shù)列an?bn+1的前n項和為Sn，不等式S【題型11與等差數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問題】【例11】（2024·黑龍江·三模）如果n項有窮數(shù)列an滿足a1=an，a2=(1)設(shè)數(shù)列bn是項數(shù)為7的“對稱數(shù)列”，其中b1,b2(2)設(shè)數(shù)列cn是項數(shù)為2k?1(k∈N?且k≥2)的“對稱數(shù)列”，且滿足cn+1?cn①若c1，c2，…，ck構(gòu)成單調(diào)遞增數(shù)列，且ck=2023②若c1=2024，且S2k?1【變式11-1】（2024·福建南平·二模）若數(shù)列cn共有mm∈N*,m≥3項，對任意ii∈N*,i≤m都有cicm+1?i=S（S為常數(shù)，且S>0(1)若m=3，a1=1，a2(2)已知數(shù)列bn是公差為dd≠0的等差數(shù)列，b1=?11，若m=10，an(3)若數(shù)列an是各項均為正整數(shù)的單調(diào)遞增數(shù)列，求證：a【變式11-2】（2024·江蘇南京·二模）已知數(shù)列an的前n項和為Sn．若對每一個n∈N?，有且僅有一個m∈N?，使得Sm≤an<Sm+1(1)若an的前四項依次為0，1，?1，1，試判斷an是否為“(2)若Sn=2n，證明(3)已知正項數(shù)列an為“X數(shù)列”，且an的“余項數(shù)列”為等差數(shù)列，證明：【變式11-3】（2024·貴州·三模）差分密碼分析（DifferentialCryptanalysis）是一種密碼分析方法，旨在通過觀察密碼算法在不同輸入差分下產(chǎn)生的輸出差分，來推斷出密碼算法的密鑰信息.對于數(shù)列ann∈N*，規(guī)定Δan為數(shù)列an的一階差分數(shù)列，其中Δan=an+1?an；規(guī)定Δ2a(1)設(shè)數(shù)列A:1,3,7,9,13,15，判斷數(shù)列A是否為“絕對差異數(shù)列”或“累差不變數(shù)列”，請說明理由；(2)設(shè)數(shù)列an的通項公式an=2(3)設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列cn為“累差不變數(shù)列”，其前n項和為Sn，且對?n∈N*，都有k=1nΔ2ck=Δ一、單選題1．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an滿足a2+a3=14，且A．1 B．2 C．3 D．42．（2024·新疆·二模）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若a7a8A．S4 B．S5 C．S63．（2024·天津濱海新·三模）已知數(shù)列an為各項不為零的等差數(shù)列，Sn為數(shù)列an的前n項和，4SnA．4 B．8 C．12 D．164．（2024·河北衡水·三模）已知數(shù)列an，bn均為等差數(shù)列，其前n項和分別為Sn，TA．2 B．3 C．5 D．65．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）2024年春節(jié)前夕，某商城針對顧客舉辦了一次“購物送春聯(lián)”的促銷活動，活動規(guī)則如下：將一天內(nèi)購物不少于800元的顧客按購物順序從1開始依次編號，編號能被3除余1，也能被4除余1的顧客可以獲得春聯(lián)1對，否則不能獲得春聯(lián)．若某天符合條件的顧客共有2000人，則恰好獲得1對春聯(lián)的人數(shù)為（

）A．167 B．168 C．169 D．1706．（2024·山東泰安·三模）已知Sn為等差數(shù)列an的前n項和，a1=?21，S7A．?99 B．?100 C．?110 D．?1217．（2023·重慶·二模）已知等差數(shù)列an的前30項中奇數(shù)項的和為A，偶數(shù)項的和為B，且B?A=45，2A=B+615，則an=A．3n?2 B．3n?1 C．3n+1 D．3n+28．（2024·湖北·二模）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且Sn=n2+m，n∈N*A．?2 B．0 C．1 D．2二、多選題9．（2024·黑龍江哈爾濱·二模）已知等差數(shù)列an的首