專題4.3 三角恒等變換（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題4.3三角恒等變換【九大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1兩角和與差的三角函數(shù)公式】 3【題型2兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形】 4【題型3輔助角公式的運(yùn)用】 6【題型4角的變換問題】 8【題型5三角函數(shù)式的化簡】 10【題型6給角求值】 11【題型7給值求值】 13【題型8給值求角】 15【題型9三角恒等變換的綜合應(yīng)用】 181、三角恒等變換考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)會(huì)推導(dǎo)兩角差的余弦公式

(2)會(huì)用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式

(3)掌握兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，并會(huì)簡單應(yīng)用(4)能運(yùn)用兩角和與差的正弦、余弦、正切公式推導(dǎo)二倍角的正弦、余弦、正切公式，并進(jìn)行簡單的恒等變換2022年新課標(biāo)Ⅱ卷：第6題，5分2023年新課標(biāo)I卷：第8題，5分2023年新課標(biāo)Ⅱ卷：第7題，5分2024年新課標(biāo)I卷：第4題，5分2024年新課標(biāo)Ⅱ卷：第13題，5分三角恒等變換是三角函數(shù)的重要工具，是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)、重點(diǎn)內(nèi)容.從近幾年的高考情況來看，主要考察三角函數(shù)的化簡求值、三角函數(shù)的變換等內(nèi)容，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，試題難度中等或偏下；但在有關(guān)三角函數(shù)的解答題中有時(shí)也會(huì)涉及到三角恒等變換、合并化簡，此時(shí)試題難度中等，復(fù)習(xí)時(shí)需要同學(xué)熟練運(yùn)用公式，靈活變換.【知識(shí)點(diǎn)1三角恒等變換思想】1．三角恒等變換思想——角的代換、常值代換、輔助角公式(1)角的代換代換法是一種常用的思想方法，也是數(shù)學(xué)中一種重要的解題方法，在解決三角問題時(shí)，角的代換作用尤為突出.

常用的角的代換形式：①=(+)-；

②=-(-)；

③=[(+)+(-)]；

④=[(+)-(-)]；

⑤=(-)-(-)；

⑥-=(-)+(-).(2)常值代換

用某些三角函數(shù)值代換某些常數(shù)，使之代換后能運(yùn)用相關(guān)的公式，我們把這種代換稱為常值代換，其中要特別注意的是“1”的代換.(3)輔助角公式通過應(yīng)用公式[或?qū)⑿稳?a,b都不為零)的三角函數(shù)式收縮為一個(gè)三角函數(shù)[或].這種恒等變形實(shí)質(zhì)上是將同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和收縮為一個(gè)三角函數(shù)，這種恒等變換稱為收縮變換，上述公式也稱為輔助角公式.【知識(shí)點(diǎn)2三角恒等變換的應(yīng)用技巧】1．兩角和與差的三角函數(shù)公式的應(yīng)用技巧(1)使用兩角和與差的三角函數(shù)公式，首先要記住公式的結(jié)構(gòu)特征.(2)使用公式求值，應(yīng)先求出相關(guān)角的函數(shù)值，再代入公式求值.2．兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟悉公式的正用，還要熟悉公式的逆用及變形應(yīng)用，如和二倍角的余弦公式的多種變形等.公式的逆用和變形應(yīng)用更能拓展思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.3．輔助角公式的運(yùn)用技巧對(duì)asinx+bcosx化簡時(shí)，輔助角的值如何求要清楚.4．角的變換問題的解題策略：(1)當(dāng)“已知角”有兩個(gè)時(shí)，“所求角”一般表示為兩個(gè)"已知角"的和或差的形式；(2)當(dāng)“已知角”有一個(gè)時(shí)，此時(shí)應(yīng)著眼于“所求角”與“已知角”的和或差的關(guān)系，再應(yīng)用誘導(dǎo)公式把“所求角”變成“已知角”.(3)常見的角變換：，，，，等.【知識(shí)點(diǎn)3三角恒等變換幾類問題的解題策略】1．給值求值問題的解題思路給值求值問題一般是將待求式子化簡整理，看需要求相關(guān)角的哪些三角函數(shù)值，然后根據(jù)角的范圍求出相應(yīng)角的三角函數(shù)值，代入即可.2．給角求值問題的解題思路給角求值問題一般所給出的角都是非特殊角，從表面上來看是很難的，但仔細(xì)觀察非特殊角與特殊角之間總有一定的關(guān)系，解題時(shí)，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合公式轉(zhuǎn)化為特殊角并且消除特殊角三角函數(shù)而得解.3．給值求角問題的解題思路給值求角問題一般先求角的某一三角函數(shù)值，再求角的范圍，最后確定角.4．三角恒等變換的綜合應(yīng)用的解題策略三角恒等變換的綜合應(yīng)用的求解策略主要是將三角變換與三角函數(shù)的性質(zhì)相結(jié)合，通過變換把函數(shù)化為f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性質(zhì)，解題時(shí)注意觀察角、函數(shù)名、結(jié)構(gòu)等特征，注意利用整體思想解決相關(guān)問題.【方法技巧與總結(jié)】1．.2．降冪公式：，.3．，，.【題型1兩角和與差的三角函數(shù)公式】【例1】（2024·江西九江·三模）若2sinα+π3=cosα?π3，則tanα?π6=（A．?4?3 B．?4+3 C．4?3【解題思路】設(shè)β=α?π6，則原等式可化為2sin【解答過程】令β=α?π6，則所以由2sin得2sin即2cos即sinβ=4?3所以tanα?故選：C.【變式1-1】（2024·湖南·模擬預(yù)測）已知α∈π2,π，tan3A．255 B．55 C．2【解題思路】根據(jù)差角公式可得tanα=?【解答過程】由tan3π4?α=故sinα=?2cosα，結(jié)合由于α∈π2,π，故故選：A.【變式1-2】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知cos10°?α=cos50°?α+A．33 B．?33 C．3【解題思路】根據(jù)兩角和差的余弦公式化簡，再根據(jù)50°=60°?10°結(jié)合兩角差的余弦公式化簡即可得解.【解答過程】由cos10°?α得cos10°故sin所以tan==cos故選：C.【變式1-3】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預(yù)測）已知sinαsinα+π6A．2?3 B．?2?3 C．2+3【解題思路】由兩角和差公式、二倍角公式逆用可得tan2α=【解答過程】由題意32sin2即tan2α=3，所以故選：B.【題型2兩角和與差的三角函數(shù)公式的逆用及變形】【例2】（2024·四川·模擬預(yù)測）已知α，β，γ∈0,π2，若sinα+sinγ=sinA．?π3 B．π3 C．?【解題思路】根據(jù)已知條件及同角三角函數(shù)的平方關(guān)系，利用兩角差的余弦公式及三角函數(shù)的特殊值，注意角的范圍即可求解.【解答過程】由sinα+sinγ=sinβ，cos∴sinα?sinβ∴2?2cosα?β=1又α，β，γ∈0,∴sinα?∴sinα<∴0<α<β<π∴?π∴α?β=?π故選：A.【變式2-1】（2024·內(nèi)蒙古呼和浩特·一模）已知sinα+cosβ=22A．732 B．C．53932 【解題思路】由sinα+cosβ=【解答過程】解：因?yàn)閟inα+所以sin2兩式相加得：2+2sinαcos化簡得sinα?β所以cos2α?2β故選：A.【變式2-2】（2024·山東泰安·模擬預(yù)測）若1+tan（θ?π4）A．?35 B．35 C．?【解題思路】根據(jù)兩角和的正切公式化簡可得tanθ【解答過程】由1+tan（θ?π所以tan(π4所以sin2θ=故選：D．【變式2-3】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知α，β，γ滿足α?β?γ=π，且sinα=2cosβcosγ，A．－2 B．?12 C．1【解題思路】根據(jù)題意切化弦結(jié)合三角恒等變換可得?cosα=4cos【解答過程】由tanβtanγ=?3，即sin則cosβ可得cosβ+γ因?yàn)棣?β?γ=π，即β+γ=α?可得cosβ+γ又因?yàn)閟inα=2cosβcosγ故選：B．【題型3輔助角公式的運(yùn)用】【例3】（2024·安徽合肥·三模）已知2sinα=1+23cosαA．?18 B．?78 C．【解題思路】先由輔助角公式得sinα?【解答過程】由2sinα=1+23cosα所以sin2α?故選：D.【變式3-1】（2024·四川遂寧·模擬預(yù)測）已知cos(α?π3)?cosA．?12 B．12 C．?【解題思路】利用差角的余弦公式、輔助角公式化簡變形即得.【解答過程】依題意，32所以sin(α?故選：D.【變式3-2】（2024·湖北·二模）函數(shù)fx=3cosx?4sinx，當(dāng)A．45 B．?45 C．3【解題思路】由輔助角公式、誘導(dǎo)公式直接運(yùn)算即可求解.【解答過程】fx其中cosφ=而fx等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)x+φ=2kπk∈Z，此時(shí)故選：B.【變式3-3】（2024·陜西銅川·三模）已知cosα?π3?cosA．?12 B．12 C．?【解題思路】利用和差公式、輔助角公式化簡得sinα?【解答過程】∵cos∴sin故選：A.【題型4角的變換問題】【例4】（2024·吉林長春·模擬預(yù)測）已知cos2α=?55，sinα+β=?1010，α∈A．π4 B．3π4 C．5π4 D．【解題思路】求出2α、α+β的范圍，利用平方關(guān)系求出sin2α、cosα+β，再由α?β=2α?α+β求出cos【解答過程】因?yàn)棣痢?,π2所以sin2α=因?yàn)棣痢?,π2，β∈所以cosα+β又由α?β=2α?α+βcos=又因?yàn)棣?β∈0,π，所以故選：B.【變式4-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知α,β都是銳角，cosα=17，sin(α+β)=A．?12 B．12 C．?【解題思路】根據(jù)題意，求得sinα=437，再由y=cos【解答過程】由α與β均為銳角，且cosα=17因?yàn)?<α<π2,0<β<π2又因?yàn)閥=cosx在(0,π)上單調(diào)遞減，且因?yàn)閏osα=17所以cosβ=則cos2β=2故選：A.【變式4-2】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知α，β均為銳角，sin2α?β=253A．255 B．55 C．2【解題思路】利用2α?β=α+α?β和β=?α?β?α對(duì)sin【解答過程】由題意sin2α?β又sin2α?β=2故sinα即cos又α均為銳角，所以cosα≠0故sinα?β故選：D.【變式4-3】（2024·山西·三模）若sin2α=33,sinβ?α=A．5+26 B．306 C．【解題思路】根據(jù)sin2α=33結(jié)合α的范圍分析可得α∈π4,π2，cos2α=?【解答過程】因?yàn)棣痢师?,π，則則2α∈π2,π，可得又因?yàn)棣隆师?3π2可得β?α∈π2,所以cosα+β==?故選：D.【題型5三角函數(shù)式的化簡】【例5】（2024·全國·模擬預(yù)測）sin80°+A．62 B．52 C．32【解題思路】切化弦后通分，根據(jù)兩角和差的正余弦公式求解即可.【解答過程】sin80°+cos==3cos=3cos=6故選：A.【變式5-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）化簡：1?3tan10°A．4 B．2 C．tan20° D．【解題思路】利用三角恒等變換的公式求解即可.【解答過程】1?3故選：A．【變式5-2】（2023·吉林延邊·二模）下列化簡不正確的是（

）A．cos82°sin52°+C．cos215°?sin【解題思路】利用三角恒等變換的知識(shí)進(jìn)行化簡，從而確定正確答案.【解答過程】A選項(xiàng)，cos===sinB選項(xiàng)，sin=1C選項(xiàng)，cos2D選項(xiàng)，tan48°+故選：D.【變式5-3】（2024·重慶·模擬預(yù)測）2cos65°cosA．2+32 B．1+32 C．【解題思路】由同角的商數(shù)關(guān)系，兩角和的正弦公式，降冪公式，誘導(dǎo)公式化簡求值即可．【解答過程】2=sin故選：A．【題型6給角求值】【例6】（2024·遼寧·二模）已知sin?(15°?α2)=tan?A．13 B．?13 C．2【解題思路】根據(jù)題意得到sin?(15°?α2)=33進(jìn)而得到【解答過程】∵sin?(15°?∴sin?(15°?則cos2cos(30°?α)=∴sin=cos故選A.【變式6-1】（23-24高二上·江西景德鎮(zhèn)·期中）已知sinα=267，cosα?β=105，且A．91535 B．111035 C．【解題思路】易知sinβ=sinα?α?β，利用角的范圍和同角三角函數(shù)關(guān)系可求得cosα和sinα?β，分別在sinα?β【解答過程】∵sinα=267<2又0<β<3π4，∴?3π當(dāng)sinα?βsinβ=sinα?∵0<β<3π4，∴sin當(dāng)sinα?β=?15綜上所述：sinβ=故選：A.【變式6-2】（23-24高一下·北京順義·階段練習(xí)）已知α∈0,π2(1)求tan2α，sin2α，(2)若β為銳角，且cos(α+β)=513【解題思路】（1）二倍角公式直接求tan2α，由tan2α的正負(fù)判斷角的范圍，結(jié)合sin2α2+（2）由tanα的值和α的范圍求出sinα、cosα的值，利用β=α+β?α【解答過程】（1）解：因?yàn)閠anα=34又α∈0,π2，2α∈0,π，tan2α=247>0，所以2α∈0,π2，則（2）因?yàn)棣痢?,π2且tanα=3因?yàn)棣聻殇J角，cos(α+β)=513則sin=12【變式6-3】（2024·浙江臺(tái)州·二模）已知函數(shù)f(x)=3（?）求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；（??）若f(α)=85,α∈[【解題思路】（1）先用輔助角公式變形函數(shù)為f(x)=2sinx+π6，再把（2）由f(α)=85，即sinα+π6=4【解答過程】（Ⅰ）f(x)=令?π2得?2π3+2kπ≤x≤∴f(x)的單調(diào)增區(qū)間為?2π3+2kπ,（Ⅱ）f(α)=85，即α∈π6,又sinα+所以α+π6∴=4【題型7給值求值】【例7】（2024·河北保定·三模）已知銳角α，β（α≠β）滿足sinα+2cosα=sinβ+2A．31010 B．255 C．【解題思路】利用輔助角公式化簡已知函數(shù)，得到正弦型函數(shù)，再利用自變量的范圍得到函數(shù)是不單調(diào)的，所以自變量不相等但函數(shù)值相等的情形就是兩角互補(bǔ)，從而就可以通過運(yùn)算得到結(jié)果.【解答過程】設(shè)f(x)=sinx+2cosx=5sin(x+φ)當(dāng)x∈(0,π2)此時(shí)f(x)=sinx+2cos又因?yàn)閒(α)=f(β)，且α≠β，所以α+φ+β+φ=π，所以α+β=所以sin(α+β)=故選：D.【變式7-1】（2024·遼寧丹東·二模）已知sinα+sinα+π3A．79 B．?79 C．2【解題思路】解法1：令α=(α+π6)?π6，α+π3=(α+π【解答過程】解法1：由sinα+sin(α+得sin(α+得3sin(α+π所以cos(2α+解法2：將sin展開得sinα+整理得32即sin(α+所以cos(2α+故選：A.【變式7-2】（2024·貴州貴陽·二模）已知cosα?cosβ=53A．?45 B．45 C．?25【解題思路】拆分角度α=α+β2+【解答過程】由α=α+βcosα?cosβ=?2兩式相除可得tanα+β所以tan(α+β)=tan故選：A．【變式7-3】（2024·遼寧·二模）已知α,β∈0,π2，2tanα=A．32 B．?32 C．1【解題思路】由2tanα=sin2βsinβ+sin【解答過程】因?yàn)?tan所以2sin所以sinα+所以sinα=所以cosπ因?yàn)棣?β∈0,π2所以π2?α=α+β，所以所以cos2α+β+故選：B.【題型8給值求角】【例8】（2023·江蘇無錫·三模）已知tanβ=cosα1?sinα，tanα+βA．π12 B．π6 C．π4【解題思路】利用已知條件和兩角和的正切公式，先求出角α，再利用已知條件即可求解.【解答過程】因?yàn)閠anα又因?yàn)閠anβ=cosα所以tanα=所以tan因?yàn)閟in2α+cos所以α=kπ,所以當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，cosα=?1，sin當(dāng)k為偶數(shù)時(shí)，cosα=1，sin因?yàn)閠anβ=cosα因?yàn)棣隆?,π2故選：C.【變式8-1】（23-24高三·全國·期末）已知0<α<β<π2,A．α+β=π6 C．β?α=π6 【解題思路】直接利用三角函數(shù)恒等變換進(jìn)行湊角化簡，再根據(jù)α，β的范圍即可求出結(jié)果.【解答過程】由已知可將2α=(α+β)+(α?β)，2β=(α+β)?(α?β)，則cos[(α+β)+(α?β)]+2cos[cos(α+β)?1][2cos(α?β)?1]=0，即又0<α<β<π2，所以所以cos(α+β)≠1即cos(α?β)=12，則α?β=?故選：D.【變式8-2】（2024·海南?？凇つM預(yù)測）已知cosα+2β=56,tanα+βtan【解題思路】根據(jù)題目條件得到cosα+βcosβ=16和sin【解答過程】cosα+2β故cosα+βtanα+βtanβ=?4故sinα+β故5cosα+βcos則sinα+β則cosα=cosα+β可取α=2故答案為：2π3【變式8-3】（2023·貴州六盤水·模擬預(yù)測）設(shè)α∈π4,π2，β∈π4,【解題思路】根據(jù)三角恒等變化化簡可得cosα?π4=cosβ，再結(jié)合【解答過程】因?yàn)閟inα+所以2cosα?又α∈π4,π2則可得α?π4=β=π4故答案為：π4【題型9三角恒等變換的綜合應(yīng)用】【例9】（2024·上?！つM預(yù)測）已知函數(shù)f(x)=2cos(1)求函數(shù)f(x)的在[0,π(2)若函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,m]上有且只有兩個(gè)零點(diǎn)，求m的取值范圍．【解題思路】（1）利用二倍角公式及和差角公式化簡函數(shù)解析式，再求出相位的范圍，并借助正弦函數(shù)的性質(zhì)求出遞減區(qū)間.（2）由x的取值范圍求出2x+π【解答過程】（1）依題意，f(x)=2cos2=32sin當(dāng)x∈0,π時(shí)，2x+π3∈[所以函數(shù)f(x)的在[0,π]上的單調(diào)遞減區(qū)間為（2）當(dāng)x∈[0,m]時(shí)，2x+π3∈[π3即函數(shù)y=sinx在因此2π≤2m+π所以m的取值范圍為[5【變式9-1】（2024·重慶·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=sinωx+φ(1)求fx(2)設(shè)gx=fx+fx+【解題思路】（1）根據(jù)最小正周期確定ω的值，再根據(jù)特殊值求解φ，即可得函數(shù)解析式；（2）利用三角恒等變換化簡函數(shù)gx【解答過程】（1）由周期T=2πω又f(π4)=f(0)得sin(π2+φ)=從而f(x)=sin（2）由題意g(x)=sin所以g(x)=2因?yàn)閤∈(?π4,從而?12<cos2x≤1，則?【變式9-2】（2023·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx(1)若fα+π4(2)設(shè)gx=fx+【解題思路】（1）先把函數(shù)化成fx（2）先化簡gx【解答過程】（1）因?yàn)閒x=2sinxcosfα+π4=1013?f2α?π12=2sin22α?π12+π（2）因?yàn)椋篺x+π12所以：gx設(shè)sin2x+cos2x=t，則t=所以：y=?t當(dāng)t=?2時(shí)，y所以gx的最小值為?2【變式9-3】（2024·云南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=4sin(1)求函數(shù)fx在區(qū)間π(2)在銳角△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且fA=3，2a=3【解題思路】（1）對(duì)函數(shù)進(jìn)行化簡，用輔助角公式合為一個(gè)三角函數(shù)，相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為π2即為半周期，可求出ω=1（2）由fA=3【解答過程】（1）f=2=sin∵T2=π2?T=π∵π3≤x≤3π∴當(dāng)2x?π3=7π6時(shí)，f即fx的值域?yàn)?1,2（2）由fA=3，且A∈又由正弦定理知2a=3b?2sin∴sinC=sinA+B∴S△ABC一、單選題1．（2024·四川宜賓·模擬預(yù)測）若cosα?π3+cosA．?33 B．33 C．2【解題思路】首先對(duì)cosα?π3【解答過程】cosα?π=3所以cosα?故選：A.2．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）已知sinα?β=2cosα+β,A．35 B．53 C．45【解題思路】利用兩角和差的正余弦公式展開，兩邊同除cosαcosβ，得到tanα?tanβ=1?tan【解答過程】sinα?β=2cos兩邊同除cosαcosβ，得到tantanα?β=tan故選：C.3．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若α,β∈(0,π)，且2sinβA．α=β B．α=2β C．α+β=π2 【解題思路】由兩角和與差的三角函數(shù)，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系求解．【解答過程】由2sinβtan2sinβcos即sin(α+β)=0，由α,β∈(0,π)，得所以α+β=π故選：D.4．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）若sinα?20°=sinA．18 B．?18 C．?【解題思路】根據(jù)三角函數(shù)恒等變換化簡已知可得sinα?【解答過程】根據(jù)題意，sin=sin而sin=1?2sin故選：D.5．（2024·江西宜春·模擬預(yù)測）已知α∈π2,3π4A．6+42 B．6?42 C．17+122【解題思路】由已知先利用和差角的正切公式進(jìn)行化簡可求tanα【解答過程】因?yàn)棣痢师?,所以1+tanα1?解得tanα=?3?22或tanα=?3+2則1?=1故選：A.6．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知α,β∈0,π2，且sinβ=cosA．15 B．25 C．35【解題思路】根據(jù)和差角公式，結(jié)合弦切互化，即可代入化簡求解.【解答過程】由題得sinβ=又sinβ=cosα+βsinα，所以sin故選:A.7．（2024·黑龍江雙鴨山·模擬預(yù)測）已知α,β∈0,π4，cos2α?sin2A．π12 B．π6 C．π4【解題思路】利用同角三角函數(shù)關(guān)系可得tanα=32，利用兩角和與差的正弦公式化簡3【解答過程】因?yàn)閏os2α?sin因?yàn)棣痢?,π4，所以cosα=2由3sinβ=sin即3sin(α+β)cos所以sin(α+β)cosα=2又0<α+β<π2，所以故選：D.8．（2024·天津北辰·三模）已知函數(shù)fx=3A．fx的最小正周期為B．fx的圖象關(guān)于點(diǎn)5C．若fx+t是偶函數(shù)，則t=πD．fx在區(qū)間0,π【解題思路】A項(xiàng)，化簡函數(shù)求出ω，即可得出周期；B項(xiàng)，計(jì)算出函數(shù)為0時(shí)自變量的取值范圍，即可得出函數(shù)的對(duì)稱點(diǎn)，即可得出結(jié)論；C項(xiàng)，利用偶函數(shù)即可求出t的取值范圍；D項(xiàng)，計(jì)算出x∈0,π4【解答過程】由題意，在fxfxA項(xiàng)，ω=4,T=2B項(xiàng)，令4x+π6=k當(dāng)k=1時(shí),x=5所以fx的圖象關(guān)于點(diǎn)5C項(xiàng)，f(x+t)=sin∴4t+π6=解得：t=πD項(xiàng),當(dāng)x∈0,π4所以sin4x+所以fx在區(qū)間0,π4故選：D.二、多選題9．（2024·河南周口·模擬預(yù)測）設(shè)α∈(0,π2)，β∈(0,A．cosB．若sin(α+πC．若tanα+tanD．若cos2α1+【解題思路】由兩角和差的余弦公式判斷A，利用二倍角公式及同角三角函數(shù)關(guān)系判斷B，化弦為切，結(jié)合兩角和差的正余弦公式求解判斷C，利用二倍角公式及三角恒等變換化簡求解判斷D.【解答過程】對(duì)于A，因?yàn)棣痢?0,π2)，β∈(0,π2)，則所以cosα+β對(duì)于B，因?yàn)閟in(α+π4而cos2α=1?2sin2α，所以sin2α=2所以tanα=對(duì)于C，由tanα+tanβ=1cos即sin(α+β)=sinπ2?β，因?yàn)棣痢?0,則α+β=π2?β或α+β+π2對(duì)于D，cos2α因?yàn)閏os2α1+sin即cosαsinβ?所以2sin(α+β+π因?yàn)棣?β∈(0,π)，所以所以α+β+π4=故選：AD.10．（2023·遼寧大連·一模）在△ABC中，若tanA+B2=A．tanAtanBC．sin2A+cos【解題思路】由tanA+B2=【解答過程】解：由tanA+B因?yàn)?<C2<所以1=2sin所以tanB=tanπ因?yàn)閟inA+sinB=∴22從而有0<sin又cosB=cosπ而cos2故選：BD.11．（2024·江西·二模）已知函數(shù)fx=3A．若ω=1，則將y=fx的圖象向左平移π6個(gè)單位長度，能得到函數(shù)B．若ω=2，則當(dāng)x∈0,π4時(shí)，C．若fx在區(qū)間0,π上恰有5D．若fx在區(qū)間π6【解題思路】利用二倍角公式及輔助角公式進(jìn)行化簡，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)檢驗(yàn)各選項(xiàng)即可判斷．【解答過程】f=3當(dāng)ω=1時(shí)，f(x)=sin2x+π6，則將y=sin當(dāng)ω=2時(shí)，f(x)=sin4x+π6，當(dāng)故?12≤sin4x+令2ωx+π6=kπ，k∈Z又ω>0，若fx在區(qū)間0,π上恰有5個(gè)零點(diǎn)，則5π若f(x)在區(qū)間π6則T2≥7π12?π又x∈π6,由0<ω≤65可得要使f(x)在區(qū)間π6,7π12故選：AD．三、填空題12．（2024·湖南衡陽·模擬預(yù)測）已知sinx+π6=33【解題思路】直接用和差角公式展開再用二倍角公式計(jì)算即可.【解答過程】cos2x+π3故答案為：?6313．（2024·廣西南寧·一模）已知0<α<π2<β<π,cos【解題思路】根據(jù)同角三角函數(shù)的關(guān)系結(jié)合兩角差的正弦值可得sinα，進(jìn)而可得tan【解答過程】由題意，sinβ=1?cos2β故sin=7故cosα=1?1故答案為：2414．（2024·安徽·三模）已知cos3π2+2α+4sin2π4?α?β【解題思路】由第一個(gè)已知條件得sin2α+sin2β=2sin2α+2β【解答過程】依題意，cos3(sin所以sin2α+所以sin2α+sin2β=而2sin因?yàn)棣?β≠kπk∈Z，故則cos