專題4.2 同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題4.2同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式【五大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用】 3【題型2誘導(dǎo)公式的應(yīng)用】 5【題型3三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值】 6【題型4三角恒等式的證明】 7【題型5同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用】 91、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式及誘導(dǎo)公式考點(diǎn)要求真題統(tǒng)計(jì)考情分析(1)理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式，，

(2)掌握誘導(dǎo)公式，并會(huì)簡(jiǎn)單應(yīng)用2022年浙江卷：第13題，5分2023年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第14題，5分2023年全國(guó)甲卷（理數(shù)）：第13題，5分2024年新課標(biāo)I卷：第4題，5分2024年全國(guó)甲卷（文數(shù)）：第9題，5分同角三角函數(shù)關(guān)系式與誘導(dǎo)公式是三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值的基礎(chǔ)，是高考數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容之一.從近幾年的高考情況來(lái)看，主要考察“弦切互化”、同角三角函數(shù)關(guān)系式與誘導(dǎo)公式綜合等內(nèi)容，考查較為靈活，一般以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，試題難度中等或偏下.【知識(shí)點(diǎn)1同角三角函數(shù)的基本關(guān)系】1．同角三角函數(shù)的基本關(guān)系基本關(guān)系式語(yǔ)言描述平方關(guān)系同一個(gè)角α的正弦、余弦的平方和等于1.商數(shù)關(guān)系同一個(gè)角α的正弦、余弦的商等于角α的正切.2．基本關(guān)系式的變形公式【知識(shí)點(diǎn)2同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用技巧】1．正余弦互化、弦切互化以及“和”“積”轉(zhuǎn)換的解題技巧(1)利用可以實(shí)現(xiàn)角的正弦、余弦的互化，利用可以實(shí)現(xiàn)角的弦切互化.(2)形如等類型可進(jìn)行弦化切.2．注意公式的逆用及變形應(yīng)用：.3．應(yīng)用公式時(shí)注意方程思想的應(yīng)用：對(duì)于這三個(gè)式子，利用，可以知一求二.【知識(shí)點(diǎn)3誘導(dǎo)公式的應(yīng)用的解題策略】1．誘導(dǎo)公式的兩個(gè)應(yīng)用(1)求值：負(fù)化正，大化小，化到銳角為終了.(2)化簡(jiǎn)：統(tǒng)一角，統(tǒng)一名，同角名少為終了.2．含2π整數(shù)倍的誘導(dǎo)公式的應(yīng)用由終邊相同的角的關(guān)系可知，在計(jì)算含有2π的整數(shù)倍的三角函數(shù)式中可直接將2π的整數(shù)倍去掉后再進(jìn)行運(yùn)算.如.【知識(shí)點(diǎn)4同角關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用的解題策略】1．化簡(jiǎn)、求值利用同角三角函數(shù)關(guān)系式和誘導(dǎo)公式求值或化簡(jiǎn)時(shí)，關(guān)鍵是尋求條件、結(jié)論間的聯(lián)系，靈活使用公式進(jìn)行變形.注意角的范圍對(duì)三角函數(shù)值符號(hào)的影響.2．用誘導(dǎo)公式求值用誘導(dǎo)公式求值時(shí)，要善于觀察所給角之間的關(guān)系，利用整體代換的思想簡(jiǎn)化解題過(guò)程.常見(jiàn)的互余關(guān)系有與，與，與等，常見(jiàn)的互補(bǔ)關(guān)系與，與，與等.【方法技巧與總結(jié)】1．同角三角函數(shù)關(guān)系式的常用變形2．誘導(dǎo)公式的記憶口訣“奇變偶不變，符號(hào)看象限”，其中的奇、偶是指的奇數(shù)倍和偶數(shù)倍，變與不變指函數(shù)名稱的變化.3．同角三角函數(shù)關(guān)系式的注意事項(xiàng)在利用同角三角函數(shù)的平方關(guān)系時(shí)，若開(kāi)方，要特別注意判斷符號(hào).【題型1同角三角函數(shù)基本關(guān)系式的應(yīng)用】【例1】（2024·海南·模擬預(yù)測(cè)）若α∈0,π，且cosα?sinα=12，則tanα=（

）A．4+75 B．4?75 C．【解題思路】先左右兩邊平方，得出sinα【解答過(guò)程】∵cosα?sinα=12，∴(∴sinαcosαsin2∴tanα=4?7∵α∈0,π，且cosα?∴0<tanα<1，故故選：D.【變式1-1】（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知sinα?cosα=15A．?125 B．125 C．?【解題思路】根據(jù)同角三角關(guān)系分析運(yùn)算，注意三角函數(shù)值的符號(hào)的判斷.【解答過(guò)程】由題意可得：sinα?cosα且α∈?π2即sinα>0,cosα>0因?yàn)閟inα+cosα所以sinα故選：D.【變式1-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊在直線y=13x上，則sinA．?15或75 B．15或?75【解題思路】在直線任取與原點(diǎn)不重合的點(diǎn)，根據(jù)三角函數(shù)定義得tanα=【解答過(guò)程】因?yàn)榻铅恋慕K邊在直線y=1任取x=aa≠0，y=a3所以sin==2×故選：C．【變式1-3】（2023·陜西咸陽(yáng)·三模）已知方程sin2α+2sinαcosA．?45 B．35 C．?【解題思路】由sin2α+2sinαcosα?2sin【解答過(guò)程】解：因?yàn)榉匠蘳in2所以sinα即sinα+2cosαsinα?2所以tanα=?2所以cos2=1?故選：B.【題型2誘導(dǎo)公式的應(yīng)用】【例2】（2024·河南信陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）若sinα+π3=1A．14 B．?14 C．±【解題思路】根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式計(jì)算即得.【解答過(guò)程】由sin(α+π3故選：B.【變式2-1】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知tanπ2+θ=1A．35 B．56 C．?5【解題思路】結(jié)合誘導(dǎo)公式與同角三角函數(shù)的基本關(guān)系運(yùn)算即可得.【解答過(guò)程】由題意得sinπ2+θ故sin=?sin故選：D.【變式2-2】（2024·四川·模擬預(yù)測(cè)）已知角α+π3的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊與x軸正半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P12,A．?32 B．?12 C．【解題思路】利用三角函數(shù)的定義可求出sinα+【解答過(guò)程】因?yàn)榻铅?π3的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)所以sinα+所以cosα?故選：D.【變式2-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知cosθ?2π5=A．?2 B．2 C．?23 【解題思路】利用已知的三角函數(shù)值，利用換元法，結(jié)合三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，可得答案.【解答過(guò)程】令m=θ?2π5，則從而2=2sin故選：A.【題型3三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值】【例3】（2023·云南大理·模擬預(yù)測(cè)）已知tanα=3，則cos3α?A．?34 B．34 C．?【解題思路】利用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系將原式化簡(jiǎn)，即可求得答案.【解答過(guò)程】因?yàn)閠anα=3，則=sin故選:D．【變式3-1】（2024·新疆烏魯木齊·二模）已知角α0°<α<360°終邊上A點(diǎn)坐標(biāo)為sin310°,cos310°，則A．130° B．140° C．220° D．230°【解題思路】先確定角α的終邊所在的位置，再根據(jù)誘導(dǎo)公式及商數(shù)關(guān)系即可得解.【解答過(guò)程】因?yàn)閟in310°<0,所以角α的終邊在第二象限，又因?yàn)閠an=cos且0°<α<360°，所以α=140°.故選：B.【變式3-2】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測(cè)）已知sinαsinπ3?αA．?23 B．?3 C．32【解題思路】由正弦展開(kāi)式和三角函數(shù)化簡(jiǎn)求值得出.【解答過(guò)程】sinα所以tanα所以tanα=2解得tanα=故選：D.【變式3-3】（2023·四川遂寧·模擬預(yù)測(cè)）已知α為第二象限角，若sin2023π2?α=A．?15 B．15 C．?1515【解題思路】根據(jù)誘導(dǎo)公式以及同角三角函數(shù)的關(guān)系式，可得答案.【解答過(guò)程】由sin2023π2由α為第二象限角，則sinα=1?cos故選：A.【題型4三角恒等式的證明】【例4】（23-24高一·全國(guó)·課后作業(yè)）設(shè)tanα+8π7【解題思路】由題意從所求式子的左邊出發(fā)，把tanα+【解答過(guò)程】證明：左邊=sinπ+α+8π把tanα+8π7【變式4-1】（2024高一·全國(guó)·專題練習(xí)）求證：(1)sinα?cosα+1(2)2【解題思路】（1）將左邊化為sinα?（2）用立方和公式與完全平方公式并結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系將式子化簡(jiǎn).【解答過(guò)程】（1）左邊=sin=sin（2）左邊=2sin2=2=21?3【變式4-2】（23-24高一上·全國(guó)·課后作業(yè)）（1）求證：tan(2π?α)（2）設(shè)tan(α+8π7【解題思路】（1）（2）應(yīng)用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)等式中結(jié)構(gòu)復(fù)雜的一側(cè)，即可證結(jié)論.【解答過(guò)程】（1）左邊=tan(?α)sin(?α)cos(?α)（2）方法1：左邊=sin[π+(8π7+α)]+3cos[(α+方法2：由tan(α+8π7所以，等式左邊=sin[2π+(π7+α)]+3cos【變式4-3】（23-24高一·全國(guó)·隨堂練習(xí)）求證：(1)sin4(2)sin4(3)cosα【解題思路】（1）利用平方差公式及sin2（2）利用提取公因式及sin2（3）利用通分，因式分解等式的運(yùn)算結(jié)合sin2【解答過(guò)程】（1）sin4故sin4（2）sin=sin故sin4（3）cos======2故cosα【題型5同角三角函數(shù)基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式的綜合應(yīng)用】【例5】（24-25高一上·上?！ふn后作業(yè)）已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4(1)求sin((2)求sin3【解題思路】（1）利用三角函數(shù)定義求出sinα,（2）求出tanα【解答過(guò)程】（1）依題意，r=OP=(45)2所以原式=sin（2）由（1）知，tanα=?所以原式=sin【變式5-1】（23-24高一下·江西景德鎮(zhèn)·期中）在①4sin(2023π+α)=3cos(2024π+α)；②已知第四象限角α滿足__________，求下列各式的值.(1)4(2)sin【解題思路】（1）選條件①時(shí)，根據(jù)誘導(dǎo)公式，將原式化簡(jiǎn)，得到tanα=?34；選條件②，根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系，求出tanα=?34；選條件③時(shí)，根據(jù)角的終邊對(duì)稱，得到（2）先將所求式子化為sin2【解答過(guò)程】（1）選①，4sin得?4sinα=3cos則4sin選②，α是第四象限角，所以sinα<0，cos又sinα+cosα=可得cosα=45，sin則4sin選③，α是第四象限角，則sinα<0，cos又因?yàn)棣?，β的終邊關(guān)于x軸對(duì)稱，則sinα=?sinβ又因?yàn)?sin所以?4sinα=3cos則4sin（2）由上可知選擇①、②、③都可得tanα=?sin=916?【變式5-2】（23-24高一下·遼寧沈陽(yáng)·階段練習(xí)）已知函數(shù)f(1)化簡(jiǎn)fα(2)若fα=?15，求(3)若α∈?π6【解題思路】（1）由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可得出答案；（2）利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系即可得出答案；（3）由已知求出sinα+π6=1【解答過(guò)程】（1）f（2）因?yàn)閒α=sin當(dāng)α為第三象限角時(shí)，cosα=?當(dāng)α為第四象限角村，cosα=（3）因?yàn)閒α=sincoscos因?yàn)棣痢?π6故cos5因此cos2【變式5-3】（23-24高一下·遼寧大連·階段練習(xí)）在單位圓中，銳角α的終邊與單位圓相交于點(diǎn)Pm,32，連接圓心O和P得到射線OP，將射線OP繞點(diǎn)O按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)θ后與單位圓相交于點(diǎn)B(1)求4sin(2)記點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為fθ，若fθ?π【解題思路】（1）由題意可得cosα=（2）由題意可得：fθ=cos【解答過(guò)程】（1）由于點(diǎn)P在單位圓上，且α是銳角，可得m=1所以cosα=所以4=4（2）由（1）可知cosα=12，且α根據(jù)三角函數(shù)定義可得：fθ因?yàn)閒θ?π6因此θ+π6所以cos==15一、單選題1．（2024·河南洛陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知tanα=2，則5sinα+A．13 B．113 C．5【解題思路】根據(jù)切弦互化法計(jì)算即可求解.【解答過(guò)程】因?yàn)閠anα=2所以5sin故選：B．2．（2024·湖北荊州·三模）已知sinθ+cosθ=713A．1713 B．713 C．±17【解題思路】根據(jù)題意，結(jié)合三角函數(shù)的基本關(guān)系式，即可求解.【解答過(guò)程】由sinθ+cosθ=可得2則sinθ?因?yàn)?sinθcosθ=?120169<0當(dāng)θ為第二象限角時(shí)，可得sinθ?當(dāng)θ為第四象限角時(shí)，可得sinθ?故選：C.3．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）已知α∈0,π2，sinα?πA．?223 B．223 【解題思路】利用角的變換，再結(jié)合誘導(dǎo)公式，即可求解.【解答過(guò)程】cosα+故選：C.4．（2024·山東泰安·模擬預(yù)測(cè)）已知sin3π2+α=32A．?3 B．?33 C．【解題思路】由誘導(dǎo)公式可得cosα=?32，根據(jù)平方關(guān)系sin【解答過(guò)程】由誘導(dǎo)公式得sin(所以cosα=?又因?yàn)棣痢?π所以sinα=所以tanα=故選：B.5．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知sin2π7+α=A．?15 B．±26 C．2【解題思路】根據(jù)題意，由誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【解答過(guò)程】因?yàn)閟in2所以cos3則sin3所以tan3故選：B.6．（2024·青海西寧·二模）已知sinα+cosα=3cosαA．?35 B．?45 C．【解題思路】根據(jù)題意可得tanα=12【解答過(guò)程】因?yàn)閟inα+cosα=3可得cos2所以cos2故選：A.7．（2024·遼寧·三模）已知tanα=12，則sinA．?1 B．1 C．?3 D．3【解題思路】由三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式和弦切關(guān)系化簡(jiǎn)可得.【解答過(guò)程】sinα+故選：D.8．（2023·山西·模擬預(yù)測(cè)）已知α,β,γ均是銳角，設(shè)sinαcosβ+sinβcosγ+A．3 B．1513 C．1 D．【解題思路】根據(jù)三角恒等變換結(jié)合基本不等式求最值可得tanθ=32【解答過(guò)程】由基本不等式可得sinαcosβ≤sin2三式相加，可得sinα當(dāng)且僅當(dāng)α,β,γ均為π4所以tanθ=則sinθ(故選：B.二、多選題9．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè)）已知角?α?的終邊與單位圓交于點(diǎn)35,yA．109 B．?109 C．?【解題思路】點(diǎn)35,y0代入單位圓的方程求出點(diǎn)【解答過(guò)程】∵角?α?的終邊與單位圓交于點(diǎn)∴925+y0當(dāng)tanα=43當(dāng)tanα=?43故選：AC.10．（2024·湖南邵陽(yáng)·三模）下列說(shuō)法正確的有（

）A．若角α的終邊過(guò)點(diǎn)P12,3B．若cosα+πC．若tanα=2，則D．若扇形的周長(zhǎng)為8cm，圓心角為2rad【解題思路】由三角函數(shù)的定義判斷A，根據(jù)誘導(dǎo)公式判斷B，根據(jù)“1”的代換和弦切互化求解判斷C，根據(jù)扇形弧長(zhǎng)公式求解判斷D.【解答過(guò)程】因?yàn)榻铅恋慕K邊過(guò)點(diǎn)P1所以由三角函數(shù)的定義知tanα=3，所以角α的終邊與所以角α的集合是αα=因?yàn)閟inα+因?yàn)閟in2設(shè)扇形的半徑為r，圓心角為α，因?yàn)樯刃嗡鶎?duì)的弧長(zhǎng)為l=αr=2r，所以扇形周長(zhǎng)為l+2r=2r+2r=4r=8，故r=2cm故選：ABC.11．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）設(shè)α為第一象限角,cosα?π8A．sinB．cosC．sinD．tan【解題思路】首先由題意得α?π8是第一象限角,所以【解答過(guò)程】由題意得2kπ則2kπ若α?π8在第四象限,則所以α?π8也是第一象限角,即sinα?cosα+sin13tanπ故選:BD.三、填空題12．（2024·寧夏石嘴山·模擬預(yù)測(cè)）已知角α的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P?1,2，則cosπ+α的值為【解題思路】利用任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式即可求解結(jié)果．【解答過(guò)程】因?yàn)榻铅恋慕K邊過(guò)點(diǎn)P(1,?2)，所以r=|OP|=(?1)所以cosα=xr故答案為：5513．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測(cè)）已知sinθ?2cosθsinθ+cos【解題思路】利用同角三角函數(shù)之間的基本關(guān)系可得sinθ=?4【解答過(guò)程】由sinθ?2cosθsinθ+所以sin=將tanθ=?4代入計(jì)算可得?63+即sin3故答案為：4713514．（2024·河北·一模）已知x是第二象限角，若cosx?70°=15，則sin【解題思路】利用角的變換，以及誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，即可求解.【解答過(guò)程】sinx+因?yàn)閤是第二象限角，若cosx?70°所以sinx?所以sinx+故答案為：?2四、解答題15．（2024·福建三明·模擬預(yù)測(cè)）已知fx（1）求fπ（2）若fα=1，且α是第三象限角，求【解題思路】（1）首先利用誘導(dǎo)公式，以及利用齊次分式化簡(jiǎn)為正切形式，再代入x=π3求值；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，解方程，求得tanα=2【解答過(guò)程】解：（1）因?yàn)閒x所以fπ（2）由fα=1，得tanα+1又tanα=sinαcosα所以tanα=2,16．（23-24高一下·河南濮陽(yáng)·階段練