專題6.3 等比數(shù)列及其前n項和（舉一反三）（新高考專用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專練（新高考專用）

專題6.3等比數(shù)列及其前n項和【十一大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1等比數(shù)列的基本量運算】 4【題型2等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】 5【題型3等比數(shù)列的判定與證明】 6【題型4等比數(shù)列的通項公式】 9【題型5等比數(shù)列中的單調(diào)性與最值問題】 10【題型6等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)】 12【題型7等比數(shù)列的簡單應(yīng)用】 14【題型8等比數(shù)列的奇偶項討論問題】 16【題型9等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】 19【題型10等比數(shù)列中的不等式恒成立、有解問題】 23【題型11與等比數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問題】 271、等比數(shù)列及其前n項和考點要求真題統(tǒng)計考情分析(1)通過生活中的實例，理解等比數(shù)列的概念和通項公式的意義(2)掌握等比數(shù)列前n項和公式，理解等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式的關(guān)系(3)能在具體問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題(4)體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系2022年新高考全國Ⅱ卷：第17題，10分2023年新高考Ⅱ卷：第8題，5分2023年全國乙卷（理數(shù)）：第15題，5分2023年全國甲卷（理數(shù)）：第5題，5分2024年新高考Ⅱ卷：第19題，17分2024年北京卷：第5題，5分等比數(shù)列是高考的熱點內(nèi)容，屬于高考的?？純?nèi)容之一.從近幾年的高考情況來看，等比數(shù)列的基本量計算和基本性質(zhì)、等比數(shù)列的中項性質(zhì)、判定是高考考查的熱點，主要以選擇題、填空題的形式考查，難度較易；等比數(shù)列的證明、求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點，一般出現(xiàn)在解答題中，難度中等.去年高考壓軸題中出現(xiàn)數(shù)列的新定義、新情景題，綜合性強，難度大，需要靈活求解.【知識點1等比數(shù)列及其前n項和】1．等比數(shù)列的概念文字

語言一般地，如果一個數(shù)列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等比數(shù)列，這個常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0)符號

語言在數(shù)列{}中，如果（或）(q≠0)成立，則稱數(shù)列{}為等比數(shù)列，常數(shù)q稱為等比數(shù)列的公比遞推

關(guān)系或2．等比中項如果在a與b中間插入一個數(shù)G(G≠0)，使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與b的等比中項.

若G是a與b的等比中項，則，所以=ab，即G=.3．等比數(shù)列的通項公式若等比數(shù)列{}的首項為，公比為q，則這個等比數(shù)列的通項公式是=(,q≠0).4．等比數(shù)列的單調(diào)性已知等比數(shù)列{}的首項為，公比為q，則

(1)當(dāng)或時，等比數(shù)列{}為遞增數(shù)列；

(2)當(dāng)或時，等比數(shù)列{}為遞減數(shù)列；

(3)當(dāng)q=1時，等比數(shù)列{}為常數(shù)列(這個常數(shù)列中各項均不等于0)；

(4)當(dāng)q<0時，等比數(shù)列{}為擺動數(shù)列(它所有的奇數(shù)項同號，所有的偶數(shù)項也同號，但是奇數(shù)項與偶數(shù)項異號).5．等比數(shù)列的性質(zhì)設(shè){}為等比數(shù)列，公比為q，則

(1)若m+n=p+q，m,n,p,q，則.

(2)若m,n,p(m,n,p)成等差數(shù)列，則成等比數(shù)列.

(3)數(shù)列{}(為不等于零的常數(shù))仍是公比為q的等比數(shù)列；

數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；

數(shù)列{}是公比為的等比數(shù)列；

若數(shù)列{}是公比為q'的等比數(shù)列，則數(shù)列{}是公比為q·q'的等比數(shù)列.

(4)在數(shù)列{}中，每隔k(k)項取出一項，按原來的順序排列，所得數(shù)列仍為等比數(shù)列，且公比為.

(5)在數(shù)列{}中，連續(xù)相鄰k項的和(或積)構(gòu)成公比為(或)的等比數(shù)列.

(6)若數(shù)列{}是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，則數(shù)列{}(c>0且c≠1)是公差為的等差數(shù)列.6．等比數(shù)列的前n項和公式若等比數(shù)列{}的首項為，公比為q，則等比數(shù)列{}的前n項和公式為

=.7．等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)已知等比數(shù)列{}的公比為q，前n項和為，則有如下性質(zhì)：

(1).

(2)若(k)均不為0，則成等比數(shù)列，且公比為.

(3)若{}共有2n(n)項，則=q；

若{}共有(2n+1)(n)項，則=q.【知識點2等比數(shù)列的基本運算的解題策略】1．等比數(shù)列基本量的運算的求解思路：等比數(shù)列基本量的運算是等比數(shù)列中的一類基本問題，等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程（組）便可迎刃而解.【知識點3等比數(shù)列的判定方法】1．證明數(shù)列是等比數(shù)列的主要方法：(1)定義法：（常數(shù)）為等比數(shù)列；(2)中項法：為等比數(shù)列；(3)通項公式法：（k，q為常數(shù)）為等比數(shù)列；證明一個數(shù)列為等比數(shù)列常用定義法與等比中項法，其他方法只用于選擇題、填空題中的判定；若證明某數(shù)列不是等比數(shù)列，則只要證明存在連續(xù)三項不成等比數(shù)列即可.2．在利用遞推關(guān)系判定等比數(shù)列時，要注意對n=1的情形進行驗證.【知識點4等比數(shù)列及其前n項和的性質(zhì)及應(yīng)用】1．等比數(shù)列的性質(zhì)：等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：一是通項公式的變形；二是等比中項的變形；三是前n項和公式的變形.根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口.2．等比數(shù)列的單調(diào)性與最值問題涉及等比數(shù)列的單調(diào)性與最值的問題，一般要考慮公比與首項的符號對其的影響.【知識點5等比數(shù)列前n項和的函數(shù)特征】1．Sn與q的關(guān)系(1)當(dāng)公比q≠1時，等比數(shù)列的前n項和公式是，它可以變形為,設(shè)，則上式可以寫成的形式，由此可見，數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點；(2)當(dāng)公比q=1時，等比數(shù)列的前n項和公式是，則數(shù)列{Sn}的圖象是函數(shù)圖象上的一群孤立的點.2．Sn與an的關(guān)系當(dāng)公比q≠1時，等比數(shù)列的前n項和公式是，它可以變形為,設(shè)，則上式可以寫成的形式，則Sn是an的一次函數(shù).【方法技巧與總結(jié)】1．等比數(shù)列{}的通項公式可以寫成，這里c≠0，q≠0.2．等比數(shù)列{}的前n項和Sn可以寫成(A≠0，q≠1,0).3．設(shè)數(shù)列{}是等比數(shù)列，Sn是其前n項和.(1).(2)若，則成等比數(shù)列.(3)若數(shù)列{}的項數(shù)為2n，則；若項數(shù)為2n+1，則.【題型1等比數(shù)列的基本量運算】【例1】（2024·安徽滁州·三模）已知an是單調(diào)遞增的等比數(shù)列，a4+a5=24,a3a6=128，則公比q的值是（

）A．2 B．?2 C．3 D．?3【解題思路】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出a4a5【解答過程】因為an所以a4則a4+a5=24又因為an所以a4所以公比q=a故選：A.【變式1-1】（2024·廣東廣州·三模）等比數(shù)列an滿足a1+a3=10，A．14 B．12 C．1【解題思路】由已知結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)及通項公式可求公比q及首項，進而可求.【解答過程】依題意有a1∴a故選：B.【變式1-2】（2024·廣東·模擬預(yù)測）已知正項等比數(shù)列an的前n項和為Sn，若S4S2A．12 B．22 C．2 【解題思路】利用等比數(shù)列的求和公式，結(jié)合正項等比數(shù)列求出最后的結(jié)果.【解答過程】設(shè)數(shù)列an的公比為q，顯然q≠1，則S4S2=故選C.【變式1-3】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列an的前n項和為Sn，且S3=14,aA．1 B．23或-1 C．?23 【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列基本量的計算即可求解公比，進而可求解.【解答過程】依題意，a1≠0，因為S3∴a1+故q=12當(dāng)q=12時，當(dāng)q=?13,∴a故選：D.【題型2等比數(shù)列的性質(zhì)及應(yīng)用】【例2】（2024·寧夏石嘴山·三模）已知數(shù)列an是等比數(shù)列，且a2a3aA．1 B．2 C．3 D．4【解題思路】利用等比數(shù)列的性質(zhì)求出a3【解答過程】因為{an}因此a2a3所以log2故選：B.【變式2-1】（2024·海南·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列an的公比為3,a2+aA．20 B．24 C．28 D．32【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)運算求解.【解答過程】由題意可知a1所以a5故選：D.【變式2-2】（2024·河南駐馬店·二模）設(shè)等比數(shù)列an的前n項之積為Sn，若S3=1，S9=512，則A．2 B．4 C．8 D．16【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列的性質(zhì)可得a2=1，a5【解答過程】因為S3=1，S9=512，所以解得a2=1，則q3=a故選：C.【變式2-3】（2024·四川巴中·模擬預(yù)測）在等比數(shù)列an中，a1+a3=2，A．3 B．6 C．9 D．18【解題思路】已知條件作商可求得q2【解答過程】因為a1+a所以a5+a則a3故選：B.【題型3等比數(shù)列的判定與證明】【例3】（2024·浙江·三模）已知數(shù)列an滿足a1=2，則“an為等比數(shù)列”是“am?aA．充分條件但不是必要條件 B．必要條件但不是充分條件C．充要條件 D．既不是充分條件也不是必要條件【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的定義、通項公式及充分條件、必要條件的定義判斷即可.【解答過程】若an為等比數(shù)列，則a所以am?a當(dāng)q≠2時am若am?an=am+n（?m，n∈所以2an=an+1，即a故“an為等比數(shù)列”是“am?an故選：B.【變式3-1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）等差數(shù)列an的前項n和為Sn，且an∈NA．?dāng)?shù)列2an一定是等比數(shù)列 B．?dāng)?shù)列C．?dāng)?shù)列Snn一定是等差數(shù)列 D．?dāng)?shù)列【解題思路】利用等差、等比數(shù)列的定義判斷A、B、C，特殊值判斷D，即可得結(jié)果.【解答過程】因為數(shù)列an是等差數(shù)列，設(shè)其通項公式為a所以2an+12an因為數(shù)列bn為等比數(shù)列，設(shè)其通項公式為b所以ba所以數(shù)列ban一定是等比數(shù)列，因為Sn=n所以數(shù)列Snn一定是等差數(shù)列，當(dāng)bn=(?1)n時，bn故選：D.【變式3-2】（2024·寧夏銀川·二模）已知數(shù)列{an}滿足a1=1A．{an+3} B．{an?3}【解題思路】由數(shù)列的遞推式，計算前四項，由等比數(shù)列的性質(zhì)可判斷ABC；由數(shù)列的遞推式推得an+2?a【解答過程】由a1=1，a2可得3a3+a1又3a4+a2由a1+3=4，a2+3=7，a3由a1?3=?2，a2?3=1，a3由a2+a1=5，a3+由3an+2+即為an+2?an+1=13(an+1?故選：D.【變式3-3】（2024·安徽合肥·模擬預(yù)測）已知“正項數(shù)列an滿足an+1?an=4A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分又不必要條件【解題思路】由an+1?an=【解答過程】因為an+1?a兩式相除可得：an+2所以an+2所以當(dāng)n=2k，則a2k+2a2k=4，所以a2k所以a2k所以當(dāng)n=2k?1，則a2k+1a2k?1=4，所以a2k?1所以a2k?1當(dāng)a2=2a1，則所以數(shù)列an為公比為2所以“a2=2a若數(shù)列an為等比數(shù)列，則公比為2，故a所以“數(shù)列an為等比數(shù)列”能推出“a故“a2=2a故選：C.【題型4等比數(shù)列的通項公式】【例4】（2024·全國·一模）等比數(shù)列an中，a1=1，a5=?8a2A．(?2)n?1 B．?(?2)n?1 C．(?2)【解題思路】根據(jù)題意等比數(shù)列的性質(zhì)可得公比q=?2，且由a5<a【解答過程】由題意知數(shù)列an為等比數(shù)列，設(shè)公比為q，由a5=?8a2因為a5<a2，即a1q4<a所以an故選：B.【變式4-1】（23-24高三下·青海玉樹·階段練習(xí)）已知Sn為數(shù)列an的前n項和，若an+1=2aA．a(chǎn)n=3n?4 B．a(chǎn)n【解題思路】先由題設(shè)求出a1，再通過構(gòu)造得a【解答過程】令n=1可得a2=2a1?2，又S則a1?2=2，an+1?2an?2故選：B.【變式4-2】（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知在遞增的等比數(shù)列an中，a1a2a3=1，1a【解題思路】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得a2=1，即有a【解答過程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，因為a1a2a又1a1+由an是遞增的等比數(shù)列，解得a所以q=a2a故答案為：2n?2【變式4-3】（2024·北京·三模）已知等比數(shù)列an滿足：a2<an<a1（【解題思路】根據(jù)給定條件，可得a1>0，公比q∈(?1,0)，再寫出數(shù)列【解答過程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，由a2<an顯然a2<|a3|，即aan=a1q取a1=1,q=?1故答案為：an=(?12)n?1（答案不唯一，【題型5等比數(shù)列中的單調(diào)性與最值問題】【例5】（23-24高三上·安徽合肥·階段練習(xí)）已知數(shù)列an是無窮項等比數(shù)列，公比為q，則“q>1”是“數(shù)列an單調(diào)遞增”的（A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的首項、公比的不同情形，分析數(shù)列的單調(diào)性，結(jié)合充分條件、必要條件得解.【解答過程】若a1<0，q>1，則數(shù)列an單調(diào)遞減，故q>1若an單調(diào)遞增，則a1>0，q>1，或a1<0所以“q>1”是“數(shù)列an故選：D．【變式5-1】（2024·四川自貢·三模）等比數(shù)列an公比為qq≠1，若Tn=a1a2aA．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件【解題思路】由等比數(shù)列及已知，要Tn為遞增數(shù)列只需a1qn?1>1在n≥2上恒成立，討論q<0、0<q<1【解答過程】由題設(shè)TnTn?1=an=a1當(dāng)q<0，不論a1取何值，總存在a當(dāng)0<q<1，a1<0，則a1>0，總存在當(dāng)q>1，a1<0，則0<a1<1，若a1=13a1≥1，則a1所以Tn為遞增數(shù)列有a1≥1所以，“數(shù)列Tn為遞增數(shù)列”是“a1>0故選：B.【變式5-2】（23-24高二下·北京順義·期中）數(shù)列{an}是等比數(shù)列，則對于“對于任意的m∈N?，an+2A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．不充分也不必要【解題思路】根據(jù)充分條件、必要條件的定義及等比數(shù)列的單調(diào)性與通項公式判斷即可.【解答過程】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q若an+2>a當(dāng)a1>0時，由a1(q2?1)>0若q<?1，則a2=a若q>1，則an>0，此時當(dāng)a1<0時，由a1(q2?1)>0若?1<q<0，則a2=a若0<q<1，則an<0，此時反之，若{an}所以“對于任意的n∈N?，an+2故選：C．【變式5-3】（2024·上海閔行·二模）已知數(shù)列an為等比數(shù)列，首項a1>0，公比q∈A．?dāng)?shù)列an的最大項為a1 B．?dāng)?shù)列aC．?dāng)?shù)列anan+1為嚴(yán)格遞增數(shù)列 【解題思路】分別在n為偶數(shù)和n為奇數(shù)的情況下，根據(jù)項的正負(fù)和an+2?an的正負(fù)得到最大項和最小項，知AB正誤；利用【解答過程】對于A，由題意知：當(dāng)n為偶數(shù)時，an當(dāng)n為奇數(shù)時，an>0，an+2綜上所述：數(shù)列an的最大項為a對于B，當(dāng)n為偶數(shù)時，an<0，an+2當(dāng)n為奇數(shù)時，an綜上所述：數(shù)列an的最小項為a對于C，∵ana∴a∵?1<q<0，∴q2?1<0∴數(shù)列an對于D，∵a2n?1+∴a∵?1<q<0，∴1+q>0，q2?1<0，又∴a2n+1+a2n+2故選：D.【題型6等比數(shù)列前n項和的性質(zhì)】【例6】（2024·江蘇揚州·模擬預(yù)測）在正項等比數(shù)列an中，Sn為其前n項和，若S30=7S10，A．10 B．20 C．30 D．40【解題思路】由等比數(shù)列片段和依然成等比數(shù)列，結(jié)合等比中項的性質(zhì)即可列式求解.【解答過程】設(shè)正項等比數(shù)列an的公比為q則S10,S20?若S30=7S10，所以S20?102解得S20=30或故選：C.【變式6-1】（2024·湖南邵陽·模擬預(yù)測）記Sn為公比小于1的等比數(shù)列an的前n項和，S3=2，S12A．6 B．3 C．1 D．1【解題思路】根據(jù)給定條件，利用等比數(shù)列片斷和性質(zhì)列式計算即得.【解答過程】依題意，S3,S則S6由S12S6S9由等比數(shù)列an的公比q小于1，得p=q3所以S6故選：B.【變式6-2】（23-24高二上·重慶·期中）已知等比數(shù)列an有2n+1項，a1=1，所有奇數(shù)項的和為85，所有偶數(shù)項的和為42，則n=A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)得到奇數(shù)項為1+q2+q4+…+q2n=1+q【解答過程】因為等比數(shù)列有2n+1項，則奇數(shù)項有n+1項，偶數(shù)項有n項，設(shè)公比為q，得到奇數(shù)項為1+q偶數(shù)項為q+q3+所以前2n+1項的和為1?22n+11?2故選：B.【變式6-3】（2024·江蘇·三模）設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Sn,a5A．1 B．4 C．8 D．25【解題思路】利用等比數(shù)列的性質(zhì)建立方程求解即可.【解答過程】因為S6=21，a5因為an是等比數(shù)列，所以S所以5?S22=S故選：A.【題型7等比數(shù)列的簡單應(yīng)用】【例7】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測）每年6月到9月，昆明大觀公園的荷花陸續(xù)開放，已知池塘內(nèi)某種單瓣荷花的花期為3天（第四天完全凋謝），池塘內(nèi)共有2000個花蕾，第一天有10個花蕾開花，之后每天花蕾開放的數(shù)量都是前一天的2倍，則在第幾天池塘內(nèi)開放荷花的數(shù)量達到最大（

）A．6 B．7 C．8 D．9【解題思路】每天荷花的數(shù)量都是前一天的2倍，則荷花朵數(shù)為等比數(shù)列，利用等比數(shù)列的通項公式及求和公式，列出不等式求解即可，注意花蕾有凋謝的情況.【解答過程】設(shè)第n天水塘中的荷花朵數(shù)為an，則a設(shè)第n天池塘內(nèi)開放荷花的數(shù)量為bn，則b1=bn當(dāng)n=7時，b7當(dāng)n=8時，b8所以荷花的數(shù)量在第8天達到最大.故選：C.【變式7-1】（2024·云南昆明·一模）第七屆國際數(shù)學(xué)大會（ICNE7）的會徽圖案是由若干三角形組成的.如圖所示，作Rt△?AOB，OA=1，∠AOB=30°，再依次作相似三角形△?BOC，△?COD，△

A．32233C．3223【解題思路】設(shè)第nn∈N*,1≤n≤12三角形的斜邊長為an，面積為bn，根據(jù)題意分析可知數(shù)列【解答過程】因為360°30°設(shè)第nn∈N*,1≤n≤12三角形的斜邊長為由題意可知：a1=1cos30°則b1=3可知數(shù)列bn是以首項b1=所以所作的所有三角形的面積和為36故選：D.【變式7-2】（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）某農(nóng)村合作社引進先進技術(shù)提升某農(nóng)產(chǎn)品的深加工技術(shù)，以此達到10年內(nèi)每年此農(nóng)產(chǎn)品的銷售額（單位：萬元）等于上一年的1.3倍再減去3.已知第一年（2023年）該公司該產(chǎn)品的銷售額為100萬元，則按照計劃該公司從2023年到2032年該產(chǎn)品的銷售總額約為（參考數(shù)據(jù)：1.310≈13.79）（A．3937萬元 B．3837萬元C．3737萬元 D．3637萬元【解題思路】根據(jù)配湊法、分組求和法求得正確答案.【解答過程】設(shè)a1=100，an+1所以數(shù)列an?10是首項為90，公比為所以a則S=≈300×13.79?200=3937（萬元）.故選：A.【變式7-3】（2023·陜西安康·模擬預(yù)測）中國古代著作《張丘建算經(jīng)》有這樣一個問題：“今有馬行轉(zhuǎn)遲，次日減半疾，七日行七百里”，意思是說有一匹馬行走的速度逐漸減慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了700里路，則該馬第五天走的里程數(shù)約為（

）A．2.76 B．5.51 C．11.02 D．22.05【解題思路】設(shè)該馬第nn∈N?天行走的里程數(shù)為an，分析可知，數(shù)列an是公比為q=【解答過程】設(shè)該馬第nn∈N?由題意可知，數(shù)列an是公比為q=所以，該馬七天所走的里程為a11?1故該馬第五天行走的里程數(shù)為a5故選：D.【題型8等比數(shù)列的奇偶項討論問題】【例8】（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）記Sn為數(shù)列an的前n項和，已知(1)求an(2)若bn=(?1)nan+【解題思路】（1）根據(jù)題意，化簡得到Sn+1n+1?Snn=1（2）由（1）得到，當(dāng)n為奇數(shù)時，bn=1?2n；當(dāng)n為偶數(shù)時，bn【解答過程】（1）解：由nSn+1?n+1S又由a1=1，所以S1所以Snn=1+當(dāng)n≥2時，Sn?1=(n?1)又當(dāng)n=1時，a1所以an的通項公式為a（2）由（1）可知當(dāng)n為奇數(shù)時，bn當(dāng)n為偶數(shù)時，bn所以T==2n+23=2n+8×【變式8-1】（2024·湖南長沙·三模）若各項均為正數(shù)的數(shù)列cn滿足cncn+2?cn+12=k(1)求an(2)設(shè)bn=an,n為奇數(shù)b【解題思路】（1）利用“比差等數(shù)列”的定義可得an+2an+1?a可得an+1an（2）分n為奇數(shù)與偶數(shù)兩種情況求解可得數(shù)列bn的前n項和S【解答過程】（1）由an得an從而an+2設(shè)dn=a所以數(shù)列dn因為d1所以dn因此，dn=d所以an是首項為58，公比為因此an（2）當(dāng)n為偶數(shù)時，S=2×5當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn綜上，Sn【變式8-2】（2024·云南昆明·三模）正項數(shù)列an的前n項和為Sn，等比數(shù)列bn的前n項和為Tn(1)求數(shù)列an(2)已知數(shù)列cn滿足cn=bn?a【解題思路】（1）由an與S（2）求得cn后，討論n【解答過程】（1）當(dāng)n=1時，4S1=a1所以a1=1，同理當(dāng)n≥2時，an14an+a即an?an?1=2，故d=2同理，bn+b因為bn是等比數(shù)列，所以bn+bn?1（2）由（1）知cn所以當(dāng)n為奇數(shù)時，H=1=1同理當(dāng)n為偶數(shù)時，Hn所以Hn【變式8-3】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測）已知在正項數(shù)列an中，a3=4,(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足bn=an+(?1)【解題思路】（1）利用等差中項與等比中項可得數(shù)列an（2）分n為偶數(shù)和奇數(shù)求數(shù)列bn的前n項和T【解答過程】（1）∵ln∴2lnan+1=ln∴a又a3=a（2）bn當(dāng)n為偶數(shù)時，T=1?當(dāng)n為奇數(shù)時，Tn∴T【題型9等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合應(yīng)用】【例9】（2024·四川綿陽·三模）已知首項為1的等差數(shù)列an滿足：a(1)求數(shù)列an(2)若數(shù)列bn滿足：a1bn+a2【解題思路】（1）由已知列式求得公差，代入等差數(shù)列的通項公式得答案；（2）令Dn=a1bn+a【解答過程】（1）設(shè)an公差為d，又a所以a2又a1=1，即1+d2=2+2d，解得而d=?1時，不滿足a1,a所以an（2）令Dn所以Dn+1兩式相減有：Dn+1所以數(shù)列bn的前n+1項和為2?3n又D1=a所以Tn【變式9-1】（2024·天津·高考真題）已知an是等差數(shù)列，a(1)求an的通項公式和i=(2)設(shè)bn是等比數(shù)列，且對任意的k∈N*，當(dāng)2（Ⅰ）當(dāng)k≥2時，求證：2k（Ⅱ）求bn的通項公式及前n【解題思路】(1)由題意得到關(guān)于首項、公差的方程，解方程可得a1=3,d=2，據(jù)此可求得數(shù)列的通項公式，然后確定所給的求和公式里面的首項和項數(shù)，結(jié)合等差數(shù)列前n項和公式計算可得(2)(Ⅰ)利用題中的結(jié)論分別考查不等式兩側(cè)的情況，當(dāng)2k?1≤n≤2取n=2k?1，當(dāng)2k?2≤n≤2(Ⅱ)結(jié)合(Ⅰ)中的結(jié)論，利用極限思想確定數(shù)列的公比，進而可得數(shù)列的通項公式，最后由等比數(shù)列前n項和公式即可計算其前n項和.【解答過程】（1）由題意可得a2+a則數(shù)列an的通項公式為a求和得i==2=2（2）(Ⅰ)由題意可知，當(dāng)2k?1≤n≤2取n=2k?1，則bk當(dāng)2k?2≤n≤2取n=2k?1?1據(jù)此可得2k綜上可得：2k(Ⅱ)由(Ⅰ)可知：2k?1<則數(shù)列bn的公比q滿足2當(dāng)k∈N*,k→+∞時，所以2k?1<b當(dāng)k∈N*,k→+∞時，所以數(shù)列的通項公式為bn其前n項和為：Sn【變式9-2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，a1+a2+3(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=an?3a【解題思路】（1）設(shè)出公差，表達出前5項，通過等差和等比關(guān)系求出a3和公差d，即可得到數(shù)列a（2）表達出數(shù)列bn的通項公式，得到數(shù)列bn的前n項和Tn的表達式，利用錯位相減法即可得出數(shù)列b【解答過程】（1）由題意，n∈在等差數(shù)列an中，設(shè)公差為d由a1+a2+3又a3＋2，a4，a5－2成等比數(shù)列，∴7，5＋d，3＋2d成等比數(shù)列，得5+d2=73+2d，即d?2∴an=a∴數(shù)列an的通項公式為：a（2）由題意及（1）得，n∈N在數(shù)列an中，a在數(shù)列bn中，b∴bn∴Tn3T兩式相減得?2=3+2?=?6+2?2n∴Tn【變式9-3】（2023·天津濱海新·三模）設(shè)an是等差數(shù)列，bn是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列．且a1=b1(1)求an，b(2)記Tn為bn的前n項和，求證：(3)若cn=an+1?b【解題思路】（1）由已知條件列出方程組，求解出d，q，根據(jù)等比和等差數(shù)列的通項公式求解即可；（2）利用等比數(shù)列前n項和公式求出Tn，求出T（3）利用錯位相減法和裂項相消法分奇偶項兩組求和即可.【解答過程】（1）解：由已知可得a32a聯(lián)立①②，得q2+q?6=q+3q?2=0因為bn是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，所以q=2，代入①式可得d=2所以an=1+2n?1（2）Tn∴Tn+1=則T=2所以Tn（3）cS2n令A(yù)=2×1+6×2則2A①?②∴A令B==1∴S【題型10等比數(shù)列中的不等式恒成立、有解問題】【例10】（2024·廣西桂林·三模）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=nan，且數(shù)列bn的前n項和為Tn，若【解題思路】（1）根據(jù)an（2）由（1）可得bn=n14n?1，結(jié)合錯位相減求和法計算可得T【解答過程】（1）因為4a當(dāng)n=1時，得4a1?3a1當(dāng)n≥2時，3S由①-②得3an=14所以an（2）因為bn所以Tn=1×1兩式相減得，34即34Tn故Tn由Tn≤169+3λ依題意，?n∈N?不等式因為y=?n9?所以λ≥?727，即λ的取值范圍為【變式10-1】（23-24高二下·湖北·期中）已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足Sn=2an?2.數(shù)列bn的前(1)求數(shù)列an(2)若cn=anbn，設(shè)數(shù)列cn的前n【解題思路】（1）根據(jù)Sn與an的關(guān)系，作差結(jié)合等比數(shù)列定義即可求得an=2n，當(dāng)（2）先利用錯位相減法求得Hn=n?1【解答過程】（1）對于數(shù)列an，當(dāng)n=1時，S1=2當(dāng)n≥2時，Sn?1=2a所以an是以a1=2對于數(shù)列bn，當(dāng)n=1時，1b1n≥2時，1b與原式作差可得bn+1因為b2?b所以bn是以b1=1（2）由（1）可知cn所以Hn所以2H兩式作差可得?H所以Hn所以n?1?2n+1當(dāng)n=2k,k∈N+時，m<1?1當(dāng)n=2k?1,k∈N+時，?m<1?1綜上可得：?1【變式10-2】（2024·湖南·二模）已知an是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列bn滿足：bn=2log(1)求數(shù)列an(2)若對任意的n∈N*都有2λa【解題思路】（1）利用題設(shè)條件求得a1,a4，再利用等比數(shù)列的通項公式求得（2）將問題轉(zhuǎn)化為λ≥2n?32n【解答過程】（1）因為bn=2log2a所以b1=1=2logb4=7=2log因為an是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，所以q3=所以an=2（2）因為2λan≥設(shè)f(n)=2n?32n當(dāng)n≤2時，f(n+1)?f(n)>0，則f(3)>f(2)>f(1)；當(dāng)n≥3時，f(n+1)?f(n)<0，則f(3)>f(4)>f(5)>?；所以f(n)max=f(3)=【變式10-3】（2024·天津紅橋·一模）已知Sn為數(shù)列an的前n項和，且滿足Sn=2a(1)求數(shù)列an(2)設(shè)bn=(?1)n+1Snr【解題思路】（1）利用an（2）由題意有i=12n?1bimax<m<【解答過程】（1）由Sn當(dāng)n=1時，a1=S當(dāng)n≥2時，an=S所以數(shù)列an是以2所以an（2）由（1）得Sn則bn故i=12n?1i=12n而i=12n?1bi所以i=12n?1i=12nbi所以i=12n因為對任意的n∈N?，都有所以?1<m<2.【題型11與等比數(shù)列有關(guān)的新定義、新情景問題】【例11】（2024·全國·模擬預(yù)測）約數(shù)，又稱因數(shù).它的定義如下：若整數(shù)a除以整數(shù)mm≠0所得的商正好是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就稱a為m的倍數(shù)，稱m為a的約數(shù).設(shè)正整數(shù)a共有k個正約數(shù)，即為a1，(1)若a=8，求k的值；(2)當(dāng)k≥4時，若ak?a(3)記A=a1a【解題思路】（1）根據(jù)約數(shù)的定義確定約數(shù)的個數(shù)即可；（2）結(jié)合約數(shù)的定義可得a1=1,ak=a,（3）先證明aiak+1?i【解答過程】（1）a=8時，因為a=1×8=2×4，所以1,2,4,8為8的所有正約數(shù)，故k=4.（2）由題意可知a1因為k≥4，依題意可知a3?a化簡可得a3?a因為a3∈N*，所以由于a2是整數(shù)a的最小非1因子，a3是a的因子，且a3所以a2?a經(jīng)檢驗該關(guān)系滿足條件，所以a=a（3）由題意知a1所以A=a因為1a所以A=≤a因為a1=1,a所以A<a【變式11-1】（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）若無窮數(shù)列an滿足：對于?n∈N*，an+12(1)若一個公比為q的等比數(shù)列xn為“P數(shù)列”，求q(2)若a1=1，p=2，yn是首項為1，公比為3的等比數(shù)列，在yk與yk+1之間依次插入數(shù)列a(3)若一個“P數(shù)列"an滿足a1=2,a2=22,an>0，設(shè)數(shù)列1an【解題思路】（1）根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，列出“P數(shù)列”的式子，變形后得xn+12?xn（2）由題意確定數(shù)列cn中前30項含有yn的前7項和數(shù)列an（3）首先求解出an=2n，可得數(shù)列1cn的前n項和T【解答過程】（1）數(shù)列xn是等比數(shù)列，則xn=則xn+1因為P與n無關(guān)，所以q2?1=0，即（2）由題意可知，an+12?anyn而新數(shù)列cn中yk+1項（含yk+1令k+1k+22≤30，結(jié)合k∈故數(shù)列cn中前30項含有yn的前7項和數(shù)列所以數(shù)列cn中前30項的和T（3）因為數(shù)列an是“P數(shù)列”，a1=2，a則P=a22?a所以數(shù)列1an的前n項和假設(shè)存在正整數(shù)m,k，使得不等式1211即1當(dāng)n=1時，1>2m+k?1，得又m,k為正整數(shù)，得m=k=1下面證明：11+1由于1n=2所以11=2n+1所以存在m=k=1，使不等式Tn>mn+k【變式11-2】（2025·甘肅張掖·模擬預(yù)測）定義：在一個有窮數(shù)列的每相鄰兩項之間插入這兩項的和，形成新的數(shù)列，我們把這樣的操作稱為該數(shù)列的一次“和擴充”，例如：數(shù)列1,2,3經(jīng)過第一次“和擴充”后得到數(shù)列1,3,2,5,3；第二次“和擴充”后得到數(shù)列1,4,3,5,2,7,5,8,3．設(shè)數(shù)列a,b,c經(jīng)過n次“和擴充”后得到的數(shù)列的項數(shù)為Pn，所有項的和為S(1)若a=2,b=3,c=4，求P2(2)求不等式Pn(3)是否存在數(shù)列a,b,ca,b,c∈R，使得數(shù)列S【解題思路】（1）根據(jù)題意得到第二次“和擴充”后得到數(shù)列2,7,5,8,3,10,7,11,4，從而計算出P2（2）數(shù)列經(jīng)每一次“和擴充”后是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一項，數(shù)列a,b,c經(jīng)過n次“和擴充”后得到的數(shù)列的項數(shù)為Pn，則經(jīng)第n+1次“和擴充”后增加的項數(shù)為Pn?1，得到P（3）得到Sn=S【解答過程】（1）a=2,b=3,c=4，第一次“和擴充”后得到數(shù)列2,5,3,7,4，第二次“和擴充”后得到數(shù)列2,7,5,8,3,10,7,11,4，P2（2）數(shù)列經(jīng)每一次“和擴充”后是在原數(shù)列的相鄰兩項中增加一項，數(shù)列a,b,c經(jīng)過n次“和擴充”后得到的數(shù)列的項數(shù)為Pn則經(jīng)第n+1次“和擴充”后增加的項數(shù)為Pn所以Pn+1=P其中數(shù)列a,b,c經(jīng)過1次“和擴充”后，得到a,a+b,b,b+c,c，故P1P1故Pn所以Pn?1=4×2則2n+1+1≥2024，即又n∈N?，解得（3）因為S1S2=S依次類推，Sn故S=?==2a+3b+2c+a+2b+c若使Sn為等比數(shù)列，則a+c2=0【變式11-3】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測）若無窮項數(shù)列an滿足an+1=an+d，nt?N?，qa(1)設(shè)d=1，q=1，若首項為1的數(shù)列an為“M3數(shù)列”，求(2)若首項為1的等比數(shù)列bn為“Mt數(shù)列”，求數(shù)列bn的通項公式及前n(3)設(shè)d=1，q=2，若首項為1的數(shù)列cn為“M5數(shù)列”，記數(shù)列cn的前n項和為Tn，求所有滿足【解題思路】（1）將d=1，q=1，代入得到周期數(shù)列,即可求到a2024（2）由bn是等比數(shù)列、Mt數(shù)列可求出d，q，t，進而求出數(shù)列bn的通項公式及前n（3）找出c5k?4的通項，設(shè)Ak=c5k?4【解答過程】（1）由題意有d=1，q=1，t=3，a1=1a1=1，a2=2，a3=3，a4=3，a5=4，一般有a3k?2=2k?1，a3k?1所以a2024（2）數(shù)列bn是首項為1的等比數(shù)列，設(shè)其公比為m，又bn為Mt數(shù)列，t∈當(dāng)t=2時，b2=1+d，b3=qb又b2=m，b3于是得m?1=m3?m2，解得m=±1當(dāng)bn=1時，d=0，q=1，bn+1=b當(dāng)bn=?1n?1時，d=?2，q=?1，bn+1當(dāng)t≥3時，則b1，b2，b3構(gòu)成以d為公差的等差數(shù)列，即b1+于是得bn=1，d=0，q=1，bn+1=b所以①當(dāng)d=0，q=1，t是大于1的任意正整數(shù)，則bn=1，②當(dāng)d=?2，q=?1，k=2，則bn=?1（3）依題意，d=1，q=2，c1=1，數(shù)列cn則c1=1，c2=2，c3=3，c4=4，c5=5，c6c5k?4，c5k?3，c5k?2，c5k?1，所以c5k+1+8=2×c所以數(shù)列c5k?4+8是以首項為9，公比為2的等比數(shù)列，所以即c5k?4即Ak所以T所以T5n=5n×c化簡得n2?12因為當(dāng)n≥2時，n2?12綜上所述，滿足T5n=5n×c一、單選題1．（2024·山東淄博·二模）已知等比數(shù)列an,aA．8 B．±8 C．10 D．±10【解題思路】運用等比中項，結(jié)合等比數(shù)列通項公式即可解決.【解答過程】根據(jù)等比中項知道a62=a2又a6=a故選：A.2．（2024·陜西安康·模擬預(yù)測）已知等比數(shù)列an的各項均為負(fù)數(shù)，記其前n項和為Sn，若S6?SA．－8 B．－16 C．－32 D．－48【解題思路】利用等比數(shù)列的性質(zhì)先計算a7【解答過程】設(shè)an的公比為q則由題意可知S6?S化簡得1q2+則a2故選：B.3．（2024·陜西西安·三模）已知Sn是等比數(shù)列an的前n項和，a1+a4+A．12 B．14 C．16 D．18【解題思路】根據(jù)題意結(jié)合等比數(shù)列性質(zhì)求得q=2，a3【解答過程】設(shè)等比數(shù)列an的公比為q，可得a則a3所以S9故選：B.4．（2024·江西·二模）已知數(shù)列an的首項a1為常數(shù)且a1≠23，an+1A．?23,C．0,23 【解題思路】由已知條件推得數(shù)列an?4n6是首項為a【解答過程】因為an+1所以an+1由于a1≠2可得數(shù)列an?4n6則an=16×即16×4當(dāng)n為偶數(shù)時，a1>2可得23?1當(dāng)n為奇數(shù)時，a1<2可得23+1綜上可得a1的取值范圍是?故選：B．5．（2023·貴州遵義·模擬預(yù)測）公元前1650年的埃及萊因德紙草書上載有如下問題：“十人分十斗玉米，從第二人開始，各人所得依次比前人少八分之一，問每人各得玉米多少斗？”在上述問題中，前五人得到的玉米總量為（

）A．10×8585+C．10×8585?【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式與前n項和公式計算．【解答過程】由題意記10人每人所得玉米時依次為a1,a2,?,a10，則n≥2由已知a1[1?(S5故選：A．6．（2024·廣東東莞·模擬預(yù)測）等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn都是各項為正實數(shù)的無窮數(shù)列，且a1=b1，a2=b2，an的前nA．a(chǎn)n是遞增數(shù)列 B．bC．Sn>T【解題思路】特例法排除A，B，C，對于D，根據(jù)題意，可得an+1≥an，bn+1【解答過程】設(shè)數(shù)列an和數(shù)列bn均為常數(shù)列對于D，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為由an>0，可知a1由bn>0，可知b1>0,q>0，又由a1=b且d=b故d≤bn?所以bn?1?a所以Sn故選：D.7．（2024·北京西城·二模）已知{?an?}是無窮等比數(shù)列，其前n項和為Sn，?a?1A．(??3?,1?) B．[【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列的基本量求得a2=?32，從而可得公差q=a2a1=?【解答過程】因為等比數(shù)列{?an?}，由?則公比q=a2a當(dāng)n為奇數(shù)時，Sn?(?1)又?jǐn)?shù)列?2?2×12n為遞增數(shù)列，所以n→+∞，當(dāng)n為偶數(shù)時，Sn?(?1)又?jǐn)?shù)列2?2×12n為遞增數(shù)列，2?2×綜上，A的取值范圍是[?故選：D.8．（2024·陜西商洛·模擬預(yù)測）設(shè)等比數(shù)列an的前n項和為Tn，前n項積為Kn，若K7>A．a(chǎn)8=1 B．對任意正整數(shù)nC．K10>K6【解題思路】利用前n項積與通項an的關(guān)系，可以求出通項公式，進而可以判斷A、B、C，對于D只需要利用等比數(shù)列的前n【解答過程】由K7>K由K7=K由上可知：等比數(shù)列an的公比q∈0,1，所以等比數(shù)列an是遞減數(shù)列，由等比數(shù)列性質(zhì)可得：∴a由an>0,∴K由T2n+2由T2n+4故選：C.二、多選題9．（2024·廣西·模擬預(yù)測）若數(shù)列anbn滿足an+1=2an+bnA．a(chǎn)B．a(chǎn)C．i=1D．若an+λ【解題思路】根據(jù)兩式相加減可得an=3n?1+12，【解答過程】對于B，依題意，an+1=2a而a1+b1=1又an+1?bn+1=an=3對于A，a4對于C，i=15對于D，a1+λb1=1由an+λbn為等比數(shù)列，得(2+λ)2當(dāng)λ=1時，an+λb當(dāng)λ=?1時，an+λb因此當(dāng)數(shù)列an+λbn是等比數(shù)列時，故選：ACD．10．（2024·江西·模擬預(yù)測）已知數(shù)列a的前n項和為Sn,aA．a(chǎn)B．?dāng)?shù)列a2kC．a(chǎn)D．Sn≤50的最大整數(shù)【解題思路】根據(jù)題意，利用等比數(shù)列的定義，推斷數(shù)列a2k?1等比數(shù)列，進而求得數(shù)列a的通項公式【解答過程】由題意得a2k+2=2a又由a2=2a所以數(shù)列a2k由a2k?1=2?2k?1=2k由a2k+1=a2k?1=即an因為S=2S=2故選：ABD.11．（2024·湖南益陽·三模）已知an是等比數(shù)列，Sn是其前n項和，滿足a3A．若an是正項數(shù)列，則aB．SnC．若存在M>0，使an≤M對?n∈ND．若an>0，且a1=1100，【解題思路】對于A，由題意易得a1>0，q>0，可判斷結(jié)論；對于B，在q=?1時，通過取反例即可排除B；對于C，分析q=?1時數(shù)列|an|【解答過程】對于A，設(shè)數(shù)列an的公比為q，由a3=2因a1≠0，則得q2?q?2=0，解得因an是正項數(shù)列，故a1>0，q=2>0對于B，由上分析知，q=?1或q=2，當(dāng)q=?1時，Sn此時，若n為偶數(shù)，則Sn對于C，若q=2，則|a此時不存在M>0，使an≤M對若q=?1時，易得|an|=|a1|，故存在此時|an|對于D，因an>0，a1則Tn由Tn+1當(dāng)1≤n≤6時，0<1100×2n<1，故當(dāng)n≥7時，1100×2n>1，故T則當(dāng)n=7時，Tn故選：ACD.三、填空題12．（2024·四川雅安·三模）等比數(shù)列an中，每項均為正數(shù)，且a4?a5=81【解題思路】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)和對數(shù)運算求解即可.【解答過程】由題意得log3故答案為：4.13．（2024·湖北襄陽·二模）已知等差數(shù)列an和等比數(shù)列bn滿足a1=5，b1=2，a2=2b2+1，a3=b3+5.數(shù)列an和bn中的所有項分別構(gòu)成集合A【解題思路】由等差數(shù)列和等比數(shù)列的通項公式，解方程可得公差和公比，求得an，bn，由題意可得{cn}【解答過程】設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d和等比數(shù)列{由a1=5，b1=2，a2=2b解得d=4，q=2，則an=5+4(n?1)=4n+1，由a15由{an}和{bn}中無公共項，可得則S20故答案為：557．14．（2024·北京通州·三模）若數(shù)列{bn}、{cn}均為嚴(yán)格增數(shù)列，且對任意正整數(shù)n，都存在正整數(shù)m，使得bm∈[cn,cn+1]，則稱數(shù)列{b①存在等差數(shù)列{an}，使得{an②存在等比數(shù)列{an}，使得{an③存在等差數(shù)列{an}，使得{Sn④存在等比數(shù)列{an}，使得{Sn【解題思路】對于①取an=n分析判斷，對于②④取【解答過程】對于①：例如an=n，則{an}所以an+1?a故{an}取m=n(n+1)2，則am所以{an}是{對于②，例如an=2n?1>0，則{所以an+1?a故{an}取m=n+1，則am=a所以{an}是{對于③，假設(shè)存在等差數(shù)列{an}，使得{Sn設(shè)等差數(shù)列{an}因為{an}又因為{Sn}為嚴(yán)格增數(shù)列，所以Sn+1?取n0∈N?，滿足an又因為{S所以對任意正整數(shù)m≥n0+1，則有S對任意正整數(shù)m≤n0，則有Sm故當(dāng)n=k+1時，不存在正整數(shù)m，使得ak+1對于④，例如an=2n?1>0，則{an所以an+1?a故{an}取m=n