32基本不等式（六大題型）

3.2基本不等式課程標準學習目標1、理解基本不等式的內容及證明.2、熟練掌握基本不等式及變形的應用.3、會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.4、能夠運用基本不等式解決生活中的應用問題.1、數(shù)學建模：能夠運用基本不等式解決生活中的應用問題.2、邏輯推理：熟練掌握基本不等式及變形的應用.3、數(shù)學運算：會用基本不等式解決簡單的最大(小)值問題.4、直觀想象：運用圖像解釋基本不等式.知識點01基本不等式1、對公式及的理解．（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號“=”的條件在形式上是相同的，都是“當且僅當時取等號”．2、由公式和可以引申出常用的常用結論①（同號）；②（異號）；③或知識點詮釋：可以變形為：，可以變形為：．【即學即練1】（2023·全國·高一專題練習）不等式中，等號成立的條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由基本不等式可知，當且僅當，即時等號成立，故選：.知識點02基本不等式的證明方法一：幾何面積法如圖，在正方形中有四個全等的直角三角形．設直角三角形的兩條直角邊長為、，那么正方形的邊長為．這樣，4個直角三角形的面積的和是，正方形的面積為．由于4個直角三角形的面積小于正方形的面積，所以：．當直角三角形變?yōu)榈妊苯侨切?，即時，正方形縮為一個點，這時有．得到結論：如果，那么（當且僅當時取等號“=”）特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得：如果，，則，（當且僅當時取等號“=”）．通常我們把上式寫作：如果，，，（當且僅當時取等號“=”）方法二：代數(shù)法∵，當時，；當時，．所以，（當且僅當時取等號“=”）．知識點詮釋：特別的，如果，，我們用、分別代替、，可得：如果，，則，（當且僅當時取等號“=”）．通常我們把上式寫作：如果，，，（當且僅當時取等號“=”）．【即學即練2】（2023·全國·高一專題練習）已知，，，求證：.【解析】∵，，，∴，當且僅當，即時，等號成立，同理：，，當且僅當，時，等號成立，以上三式相加得：，當且當且僅當時，等號成立，所以.知識點03基本不等式的幾何意義如圖，是圓的直徑，點是上的一點，，，過點作交圓于點D，連接、．易證，那么，即．這個圓的半徑為，它大于或等于，即，其中當且僅當點與圓心重合，即時，等號成立．知識點詮釋：1、在數(shù)學中，我們稱為的算術平均數(shù)，稱為的幾何平均數(shù)．因此基本不等式可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)．2、如果把看作是正數(shù)的等差中項，看作是正數(shù)的等比中項，那么基本不等式可以敘述為：兩個正數(shù)的等差中項不小于它們的等比中項．【即學即練3】（2023·全國·高一專題練習）數(shù)學命題的證明方式有很多種．利用圖形證明就是一種方式．現(xiàn)有如圖所示圖形，在等腰直角三角形中，點O為斜邊AB的中點，點D為斜邊AB上異于頂點的一個動點，設，，用該圖形能證明的不等式為（

）．A． B．C． D．【答案】C【解析】由圖知：，在中，，所以，即，故選：C知識點04用基本不等式求最大（?。┲翟谟没静坏仁角蠛瘮?shù)的最值時，應具備三個條件：一正二定三取等．①一正：函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值．知識點詮釋：1、兩個不等式：與成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實數(shù)，后者要求a，b都是正數(shù)．2、兩個不等式：與都是帶有等號的不等式，對于“當且僅當……時，取“=”號這句話的含義要有正確的理解．3、基本不等式的功能在于“和積互化”．若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮使用平均不等式；若對于所給的“和式”中的各項的“積”為定值，則“和”有最小值，對于給出的“積式”中的各項的“和”為定值，則“積”有最大值．4、利用兩個數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個條件：①各項都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③各項能取得相等的值．5、基本不等式在解決實際問題中有廣泛的應用，在應用時一般按以下步驟進行：①先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；②建立相應的函數(shù)關系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；③在定義域內，求出函數(shù)的最大或最小值；④寫出正確答案．【即學即練4】（2023·陜西西安·高一?？计谥校┮阎?，且滿足，求的最小值是.【答案】18【解析】，當且僅當，即，聯(lián)立，得，所以的最小值是.故答案為：題型一：對基本不等式的理解及簡單應用【典例11】（2024·高一·河南·階段練習）不等式中，等號成立的條件是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由基本不等式可知，當且僅當，即時等號成立，故選：.【典例12】（2024·高一·福建寧德·階段練習）《幾何原本》卷2的幾何代數(shù)法（幾何方法研究代數(shù)問題）成了后世西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù).通過這一原理，很多的代數(shù)的公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明；如圖所示圖形，點、在圓上，點在直徑上，且，，于點，設，，該圖形完成的無字證明.則圖中表示，的調和平均數(shù)、平方平均數(shù)的線段分別是（

）A．， B．， C．， D．，【答案】C【解析】由圖形可知：，，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得，因為，所以，則，即，所以圖中表示，的調和平均數(shù)、平方平均數(shù)的線段分別是，，故選：C【方法技巧與總結】應用基本不等式時的三個關注點（1）一正數(shù)：指式子中的a，b均為正數(shù)．（2）二定值：只有ab為定值時才能應用基本不等式，因此有時需要構造定值．（3）三相等：即“=”必須成立，求出的定值才是要求的最值．【變式11】（多選題）（2024·高三·全國·專題練習）下列推導過程，正確的為（

）A．因為a，b為正實數(shù)，所以≥2＝2B．因為x∈R，所以1C．因為a＜0，所以+a≥2＝4D．因為，所以【答案】AD【解析】對于A.因為a，b為正實數(shù)，所以，所以≥2＝2.故A正確；對于B.當x=0，有1.故B錯誤；對于C.當a=1時，左邊+a=5，右邊2=4，所以+a≥2＝4不成立，故C錯誤.對于D.因為，，所以.故D正確.故選：AD.【變式12】（2024·高二·寧夏·期中）下列運用基本不等式求最值，使用正確的個數(shù)是（

）已知，求的最小值；解答過程：；求函數(shù)的最小值；解答過程：可化得；設，求的最小值；解答過程：，當且僅當即時等號成立，把代入得最小值為4．A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【答案】A【解析】對：基本不等式適用于兩個正數(shù)，當，均為負值，此時，當且僅當，即時等號成立，故的用法有誤，故錯誤；對：，當且僅當，即時取等號，但，則等號取不到，故的用法有誤；對：，，，當且僅當，即時取等號，故的用法有誤；故使用正確的個數(shù)是0個，故選：.【變式13】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）下面四個推導過程正確的有（

）A．若a，b為正實數(shù)，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】A【解析】A中，∵a，b為正實數(shù)，∴，則，當且僅當時等號成立，故A正確；B中，∵，當時，，當且僅當，即時等號成立，故B不正確；C中，由，得，則，因為，所以，當且僅當，即時等號成立，故C不正確；D中，對任意的，都有，即，當且僅當時等號成立，所以D不正確．故選：A【變式14】（2024·高一·江蘇南京·階段練習）《幾何原本》中的幾何代數(shù)法是以幾何方法研究代數(shù)問題，這種方法是后西方數(shù)學家處理問題的重要依據(jù)，通過這一原理，很多的代數(shù)公理或定理都能夠通過圖形實現(xiàn)證明，也稱之為無字證明．下圖是我國古代數(shù)學家趙爽創(chuàng)作的弦圖，弦圖由四個全等的直角三角形與一個小正方形（邊長可以為0）拼成的一個大正方形．若直角三角形的直角邊長分別為和，則該圖形可以完成的無字證明為（

）．A． B．C． D．【答案】B【解析】因為直角三角形的直角邊長分別為和，所以大正方形的面積為由圖可知大正方形的面積大于等于4個直角三角形的面積和，所以（）故選：B題型二：利用基本不等式比較大小【典例21】設，為正數(shù)，則，，，的大小關系是．【答案】【解析】∵，∴，∴，即，∴，當且僅當時等號成立，∵，當且僅當時等號成立，又，當且僅當時等號成立，所以，當且僅當時等號成立故答案為：【典例22】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）若、、、、、是正實數(shù)，且，，則有．（比較大?。敬鸢浮俊堋窘馕觥浚斍覂H當時等號成立，故,故答案為：【方法技巧與總結】利用基本不等式比較大小在利用基本不等式比較大小時，應創(chuàng)設應用基本不等式的使用條件，合理地拆項、配湊或變形．在拆項、配湊或變形的過程中，首先要考慮基本不等式使用的條件，其次要明確基本不等式具有將“和式”轉化為“積式”或者將“積式”轉化為“和式”的放縮功能．【變式21】（多選題）（2024·高一·廣東深圳·期中）若，且，則下列不等式中，恒成立的是（

）A． B． C． D．【答案】AD【解析】對于A，，不等式成立，A正確；對于B，由于，且，當時，，而，不等式不成立，B錯誤；對于C，由于，且，當時，，而，不等式不成立，C錯誤；對于D，由，且，得，則，當且僅當時取等號，D正確.故選：AD【變式22】（多選題）（2024·高一·湖南長沙·階段練習）小王從甲地到乙地往返的時速分別為a和b（），其全程的平均時速為v，則（

）A． B． C． D．【答案】BC【解析】設甲乙兩地相距，則平均速度，故A錯誤，B正確；又∵，∴，根據(jù)基本不等式及其取等號的條件可得：，∴，即，故C正確，D錯誤；故選：BC．【變式23】（2024·高一·上?！ふn堂例題）若，，則、、、中最大的一個是．【答案】【解析】，，由基本不等式得；；又因為，，所以，故，所以最大的一個是故答案為：【變式24】（2024·高一·江蘇·專題練習）比較大?。?(填“”“”“”或“”)．【答案】【解析】因為，則，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以.故答案為：.【變式25】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若，，，則，，2ab，中最大的一個是．【答案】/【解析】，，，則，，，綜上所述：最大的一個是.故答案為：題型三：利用基本不等式證明不等式【典例31】已知a、b是正數(shù)，求證：．【解析】因為a、b是正數(shù)，則，當且僅當時，等號成立，所以.【典例32】（2024·高一·江蘇南京·期中）（1）設a，b，c，d為實數(shù)，求證：；（2）已知，求證：．【解析】（1）因為，當且僅當時，等號成立，所以，所以；（2）因為，當且僅當，即時取等號，所以，當且僅當，即時取等號，因為，綜上．【方法技巧與總結】利用基本不等式證明不等式時應注意的問題（1）注意基本不等式成立的條件；（2）多次使用基本不等式，要注意等號能否成立；（3）對不能直接使用基本不等式證明的可重新組合，形成基本不等式模型，再使用．【變式31】（2024·高一·上?！て谥校┮阎猘、b、c、，證明下列不等式，并指出等號成立的條件：(1)；(2)．【解析】（1）因為，，，所以成立；當且僅當時，等號成立；（2），．所以．當且僅當時，等號成立．【變式32】（2024·高一·上?！ふn后作業(yè)）（1）已知、都是正數(shù)，求證：；（2）已知，，，求證：．【解析】證明：（1）∵、都是正數(shù)，∴，，，∴，當且僅當時，等號成立．（2）∵，，，∴，，，∴，故，當且僅當，即時等號成立．【變式33】（2024·高一·云南曲靖·期末）已知，，且，證明：(1)；(2)．【解析】（1），因為，，，則，當且僅當時等號成立，所以；（2），由（1）有，有，，有，，有，當且僅當時等號成立，所以．【變式34】（2024·青海·一模）已知正數(shù)滿足．求證：(1)；(2)．【解析】（1）證明：因為正數(shù)滿足，由，當且僅當時，等號成立，可得，即，所以，當且僅當時，等號成立.（2）證明：由，當且僅當，即，等號成立.所以.題型四：利用基本不等式求最值命題方向1：直接法求最值【典例41】（2024·高一·河南鄭州·階段練習）已知，且，則的最大值為．【答案】144【解析】因為，由基本不等式得，故，當且僅當時，等號成立．故的最大值為故答案為：144【典例42】已知，，且，則xy的最大值為．【答案】8【解析】因為，，且，可得，當且僅當，即，時，等號成立，所以xy的最大值為8．故答案為：8.【變式41】（2024·高一·云南楚雄·期末）若實數(shù)滿足，則的最大值為．【答案】20【解析】根據(jù)題意可得，得，當且僅當或時，等號成立，故的最大值為20．故答案為：【變式42】（2024·高二·浙江寧波·期末）已知正實數(shù)x，y滿足，則xy的最大值為．【答案】/0.5【解析】正實數(shù)x，y滿足，所以，解得.當且僅當，即時取等號，所以的最大值為．故答案為：．【變式43】（2024·高一·河北保定·開學考試）若正數(shù)滿足，則的最大值為．【答案】10【解析】因為，當且僅當，即時，等號成立，所以，故的最大值為10．故答案為：10【變式44】（2024·高一·內蒙古巴彥淖爾·期末）已知，的最小值為.【答案】1【解析】，當且僅當，即時，等號成立.故答案為：1命題方向2：常規(guī)湊配法求最值【典例51】（2024·高一·上?！ふn前預習）設、滿足，且、都是正數(shù)，則的最大值為．【答案】25【解析】由于、都是正數(shù)，故，當且僅當時等號成立，故的最大值為25，故答案為：25【典例52】（2024·高一·上?！るS堂練習）已知，則的最大值為．【答案】【解析】，當且僅當，即時等號成立，故答案為：．【變式51】（2024·高二·安徽六安·期末）已知，則的最大值為．【答案】2【解析】由，得，當且僅當時取等號，即，解得，所以的最大值為2.故答案為：2【變式52】（2024·河北秦皇島·三模）設，則的最大值為.【答案】2【解析】設，則，，當且僅當，時，等號成立，故.令，解得，，所以，當，時，等號成立.故答案為：2.【變式53】（2024·高一·福建福州·階段練習）已知實數(shù)，則函數(shù)的最小值為（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【解析】實數(shù)，，當且僅當，即時等號成立，函數(shù)的最小值為6.故選：B.【變式54】（2024·高一·湖北·階段練習）已知，且，則的最小值是（

）A．6 B．8 C．14 D．16【答案】A【解析】因為，所以.因為，所以，所以，即，當且僅當時，等號成立，故的最小值是6.故選：A【變式55】（2024·高二·浙江紹興·期中）若，則有（

）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【解析】因，則，于是得，當且僅當，即時取“=”，所以當時，有最大值.故選：A命題方向3：消參法求最值【典例61】（2024·新疆·高一校聯(lián)考期末）設，則的最小值為（

）A． B．C． D．6【答案】A【解析】由題意，所以，所以，當且僅當，即時等號成立．故選：A【典例62】（2024·全國·高一專題練習）已知實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．2【答案】B【解析】因為，所以，所以，當且僅當時，等號成立.故選：.【變式61】（2024·全國·高一專題練習）已知，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，由，得，所以，當且僅當時，等號成立.故的最小值為.故選：D【變式62】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若正實數(shù)滿足，則的最小值為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】C【解析】由為正實數(shù)，且，得，則，當且僅當，即時，取最小值9.故選：C.命題方向4：換元求最值【典例71】（2024·全國·高一專題練習）設x，y是正實數(shù)，且，則的最大值是.【答案】【解析】令，則，可得，即，且，∵，當且僅當，即時，等號成立，可得，∴，即的最大值是.故答案為：.【典例72】（2024·全國·高一專題練習）已知正數(shù)、滿足，則的最小值為.【答案】【解析】正數(shù)、滿足，則則，又時，，則，則的最小值為.故答案為：【變式71】（2024·浙江·高二校聯(lián)考階段練習）若實數(shù)，滿足，則的最小值為．【答案】/【解析】因，則，即，令，則，所以，，所以，當且僅當，即時，等號成立.故的最小值為.故答案為：命題方向5：“1”的代換求最值【典例81】（2024·高一·福建南平·期中）已知，，，則的最小值為（

）A．2 B．1 C． D．【答案】B【解析】因為，可得，且，，可知，則，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為1.故選：B.【典例82】（2024·高一·重慶沙坪壩·期中）已知正實數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】因為，為正實數(shù)，且，所以,當且僅當時取等號.故選：C【變式81】（2024·高二·河北張家口·期末）已知，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，則，當且僅當，即時，等號成立.故選：D.【變式82】（2024·高一·全國·課后作業(yè)）已知，且，則的最小值為（

）A．8 B．6 C．4 D．2【答案】B【解析】因為,且,所以,當且僅當,即時取等號，因此的最小值為6．故選：B.【變式83】（2024·高二·安徽·階段練習）若正實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】，，，，，當且僅當，即，時等號成立，.故選：A.【變式84】（2024·高一·陜西榆林·階段練習）若正數(shù)，滿足，則的最小值為（

）A．2 B． C．3 D．【答案】B【解析】由正數(shù)，滿足，得，當且僅當，即，時取等號，所以的最小值為．故選：B【變式85】（2024·河南信陽·模擬預測），則的最小值為（

）A． B． C． D．6【答案】C【解析】，則，且,整理得到，所以，當且僅當，即時取等號.即的最小值為.故選：C.【變式86】（2024·高一·重慶沙坪壩·階段練習）已知正數(shù)滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】，因為，故，則，當且僅當，也即取得等號，故的最小值為.故選：D.命題方向6：△法【典例91】（2024·湖南衡陽·衡陽市八中?？寄M預測）已知實數(shù)，滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】令，則，方程可化為，整理得，則滿足，解得，所以，即，所以的最大值為.故選：B.【典例92】（2024·全國·高三專題練習）已知，滿足則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意，設，代入方程得：，所以，即的最小值為：.故選：D.命題方向7：條件等式求最值【典例101】（2024·高一·山東濟寧·階段練習）設正實數(shù)x，y，z滿足，則當取得最大值時，的值為．【答案】3【解析】∵，∴，∵x，y，z均為正實數(shù)，∴當且僅當，即，此時時取“=”，故此時.故答案為：3．【典例102】（2024·全國·高一專題練習）已知正數(shù)x，y滿足，則的最大值為．【答案】【解析】，僅當時等號成立．所以目標式最大值為.故答案為：【變式101】（2024·全國·高一專題練習）已知，，，則的最大值為．【答案】/【解析】由已知，，，則，而，當且僅當時等號成立，故的最大值為.故答案為：.【變式102】（2024·全國·高一專題練習）若，且，則的最大值為.【答案】/【解析】由，且可得，則，當且僅當，結合，即時取等號，即的最大值為，故答案為：【方法技巧與總結】利用基本不等式求代數(shù)式的最值（1）利用基本不等式求代數(shù)式的最值，要通過恒等變形以及配湊，使“和”或“積”為定值，從而求得代數(shù)式的最大值或最小值．（2）若是求和式的最小值，通?；ɑ蚶茫┓e為定值；若是求積的最大值，通?；ɑ蚶茫┖蜑槎ㄖ?，解答技巧都是恰當變形、合理拆分項或配湊因式．題型五：利用基本不等式求解恒成立問題【典例111】（2024·高一·江蘇徐州·階段練習）若對任意，恒成立，則a的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由于，則令，．則原問題轉化為任意，恒成立，即恒成立，即恒成立.由于，當且僅當，即取最值.故，.由于恒成立，，故a的最小值為.故選：C.【典例112】（2024·高一·山東濟寧·階段練習）設，若恒成立，則k的最大值為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【解析】由于，則得到（當且僅當，即時，取等號）；所以又由恒成立，故，則k的最大值為8.故選：D．【方法技巧與總結】利用基本不等式求解恒成立問題，通常通過分離參數(shù)轉化為利用基本不等式求最值【變式111】（2024·高一·重慶·期末）當，且滿足時，有恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為即且，所以，當且僅當，即時等號成立，因為不等式恒成立，所以，即，解得，故的取值范圍為.故選：A【變式112】（2024·高一·浙江麗水·階段練習）已知不等式對滿足的所有正實數(shù)都成立，則正實數(shù)的最小值為（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】因為，當且僅當時，等號成立，所以，因為，為正實數(shù)且，所以，當且僅當，即時，等號成立，所以，即，因為對滿足的所有正實數(shù)，都成立，所以，即，整理得，解得或，由為正數(shù)得，所以正數(shù)的最小值為.故選：B.【變式113】（2024·高二·湖南·期中）已知實數(shù)，且滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的最大值為（

）A．9 B．12 C．16 D．25【答案】D【解析】，當且僅當，即，時，等號成立.因不等式恒成立，只需，因此，故實數(shù)的最大值為25.故選：D【變式114】（2024·高一·湖北武漢·階段練習）若對任意實數(shù)，，不等式恒成立，則實數(shù)a的最小值為（

）．A． B． C． D．【答案】D【解析】對任意實數(shù)，，不等式恒成立，則對于任意實數(shù)，恒成立，則只需求的最大值即可，，設，則，再設，則，當且僅當，即時取得“＝”．所以，即實數(shù)a的最小值為．故選：D．【變式115】（2024·高一·山東泰安·階段練習）設，且不等式恒成立，則正實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意可知，則，當且僅當，即，等號成立；由題意可得，解得.故選：C.題型六：基本不等式在實際問題中的應用【典例121】（2024·高一·河北石家莊·階段練習）如圖，公園想建一塊面積為144平方米的矩形草地，一邊靠墻，另外三邊用鐵絲網圍住，現(xiàn)有44米長的鐵絲網可供使用（鐵絲網可以剩余），若利用x米墻，求最少需要多少米鐵絲網．【解析】由題意，知矩形草地長米，則寬為米，∴矩形草地周長為，∵且，∴解得：，由基本不等式知，當且僅當，即米時等號成立，則米.∴最少需要米鐵絲網.【典例122】（2024·高一·上海徐匯·期中）某工廠建造一個無蓋的長方體貯水池，其容積為4800，深度為3m．如果池底每平方米的造價為100元，池壁每平方米的造價為80元，怎樣設計水池能使總造價最低？最低總造價為多少元？【解析】設池底的一邊長為，則另一邊長為，總造價為元，則，當且僅當，即時，等號成立，所以當水池設計成底面邊長為40m的正方形時，總造價最低，最低為198400元．【方法技巧與總結】利用基本不等式解決實際問題的步驟解實際問題時，首先審清題意，然后將實際問題轉化為數(shù)學問題，再利用數(shù)學知識（函數(shù)及不等式性質等）解決問題．用基本不等式解決此類問題時，應按如下步驟進行：（1）先理解題意，設變量，設變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)．（2）建立相應的函數(shù)關系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題．（3）在定義域內，求出函數(shù)的最大值或最小值．（4）正確寫出答案．【變式121】（2024·高一·全國·隨堂練習）某工廠擬造一座平面圖（如圖）為長方形且面積為的三級污水處理池．由于地形限制，該處理池的長、寬都不能超過16m，且高度一定．如果四周池壁的造價為400元/，中間兩道隔墻的造價為248元/，池底造價為80元/，那么如何設計該處理池的長和寬，才能使總造價最低？（池壁的厚度忽略不計）

【解析】設處理池的長和寬分別為，，高為，總造價為，則，，，當且僅當，又，即，時取到等號，故長為m，寬為m時總造價最低．【變式122】（2024·高一·江蘇揚州·階段練習）已知a、、、為正實數(shù)，利用平均不等式證明（1）（2）并指出等號成立條件，然后解（3）中的實際問題．(1)請根據(jù)基本不等式，證明：；(2)請利用（1）的結論，證明：；(3)如圖，將邊長為米的正方形硬紙板，在它的四個角各減去一個小正方形后，折成一個無蓋紙盒．如果要使制作的盒子容積最大，那么剪去的小正方形的邊長應為多少米?【解析】（1）證明：因為，，當且僅當，時等號成立,所以當且僅當，時等號成立.所以，當且僅當時等號成立，所以，當且僅當時等號成立.（2）由于，當且僅當時等號成立，令,得，即，故.所以，當且僅當時等號成立.（3）做成的長方體的底面是一個邊長為的正方形，高為x.所以.由（2）中已證的不等式，可知，當且僅當時等號成立，當且僅當時等號成立.所以，因此，綜上所述，當米，長方體盒子的容積取到最大值立方米.【變式123】（2024·高一·安徽淮北·期中）某蛋糕店推出兩款新品蛋糕，分別為薄脆百香果蛋糕和朱古力蜂果蛋糕，已知薄脆百香果蛋糕單價為x元，朱古力蜂果蛋糕單位為y元，現(xiàn)有兩種購買方案：方案一：薄脆百香果蛋糕購買數(shù)量為a個，朱古力蜂果蛋糕購買數(shù)量為b個，花費記為;方案二：薄脆百香果蛋糕購買數(shù)量為b個，朱古力蜂果蛋糕購買數(shù)量為a個，花費記為．（其中）(1)試問哪種購買方案花費更少？請說明理由；(2)若a，b，x，y同時滿足關系，求這兩種購買方案花費的差值S最小值（注：差值花費較大值花費較小值）．【解析】（1）方案一的總費用為（元）；方案二的總費用為（元），由，因為，可得，所以，即，所以，所以采用方案二，花費更少.（2）由（1）可知，令，則，所以，當時，即時，等號成立，又因為，可得，所以，當且僅當時，即時，等號成立，所以差的最小值為，當且僅當時，等號成立，所以兩種方案花費的差值最小為24元.【變式124】（2024·高一·貴州·階段練習）某工廠生產某種產品，其生產的總成本（萬元）年產量（噸）之間的函數(shù)關系可近似的表示為已知此工廠的年產量最小為噸，最大為噸．(1)年產量為多少噸時，生產每噸產品的平均成本最低？并求出最低平均成本；(2)若每噸產品的平均出廠價為萬元，且產品全部售出，則年產量為多少噸時，可以獲得最大利潤？并求出最大利潤．【解析】（1）由題意可得，，因為，當且僅當時，即時等號成立，符合題意.所以當年產量為噸時，平均成本最低為萬元．（2）設利潤為，則，又，當時，．所以當年產量為噸時，最大利潤為萬元．【變式125】（2024·高一·浙江寧波·自主招生）對于任意正實數(shù)，僅當時，等號成立．結論：．若為定值，僅當時，有最小值．根據(jù)上述內容，回答下列問題：(1)初步探究：若x>0，僅當___時，有最小值___；(2)變式探究：對于函數(shù)，當取何值時，函數(shù)的值最?。孔钚≈凳嵌嗌?？(3)拓展應用：疫情期間、為了解決疑似人員的臨隔離問題．高速公路榆測站入口處，檢測人員利用檢測站的一面墻(墻的長度不限)，用63米長的鋼絲網圍成了9間相同的長方形隔離房，如圖．設每間離房的面積為(米)．問：每間隔離房的長、寬各為多少時，可使每間隔離房的面積最大？最大面積是多少？【解析】（1）,當且僅當時取得最小值.（2）,當且僅當時，.（3）設每間隔離房的長、寬分別為,由題意可知,當且僅當時，.1．（2024·高一·河北保定·期末）已知為正實數(shù)且，則的最小值為（

）A． B． C．3 D．【答案】D【解析】因為為正實數(shù)且，所以，當且僅當，即時等號成立.故選：D.2．（2024·高一·全國·課后作業(yè)）若，則有（

）A．最小值0 B．最大值2C．最大值 D．不能確定【答案】C【解析】由基本不等式，得，當且僅當，即時等號成立，故有最大值，故C正確，BD錯誤；令，解得或，又，所以取不到函數(shù)值0，故A錯誤.故選：C.3．（2024·高三·陜西榆林·階段練習）已知，，且，則的最小值為（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以，當且僅當時取等號，所以的最小值為.故選：C.4．（2024·高一·山西朔州·階段練習）已知，，滿足，則下列結論正確的是（

）A．有最小值 B．有最大值C．有最小值 D．有最大值【答案】A【解析】因為，，所以，所以由得，解得，，當且僅當時等號成立，所以有最小值，排除CD；因為，，所以，所以，解得，當且僅當時等號成立，所以有最小值，故A正確，B錯誤；故選：A.5．（2024·高三·江西·開學考試）已知為正實數(shù)，且，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，則，由于，當且僅當，即時，等號成立，所以的最小值為，故選：C6．（2024·高一·上?！るS堂練習）已知實數(shù)a,b,c．滿足且，則下列不等式關系一定正確的是（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】因為且，所以，，對于A，因為，，所以，故A錯誤；對于B，，因為，，所以，又因為，所以，即，故B錯誤；對于C，因為，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以，故C正確；對于D，因為，所以，又因為，所以，故D錯誤.故選：C.7．（2024·高一·吉林延邊·階段練習）已知，，且．若恒成立，則實數(shù)的最大值是（）A．4 B．8 C．3 D．6【答案】A【解析】由，則，當且僅當，即，時，等號成立.故選：A.8．（2024·高二·福建南平·期末）以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù)．若，且，則的最小值為（

）A．4 B． C．3 D．2【答案】D【解析】設，則.顯然．，當且僅當取得等號.，當且僅當取得等號.兩式相乘，即，則.此時，前面都要成立，則，，則.的最小值為2,當且僅當取得最小值.故選：D.9．（多選題）（2024·高一·安徽淮北·期中）已知正數(shù)x，y滿足，則下列說法一定正確的是（

）A． B． C． D．【答案】CD【解析】由，得，對于A，，當且僅當時取等號，解得，A錯誤；對于B，，當且僅當，即，B錯誤；對于C，，當且僅當，即時取等號，C正確；對于D，由選項A知，，，當且僅當，即時取等號，D正確．故選：CD10．（多選題）（2024·高一·江蘇南通·開學考試）已知，且，則（

）A． B．C． D．【答案】BCD【解析】對于A