江西省吉安一中北師大版高中數(shù)學(xué)選修2-1教案25空間向量夾角的計算

2.5空間向量夾角的計算1．能用向量方法解決線線、線面、面面夾角的計算問題．(重點)2．體會向量方法在研究立體幾何問題中的作用．(難點)知識點一直線間的夾角設(shè)直線l1與l2的方向向量分別為s1，s2.知識點二平面間的夾角(1)平面間夾角的概念如圖，平面π1和π2相交于直線l，點R為直線l上任意一點，過點R，在平面π1上作直線l1⊥l，在平面π2上作直線l2⊥l，則l1∩l2＝R，我們把直線l1和l2的夾角叫作平面π1與π2的夾角．(2)平面間夾角的求法設(shè)平面π1與π2的法向量分別為n1與n2.當(dāng)0≤〈n1，n2〉≤eq\f(π,2)時，平面π1與π2的夾角等于〈n1，n2〉；當(dāng)eq\f(π,2)＜〈n1，n2〉≤π時，平面π1與π2的夾角等于π－〈n1，n2〉．事實上，設(shè)平面π1與平面π2的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.知識點三直線與平面的夾角設(shè)直線l的方向向量為s，平面α的法向量為n，直線l與平面α的夾角為θ.考點一直線間的夾角例1.如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD＝90°，AD∥BC，AB＝BC＝a，AD＝2a，且PA⊥底面ABCD，∠PDA＝30°，AE⊥PD，E(1)求證：BE⊥PD；(2)求異面直線AE與CD夾角的余弦值．【名師指津】1．建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，準(zhǔn)確求出相關(guān)點的坐標(biāo)是解決這類題的關(guān)鍵．2．求線線夾角時，應(yīng)注意線線夾角范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，所以若求得余弦值為負(fù)數(shù)，則線線夾角為其補(bǔ)角．練習(xí)1．已知正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2AB，E是AA1的中點，則異面直線D1C與BE所成角的余弦值為()A.eq\f(1,5)B．eq\f(3\r(10),10)C.eq\f(\r(10),10)D．eq\f(3,5)考點二平面間的夾角例2如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1，底面ABCD是菱形，AD＝AA1，∠DAB＝60°，F(xiàn)為棱AA1的中點．求平面BFD1與平面ABCD【名師指津】求兩平面的夾角有兩種方法：(1)定義法：在兩個平面內(nèi)分別找出與兩平面交線垂直的直線，這兩條直線的夾角即為兩平面的夾角．也可轉(zhuǎn)化為求與兩面交線垂直的直線的方向向量的夾角，但要注意其異同．(2)法向量法：分別求出兩平面的法向量n1，n2，則兩平面的夾角為〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)〈n1，n2〉∈\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))時))或π－〈n1，n2〉eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(當(dāng)〈n1，n2〉∈\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))時)).練習(xí)2.如圖所示，在底面為直角梯形的四棱錐S-ABCD中，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝eq\f(1,2)，求平面SCD與平面SAB所成二面角α的正切值．考點三直線與平面的夾角例3正三棱柱ABC-A1B1C1的底面邊長為a，側(cè)棱長為eq\r(2)a，求AC1與側(cè)面ABB1A1所成的角．【名師指津】計算直線l與平面α的夾角為θ的方法有：(1)利用法向量計算θ的步驟如下：(2)利用定義計算θ的步驟如下：練習(xí)3．把本例條件改為“側(cè)棱與底面邊長相等”，求AB1與側(cè)面ACC1A1例4如圖，在四棱錐P-ABCD中，底