湖北省宜昌一中、荊州中學(xué)2024-2025學(xué)年高二上學(xué)期10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2024年秋“宜昌一中?荊州中學(xué)”高二十月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.復(fù)數(shù)滿足，若，則（）A. B.1 C. D.【答案】C解析：∵，∴,∵,∴,∴.故選：C.2.某校組織50名學(xué)生參加慶祝中華人民共和國(guó)成立75周年知識(shí)競(jìng)賽，經(jīng)統(tǒng)計(jì)這50名學(xué)生的成績(jī)都在區(qū)間內(nèi)，按分?jǐn)?shù)分成5組：，得到如圖所示的頻率分布直方圖（不完整），根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A.成績(jī)?cè)谏系娜藬?shù)最少B.成績(jī)不低于80分的學(xué)生所占比例為C.50名學(xué)生成績(jī)的極差為50D.50名學(xué)生成績(jī)的平均分小于中位數(shù)【答案】C解析：設(shè)這一組的頻率為，則由各組頻率之和為1，得，解得，各組頻率依次為：，對(duì)于A，這一組頻率最小，即成績(jī)?cè)谏系娜藬?shù)最少，A正確；對(duì)于B，成績(jī)不低于80分的學(xué)生頻率為，成績(jī)不低于80分的學(xué)生所占比例為，B正確；對(duì)于C，極差為數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，而50名學(xué)生的成績(jī)都在區(qū)間內(nèi)，但成績(jī)的最大值不一定是100，最小值也不一定是，則極差小于等于，但不一定等于50，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，根據(jù)頻率分布直方圖，得50名學(xué)生成績(jī)的平均數(shù)是，而50名學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)為80，因此50名學(xué)生成績(jī)的平均分小于中位數(shù)，D正確.故選：C3.已知平面向量和滿足在上的投影向量為，則在上的投影向量為（）A. B. C. D.【答案】D解析：向量和滿足，由在上的投影向量為，得，所以在上的投影向量為.故選：D4.設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線與圓相切，則點(diǎn)與圓的位置關(guān)系（）A.在圓上 B.在圓外 C.在圓內(nèi) D.不能確定【答案】B解析：因與圓相切，則.則到圓心的距離為，則在圓外.故選：B5.已知傾斜角為的直線與直線垂直，則的值為（）A. B. C. D.【答案】B解析：由題意得，，.故選：B.6.在平行六面體中，M為AC與BD的交點(diǎn)，若，，，則下列向量中與相等的向量是（）．A. B.C. D.【答案】A解析：因?yàn)樵谄叫辛骟w中，，所以.故選：A.7.在四邊形中，，，，將沿折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)的位置，且平面平面.若三棱錐的各頂點(diǎn)都在同一球面上，則該球的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A解析：如圖，設(shè)，的中點(diǎn)分別為，，則，因?yàn)槠矫嫫矫?，，平面平面，平?所以平面，故平面，因?yàn)槠矫妫?，故，因?yàn)槠矫?，所以平面，又平面，所以，故，所以，故為三棱錐的外接球球心，，，所以球半徑，故球的表面積為.故選：A.8.有5張未刮碼的卡片，其中n張是“中獎(jiǎng)”卡，其它的是“未中獎(jiǎng)”卡，現(xiàn)從這5張卡片隨機(jī)抽取2張.你有資金100元，每次在對(duì)一張卡片刮碼前，下注已有資金的一半.若刮碼結(jié)果為“中獎(jiǎng)”，則贏得與下注金額相同的另一筆錢(qián)，若刮碼結(jié)果是“未中獎(jiǎng)”，則輸?shù)粝伦⒌馁Y金.抽取的2張卡片全部刮完后，要使資金增加的概率大于資金減少的概率，則n至少為（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】C解析：由于總資金100元，每次在對(duì)一張卡片刮碼前下注已有資金的一半.刮第1張卡前，下注50元：若未中獎(jiǎng)，還剩50元；刮第2張卡前，下注25元，不管是否中獎(jiǎng)，資金必減少；若中獎(jiǎng)，還剩150元，刮第2張卡前，下注75元，未中獎(jiǎng)資金減少；中獎(jiǎng)資金增加；所以，要使資金增加，則必須2次刮出中獎(jiǎng)，否則資金減少；所以，5張卡片中取到2張“中獎(jiǎng)”卡的概率大于即可，由5張卡片中任取2張的方法數(shù)有10種，n張“中獎(jiǎng)”卡中取到2張的方法數(shù)有種，所以且，故或5，即n至少為4.故選：C二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列說(shuō)法不正確的是（）A.“直線與直線互相垂直”是“”的充分不必要條件B.直線的傾斜角的取值范圍是C.若圓上恰有兩點(diǎn)到點(diǎn)的距離為1，則的取值范圍是D.設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)，則【答案】AD解析：A.由兩直線垂直得，，解得或，“或”是“”的必要不充分條件，選項(xiàng)A錯(cuò)誤.B.由得，，直線斜率，∵，∴，即，∵，∴傾斜角的取值范圍是.選項(xiàng)B正確.C.到點(diǎn)距離為的點(diǎn)在圓上，由題意得，，圓M:(x-∵圓心距，∴，∴,即的取值范圍是，選項(xiàng)C正確.D.由得，曲線表示圓心為原點(diǎn)，半徑為的半圓，如圖所示，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)直線與半圓相切于點(diǎn)時(shí)，由圓心到直線的距離為得，解得或（舍），所以當(dāng)直線與曲線恰有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，或.選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AD.10.一個(gè)質(zhì)地均勻的正四面體木塊的四個(gè)面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次，記事件A為“第一次向下的數(shù)字為2或3”，事件B為“兩次向下的數(shù)字之和為奇數(shù)”，事件C為“兩次能看見(jiàn)的所有面向上的數(shù)字之和不小于15”，則下列結(jié)論正確的是（

）A.事件A與事件B相互獨(dú)立B.事件A與事件B互斥CD.【答案】ACD解析：由題意可知：第一次向下的數(shù)字為1，2，3，4，共4個(gè)基本事件，則，設(shè)為連續(xù)拋擲這個(gè)正四面體木塊兩次向下的數(shù)字組合，其中為第一次向下的數(shù)字，為第二次向下的數(shù)字，則有，共16個(gè)基本事件，可知事件包含，共8個(gè)基本事件，則，事件包含，共4個(gè)基本事件，則，可知，所以事件A與事件B相互獨(dú)立，且事件A與事件B不互斥，故A正確，B錯(cuò)誤；因?yàn)?，故C正確；事件C等價(jià)于為“兩次向下的數(shù)字之和小于等于5”，包含，共10個(gè)基本事件，則，故D正確；故選：ACD.11.如圖，矩形中，，邊，的中點(diǎn)分別為，，直線BE交AC于點(diǎn)G，直線DF交AC于點(diǎn)H.現(xiàn)分別將，沿，折起，點(diǎn)在平面BFDE同側(cè)，則（）A.當(dāng)平面平面BEDF時(shí)，平面BEDFB.當(dāng)平面平面CDF時(shí)，C.當(dāng)重合于點(diǎn)時(shí)，二面角的大小等于D.當(dāng)重合于點(diǎn)時(shí)，三棱錐與三棱錐外接球的公共圓的周長(zhǎng)為【答案】ACD解析：對(duì)于A，在矩形中，，是的中點(diǎn)，所以，，則，又，所以，則，所以，則，故，當(dāng)平面平面時(shí)，如圖1，又因?yàn)槠矫嫫矫妫矫?，所以平面，故A正確..對(duì)于B，當(dāng)平面平面CDF，如圖1，由選項(xiàng)A易知在矩形中，，則，所以在中，，，同理，則，，又，，面，所以面，同理平面CHG，又因?yàn)?，所以平面AGH與平面CHG重合，即四邊形為平面四邊形，又平面平面CDF，平面平面，平面平面，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，則，假設(shè)，則四邊形為平面圖形，又平面，平面，所以平面，又平面平面，平面，所以，又，即，所以四邊形是平行四邊形，所以，而，，顯然矛盾，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖2，由選項(xiàng)B易得平面，又平面，所以，同理：，所以二面角的平面角為，在中，由選項(xiàng)B知，所以是正三角形，故，即二面角的大小等于，故C正確；.對(duì)于D，如圖2，三棱錐與三棱錐的公共面為面，所以三棱錐與三棱錐外接球的公共圓為的外接圓，易知，，，所以，所以，即為直角三角形，所以為的外接圓的直徑，即，所以所求公共圓的周長(zhǎng)為，故D正確.故選：ACD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知空間向量，，，若，，共面，則實(shí)數(shù)___________.【答案】1解析：因?yàn)?，，共面且，不共線，所以可設(shè)，所以，所以，所以，所以，故答案為：1.13.若動(dòng)直線，圓，則直線與圓相交的最短弦長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】解析：直線，則，令，解得，所以動(dòng)直線恒過(guò)點(diǎn)，又圓的圓心為，半徑，所以，所以點(diǎn)在圓內(nèi)，所以當(dāng)直線時(shí)直線與圓相交的弦長(zhǎng)最短，最短弦長(zhǎng)為.故答案為：14.已知，，，則下列結(jié)論中正確的是______________.①當(dāng)時(shí)，；②當(dāng)時(shí)，有1個(gè)元素；③若有2個(gè)元素，則；④若有4個(gè)元素，則無(wú)整數(shù)解；【答案】①②④解析：①當(dāng)時(shí)，，由令，解得，由令，解得，畫(huà)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)集如下圖所示，所以，所以①正確.②當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)集如下圖所示，圓的圓心為，半徑為，直線，即，到的距離為，所以圓與直線相切，所以有個(gè)元素，所以②正確.對(duì)于③，當(dāng)時(shí)，，畫(huà)出對(duì)應(yīng)點(diǎn)集如下圖所示，半圓的圓心為2,0，半徑為，2,0到直線的距離為，此時(shí)有個(gè)元素，所以③錯(cuò)誤.對(duì)于④，若，則，此時(shí)直線與圓至多有個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意.若，則由③的分析可知有個(gè)元素，綜上所述，若有4個(gè)元素，則無(wú)整數(shù)解,所以④正確；故答案為：①②④四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15.2023年10月22日，漢江生態(tài)城2023襄陽(yáng)馬拉松在湖北省襄陽(yáng)市成功舉行，志愿者的服務(wù)工作是馬拉松成功舉辦的重要保障，襄陽(yáng)市新時(shí)代文明實(shí)踐中心承辦了志愿者選拔的面試工作．現(xiàn)隨機(jī)抽取了100名候選者的面試成績(jī)，并分成五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，繪制成如圖所示的頻率分布直方圖．已知第一、二組的頻率之和為0.3，第一組和第五組的頻率相同．（1）估計(jì)這100名候選者面試成績(jī)的平均數(shù)和第25百分位數(shù)；（2）現(xiàn)從以上各組中用分層隨機(jī)抽樣的方法選取20人，擔(dān)任本市的宣傳者．若本市宣傳者中第二組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為72和30，第四組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)和方差分別為90和60，據(jù)此估計(jì)這次第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差．【答案】（1）平均數(shù)69.5，第25百分位數(shù)為63；（2）【小問(wèn)1詳解】由題意可知：，解得；由圖可知，每組的頻率依次為：0.05，0.25，0.45，0.2，0.05，所以平均數(shù)為，因?yàn)?，設(shè)第25百分位數(shù)為，則，，則，解得，故第25百分位數(shù)為63；【小問(wèn)2詳解】設(shè)第二組、第四組面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)與方差分別為，且兩組頻率之比為，則第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的平均數(shù)第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差．故估計(jì)第二組和第四組所有面試者的面試成績(jī)的方差是．16.在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，.（1）求角的大??；（2）若是銳角三角形，且其面積為，求邊的取值范圍.【答案】（1）（2）【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋瑒t，所以，即，得.所以或（不成立，舍去），從而，又，所以.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，又是銳角三角形，則，得.因?yàn)?，所?設(shè)，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，則，所以，從而，即，所以邊的取值范圍是.17.已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是，端點(diǎn)A在圓上運(yùn)動(dòng)，M是線段AB的中點(diǎn)，（1）求點(diǎn)M的軌跡方程；（2）記（1）中所求軌跡為曲線C，過(guò)定點(diǎn)的直線l與曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，曲線C的中心記為點(diǎn)C，求面積的最大值，并求此時(shí)直線l的方程．【答案】（1）（2）或【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)點(diǎn)，由點(diǎn)的坐標(biāo)為，且是線段的中點(diǎn)，則，可得，即，因?yàn)辄c(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)點(diǎn)坐標(biāo)滿足圓的方程，即，整理得，所以點(diǎn)的軌跡方程為.【小問(wèn)2詳解】解：過(guò)點(diǎn)定點(diǎn)1,0的直線與曲線交于兩點(diǎn)，則直線的斜率一定存在且不為，設(shè)直線，即，則圓心到直線的距離為，又因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以時(shí)，取得最大值，此時(shí)，解得或，所以取得最大值，此時(shí)直線方程為或.18.在四棱錐中，已知，，，，，，是線段上的點(diǎn)．（1）求證：底面；（2）是否存在點(diǎn)使得與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，且【小問(wèn)1詳解】證明：在中，，，所以.在中，，，，由余弦定理有：，所以，，所以，所以，又因?yàn)?，，、平面，所以，平面，因?yàn)槠矫?，所以，，在中：，，，則，所以，，因?yàn)?，、平面，所以?【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)槠矫?，，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、、的方向分別為、、軸的正方向建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有A0,0,0、、C1,1,0、、，設(shè)，其中，則，，，設(shè)為面法向量，則有，取，則，，所以，平面的一個(gè)法向量為，由題意可得，可得，因?yàn)?，所?因此，存在點(diǎn)使得與平面所成角的正弦值為，且.19.蝴蝶定理因其美妙的構(gòu)圖，像是一只翩翩起舞的蝴蝶，一代代數(shù)學(xué)名家蜂擁而證，正所謂花若芬芳蜂蝶自來(lái)．如圖，已知圓的方程為，直線與圓M交于，，直線與圓交于，．原點(diǎn)在圓內(nèi)．設(shè)交軸于點(diǎn)，交軸