遼寧省沈陽二中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題含解析

遼寧省沈陽二中2025屆高二上數(shù)學(xué)期末學(xué)業(yè)質(zhì)量監(jiān)測試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．若是函數(shù)的一個(gè)極值點(diǎn)，則的極大值為（）A. B.C. D.2．?dāng)?shù)列2，，9，，的一個(gè)通項(xiàng)公式可以是（）A. B.C. D.3．設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，的圖象如圖所示，則的解集是（）A. B.C. D.4．如圖，在三棱錐中，，則三棱錐外接球的表面積是（）A. B.C. D.5．元朝著名的數(shù)學(xué)家朱世杰在《四元玉鑒》中有一首詩：“我有一壺酒，攜著游春走.遇店添一倍，逢友飲一斗.”基于此情景，設(shè)計(jì)了如圖所示的程序框圖，若輸入的，輸出的，則判斷框中可以填（）A. B.C. D.6．“楊輝三角”是中國古代數(shù)學(xué)文化的瑰寶之一，最早在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中出現(xiàn).如圖所示的楊輝三角中，第8行，第3個(gè)數(shù)是（）第0行1第1行11第2行121第3行1331第4行14641……A.21 B.28C.36 D.567．過點(diǎn)與直線平行的直線的方程是（）A. B.C. D.8．下列數(shù)列中成等差數(shù)列的是（）A. B.C. D.9．已知橢圓C：的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，過點(diǎn)F1作直線l交橢圓C于M，N兩點(diǎn)，則的周長為（）A.3 B.4C.6 D.810．拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)A. B.C. D.11．在如圖所示的棱長為1的正方體中，點(diǎn)P在側(cè)面所在的平面上運(yùn)動(dòng)，則下列四個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①若點(diǎn)P總滿足，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一條直線②若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)周長為的圓③若點(diǎn)P到直線AB的距離與到點(diǎn)C的距離之和為1，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓④若點(diǎn)P到平面的距離與到直線CD的距離相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是拋物線A.1 B.2C.3 D.412．?dāng)?shù)列中前項(xiàng)和滿足，若是遞增數(shù)列，則的取值范圍為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，則______14．點(diǎn)在以，為焦點(diǎn)的橢圓上運(yùn)動(dòng)，則的重心的軌跡方程是___________.15．過點(diǎn)的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，且點(diǎn)恰好是線段的中點(diǎn)，則直線的方程為___________.16．拋物線的準(zhǔn)線方程為_______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的焦點(diǎn)為，且長軸長是焦距的倍（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若斜率為1的直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，已知點(diǎn)，求面積的最大值18．（12分）如圖，在三棱錐中，側(cè)面為等邊三角形，，，平面平面，為的中點(diǎn).（1）求證：；（2）若，求二面角的大小.19．（12分）已知拋物線C：焦點(diǎn)F的橫坐標(biāo)等于橢圓的離心率.（1）求拋物線C的方程；（2）過(1，0)作直線l交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，判斷原點(diǎn)與以線段AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.20．（12分）已知向量，（1）求；（2）求；（3）若（），求的值21．（12分）城南公園種植了4棵棕櫚樹，各棵棕櫚樹成活與否是相互獨(dú)立的，成活率為p，設(shè)為成活棕櫚樹的株數(shù)，數(shù)學(xué)期望.（1）求p的值并寫出的分布列；（2）若有2棵或2棵以上的棕櫚樹未成活，則需要補(bǔ)種，求需要補(bǔ)種棕櫚樹的概率.22．（10分）新高考取消文理分科，采用選科模式，這賦予了學(xué)生充分的自由選擇權(quán).新高考地區(qū)某校為了解本校高一年級(jí)將來高考選考物理的情況，隨機(jī)選取了100名高一學(xué)生，將他們某次物理測試成績（滿分100分）按照，，，，分成5組，制成如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求圖中的值并估計(jì)這100名學(xué)生本次物理測試成績的中位數(shù).（2）根據(jù)調(diào)查，本次物理測試成績不低于60分的學(xué)生，高考將選考物理科目；成績低于60分的學(xué)生，高考將不選考物理科目.按分層抽樣的方法從測試成績在，的學(xué)生中選取5人，再從這5人中任意選取2人，求這2人中至少有1人高考選考物理科目的概率.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】先對函數(shù)求導(dǎo)，由已知，先求出，再令，并判斷函數(shù)在其左右兩邊的單調(diào)性，從而確定極大值點(diǎn)，然后帶入原函數(shù)即可完成求解.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以，，令，解得或，所以?dāng)，，單調(diào)遞增；時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)，，單調(diào)遞增，所以的極大值為故選：D2、C【解析】用檢驗(yàn)法，由通項(xiàng)公式驗(yàn)證是否符合數(shù)列各項(xiàng)，結(jié)合排除法可得【詳解】第一項(xiàng)為正數(shù)，BD中求出第一項(xiàng)均為負(fù)數(shù)，排除，而AC均滿足，A中，，排除A，C中滿足，，，故選：C3、C【解析】先由圖像分析出的正負(fù)，直接解不等式即可得到答案.【詳解】由函數(shù)的圖象可知,在區(qū)間上單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,2)上單調(diào)遞增，即當(dāng)時(shí),;當(dāng)x∈(0,2)時(shí),.因?yàn)榭苫癁榛?，解得?<x<2或x<0,所以不等式的解集為.故選:C4、A【解析】根據(jù)題意，將該幾何體放置于正方體中截得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求邊長為2的正方體的外接球，再求解即可.【詳解】解：因?yàn)樵谌忮F中，，所以將三棱錐補(bǔ)形成正方體如圖所示，正方體的邊長為2，則體對角線長為，外接球的半徑為，所以外接球的表面積為，故選：.5、D【解析】根據(jù)程序框圖的算法功能，模擬程序運(yùn)行即可推理判斷作答.【詳解】由程序框圖知，直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)，先執(zhí)行循環(huán)體，條件不滿足，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體，條件滿足跳出循環(huán)體，則有：當(dāng)?shù)谝淮螆?zhí)行循環(huán)體時(shí)，，，條件不滿足，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體；當(dāng)?shù)诙螆?zhí)行循環(huán)體時(shí)，，，條件不滿足，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體；當(dāng)?shù)谌螆?zhí)行循環(huán)體時(shí)，，，條件不滿足，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體；當(dāng)?shù)谒拇螆?zhí)行循環(huán)體時(shí)，，，條件不滿足，繼續(xù)執(zhí)行循環(huán)體；當(dāng)?shù)谖宕螆?zhí)行循環(huán)體時(shí)，，，條件滿足，跳出循環(huán)體，輸出，于是得判斷框中的條件為：，所以判斷框中可以填：.故選：D6、B【解析】由題意知第8行的數(shù)就是二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，可得第8行，第3個(gè)數(shù)是為，即可求解【詳解】解：由題意知第8行的數(shù)就是二項(xiàng)式的展開式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，故第8行，第3個(gè)數(shù)是為故選：B7、A【解析】根據(jù)題意利用點(diǎn)斜式寫出直線方程即可.【詳解】解：過點(diǎn)的直線與直線平行，，即.故選：A.8、C【解析】利用等差數(shù)列定義，逐一驗(yàn)證各個(gè)選項(xiàng)即可判斷作答.【詳解】對于A，，A不是等差數(shù)列；對于B，，B不是等差數(shù)列；對于C，，C是等差數(shù)列；對于D，，D不是等差數(shù)列.故選：C9、D【解析】由的周長為，結(jié)合橢圓的定義，即可求解.【詳解】由題意，橢圓，可得，即，如圖所示，根據(jù)橢圓的定義，可得的周長為故選：D.10、B【解析】由拋物線方程知焦點(diǎn)在x軸正半軸，且p=4，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以選B11、C【解析】根據(jù)線面關(guān)系、距離關(guān)系可分別對每一個(gè)命題判斷.【詳解】若點(diǎn)P總滿足，又，，，可得對角面，因此點(diǎn)P的軌跡是直線，故①正確若點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離為，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以點(diǎn)B為圓心，以1為半徑的圓（在平面內(nèi)），因此圓的周長為，故②正確點(diǎn)P到直線AB的距離PB與到點(diǎn)C的距離PC之和為1，又，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是線段BC，因此③不正確點(diǎn)P到平面的距離（即到直線的距離）與到直線CD的距離（即到點(diǎn)C的距離）相等，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是以線段BC的中點(diǎn)為頂點(diǎn)，直線BC為對稱軸的拋物線（在平面內(nèi)），因此④正確故有①②④三個(gè)故選:C12、B【解析】由已知求得，再根據(jù)當(dāng)時(shí)，，，可求得范圍.【詳解】解：因?yàn)椋瑒t，兩式相減得，因?yàn)槭沁f增數(shù)列，所以當(dāng)時(shí)，，解得，又，，所以，解得，綜上得，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、－1【解析】由已知及等差數(shù)列通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，列方程求基本量即可.【詳解】若公差為，則，可得.故答案為：.14、【解析】設(shè)出點(diǎn)和三角形的重心，利用重心坐標(biāo)公式得到點(diǎn)和三角形的重心坐標(biāo)的關(guān)系，，代入橢圓方程即可求得軌跡方程，再利用，，三點(diǎn)不共線得到.【詳解】設(shè)，，由，得，即，，因?yàn)闉榈闹匦模?，，即，，代入，得，即，因?yàn)?，，三點(diǎn)不共線，所以，則的重心的軌跡方程是.故答案：.15、【解析】設(shè)，，，，分別代入雙曲線方程，兩式相減，化簡可得：，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式求得直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求直線方程【詳解】過點(diǎn)的直線與該雙曲線交于，兩點(diǎn)，設(shè)，，，，，兩式相減可得：，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，，，，則，所以直線的方程為，即為故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：對于有關(guān)弦中點(diǎn)問題常用“點(diǎn)差法”，其解題步驟為：①設(shè)點(diǎn)（即設(shè)出弦的兩端點(diǎn)坐標(biāo)）；②代入（即代入圓錐曲線方程）；③作差（即兩式相減，再用平方差公式分解因式）；④整理（即轉(zhuǎn)化為斜率與中點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系式），然后求解.16、【解析】由拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2=y，得拋物線是焦點(diǎn)在y軸正半軸的拋物線，2p=1，∴其準(zhǔn)線方程是y=，故答案為三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）1.【解析】(1)根據(jù)給定條件求出橢圓半焦距c，長短半軸長a，b即可得解.(2)設(shè)出直線的方程，再與橢圓C的方程聯(lián)立，求出弦AB長及點(diǎn)P到直線的距離，然后求出面積的表達(dá)式并求其最大值即得.【小問1詳解】設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，依題意，半焦距，，即，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問2詳解】依題意，設(shè)直線，，由消去y并整理得：，由，解得，則有，，于是得，而點(diǎn)到直線的距離為，因此，的面積，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取“=”，所以面積最大值為1.【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：直線l：y=kx+b上兩點(diǎn)間的距離；直線l：x=my+t上兩點(diǎn)間的距離.18、（1）證明見解析（2）【解析】（1）取中點(diǎn)，由面面垂直和線面垂直性質(zhì)可證得，結(jié)合，由線面垂直判定可證得平面，由線面垂直性質(zhì)可得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系，由向量數(shù)乘運(yùn)算可求得點(diǎn)坐標(biāo)，利用二面角的向量求法可求得結(jié)果.【小問1詳解】取中點(diǎn)，連接，為等邊三角形，為中點(diǎn)，，平面平面，平面平面，平面，平面，又平面，；分別為中點(diǎn)，，又，，平面，，平面，又平面，.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，設(shè)，則，，由得：，解得：，即，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得：，，；又平面的一個(gè)法向量，；由圖象知：二面角為銳二面角，二面角的大小為.19、（1）；（2）原點(diǎn)在以線段AB為直徑的圓上，詳見解析.【解析】（1）利用橢圓方程可得其離心率，進(jìn)而可求拋物線的焦點(diǎn)，即求；（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立拋物線方程，利用韋達(dá)定理法可得，即得.【小問1詳解】由橢圓，可得，故，∴拋物線C的方程為.【小問2詳解】由題可設(shè)直線l的方程為，由，得，設(shè)，則，又，故，∴，∴，即，故原點(diǎn)在以線段AB為直徑的圓上.20、（1）（2）（3）【解析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示即可得解；（2）求出，再根據(jù)空間向量的模的坐標(biāo)表示即可得解；（3）由，可得，再根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【小問1詳解】解：；【小問2詳解】解：；【小問3詳解】解：因?yàn)椋?，即，解?21、（1），分布列見解析；（2）.【解析】（1）根據(jù)二項(xiàng)分布知識(shí)即可求解；（2）將補(bǔ)種棕櫚樹的概率轉(zhuǎn)化為成活的概率，結(jié)合概率加法公式即可求解.【小問1詳解】由題意知，，又，所以，故未成活率為，由于所有可能的取值為0,1,2,3,4，所以，，，，，則的分布列為01234【小問2詳解】記“需要補(bǔ)種棕櫚樹”為事件A，由（1）得，，所以需要補(bǔ)種棕櫚樹的概率為.22、（1），中位數(shù)為；（2）.【解析】（1）由頻率和為1求參數(shù)a，根據(jù)直方圖及中位數(shù)性質(zhì)求中位數(shù)即可.（2）首先由分層抽樣原則求選取的5人在、的人數(shù)分布情況，再應(yīng)用列舉法求古