2025屆北京市陳經(jīng)綸學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題含解析

2025屆北京市陳經(jīng)綸學(xué)校數(shù)學(xué)高二上期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)1．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫(xiě)在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請(qǐng)認(rèn)真核對(duì)監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)選項(xiàng)的方框涂滿(mǎn)、涂黑；如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無(wú)效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫(xiě)清楚，線(xiàn)條、符號(hào)等須加黑、加粗．一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知雙曲線(xiàn)：的右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線(xiàn)（為常數(shù)）與雙曲線(xiàn)在第一象限交于點(diǎn).若（為原點(diǎn)），則的離心率為（）A. B.C. D.52．下列說(shuō)法中正確的是A.命題“若，則”的逆命題為真命題B.若為假命題，則均為假命題C.若為假命題，則為真命題D.命題“若兩個(gè)平面向量滿(mǎn)足，則不共線(xiàn)”的否命題是真命題.3．已知直線(xiàn)與平行，則的值為（）A. B.C. D.4．過(guò)兩點(diǎn)、的直線(xiàn)的傾斜角為，則的值為（）A.或 B.C. D.5．設(shè)是空間一定點(diǎn)，為空間內(nèi)任一非零向量，滿(mǎn)足條件的點(diǎn)構(gòu)成的圖形是（）A.圓 B.直線(xiàn)C.平面 D.線(xiàn)段6．如圖，在正方體中，點(diǎn)，分別是面對(duì)角線(xiàn)與的中點(diǎn)，若，，，則（）A. B.C. D.7．若直線(xiàn)經(jīng)過(guò)，,兩點(diǎn)，則直線(xiàn)的傾斜角的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知m是2與8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線(xiàn)x2﹣＝1的離心率是（）A.或 B.C. D.或9．某制藥廠為了檢驗(yàn)?zāi)撤N疫苗預(yù)防的作用，把名使用疫苗的人與另外名未使用疫苗的人一年中的記錄作比較，提出假設(shè)：“這種疫苗不能起到預(yù)防的作用”，利用列聯(lián)表計(jì)算得，經(jīng)查對(duì)臨界值表知.則下列結(jié)論中，正確的結(jié)論是（）A.若某人未使用該疫苗，則他在一年中有的可能性生病B.這種疫苗預(yù)防的有效率為C.在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防的作用”D.有的把握認(rèn)為這種疫苗不能起到預(yù)防生病的作用10．有甲、乙兩個(gè)抽獎(jiǎng)箱，甲箱中有3張無(wú)獎(jiǎng)票3張有獎(jiǎng)票，乙箱中有4張無(wú)獎(jiǎng)票2張有獎(jiǎng)票，某人先從甲箱中抽出一張放進(jìn)乙箱，再?gòu)囊蚁渲腥我獬槌鲆粡?，則最后抽到有獎(jiǎng)票的概率是（）A. B.C. D.11．過(guò)點(diǎn)且與原點(diǎn)距離最大的直線(xiàn)方程是（）A. B.C. D.12．2021年4月29日，中國(guó)空間站天和核心艙發(fā)射升空，這標(biāo)志著中國(guó)空間站在軌組裝建造全面展開(kāi)，我國(guó)載人航天工程“三步走”戰(zhàn)略成功邁出第三步.到今天，天和核心艙在軌已經(jīng)九個(gè)多月.在這段時(shí)間里，空間站關(guān)鍵技術(shù)驗(yàn)證階段完成了5次發(fā)射、4次航天員太空出艙、1次載人返回、1次太空授課等任務(wù).一般來(lái)說(shuō)，航天器繞地球運(yùn)行的軌道近似看作為橢圓，其中地球的球心是這個(gè)橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，我們把橢圓軌道上距地心最近（遠(yuǎn)）的一點(diǎn)稱(chēng)作近（遠(yuǎn)）地點(diǎn)，近（遠(yuǎn)）地點(diǎn)與地球表面的距離稱(chēng)為近（遠(yuǎn)）地點(diǎn)高度.已知天和核心艙在一個(gè)橢圓軌道上飛行，它的近地點(diǎn)高度大約351km，遠(yuǎn)地點(diǎn)高度大約385km，地球半徑約6400km，則該軌道的離心率為（）A. B.C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)方程是___________.14．若函數(shù)在區(qū)間上的最大值是，則__________15．若函數(shù)在[1，3]單調(diào)遞增，則a的取值范圍___16．已知正方體的棱長(zhǎng)為6，E為棱的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱上的點(diǎn)，且，則___________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)（Ⅰ）求的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）若，為整數(shù)，且當(dāng)時(shí)，恒成立，求的最大值．（其中為的導(dǎo)函數(shù)．）18．（12分）自我國(guó)爆發(fā)新冠肺炎疫情以來(lái)，各地醫(yī)療單位都加緊了醫(yī)療用品的生產(chǎn)．某醫(yī)療器械廠統(tǒng)計(jì)了口罩生產(chǎn)車(chē)間每名工人的生產(chǎn)速度，并將所得數(shù)據(jù)分成五組并繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．已知前四組的頻率成等差數(shù)列，第五組與第二組的頻率相等（1）估計(jì)口罩生產(chǎn)車(chē)間工人生產(chǎn)速度的中位數(shù)（結(jié)果寫(xiě)成分?jǐn)?shù)的形式）；（2）為了解該車(chē)間工人生產(chǎn)速度是否與他們的工作經(jīng)驗(yàn)有關(guān)，現(xiàn)從車(chē)間所有工人中隨機(jī)抽樣調(diào)查了5名工人的生產(chǎn)速度以及他們的工齡（參加工作的年限），數(shù)據(jù)如下表：工齡x（單位：年）4681012生產(chǎn)速度y（單位：件/小時(shí)）4257626267根據(jù)上述數(shù)據(jù)求每名工人的生產(chǎn)速度y關(guān)于他的工齡x的回歸方程，并據(jù)此估計(jì)該車(chē)間某位有16年工齡的工人的生產(chǎn)速度附：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式為：，19．（12分）已知二次函數(shù)，.（1）若，求函數(shù)的最小值；（2）若，解關(guān)于x的不等式.20．（12分）2021年2月12日，辛丑牛年大年初一，由賈玲導(dǎo)演的電影《你好，李煥英》上映，截至到2月21日22點(diǎn)8分，票房攀升至40.25億，反超同期上映的《唐人街探案3》，迎來(lái)了2021春節(jié)檔最具戲劇性的一幕．正是因?yàn)橛捌心概g的這份簡(jiǎn)單、純粹、誠(chéng)摯的情感觸碰了人們內(nèi)心柔軟的地方，打動(dòng)了萬(wàn)千觀眾，才贏得了良好的口碑，不少觀眾都流下了感動(dòng)的淚水．影片結(jié)束后，某電影院工作人員當(dāng)日隨機(jī)抽查了100名觀看《你好，煥英》的觀眾，詢(xún)問(wèn)他們?cè)谟^看影片的過(guò)程中是否“流淚”，得到以下表格：男性觀眾女性觀眾合計(jì)流淚20沒(méi)有流淚520合計(jì)（1）完成表格中的數(shù)據(jù)，并判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為觀眾在觀看影片的過(guò)程中流淚與性別有關(guān)？（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒(méi)有流淚的觀眾中抽取5人，然后從這5人中再隨機(jī)抽取2人，求這2人都流淚的概率附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828，21．（12分）如圖，在三棱柱中，四邊形為矩形，，，點(diǎn)E為棱的中點(diǎn)，.（1）求證：平面平面；（2）求平面AEB與平面夾角的余弦值.22．（10分）已知數(shù)列為正項(xiàng)等比數(shù)列，滿(mǎn)足，，數(shù)列滿(mǎn)足（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列滿(mǎn)足，證明：數(shù)列的前n項(xiàng)和

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】取雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，連接,計(jì)算可得，即.設(shè)，則，，解得：，利用勾股定理計(jì)算可得，即可得出結(jié)果.【詳解】取雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)，連接,,則因?yàn)椋?，?,.設(shè)，則，，解得：.,,..故選：D2、D【解析】A中，利用四種命題的的真假判斷即可；B、C中，命題“”為假命題時(shí)，、至少有一個(gè)為假命題；D中，寫(xiě)出該命題的否命題，再判斷它的真假性【詳解】對(duì)于A，命題“若，則”的逆命題是：若，則；因?yàn)橐渤闪?所以A不正確；對(duì)于B，命題“”為假命題時(shí)，、至少有一個(gè)為假命題，所以B錯(cuò)誤；C錯(cuò)誤；對(duì)于D，“平面向量滿(mǎn)足”，則不共線(xiàn)的否命題是，若“平面向量滿(mǎn)足”，則共線(xiàn)；由知：，一定有，，所以共線(xiàn)，D正確.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了命題的真假性判斷問(wèn)題，也考查了推理與判斷能力，是基礎(chǔ)題3、C【解析】由兩直線(xiàn)平行可得，即可求出答案.【詳解】直線(xiàn)與平行故選：C.4、D【解析】利用斜率公式可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的等式與不等式，由此可解得實(shí)數(shù)的值.詳解】由斜率公式可得，即，解得.故選：D.5、C【解析】根據(jù)法向量的定義可判斷出點(diǎn)所構(gòu)成的圖形.【詳解】是空間一定點(diǎn)，為空間內(nèi)任一非零向量，滿(mǎn)足條件，所以，構(gòu)成的圖形是經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且以為法向量的平面.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查空間中動(dòng)點(diǎn)的軌跡，考查了法向量定義的理解，屬于基礎(chǔ)題.6、D【解析】由空間向量運(yùn)算法則得,利用向量的線(xiàn)性運(yùn)算求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，分別是面對(duì)角線(xiàn)與的中點(diǎn)，，，，所以故選:D.7、D【解析】應(yīng)用兩點(diǎn)式求直線(xiàn)斜率得，結(jié)合及，即可求的范圍.【詳解】根據(jù)題意，直線(xiàn)經(jīng)過(guò)，,，∴直線(xiàn)的斜率，又，∴，即，又，∴；故選：D8、A【解析】利用等比數(shù)列求出m，然后求解圓錐曲線(xiàn)的離心率即可【詳解】解：m是2與8的等比中項(xiàng)，可得m＝±4，當(dāng)m=4時(shí),圓錐曲線(xiàn)為雙曲線(xiàn)x2﹣＝1,它的離心率為：,當(dāng)m=-4時(shí)，圓錐曲線(xiàn)x2﹣＝1為橢圓，離心率：，故選：A9、C【解析】根據(jù)的值與臨界值的大小關(guān)系進(jìn)行判斷.【詳解】∵，，∴在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)的前提下認(rèn)為“這種疫苗能起到預(yù)防的作用”，C對(duì)，由已知數(shù)據(jù)不能確定若某人未使用該疫苗，則他在一年中有的可能性生病，A錯(cuò)，由已知數(shù)據(jù)不能判斷這種疫苗預(yù)防的有效率為，B錯(cuò)，由已知數(shù)據(jù)沒(méi)有的把握認(rèn)為這種疫苗不能起到預(yù)防生病的作用,D錯(cuò)，故選：C.10、B【解析】先分為在甲箱中抽出一張有獎(jiǎng)票放入乙箱和在甲箱中抽出一張無(wú)獎(jiǎng)票放入乙箱，進(jìn)而結(jié)合條件概率求概率的方法求得答案.【詳解】記表示在甲箱中抽出一張有獎(jiǎng)票放進(jìn)乙箱，表示在甲箱中抽出一張無(wú)獎(jiǎng)票放進(jìn)乙箱，A表示最后抽到有獎(jiǎng)票.所以，，于是.故選：B.11、A【解析】過(guò)點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直線(xiàn)垂直于直線(xiàn)，再由點(diǎn)斜式求解即可【詳解】過(guò)點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直垂直于直線(xiàn)，，∴過(guò)點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直線(xiàn)的斜率為，∴過(guò)點(diǎn)且與原點(diǎn)O距離最遠(yuǎn)的直線(xiàn)方程為：，即.故選：A12、A【解析】根據(jù)遠(yuǎn)地點(diǎn)和近地點(diǎn)，求出軌道即橢圓的半長(zhǎng)軸和半焦距，即可求得答案.【詳解】設(shè)橢圓的半長(zhǎng)軸為a，半焦距為c.則根據(jù)題意得;解得，故該軌道即橢圓的離心率為，故選：A二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】先根據(jù)拋物線(xiàn)方程求出，進(jìn)而求出準(zhǔn)線(xiàn)方程.【詳解】拋物線(xiàn)為，則，解得：，準(zhǔn)線(xiàn)方程為：.故答案為：14、0【解析】由函數(shù)，又由，則，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可求解函數(shù)的最大值，得到答案.【詳解】由函數(shù)，因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，則，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查了余弦函數(shù)的性質(zhì)，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，其中解答中根據(jù)余弦函數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及推理與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.15、【解析】由在區(qū)間上恒成立來(lái)求得的取值范圍.【詳解】依題意在區(qū)間上恒成立，在上恒成立，所以.故答案為：16、18【解析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的數(shù)量積運(yùn)算求解.【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，所以，所以，故答案為：18三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（Ⅰ）答案見(jiàn)解析；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）的定義域?yàn)?，，分和兩種情況解不等式和即可得單調(diào)遞增區(qū)間和單調(diào)遞減區(qū)間；（Ⅱ）由題意可得對(duì)于恒成立，分離可得，令，只需，利用導(dǎo)數(shù)求最小值即可求解.【詳解】（Ⅰ）函數(shù)的定義域?yàn)?，?dāng)時(shí)，對(duì)于恒成立，此時(shí)函數(shù)在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，由可得；由可得；此時(shí)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為，（Ⅱ）若，由可得，因?yàn)?，所以，所以所以?duì)于恒成立，令，則，，令，則對(duì)于恒成立，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)?，，所以在上存在唯一零點(diǎn)，即，可得：，當(dāng)時(shí)，，則，當(dāng)時(shí)，，則，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，因?yàn)椋缘淖畲笾禐?【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的方法：（1）確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，由（或）解出相應(yīng)的的范圍，對(duì)應(yīng)的區(qū)間為的增區(qū)間（或減區(qū)間）；（2）確定函數(shù)的定義域；求導(dǎo)函數(shù)，解方程，利用的根將函數(shù)的定義域分為若干個(gè)子區(qū)間，在這些子區(qū)間上討論的正負(fù)，由符號(hào)確定在子區(qū)間上的單調(diào)性.18、（1）（2）80件/小時(shí)【解析】（1）先利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和頻率分布直方圖各矩形的面積之和為1求出各組頻率，再利用頻率分布直方圖求中位數(shù)；（2）先求出、，利用最小二乘法求出回歸直線(xiàn)方程，再進(jìn)行預(yù)測(cè)其生產(chǎn)速度.【小問(wèn)1詳解】解：設(shè)前4組的頻率分別為，，，，公差為，由頻率分布直方圖，得，即，解得，則，，所以中位數(shù)為.【小問(wèn)2詳解】解：由題意，得，，由所給公式，得，，所以回歸直線(xiàn)方程為，則當(dāng)時(shí)，，即估計(jì)該車(chē)間某位有16年工齡的工人的生產(chǎn)速度為80件/小時(shí).19、（1）（2）當(dāng)時(shí)，不等式的解集為當(dāng)時(shí)，不等式的解集為當(dāng)時(shí)，不等式的解集為【解析】（1）帶入，將化解為，再利用基本不等式求最值即可；（2）將不等式移項(xiàng)整理為，再對(duì)a分類(lèi)討論，比較兩根的大小，即可求得解集.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)a=3時(shí)，函數(shù)可整理為，因?yàn)?，所以利用基本不等式，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，y取到最小值.所以，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為.【小問(wèn)2詳解】將不等式整理為，令，即，解得兩根為與1，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)的解集為；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)的解集為；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，此時(shí)的解集為.綜上所述，當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為；當(dāng)時(shí)，不等式的解集為.20、（1）填表見(jiàn)解析；有99.9%的把握認(rèn)為觀眾在觀看影片的過(guò)程中流淚與性別有關(guān)；（2）【解析】（1）由已知數(shù)據(jù)可完善列聯(lián)表，然后計(jì)算可得結(jié)論；（2）根據(jù)分層抽樣定義求出5人中流淚與沒(méi)有流淚的觀眾人數(shù)并編號(hào)，用列舉法寫(xiě)出作任取2人的所有基本事件，并得出2人都流淚的基本事件，計(jì)數(shù)后可計(jì)算概率【詳解】解：（1）男性觀眾女性觀眾合計(jì)流淚206080沒(méi)有流淚15520合計(jì)3565100所以有99.9%的把握認(rèn)為觀眾在觀看影片的過(guò)程中流淚與性別有關(guān)（2）以分層抽樣的方式，從流淚與沒(méi)有流淚的觀眾中抽取5人，則流淚的觀眾抽到人，記為，，，，沒(méi)有流淚的觀眾抽到人，記為從這5人中抽2人有10種情況，分別是，，，，，，，，，其中這2人都流淚有6種情況，分別是，，，，，所以所求概率21、（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】（1）根據(jù)矩形及勾股定理的逆定理可得線(xiàn)面垂直的條件，再由平面，即可證明面面垂直；（2）建立空間直角坐標(biāo)后，求出相關(guān)法向量，再用夾角公式即可.【小問(wèn)1詳解】證明：由三棱柱的性質(zhì)及可知四邊形為菱形又∵∴為等邊三