2024-2025上海寶山中學(xué)高二數(shù)學(xué)（上）10月考試卷附答案解析

-2025上海寶山中學(xué)高二數(shù)學(xué)（上）10月考試卷本試卷共有21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1-6題每題4分，7-12題每題5分）【考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.】1.用符號表示平面經(jīng)過直線：__________.2.若圓柱底面半徑為2，高為3，則其側(cè)面積為__________．3.已知直線，則直線與直線的位置關(guān)系有__________種（填數(shù)字）.4.若正方體的棱長為2，則點到直線的距離為_____5.已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個半徑為3，且弧長為的扇形，則該圓錐的體積等于__________.6.如圖，在正四棱柱中，，，則三棱錐的體積為________.7.下來命題中，真命題的編號為__________．（1）若直線與平面斜交，則內(nèi)不存在與垂直直線；（2）若直線平面，則內(nèi)不存在與不垂直的直線；（3）若直線與平面斜交，則內(nèi)不存在與平行的直線；（4）若直線平面，則內(nèi)不存在與不平行的直線．8.在正方體中，二面角的平面角大小為__________.9.已知中，所在平面外一點到此三角形三個頂點的距離都是6，則點到平面的距離是__________.10.一個長方體的三條棱長分別為若在該長方體上面鉆一個圓柱形的孔后其表面積沒有變化,則圓孔的半徑為__________．11.點是二面角內(nèi)一點，于點，于點，設(shè)，，，則點到棱距離是______.12.兩個邊長為的正方形和各與對方所在平面垂直，分別是對角線上的點，且，則兩點間的最短距離為______.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13?14題每題4分，15?16題每題5分）【每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得滿分，否則一律得零分.】13.在以下四圖中，直線與直線可能平行的位置關(guān)系只能是（）A. B.C. D.14.已知的直觀圖是直角邊長為的等腰直角三角形，那么的面積為（）A B. C. D.15.已知直線l、m和平面、，下列命題中的真命題是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則16.不共面四個定點到平面α的距離都相等，這樣的平面α共有（）A.3個 B.4個 C.6個 D.7個三?解答題（本大題共有5題，滿分78分）【解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.】17.在直三棱柱中，.（1）求四棱錐的體積；（2）求異面直線與所成角的大小.18.如圖，在正四棱柱中，（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．19.如圖（圖中單位：）是一種鑄鐵機(jī)器零件，零件下部是實心的直六棱柱（底面是正六邊形，側(cè)面是全等的矩形），上部是實心的圓柱.（1）已知鐵的密度為，求生產(chǎn)一件這樣的鑄鐵零件需要多少克鐵？（結(jié)果精確到）；（2）要給一批共5000個零件鍍鋅，若電鍍這批零件每平方厘米要用鋅，求需要用鋅的總量（結(jié)果精確到）.20.如圖，三棱錐中，側(cè)面底面，底面是斜邊為的直角三角形，且，記為的中點，為的中點.（1）求證：；（2）若，直線與底面所成角大小為，求二面角的大小.21.如圖，現(xiàn)將以直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周得到一個圓錐，（1）若，斜邊，點為圓錐底面圓周上的一點，且是的中點，求：直線與平面所成的角的大?。ㄓ梅慈呛瘮?shù)表示）；（2）若圓錐底面的半徑為10，母線長為60，求底面圓周上一點沿側(cè)面繞兩周回到點的最短距離；（3）若圓錐的母線長為為圓錐的側(cè)面積，為體積，求取得最大值時圓錐的體積的值.2024-2025上海寶山中學(xué)高二數(shù)學(xué)（上）10月考試卷本試卷共有21道試題，滿分150分，考試時間120分鐘一?填空題（本大題共有12題，滿分54分，其中1-6題每題4分，7-12題每題5分）【考生應(yīng)在答題紙相應(yīng)編號的空格內(nèi)直接填寫結(jié)果.】1.用符號表示平面經(jīng)過直線：__________.【答案】2.若圓柱底面半徑為2，高為3，則其側(cè)面積為__________．【答案】【分析】根據(jù)圓柱側(cè)面積公式直接計算即可．【詳解】由圓柱側(cè)面積公式得，側(cè)面積為，故答案為：．3.已知直線，則直線與直線的位置關(guān)系有__________種（填數(shù)字）.【答案】3【分析】以正方體為例，分別指出對應(yīng)的位置關(guān)系，從而得解.【詳解】如圖，，此時；，此時與異面；，此時與相交；而直線與直線的位置關(guān)系只有平行、異面、相交三種，所以當(dāng)直線時，直線與直線的位置關(guān)系有3種.故答案為：3.4.若正方體的棱長為2，則點到直線的距離為_____【答案】【分析】根據(jù)線面垂直可得，得到點到的距離即為的長，即可求解；【詳解】在正方體中，平面，平面，，點到的距離即為的長，故答案為：5.已知圓錐的側(cè)面展開圖為一個半徑為3，且弧長為的扇形，則該圓錐的體積等于__________.【答案】【分析】根據(jù)側(cè)面展開圖扇形弧長可求得底面半徑，并利用勾股定理求得圓錐的高，代入圓錐體積公式即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)圓錐底面半徑為，則，解得：，圓錐的高，圓錐的體積.故答案為：.6.如圖，在正四棱柱中，，，則三棱錐的體積為________.【答案】.由圖易得,求出代入計算即可?！驹斀狻咳忮F即三棱錐，在四棱柱中，，，則三棱錐的底面積為，高為3cm，所以.【點睛】此題考查三棱錐體積，關(guān)鍵是找到底面積和高代入計算即可，屬于簡單題目。7.下來命題中，真命題的編號為__________．（1）若直線與平面斜交，則內(nèi)不存在與垂直的直線；（2）若直線平面，則內(nèi)不存在與不垂直的直線；（3）若直線與平面斜交，則內(nèi)不存在與平行的直線；（4）若直線平面，則內(nèi)不存在與不平行的直線．【答案】（2）（3）【分析】舉例判斷（1）；根據(jù)線面垂直的性質(zhì)分析判斷（2）；根據(jù)反證法及線面平行的判定定理分析判斷（3）；舉例判斷（4）．【詳解】對于（1），如圖，在長方體中，直線與平面斜交，，故假命題；對于（2），若直線平面，則直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，所以內(nèi)不存在與不垂直的直線，故為真命題；對于（3），若直線與平面斜交，則內(nèi)不存在與平行的直線，否則根據(jù)線面平行的判定定理可知與平面平行，這與已知條件相矛盾，故為真命題；對于（4），如圖，直線平面，，與不平行，是異面直線，故為假命題，故答案為：（2）（3）．8.在正方體中，二面角的平面角大小為__________.【答案】【解析】【分析】通過分析圖形找到二面角的平面角，求角的余弦值，確定角的大小.【詳解】如圖，取中點，連接，由題意得，、、為等邊三角形，∴，，∴為二面角的平面角.設(shè)等邊三角形邊長為2，則，∴，∴.故答案為：.9.已知中，所在平面外一點到此三角形三個頂點的距離都是6，則點到平面的距離是__________.【答案】【分析】根據(jù)題意推得點在平面上的射影為的外心，進(jìn)而利用正弦定理求得，再利用勾股定理即可得解.【詳解】記點在平面上的射影為，連接，則平面，又平面，所以，因為，所以由勾股定理可得，即是的外心，在中，，，則是正三角形，所以，所以，所以，又，得，即點到平面的距離為.故答案為：.10.一個長方體的三條棱長分別為若在該長方體上面鉆一個圓柱形的孔后其表面積沒有變化,則圓孔的半徑為__________．【答案】3【詳解】設(shè)圓柱形孔的的半徑為，高為，則由題意知，故，顯然高只能取，故填：．11.點是二面角內(nèi)一點，于點，于點，設(shè)，，，則點到棱的距離是______.【答案】##【分析】首先利用線面垂直的性質(zhì)證明，，再利用線面垂直的判定定理證明平面，最后由四點共圓，結(jié)合正余弦定理即可求解.【詳解】設(shè)平面與棱交于一點，連接，由，，，則，，又，，，則，，又，平面，平面，又平面，，因此點到棱的距離即為的長，又在四邊形中，，，則四點共圓，且為圓的直徑，又，則，則，即點到棱的距離為，故答案為：.12.兩個邊長為的正方形和各與對方所在平面垂直，分別是對角線上的點，且，則兩點間的最短距離為______.【答案】【分析】過點作，交于點，連接，設(shè)，，由題意證明，進(jìn)而根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證，根據(jù)勾股定理即可得、與的數(shù)量關(guān)系，即可求得兩點間的最短距離.【詳解】過點作，交于點，連接，設(shè)，，因為，所以，由已知可得，，，所以，，，所以，，所以，，又，所以，由，，所以，，所以，，同理可得，，又平面平面，平面平面，，平面，所以，平面，因為平面，所以，因為，，所以，所以，是直角三角形，所以，，即，所以當(dāng)，即、分別為線段、中點時，有最小值，即、兩點間的最短距離為，故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵通過面面垂直的性質(zhì)證明，再根據(jù)，，證明是直角三角形.二?選擇題（本大題共有4題，滿分18分，其中13?14題每題4分，15?16題每題5分）【每題有且只有一個正確答案，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)編號上，將代表答案的小方格涂黑，選對得滿分，否則一律得零分.】13.在以下四圖中，直線與直線可能平行的位置關(guān)系只能是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用異面直線的判定及公理的應(yīng)用判定選項即可.【詳解】選項A中，平面內(nèi)的兩直線異面，則a與b異面；選項B中，平面內(nèi)的兩直線異面，則a與b異面；選項C中，平面內(nèi)的兩直線相交，兩相交直線能確定一個平面，則a與b有可能平行；選項D中，平面內(nèi)的兩直線異面，則a與b異面．故選：C．14.已知的直觀圖是直角邊長為的等腰直角三角形，那么的面積為（）A B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由斜二測畫法結(jié)合三角形面積公式得出原圖形的面積.【詳解】如圖，根據(jù)斜二測畫法畫出原圖形，則為直角三角形，且，，所以.故選：C.15.已知直線l、m和平面、，下列命題中的真命題是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則【答案】C【解析】【分析】線面平行及線線垂直，線可以有無數(shù)種朝向；線面垂直，線只有一種朝向；面面平行，面只有一種朝向，逐個選項判斷即可.【詳解】對A，若，，則可能有，m與相交不垂直，A錯；對B，若，，則，則可能有，l與相交不垂直，，B錯；對C，若，，則，C對；對D，若，，由于與關(guān)系不確定，故l與m關(guān)系也不確定，D錯.故選：C16.不共面的四個定點到平面α的距離都相等，這樣的平面α共有（）A.3個 B.4個 C.6個 D.7個【答案】D【解析】【詳解】考點：平面的基本性質(zhì)及推論．專題：數(shù)形結(jié)合；分類討論．分析：根據(jù)題意畫出構(gòu)成的幾何體，根據(jù)平面兩側(cè)的點的個數(shù)進(jìn)行分類，利用三棱錐的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行求解．解答：解：空間中不共面的四個定點構(gòu)成三棱錐，如圖：三棱錐D-ABC，①當(dāng)平面一側(cè)有一點，另一側(cè)有三點時，即對此三棱錐進(jìn)行換低，則三棱錐由四種表示形式，此時滿足條件的平面?zhèn)€數(shù)是四個，②當(dāng)平面一側(cè)有兩點，另一側(cè)有兩點時，即構(gòu)成的直線是三棱錐的相對棱，因三棱錐的相對棱有三對，則此時滿足條件的平面?zhèn)€數(shù)是三個，所以滿足條件的平面共有7個，故選D．點評：本題考查了三棱錐結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，根據(jù)題意畫出對應(yīng)的幾何體，再由題意和結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行求解，考查了空間想象能力．三?解答題（本大題共有5題，滿分78分）【解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號的規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.】17.在直三棱柱中，.（1）求四棱錐的體積；（2）求異面直線與所成角的大小.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先證明平面，再利用棱錐的體積公式求解即可；（2）由異面直線所成角的定義可知即為異面直線與所成的角，然后在直角三角形中求解正切值即可得解.【小問1詳解】由直三棱柱得，，又，，平面，所以平面，又，所以.【小問2詳解】因為，所以即為異面直線與所成的角，因為在直三棱柱中，，所以，又，，平面，所以平面，因為平面，所以，則，所以，所以，即異面直線與所成角的大小為.18.如圖，在正四棱柱中，（1）求證：平面；（2）求證：平面平面．【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】【分析】（1）由結(jié)合線面平行的判定定理即可求證；（2）先證明平面，后利用面面垂直的判定定理即可求證.【小問1詳解】因為為在正四棱柱，所以，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，又在平面，在平面外，所以平面.【小問2詳解】因為底面為正方形，所以，又為在正四棱柱，所以底面，又在底面內(nèi)，所以,同時是平面內(nèi)兩條相交直線，所以平面，又在平面內(nèi)，所以平面平面19.如圖（圖中單位：）是一種鑄鐵機(jī)器零件，零件下部是實心的直六棱柱（底面是正六邊形，側(cè)面是全等的矩形），上部是實心的圓柱.（1）已知鐵的密度為，求生產(chǎn)一件這樣的鑄鐵零件需要多少克鐵？（結(jié)果精確到）；（2）要給一批共5000個零件鍍鋅，若電鍍這批零件每平方厘米要用鋅，求需要用鋅的總量（結(jié)果精確到）.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）借助圓柱與棱柱的體積公式計算可得體積，結(jié)合鐵的密度即可求解；（2）借助圓柱與棱柱的表面積公式計算可得表面積，即可得解.【小問1詳解】圓柱部分體積，直六棱柱部分體積為，則此零件的體積為，又鐵的密度為，故生產(chǎn)一件這樣的鑄鐵零件需要克鐵.小問2詳解】此零件的表面積為.則5000個零件的表面積為.故需鋅的質(zhì)量為.20.如圖，三棱錐中，側(cè)面底面，底面是斜邊為的直角三角形，且，記為的中點，為的中點.（1）求證：；（2）若，直線與底面所成角的大小為，求二面角的大小.【答案】（1）證明過程見解析（2）【解析】【分析】（1）由面面垂直性質(zhì)定理證明底面，由此證明，再證明，由線面垂直判定定理證明平面，最后證明；（2）先得出（銳角）為二面角的平面角，然后結(jié)合解三角形知識即可求解.【小問1詳解】連接，因為，所以，側(cè)面垂直于底面，平面，平面平面，所以底面，底面，所以，是斜邊為的直角三角形，且，所以，又因為O為AB的中點，所以,所