查補重難點05 三角形與相似三角形（解析版）

查補重難點05.三角形與相似三角形考點一：三角形及其全等1）三角形相關(guān)定理：①三角形內(nèi)角和定理：三角形三個內(nèi)角的和等于180°；②三角形外角定理：三角形的一個外角等于與它不相鄰兩個內(nèi)角的和；③三角形三邊關(guān)系：三角形兩邊之和＞第三邊，兩邊之差＜第三邊；④角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點到角兩邊的距離相等；⑤線段垂直平分線性質(zhì)定理：線段垂直平分線上的點到線段兩端點的距離相等。2）全等三角形的性質(zhì)和判定：①全等三角形的性質(zhì)：對應(yīng)邊相等，對應(yīng)角相等。推論：全等三角形的周長和面積相等，對應(yīng)的“三線”分別相等。②全等三角形的判定：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角三角形）。題型1.三角形的內(nèi)角和定理與外角定理1.三角形的內(nèi)角和與三角形的大小、形狀無關(guān)，不會隨著三角形的大小發(fā)生變化，三角形的內(nèi)角和永遠都是180°。2.三角形的外角性質(zhì)：三角形的任意一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和。特別注意：“不相鄰”。例1．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）如圖，已知等腰，，將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點落在點處，且，連接交于點，如果，那么度．【答案】72【分析】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理即可得到結(jié)論．理解旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵．【詳解】解：將繞點順時針旋轉(zhuǎn)，點落在點處，，，，，設(shè)，∴∴，∴，，∴，，∴，∵，∴∴，∴故答案為：．變式1.（2023·河北·模擬預(yù)測）在中，數(shù)據(jù)如圖所示，若比小，則比（

）

A．大 B．小 C．大 D．小【答案】A【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得，得到，結(jié)合已知判斷即可．【詳解】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，得，∴，∴，∵比小，∴，故選A．【點睛】本題考查了三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用，熟練掌握定理是解題的關(guān)鍵．變式2．（2021·浙江紹興市·中考真題）如圖，在中，，點D，E分別在邊AB，AC上，，連結(jié)CD，BE．（1）若，求，的度數(shù)．（2）寫出與之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）；；（2），見解析【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理求出的大小，再利用等腰三角形的性質(zhì)分別求出，．（2）利用三角形的內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)，求出用含分別表示，，即可得到兩角的關(guān)系．【詳解】（1），，．在中，，，，，．．（2），的關(guān)系：．理由如下：設(shè)，．在中，，，．，在中，，．．．．【點睛】本題通過求解角和兩角之間的關(guān)系，考查三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．三角形的內(nèi)角和等于．三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角之和．等腰三角形等邊對等角．題型2.三角形三邊關(guān)系1.三角形三邊之間的不等關(guān)系，注意其中的“任何兩邊”。例1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）下列每組數(shù)分別表示3根小木棒的長度（單位：cm），其中能搭成一個三角形的是（

）A．5，7，12 B．7，7，15 C．6，9，16 D．6，8，12【答案】D【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”進行分析判斷．【詳解】A、，不能構(gòu)成三角形，故此選項不合題意；B、，不能構(gòu)成三角形，故此選項不合題意；C、，不能構(gòu)成三角形，故此選項不合題意；D、，能構(gòu)成三角形，故此選項符合題意．故選：D．【點睛】此題考查了三角形三邊關(guān)系，看能否組成三角形的簡便方法：看較小的兩個數(shù)的和能否大于第三個數(shù)．變式1．（2024·江蘇淮安·一模）如圖，A、B、C、D是平面內(nèi)四點，若，，，則線段的長度可能是（

）A．2 B．4 C．5 D．6【答案】B【分析】本題考查兩點間的距離及三角形三邊關(guān)系，掌握構(gòu)成三角形的條件是解題的關(guān)鍵．分別在和中根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”列不等式組并求解即可．【詳解】解：在中，，即：在中，，即：，∴，各個選項中滿足條件的只有4，故選：B．變式2．（2023·江蘇連云港·中考真題）一個三角形的兩邊長分別是3和5，則第三邊長可以是．（只填一個即可）【答案】4（答案不唯一，大于2且小于8之間的數(shù)均可）【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系定理：三角形兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊差小于第三邊可得，再解即可．【詳解】解：設(shè)第三邊長為x，由題意得：，則，故答案可為：4（答案不唯一，大于2且小于8之間的數(shù)均可）．【點睛】此題主要考查了三角形的三邊關(guān)系：第三邊的范圍是：大于已知的兩邊的差，而小于兩邊的和．題型3.角平分線與垂直平分線定理角平分線到一個角兩邊的距離相等，垂直平分線上的點到一條線段兩端的距離相等。這兩個性質(zhì)組合在一起也是初中幾何比較常見的題型，靈活運用角的平分線的和線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵。見到角平分線我們常作輔助線：向角的兩邊引垂線；見到垂直平分線：連結(jié)線段的兩端點。例1．（2023·江蘇揚州·中考真題）如圖，中，，以點B為圓心，適當(dāng)長為半徑畫弧，分別交于點M、N，再分別以點M、N為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交于點E，作射線交于點D，則線段的長為．

【答案】【分析】利用角平分線的性質(zhì)構(gòu)造輔助線，將的面積分解成的面積和面積和，轉(zhuǎn)化成以為未知數(shù)的方程求出．【詳解】如圖：過點作于點，，由題意得：平分，

，，，，，，；故答案為：．【點睛】本題考查了勾股定理、角平分線的性質(zhì)、直角三角形面積，重點掌握勾股定理的運用，直角三角形的面積轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵．變式1．（2024·江蘇鹽城·一模）如圖，在中，，，的平分線交于D，于點E，若，則的長度為（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】C【分析】本題考查含30度直角三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)；關(guān)鍵在于利用直角三角形的特殊性質(zhì)求出邊長．根據(jù)，可推出，利用全等求出，再根據(jù)直角三角形中所對的直角邊是斜邊一半的性質(zhì)求出，最后算出．【詳解】解：∵，，平分，∴，又∵，∴，∵，∴，∴，在中，，，．∴．故選C．變式2．（2022·江蘇無錫·中考真題）如圖，△ABC為銳角三角形．(1)請在圖1中用無刻度的直尺和圓規(guī)作圖：在AC右上方確定點D，使∠DAC＝∠ACB，且；（不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若，，，則四邊形ABCD的面積為．（如需畫草圖，請使用試卷中的圖2）.【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先作∠DAC＝∠ACB，再利用垂直平分線的性質(zhì)作，即可找出點D；（2）由題意可知四邊形ABCD是梯形，利用直角三角形的性質(zhì)求出AE、BE、CE、AD的長，求出梯形的面積即可．【詳解】（1）解：如圖，∴點D為所求點．（2）解：過點A作AE垂直于BC，垂足為E，∵，，∴，∵，∴，，∴，∵∠DAC＝∠ACB，∴，四邊形ABCD是梯形，∴，∴四邊形AECD是矩形，∴，∴四邊形ABCD的面積為，故答案為：．【點睛】本題考查作圖，作相等的角，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)做垂線，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)及勾股定理求線段的長，正確作出圖形是解答本題的關(guān)鍵．題型4.全等三角形的性質(zhì)與判定證明三角形全等時要注意以下幾點：1、判定兩個三角形全等的定理中，必須具備三個條件，且至少要有一組邊對應(yīng)相等，因此在尋找全等的條件時，總是先尋找邊相等的可能性。2、要善于發(fā)現(xiàn)和利用隱含的等量元素，如公共角、公共邊、對頂角等。3、要善于靈活選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄅ卸▋蓚€三角形全等。（1）已知條件中有兩角對應(yīng)相等，可找：①夾邊相等（ASA），②任一組等角的對邊相等(AAS)，（2）已知條件中有兩邊對應(yīng)相等，可找①夾角相等(SAS)，②第三組邊也相等(SSS)，（3）已知條件中有一邊一角對應(yīng)相等，可找①任一組角相等(AAS或ASA)，②夾等角的另一組邊相等(SAS)。特別注意：邊邊角不能證全等哦！例1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）如圖，，，．(1)求證：；(2)用直尺和圓規(guī)作圖：過點作，垂足為．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)邊角邊證明即可證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)過直線外一點向直線最垂線的作法得出即可．【詳解】（1）證明：∵，，，∴，∴；（2）解：所作圖形如圖，．

【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，過直線外一點向直線最垂線的作法，熟練記憶正確作法是解題關(guān)鍵．變式1．（2022·江蘇南通·中考真題）如圖，點B、F、C、E在一條直線上，，，要使，還需添加一個條件是

【答案】（或或或）．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，，添加條件為：或，根據(jù)可證明；添加條件為：或，根據(jù)可證明．【詳解】解：∵，，∴，，①添加條件為：，在和中，，∴；②添加條件為：，在和中，，∴；③添加條件為：，∴，在和中，，∴；④添加條件為：，在和中，，∴；∴這個條件可以是（或或或）．故答案為：（或或或）．【點睛】本題考查全等三角形的判定，平行線的性質(zhì)．熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·江蘇南通·中考真題）如圖，點，分別在，上，，，相交于點，．求證：．小虎同學(xué)的證明過程如下：證明：∵，∴．∵，∴．第一步又，，∴第二步∴第三步

(1)小虎同學(xué)的證明過程中，第___________步出現(xiàn)錯誤；(2)請寫出正確的證明過程．【答案】(1)二(2)見解析【分析】（1）根據(jù)證明過程即可求解．（2）利用全等三角形的判定及性質(zhì)即可求證結(jié)論．【詳解】（1）解：則小虎同學(xué)的證明過程中，第二步出現(xiàn)錯誤，故答案為：二．（2）證明：∵，，在和中，，，，在和中，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，熟練掌握其判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．題型5.尺規(guī)作圖觀近幾年江蘇中考，對尺規(guī)作圖的考查常考垂直平分線、角平分線、等角的作圖，我們不僅要能操作，還需要能用語言準(zhǔn)確地表述作圖步驟。注意：直尺和圓規(guī)的使用規(guī)則。例如，直尺不能用來測量長度，只能用來連接兩點；圓規(guī)可以開到無限寬，但上面不能有刻度，只能拉開成之前構(gòu)造過的長度。例1．（2024·江蘇南京·一模）如圖，已知，請用無刻度直尺和圓規(guī)（不要求寫作法，保留作圖痕跡）；(1)在邊上找一點，使得：將沿著過點的某一條直線折疊，點與點能重合；(2)在邊上找一點，使得：將沿著過點的某一條直線折疊，點能落在邊上的點處，且，請在圖②中作出點．【答案】(1)見詳解(2)見詳解【分析】本題考查了作圖復(fù)雜作圖、翻折變換，解決本題的關(guān)鍵是熟練翻折的性質(zhì)．（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)即可在邊上找一點，使得：將沿著過點的某一條直線折疊，點與點能重合；（2）延長至，作的平分線，得過點的垂線，延長交于點，作的角平分線交于點，過點作的垂線交于點即可．【詳解】（1）解：如圖1所示：點即為所求作的點；（2）如圖2所示：點即為所求作的點．作圖如下：延長至，作的平分線，得過點的垂線，延長交于點，作的角平分線交于點，過點作的垂線交于點．變式1．（2023·江蘇·中考真題）如圖，、、、是直線上的四點，．

(1)求證：；(2)點、分別是、的內(nèi)心．①用直尺和圓規(guī)作出點（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；②連接，則與的關(guān)系是________．【答案】(1)見解析(2)①見解析

②【分析】（1）可證得，結(jié)合，即可證明結(jié)論．（2）①三角形的內(nèi)心為三角形的三個角的角平分線的交點，因此只需作出任意兩個角的角平分線，其交點即為所求．②因為，所以可看作由平移得到，點，點為對應(yīng)點，點，點為對應(yīng)點，據(jù)此即可求得答案．【詳解】（1）∵，，，∴．在和中∴．（2）①三角形的內(nèi)心為三角形的三個角的平分線的交點，作，的角平分線，其交點即為點．

②因為，所以可看作由平移得到，點，點為對應(yīng)點，點，點為對應(yīng)點，根據(jù)平移的性質(zhì)可知．故答案為：．【點睛】本題主要考查全等三角形的判定、圖形的平移，牢記全等三角形的判定方法和圖形平移的性質(zhì)（連接各組對應(yīng)點的線段平行或在同一條直線上）是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·江蘇宿遷·中考真題）如圖，在中，，，．

(1)求出對角線的長；(2)尺規(guī)作圖：將四邊形沿著經(jīng)過點的某條直線翻折，使點落在邊上的點處，請作出折痕．（不寫作法，保留作圖痕跡）【答案】(1)(2)作圖見解析【分析】（1）連接，過作于，如圖所示，由勾股定理先求出，在中再由勾股定理，；（2）連接，根據(jù)軸對稱性質(zhì)，過點尺規(guī)作圖作線段的垂直平分線即可得到答案．【詳解】（1）解：連接，過作于，如圖所示：

在中，，，，，，在中，，，，則；（2）解：如圖所示：【點睛】本題考查平行四邊形背景下求線段長，涉及勾股定理、尺規(guī)作圖作線段垂直平分線，熟練掌握勾股定理求線段長及中垂線的尺規(guī)作圖是解決問題的關(guān)鍵．考點二：特殊三角形1）特殊三角形相關(guān)定理：①等腰三角形：等邊對等角、“三線合一”，常做輔助線→底邊上的高線；判定方法：兩邊長相等、等角對等邊、逆用“三線合一”（角平分線與中線重合除外）；②直角三角形：直角三角形兩銳角互余、斜邊上的中線等于斜邊長的一半、勾股定理；判定方法：一個角為直角、兩個內(nèi)角互余、勾股定理逆定理、一邊上的中線等于這邊長的一半。題型1.等腰三角形的性質(zhì)與判定1、等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）。2、等腰三角形底邊上的高、中線及頂角的平分線互相重合（三線合一）。3、等腰三角形兩腰上的高、中線、角平分線相等。例1．（2023·江蘇·中考真題）若等腰三角形的周長是，一腰長為，則這個三角形的底邊長是．【答案】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：三角形的底邊長為。故答案為：【點睛】此題考查了等腰三角形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形腰長相等．變式1．（2022·江蘇蘇州·中考真題）定義：一個三角形的一邊長是另一邊長的2倍，這樣的三角形叫做“倍長三角形”．若等腰△ABC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為．【答案】6【分析】分類討論：AB=AC=2BC或BC=2AB=2AC，然后根據(jù)三角形三邊關(guān)系即可得出結(jié)果．【詳解】解：∵△ABC是等腰三角形，底邊BC=3∴AB=AC當(dāng)AB=AC=2BC時，△ABC是“倍長三角形”；當(dāng)BC=2AB=2AC時，AB+AC=BC，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，此時A、B、C不構(gòu)成三角形，不符合題意；所以當(dāng)?shù)妊鰽BC是“倍長三角形”，底邊BC的長為3，則腰AB的長為6．故答案為6．【點睛】本題考查等腰三角形，三角形的三邊關(guān)系，涉及分類討論思想，結(jié)合三角形三邊關(guān)系，靈活運用分類討論思想是解題的關(guān)鍵．變式2．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）將邊長為的等邊三角形按如圖所示的位置放置，邊與軸的交點為，則．【答案】【分析】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、角的直角三角形的性質(zhì)、等腰直角三角形的性質(zhì)和判定，設(shè)一條邊為未知數(shù)，將其他邊分別表示出來，并找一等量關(guān)系列方程解決問題.作輔助線，構(gòu)建兩個直角三角形，證明是的直角三角形，△COD是等腰直角三角形，設(shè)，則，，根據(jù)列方程求出的值，計算的長即可，熟練掌握以上知識點的應(yīng)用及正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，過作于，∵是等邊三角形，∴，在中，，∴，設(shè)，則，，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴，則，∴，故答案為：．變式3．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，在中，為的角平分線．以點圓心，長為半徑畫弧，與分別交于點，連接．

(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得出，由作圖可得，即可證明；（2）根據(jù)角平分線的定義得出，由作圖得出，則根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出，，進而即可求解．【詳解】（1）證明：∵為的角平分線，∴，由作圖可得，在和中，，∴；（2）∵，為的角平分線，∴由作圖可得，∴，∵，為的角平分線，∴，∴【點睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)與判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．題型2.直角三角形的性質(zhì)與判定1、兩銳角互余：在直角三角形中，兩個銳角（非直角的角）的角度和為90度。2、斜邊中線性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線長度等于斜邊長度的一半（該性質(zhì)的逆命題也是真命題）。3、30度角性質(zhì)：如果直角三角形中有一個30度的角，那么這個角所對的直角邊長度是斜邊長度的一半。例1．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，在和中，，、、分別為、、的中點，若，則．【答案】1【分析】由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得出AB=2DE，再由三角形中位線的性質(zhì)可得FG的長；【詳解】解：∵Rt△ABC中，點E是AB的中點，DE=1，∴AB=2DE=2，∵點F、G分別是AC、BC中點，∴，故答案為：1【點睛】本題考查了直角三角形的性質(zhì)及三角形中位線的性質(zhì)等知識；熟練掌握中位線定理是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在中，，，，將繞點逆時針旋轉(zhuǎn)到的位置，點的對應(yīng)點首次落在斜邊上，則點的運動路徑的長為.

【答案】【分析】首先證明是等邊三角形，再根據(jù)弧長公式計算即可．【詳解】解：在中，∵，，，∴，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，∴是等邊三角形，∴，∴點的運動路徑的長為．故答案為：．【點睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)變換，含直角三角形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，弧長公式等知識，解題的關(guān)鍵是證明是等邊三角形．變式2．（2023·江蘇蘇州·中考真題）如圖，．過點作，延長到，使，連接．若，則．（結(jié)果保留根號）

【答案】/【分析】如圖，過作，交的延長線于點，設(shè)，可得，證明，，為等腰直角三角形，，，由勾股定理可得：，再解方程組可得答案．【詳解】解：如圖，過作，交的延長線于點，

設(shè)，∵，，∴，∵，∴，，為等腰直角三角形，∴，∴，由勾股定理可得：，整理得：，解得：，經(jīng)檢驗不符合題意；∴；故答案為：．【點睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，一元二次方程的解法，作出合適的輔助線構(gòu)建直角三角形是解本題的關(guān)鍵．題型3.勾股定理與逆定理1、勾股定理：兩直角邊平方和等于斜邊平方，即a2+b2=c2，其中a和b是直角邊長，c是斜邊（直角邊中最長的邊）的長度。（切記運用定理一定要確定斜邊哦?。?、勾股定理逆定理：如果三角形的兩邊平方和等于第三邊的平方，則該三角形是直角三角形。例1．（2022·江蘇南京·中考真題）直三棱柱的表面展開圖如圖所示，，，，四邊形是正方形，將其折疊成直三棱柱后，下列各點中，與點距離最大的是（

）

A．點 B．點 C．點 D．點【答案】B【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理判定是直角三角形，折疊成直三棱柱后，運用勾股定理計算比較大小即可．【詳解】∵，，，∴，∴是直角三角形，∵四邊形是正方形，將其折疊成直三棱柱，∴直棱柱的高，∴，，，，∵，∴選B．【點睛】本題考查幾何體的展開與折疊，勾股定理及其逆定理，熟練掌握展開圖與折疊的意義是解題關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇·中考真題）如圖，小紅家購置了一臺圓形自動掃地機，放置在屋子角落（書柜、衣柜與地面均無縫隙）．在沒有障礙物阻擋的前提下，掃地機能自動從底座脫離后打掃全屋地面．若這臺掃地機能從角落自由進出，則圖中的x至少為（精確到個位，參考數(shù)據(jù)：）．

【答案】【分析】先建立直角三角形，利用勾股定理解決實際問題．【詳解】解：如圖過點A、B分別作墻的垂線，交于點C，則，，在中，，即∵這臺掃地機能從角落自由進出，∴這臺掃地機的直徑不小于長，即最小時為，解得：（舍），，∴圖中的x至少為，故答案為：．

【點睛】本題考查勾股定理的實際應(yīng)用，構(gòu)造直角三角形是解題的關(guān)鍵．變式2．（2023·江蘇南通·中考真題）勾股數(shù)是指能成為直角三角形三條邊長的三個正整數(shù)，世界上第一次給出勾股數(shù)公式的是中國古代數(shù)學(xué)著作《九章算術(shù)》．現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中，均小于，，，是大于1的奇數(shù)，則（用含的式子表示）．【答案】【分析】根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，直角邊小于斜邊得到，為直角邊，為斜邊，根據(jù)勾股定理即可得到的值．【詳解】解：由于現(xiàn)有勾股數(shù)a，b，c，其中，均小于，，為直角邊，為斜邊，，，得到，，，是大于1的奇數(shù)，．故答案為：．【點睛】本題考查勾股定理的應(yīng)用，分清楚，為直角邊，為斜邊是解題的關(guān)鍵．考點三：相似三角形1）相似三角形相關(guān)定理：①相似三角形的性質(zhì)：對應(yīng)角相等、對應(yīng)邊成比例；推論：相似三角形的周長比=相似比；面積比=相似比的平方；對應(yīng)三線之比=相似比；②相似三角形的判定：兩對內(nèi)角對應(yīng)相等、三邊對應(yīng)成比例、兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等。題型1.黃金分割黃金分割：如果點C把線段AB分成兩條線段，使，那么點C叫做線段AC的黃金分割點，AC是BC與AB的比例中項，AC與AB的比叫做黃金比。例1.（2023·四川達州·統(tǒng)考中考真題）如圖，樂器上的一根弦，兩個端點固定在樂器板面上，支撐點是靠近點的黃金分割點，支撐點是靠近點的黃金分割點，之間的距離為．【答案】【分析】黃金分割點是指把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長之比等于另一部分與這部分之比．其比值是一個無理數(shù)，用分?jǐn)?shù)表示為，由此即可求解．【詳解】解：弦，點是靠近點的黃金分割點，設(shè)，則，∴，解方程得，，點是靠近點的黃金分割點，設(shè)，則，∴，解方程得，，∴之間的距離為，故答案為：．【點睛】本題主要考查線段成比例，掌握線段成比例，黃金分割點的定義是解題的關(guān)鍵．變式1.（2024·上海楊浦·統(tǒng)考一模）已知是線段的黃金分割點，且，那么下列等式能成立的是（

）A．B．C．D．【答案】A【分析】本題考查黃金分割點，根據(jù)黃金分割點的定義得出線段比例關(guān)系，選出正確選項，解題的關(guān)鍵是掌握黃金分割點的性質(zhì)．【詳解】解：如圖，∵點是線段的黃金分割點，且，∴，故選：A．題型2.相似三角形的性質(zhì)與判定性質(zhì)：（1）相似三角形的對應(yīng)角相等；（2）相似三角形的對應(yīng)線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；（3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方。判定：（1）有兩角對應(yīng)相等，兩三角形相似；（2）兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似；（3）三邊對應(yīng)成比例，兩三角形相似；（4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似。例1．（2022·江蘇蘇州·中考真題）（1）如圖1，在△ABC中，，CD平分，交AB于點D，//，交BC于點E．①若，，求BC的長；②試探究是否為定值．如果是，請求出這個定值；如果不是，請說明理由．（2）如圖2，和是△ABC的2個外角，，CD平分，交AB的延長線于點D，//，交CB的延長線于點E．記△ACD的面積為，△CDE的面積為，△BDE的面積為．若，求的值．【答案】（1）①；②是定值，定值為1；（2）【分析】（1）①證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可；②由，可得，由①同理可得，計算；（2）根據(jù)平行線的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)可得，又，則，可得，設(shè)，則．證明，可得，過點D作于H．分別求得，進而根據(jù)余弦的定義即可求解．【詳解】（1）①∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴．∴．②∵，∴．由①可得，∴．∴．∴是定值，定值為1．（2）∵，∴．∵，∴．又∵，∴．設(shè)，則．∵CD平分，∴．∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．如圖，過點D作于H．∵，∴．∴．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，求余弦，掌握相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇南通·中考真題）在中（如圖），點D、E分別為、的中點，則．【答案】【分析】本題考查三角形的中位線和相似三角形的性質(zhì)和判定，根據(jù)中位線性質(zhì)證明，再利用相似的性質(zhì)即可解題．【詳解】解：點D、E分別為、的中點，為的中位線，，，,，，故答案為：．變式2．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）如圖，在中，D為邊上一點，且，已知，則．【答案】【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，根據(jù)題意判定成為解題的關(guān)鍵．先判定，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列比例式可得，最后根據(jù)線段的和差即可解答．【詳解】解：∵，∴，∴，即，解得：，∴．故答案為：．變式3．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在與中，點、分別在邊、上，且，若___________，則．請從①；②；③這三個選項中選擇一個作為條件（寫序號），并加以證明．【答案】見解析．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可．【詳解】解：若選①，證明：∵，∴，，∴，∵，∴，∴，又，∴．選擇②，不能證明．若選③，證明：∵，∴，∴，又∵，∴．【點睛】本題考查相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．題型3.位似位似圖形的性質(zhì)：（1）平面直角坐標(biāo)系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標(biāo)的比等于k或–k；（2）位似圖形上任意一對對應(yīng)點到位似中心的距離之比等于位似比或相似比。找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應(yīng)點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即是位似中心。例1．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測）《墨子·天文志》記載：“執(zhí)規(guī)矩，以度天下之方圓．”度方知圓，感悟數(shù)學(xué)之美．如圖，正方形的面積為2，以它的對角線的交點為位似中心，作它的位似圖形，若，則四邊形的外接圓的半徑為．【答案】2【分析】本題考查的是位似變換、相似多邊形的性質(zhì)，熟記的圓周角所對的弦是直徑是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，得到是圓的直徑，根據(jù)相似比的概念求出，根據(jù)勾股定理計算，得到答案．【詳解】解：連接，∵四邊形是正方形，∴，∴是圓的直徑，∵正方形的面積為2，∴正方形的邊長為，∵正方形的與是位似圖形，，∴，∴，∴四邊形的外接圓的半徑為2，故答案為：2．變式1．（2023·黑龍江綏化·統(tǒng)考中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，與的相似比為，點是位似中心，已知點，點，．則點的坐標(biāo)為．（結(jié)果用含，的式子表示）

【答案】【分析】過點分別作軸的垂線垂足分別為，根據(jù)題意得出，則，得出，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點分別作軸的垂線垂足分別為，

∵與的相似比為，點是位似中心，∴∵，∴,∴，∴∴故答案為：．【點睛】本題考查了求位似圖形的坐標(biāo)，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．變式2．（2022·江蘇南京·中考真題）在平面內(nèi)，先將一個多邊形以自身的一個頂點為位似中心放大或縮小，再將所得多邊形沿過該點的直線翻折，我們稱這種變換為自位似軸對稱變換，變換前后的圖形成自位似軸對稱．例如：如圖①，先將以點為位似中心縮小，得到，再將沿過點的直線翻折，得到，則與成自位似軸對稱．

(1)如圖②，在中，，，，垂足為，下列3對三角形：①與；②與；③與．其中成自位似軸對稱的是________（填寫所有符合條件的序號）；(2)如圖③，已知經(jīng)過自位似軸對稱變換得到，是上一點，用直尺和圓規(guī)作點，使與是該變換前后的對應(yīng)點（保留作圖痕跡，寫出必要的文字說明）；(3)如圖④，在中，是的中點，是內(nèi)一點，，，連接，求證：．【答案】(1)①②(2)見解析(3)見解析【分析】（1）根據(jù)題中定義作出圖形，即可得出結(jié)論；（2）先根據(jù)題意和軸對稱性質(zhì)作出軸對稱前的，即以點為位似中心縮小的，在作出Q對應(yīng)的，進而作出點對應(yīng)的點P即可；（3）延長交于點，證明和得到，進而得到，證明得到，利用平行線的判定即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：①與成自位似軸對稱，對稱軸為的角平分線所在的直線，如圖；

，②與成自位似軸對稱，對稱軸為平分線所在的直線，如圖，③與不成自位似軸對稱，故答案為：①②；（2）解：如圖，1）分別在和上截取，，2）連接，在上截取，3）連接并延長交于P，則點即為所求；

（3）證明：延長交于點，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵是中點，∴，∴，∴，又∵，∴，∴，∴．【點睛】本題考查位似和軸對稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，理解題中所給定義，熟練掌握軸對稱性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．題型4.相似三角形的綜合運用利用影長測量物體的高度：①測量原理：測量不能到達頂部的物體的高度，通常利用相似三角形的性質(zhì)即相似三角形的對應(yīng)邊的比相等和“在同一時刻物高與影長的比相等”的原理解決。②測量方法：在同一時刻測量出參照物和被測量物體的影長來，再計算出被測量物的長度。利用相似測量河的寬度（測量距離）：①測量原理：測量不能直接到達的兩點間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點應(yīng)在一條直線上。必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形。②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似，對應(yīng)邊成比例可求出河的寬度。借助標(biāo)桿或直尺測量物體的高度：利用桿或直尺測量物體的高度就是利用桿或直尺的高（長）作為三角形的邊，利用視點和盲區(qū)的知識構(gòu)建相似三角形，用相似三角形對應(yīng)邊的比相等的性質(zhì)求物體的高度。例1．（2023·江蘇宿遷·中考真題）【問題背景】由光的反射定律知：反射角等于入射角（如圖，即）．小軍測量某建筑物高度的方法如下：在地面點E處平放一面鏡子，經(jīng)調(diào)整自己位置后，在點D處恰好通過鏡子看到建筑物AB的頂端A．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面的距離，，，求建筑物AB的高度．【活動探究】觀察小軍的操作后，小明提出了一個測量廣告牌高度的做法（如圖）：他讓小軍站在點D處不動，將鏡子移動至處，小軍恰好通過鏡子看到廣告牌頂端G，測出；再將鏡子移動至處，恰好通過鏡子看到廣告牌的底端A，測出．經(jīng)測得，小軍的眼睛離地面距離，，求這個廣告牌AG的高度．【應(yīng)用拓展】小軍和小明討論后，發(fā)現(xiàn)用此方法也可測量出斜坡上信號塔AB的高度．他們給出了如下測量步驟（如圖）：①讓小軍站在斜坡的底端D處不動（小軍眼睛離地面距離），小明通過移動鏡子（鏡子平放在坡面上）位置至E處，讓小軍恰好能看到塔頂B；②測出；③測出坡長；④測出坡比為（即）．通過他們給出的方案，請你算出信號塔AB的高度（結(jié)果保留整數(shù)）．

【答案】[問題背景]；[活動探究]；[應(yīng)用拓展]【分析】[問題背景]根據(jù)反射定理，結(jié)合兩個三角形相似的判定與性質(zhì)，列出相似比代值求解即可得到答案；[活動探究]根據(jù)反射定理，結(jié)合兩個三角形相似的判定與性質(zhì)，運用兩次三角形相似，列出相似比代值，作差求解即可得到答案；[應(yīng)用拓展]過點作于點，過點作于點，證，得，再由銳角三角函數(shù)定義得，設(shè)，，則，，進而由勾股定理求出，然后由相似三角形的性質(zhì)得，即可解決問題．【詳解】解：[問題背景]如圖所示：

，，，，，，，，，解得；[活動探究]如圖所示：，，，，，，，，，解得；，，，，，，，，，解得；；[應(yīng)用拓展]如圖，過點作于點，過點作于點，由題意得：，，，，，即，，，，，即，，，，由題意得：，，，，設(shè)，，則，，，，解得：（負值已舍去），，，，，同【問題背景】得：，，，解得：，，答：信號塔的高度約為．【點睛】本題考查解直角三角形綜合，涉及相似三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)求線段長、勾股定理等知識，讀懂題意，熟練掌握相似三角形測高、三角函數(shù)測高的方法步驟是解決問題的關(guān)鍵．變式1．（2023·江蘇·中考真題）如圖1，小麗借助幾何軟件進行數(shù)學(xué)探究：第一步，畫出矩形和矩形，點、在邊上（），且點、、、在直線的同側(cè)；第二步，設(shè)置，矩形能在邊上左右滑動；第三步，畫出邊的中點，射線與射線相交于點（點、不重合），射線與射線相交于點（點、不重合），觀測、的長度．

(1)如圖，小麗取，滑動矩形，當(dāng)點、重合時，______；(2)小麗滑動矩形，使得恰為邊的中點．她發(fā)現(xiàn)對于任意的總成立．請說明理由；(3)經(jīng)過數(shù)次操作，小麗猜想，設(shè)定、的某種數(shù)量關(guān)系后，滑動矩形，總成立．小麗的猜想是否正確？請說明理由．【答案】(1)；(2)見解析；(3)小麗的猜想正確，理由見解析．【分析】（1）證，利用相似三角形的性質(zhì)即矩形的性質(zhì)即可得解；（2）證得，同理可得，由，，得，進而有，再根據(jù)矩形的性質(zhì)即可得證；（3）當(dāng)時，取的中點，連接、，由，恰為邊的中點，得，進而證，得，于是有，由平行線分線段成比例得，同理可證：，于是有，從而即可得解．【詳解】（1）解：∵四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，∵，，∴，，∴是的中點，∴，∴，∵，，∴，∴即，∴，∴，故答案為：；（2）證明：如下圖，解：∵小麗滑動矩形，使得恰為邊的中點，∴，，

∵四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，∵，∴，∴，同理可得，∵，，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（3）解：小麗的猜想正確，當(dāng)時，總成立，理由如下：如下圖，取的中點，連接、，∵四邊形和四邊形都是矩形，∴，，，∵，，∴，∵恰為邊的中點，是的中點，∴，，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，同理可證：，∵，∴，∴，∴小麗的猜想正確．【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定及性質(zhì)，比例的性質(zhì)，平行線的判定及性質(zhì)以及中點的定義，熟練掌握相似三角形的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．課后訓(xùn)練1．（2023·浙江·統(tǒng)考中考真題）如圖，在直角坐標(biāo)系中，的三個頂點分別為，現(xiàn)以原點O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與的位似比為2的位似圖形，則頂點的坐標(biāo)是（）

A． B． C． D．【答案】C【分析】直接根據(jù)位似圖形的性質(zhì)即可得．【詳解】∵的位似比為2的位似圖形是，且，，即，故選：C．【點睛】本題考查了坐標(biāo)與位似圖形，熟練掌握位似圖形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．2．（2022·江蘇連云港·中考真題）的三邊長分別為2，3，4，另有一個與它相似的三角形，其最長邊為12，則的周長是（

）A．54 B．36 C．27 D．21【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：∵△ABC與△DEF相似，△ABC的最長邊為4，△DEF的最長邊為12，∴兩個相似三角形的相似比為1:3，∴△DEF的周長與△ABC的周長比為3:1，∴△DEF的周長為3×（2+3+4）=27，故選：C．【點睛】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)，熟知相似三角形的周長之比等于相似之比是解題的關(guān)鍵．3．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，在中，，的平分線交于點，為的中點，若，則的長是（

）A．8 B．6 C．5 D．4【答案】C【分析】利用等腰三角形三線合一以及直角三角形斜邊上的中線進行求解即可．【詳解】∵，平分，∴，∴，∵為的中點，∴，故選C．【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)和直角三角形斜邊上的中線．熟練掌握等腰三角形三線合一和直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半是解題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇宿遷·中考真題）若等腰三角形的兩邊長分別是3cm和5cm，則這個等腰三角形的周長是（

）A．8cm B．13cm C．8cm或13cm D．11cm或13cm【答案】D【分析】題目給出等腰三角形有兩條邊長為3和5，而沒有明確腰、底分別是多少，所以要進行討論，還要應(yīng)用三角形的三邊關(guān)系驗證能否組成三角形．【詳解】解：當(dāng)3是腰時，∵3＋3＞5，∴3，3，5能組成三角形，此時等腰三角形的周長為3＋3＋5＝11（cm），當(dāng)5是腰時，∵3＋5＞5，5，5，3能夠組成三角形，此時等腰三角形的周長為5＋5＋3＝13（cm），則三角形的周長為11cm或13cm．故選：D【點睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形三邊關(guān)系；已知沒有明確腰和底邊的題目一定要想到兩種情況，分類進行討論，還應(yīng)驗證各種情況是否能構(gòu)成三角形進行解答，這點非常重要，也是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇揚州·中考真題）如圖，小明家仿古家具的一塊三角形形狀的玻璃壞了，需要重新配一塊．小明通過電話給玻璃店老板提供相關(guān)數(shù)據(jù)，為了方便表述，將該三角形記為，提供了下列各組元素的數(shù)據(jù)，配出來的玻璃不一定符合要求的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)SSS，SAS，ASA逐一判定，其中SSA不一定符合要求．【詳解】A.．根據(jù)SSS一定符合要求；B.．根據(jù)SAS一定符合要求；C.．不一定符合要求；D.．根據(jù)ASA一定符合要求．故選：C．【點睛】本題考查了三角形全等的判定，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握判定三角形全等的SSS，SAS，ASA三個判定定理．6．（2023·江蘇·中考真題）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點：畫法圖形1．以A為端點畫一條射線；2．用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE；3．過點C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點M、N，M、N就是線段AB的三等分點．

這一畫圖過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（

）A．兩直線平行，同位角相等B．兩條平行線之間的距離處處相等C．垂直于同一條直線的兩條直線平行D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例【答案】D【分析】根據(jù)兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例，即可求解．【詳解】解：由步驟２可得：C、D為線段AE的三等分點步驟３中過點C、D分別畫BE的平行線，由兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例得：M、N就是線段AB的三等分點故選：D【點睛】本題考查兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．掌握相關(guān)結(jié)論即可．7．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）如圖，在中，，，，是的中點，將沿著翻折得到，連接，則線段的長為（

）

A．4 B． C． D．3【答案】C【分析】延長交于點O，過點A作于H，根據(jù)運用勾股定理求出BC的長，利用的面積求出AH的長，證明AD垂直平分線段CE，運用與面積相等求出OC的長，推出CE的長，證明是直角三角形，在中，利用勾股定理即可解決問題．【詳解】解：延長交于點O，過點A作于點H，∵在中，，，，∴，∵是的中點，，∴，∵，∴，由折疊的性質(zhì)可得，垂直平分線段，∵，∴∴，∴，∵，∴，，∴，∴是直角三角形，在中，．故選：C．

【點睛】本題主要考查了翻折變換，直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)，勾股定理，等邊對等角，三角形內(nèi)角和定理等，解題的關(guān)鍵是添加輔助線，熟練掌握翻折性質(zhì)，直角三角形的斜邊中線的性質(zhì)，三線合一，勾股定理解直角三角形，面積法求高．8．（2022·江蘇鹽城·中考真題）“跳眼法”是指用手指和眼睛估測距離的方法步驟：第一步：水平舉起右臂，大拇指緊直向上，大臂與身體垂直；第二步：閉上左眼，調(diào)整位置，使得右眼、大拇指、被測物體在一條直線上；第三步：閉上右眼，睜開左眼，此時看到被測物體出現(xiàn)在大拇指左側(cè)，與大拇指指向的位置有一段橫向距離，參照被測物體的大小，估算橫向距離的長度；第四步：將橫向距離乘以10（人的手臂長度與眼距的比值一般為10），得到的值約為被測物體離觀測，點的距離值．如圖是用“跳眼法”估測前方一輛汽車到觀測點距離的示意圖，該汽車的長度大約為4米，則汽車到觀測點的距離約為（

）A．40米 B．60米 C．80米 D．100米【答案】C【分析】參照題目中所給的“跳眼法”的方法估測出距離即可．【詳解】由“跳眼法”的步驟可知被測物體與觀測點的距離是橫向距離的10倍．觀察圖形，橫向距離大約是汽車長度的2倍，為8米，所以汽車到觀測點的距離約為80米，故選C．【點睛】本題主要考查了測量距離，正確理解“跳眼法”測物距是解答本題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇揚州·中考真題）如圖，在中，，將以點為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到，點在邊上，交于點．下列結(jié)論：①；②平分；③，其中所有正確結(jié)論的序號是（

）A．①② B．②③ C．①③ D．①②③【答案】D【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊相等，進而逐項分析判斷即可求解．【詳解】解：∵將以點為中心逆時針旋轉(zhuǎn)得到，∴，，，，故①正確；，，，，，平分，故②正確；，，，，，，故③正確故選D【點睛】本題考查了性質(zhì)的性質(zhì)，等邊對等角，相似三角形的性質(zhì)判定與性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．10．（2023·江蘇徐州·中考真題）若一個三角形的邊長均為整數(shù)，且兩邊長分別為3和5，則第三邊的長可以為（寫出一個即可）．【答案】4【分析】根據(jù)三角形三邊關(guān)系可進行求解．【詳解】解：設(shè)第三邊的長為x，則有，即，∵該三角形的邊長均為整數(shù)，∴第三邊的長可以為3、4、5、6、7，故答案為4（答案不唯一）．【點睛】本題主要考查三角形三邊關(guān)系，熟練掌握三角形三邊關(guān)系是解題的關(guān)鍵．11．（2023·江蘇揚州·中考真題）我國漢代數(shù)學(xué)家趙爽證明勾股定理時創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它是由4個全等的直角三角形和一個小正方形組成．如圖，直角三角形的直角邊長為a、b，斜邊長為c，若，則每個直角三角形的面積為．

【答案】96【分析】由題意知，，由，可得，計算求出滿足要求的，然后求，根據(jù)每個直角三角形的面積為，計算求解即可．【詳解】解：由題意知，，∵，∴，解得，（舍去），∴，∴每個直角三角形的面積為，故答案為：96．【點睛】本題考查了勾股定理．解題的關(guān)鍵在于對勾股定理的熟練掌握與靈活運用．12．（2022·江蘇淮安·中考真題）如圖，在中，，，，點是邊上的一點，過點作，交于點，作的平分線交于點，連接．若的面積是2，則的值是．【答案】【分析】先根據(jù)勾股定理得出，根據(jù)的面積是2，求出點到的距離為，根據(jù)的面積，求出點到的距離為，即可得出點到的距離為，根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，得出，求出，，根據(jù)等角對等邊求出，即可求出，即可得出最后結(jié)果．【詳解】解：在中，由勾股定理得，，∵的面積是2，∴點到的距離為，在中，點到的距離為，∴點到的距離為，∵，∴，∴，∴，，∵平分，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了三角形高的有關(guān)計算，平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是求出點到的距離為，點到的距離為．13．（2022·江蘇泰州·中考真題）如圖上，O為內(nèi)心，過點O的直線分別與AC、AB相交于D、E，若DE=CD+BE，則線段CD的長為.【答案】2或/或2【分析】分析判斷出符合題意的DE的情況，并求解即可；【詳解】解：①如圖，作，，連接OB，則OD⊥AC，∵，∴∵O為的內(nèi)心，∴，∴∴，同理，，∴DE=CD+BE，∵O為的內(nèi)心，∴，∴∴∴②如圖，作，由①知，，，∵∴∴∴∴∵∴∴故答案為：2或．【點睛】本題主要考查三角形內(nèi)心的性質(zhì)、勾股定理、三角形的相似，根據(jù)題意正確分析出符合題意的情況并應(yīng)用性質(zhì)定理進行求解是解題的關(guān)鍵．14．（2024·江蘇南京·模擬預(yù)測）如圖，在中，，以，為邊分別向外作正方形和正方形，交于點，交于點若，則的值為．【答案】【分析】設(shè)，，由“”可證，可得，，利用相似三角形的性質(zhì)分別求出，的長，即可求解．【詳解】解：如圖，過點作交的延長線于點，過點作交于點，∵，∴，∴，∴設(shè)，，∵，，∴，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∵，，∴∴，∴，∴，即，∵，，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，添加恰當(dāng)輔助線構(gòu)造相似三角形是解題的關(guān)鍵．15．（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）問題情境：如圖1，在四邊形中，，，E、F分別是，上的點，且，探究圖中線段，，之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問題的方法是，延長到點G，使DG＝，連接，先證明，再證明，可得出，，之間的數(shù)量關(guān)系．實際應(yīng)用：如圖2，在新修的小區(qū)中，有塊四邊形綠化，四周修有步行小徑，且，，在小徑，上各修一涼亭E，F(xiàn)，在涼亭E與F之間有一池塘，不能直接到達，經(jīng)測量得，米，米，試在小王同學(xué)研究的基礎(chǔ)上，求兩涼亭之間的距離．【答案】25米/【分析】本題主要考查的是四邊形的綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造全等三角形并兩次證全等是解題的關(guān)鍵．延長至，使，連接，可證得進而證得，進一步求得，即可得出最后結(jié)果．【詳解】如圖，延長至，使，連接，

，，，在和中，，，，，，，在和中，，，，，，米，米，米．故答案為：25米．16．（2024·江蘇宿遷·一模）如圖，在四邊形中，，平分，垂足為E，且．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．

【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解決本題的關(guān)鍵是掌握全等三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)證明即可；（2）根據(jù)可得，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和定理可求得，，即可由解決問題．【詳解】（1）證明：，，，平分，，在和中，，．（2）解：，，，，．，∴，，∴，∴．17．（2024·江蘇宿遷·模擬預(yù)測）如圖，在中，.(1)在線段上作點，使得點到的距離與點到的距離相等（要求：尺規(guī)作圖，不寫作法，保留作圖痕跡）；(2)在（1）的條件下，若，求證：.【答案】(1)圖見解析(2)證明見解析【分析】本題考查了作角平分線，相似三角形的性質(zhì)與判定；（1）根據(jù)題意作的角平分線，交于點，則點即為所求；（2）根據(jù)已知可得，根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)為公共角，證明，進而根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可得證．【詳解】（1）解：如圖，點即為所求；（2）證明：，，由（1）知：平分，，，又，，，18．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知：△ABC中，D為BC邊上的一點.(1)如圖①，過點D作DE∥AB交AC邊于點E，若AB=5，BD=9，DC=6，求DE的長；(2)在圖②，用無刻度的直尺和圓規(guī)在AC邊上作點F，使∠DFA=∠A；（保留作圖痕跡，不要求寫作法）(3)如圖③，點F在AC邊上，連接BF、DF，若∠DFA=∠A，△FBC的面積等于，以FD為半徑作⊙F，試判斷直線BC與⊙F的位置關(guān)系，并說明理由.【答案】(1)2(2)圖見詳解(3)直線BC與⊙F相切，理由見詳解【分析】（1）由題意易得，則有，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)與判定可進行求解；（2）作DT∥AC交AB于點T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點F，則點F即為所求；（3）作BR∥CF交FD的延長線于點R，連接CR，證明四邊形ABRF是等腰梯形，推出AB=FR，由CF∥BR，推出，推出CD⊥DF，然后問題可求解．【詳解】（1）解：∵DE∥AB，∴，∴，∵AB=5，BD=9，DC=6，∴，∴；（2）解：作DT∥AC交AB于點T，作∠TDF=∠ATD，射線DF交AC于點F，則點F即為所求；如圖所示：點F即為所求，（3）解：直線BC與⊙F相切，理由如下：作BR∥CF交FD的延長線于點R，連接CR，如圖，∵∠DFA=∠A，∴四邊形ABRF是等腰梯形，∴，∵△FBC的面積等于，∴，∴CD⊥DF，∵FD是⊙F的半徑，∴直線BC與⊙F相切．【點睛】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)與判定、平行線的性質(zhì)與判定及切線的判定是解題的關(guān)鍵．19．（2022·江蘇鹽城·中考真題）【經(jīng)典回顧】梅文鼎是我國清初著名的數(shù)學(xué)家，他在《勾股舉隅》中給出多種證明勾股定理的方法圖1是其中一種方法的示意圖及部分輔助線．在中，，四邊形、和分別是以的三邊為一邊的正方形．延長和，交于點，連接并延長交于點，交于點，延長交于點．(1)證明：；(2)證明：正方形的面積等于四邊形的面積；(3)請利用（2）中的結(jié)論證明勾股定理．(4)【遷移拓展】如圖2，四邊形和分別是以的兩邊為一邊的平行四邊形，探索在下方是否存在平行四邊形，使得該平行四邊形的面積等于平行四邊形、的面積之和．若存在，作出滿足條件的平行四邊形（保留適當(dāng)?shù)淖鲌D痕跡）；若不存在，請說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)見解析(4)存在，見解析【分析】（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)和SAS證明△ACB≌△HCG，可得結(jié)論；（2）證明S△CHG＝S△CHL，所以S△AMI＝S△CHL，由此可得結(jié)論；（3）證明正方形ACHI的面積+正方形BFGC的面積＝?ADJK的面積+?KJEB的面積＝正方形ADEB，可得結(jié)論；（4）如圖2，延長IH和FG交于點L，連接LC，以A為圓心CL為半徑畫弧交