2024-2025學(xué)年湖南省郴州市高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（一模）含答案

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2024-2025學(xué)年湖南省郴州市高三（上）月考數(shù)學(xué)試卷（一模）一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.設(shè)集合A={x|(x?1)(x?6)<0}，B={x|x2<9}，則A∩B=A.(6,+∞) B.(?3,1) C.(?3,6) D.(1,3)2.設(shè)復(fù)數(shù)z=1?ii2024+i，則z的共軛復(fù)數(shù)zA.(0,1) B.(1,0) C.(?1,0) D.(0,?1)3.設(shè)x∈R，向量a=(x,?1)，b=(x,4)，則x=?2是a⊥bA.必要不充分條件 B.充分不必要條件

C.充要條件 D.既不充分也不必要條件4.已知sinα+cosβ=32，cosα=sinβ，則sin(α?β)=A.12 B.14 C.185.函數(shù)f(x)=ex+eA. B.

C. D.6.已知函數(shù)f(x)=x2?2ax+a,x<01ex?lnA.(?∞,0] B.[?1,0] C.[?1,1] D.[1,+∞)7.已知正方體ABCD?A1B1C1D1中，點(diǎn)E、F滿足BEA.六邊形 B.五邊形 C.四邊形 D.三角形8.已知f(x)=memx?lnx(m≥0)，若f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為A.(0,1e) B.(0,1e2二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列命題中正確的是(

)A.已知隨機(jī)變量X～B(3,12)，則E(2X+1)=4

B.已知隨機(jī)變量X～N(1,14)，f(x≤0)=f(x≥2)

C.數(shù)據(jù)1，3，4，5，7，8，10的第80百分位數(shù)是8

D.樣本甲中有m件樣品，其方差為s10.已知曲線C：x2cosθ+y2sinθ=1，A.若cosθ=0，則曲線C表示兩條直線

B.若cosθ>0，則曲線C是橢圓

C.若cosθ<0，則曲線C是雙曲線

D.若cosθ=?sinθ，則曲線C的離心率為11.在正三棱臺(tái)ABC?DEF中，AB=6，DE=2，且等腰梯形所在的側(cè)面與底面ABC所成夾角的正切值均為2，則下列結(jié)論正確的有(

)A.正三棱臺(tái)ABC?DEF的高為43

B.正三棱臺(tái)ABC?DEF的體積為523

C.AD與平面ABC所成角的正切值為1

D.正三棱臺(tái)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若S3+13.從數(shù)字1，2，3，4中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，第一次取到的數(shù)字為i(i=1,2,3,4)，再?gòu)臄?shù)字1，…，i中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)字，則第二次取到數(shù)字為3的概率是______．14.已知拋物線y2=4x，從拋物線內(nèi)一點(diǎn)A(2,2)發(fā)出平行于x軸的光線經(jīng)過拋物線上點(diǎn)B反射后交拋物線于點(diǎn)C四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

若銳角△ABC中，A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且△ABC的面積為312(a2+c2?b2)16.(本小題15分)

如圖，在四面體A?BCD中，AD=BD=3，AC=BC=2，AD⊥DB，∠CAD=30°，M是AD的中點(diǎn)，P是BM的中點(diǎn)，點(diǎn)Q在線段AC上，且AQ=3QC．

(1)證明：PQ/?/平面BCD；

(2)求二面角A?PC?M的余弦值．17.(本小題15分)

已知橢圓E的離心率為22，橢圓E上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離的最小值為2?1．

(1)求橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)已知直線l與橢圓E交于M、N兩點(diǎn)，且OM⊥ON，求18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=2alnx+12x2?(a+2)x，其中a為常數(shù)．

(1)當(dāng)a>0時(shí)，試討論f(x)的單調(diào)性；

(2)若函數(shù)f(x)有兩個(gè)不相等的零點(diǎn)x1，x2，

(i)求a19.(本小題17分)

已知數(shù)列An：a1,a2,?,an(n≥2,n∈N?)是正整數(shù)1，2，3，?，n的一個(gè)全排列，若對(duì)每個(gè)k∈{2,3,?n}都有|ak?ak?1|=2或3，則稱An為H數(shù)列

(1)列出所有H數(shù)列A5的情形；

(2)寫出一個(gè)滿足a5k=5k(k=1,2,?,405)參考答案1.D

2.A

3.B

4.C

5.C

6.D

7.B

8.A

9.ABC

10.ACD

11.BCD

12.48

13.74814.915.解：(1)由余弦定理得，a2+c2?b2=2accosB，

因?yàn)椤鰽BC的面積為312(a2+c2?b2)，

所以S=12acsinB=312(a2+c2?b2)，即12acsinB=312?2accosB，

所以tanB=sinBcosB=33，

因?yàn)锽∈(0,π2)，所以16.(1)證明：∵AD=3,AC=2，且∠CAD=30°，

由余弦定理可得CD2=AC2+AD2?2AC?AD?cos30°，

即CD2=22+(3)2?2×23×32=1，即CD=1，

∴AD2+CD2=AC2，即AD⊥CD，又AD⊥DB，

且BD∩CD=D，BD，CD?平面BCD，∴AD⊥平面BCD，

又BC=2,BD=3，則CD2+BD2=BC2，即BD⊥CD，

以D為原點(diǎn)，分別以DB,DC,DA為x，y，z軸正半軸，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

則D(0,0,0),A(0,0,3),B(3,0,0),C(0,1,0)，M(0,0,32)，P(32,0,34)，

∵AQ=3QC，則AQ=34AC=34(0,1,?3)=(0,34,?334)，則Q(0,34,34)，

17.解：(1)設(shè)橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2a2+y2b2=1(a>b>0)，半焦距為c，

又橢圓E的離心率為22，橢圓E上一點(diǎn)P到左焦點(diǎn)的距離的最小值為2?1，

則ca=22a?c=2?1a2=b2+c2，

解得b=c=1,a=2，

所以橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程為x22+y2=1．

(2)當(dāng)直線OM不垂直于坐標(biāo)軸時(shí)，直線OM的斜率存在且不為0，設(shè)其方程為y=kx(k≠0)，

由y=kxx2+2y2=2，

消去y得x2=218.解：(1)由題設(shè)f′(x)=2ax+x?(a+2)=x2?(a+2)x+2ax=(x?2)(x?a)x，且x∈(0,+∞)，

當(dāng)0<a<2時(shí)，在(0,a)上f′(x)>0，在(a,2)上f′(x)<0，在(2,+∞)上f′(x)>0，

所以f(x)在(0,a)、(2,+∞)上單調(diào)遞增，在(a,2)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a=2時(shí)，在(0,+∞)上，f′(x)≥0恒成立，故f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>2時(shí)，在(0,2)上，f′(x)>0，在(2,a)上，f′(x)<0，在(a,+∞)上，f′(x)>0，

所以f(x)在(0,2)、(a,+∞)上單調(diào)遞增，在(2,a)上單調(diào)遞減．

綜上，當(dāng)0<a<2時(shí)，f(x)在(0,a)、(2,+∞)上單調(diào)遞增，在(a,2)上單調(diào)遞減；

當(dāng)a=2時(shí)，f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

當(dāng)a>2時(shí)，f(x)在(0,2)、(a,+∞)上單調(diào)遞增，在(2,a)上單調(diào)遞減．

(2)(i)由f(2)=2aln2+12×22?(a+2)×2=2(aln2?a?1)<0，

若a>0時(shí)，f(a)=2alna+12a2?(a+2)a=a2(4lna?a?4)，

令y=4lna?a?4且a>0，則y′=4a?1=4?aa，

所以0<a<4時(shí)y′>0，a>4時(shí)y′<0，

故y=4lna?a?4在(0,4)上單調(diào)遞增，在(4,+∞)上單調(diào)遞減，則ymax=8ln2?8<0，

所以f(a)<0，

結(jié)合(1)中f(x)的單調(diào)性，易知a>0不可能出現(xiàn)兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，

又a=0時(shí)，f(x)=12x2?2x在(0,+∞)上只有一個(gè)零點(diǎn)，不滿足，

所以a<0，此時(shí)，在(0,2)上f′(x)<0，在(2,+∞)上f′(x)>0，

故f(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2,+∞)上單調(diào)遞增，則f(x)min=f(2)=2(aln2?a?1)，

又x趨向于0或負(fù)無窮時(shí)，f(x)趨向正無窮，只需g(a)=a(ln2?1)?1<0成立，

顯然g(a)在(?∞,0)上單調(diào)遞減，且當(dāng)a=1ln2?1時(shí)，g(a)=0，

所以1ln2?1<a<0時(shí)，g(a)<0恒成立，即a的取值范圍為(1ln2?1,0)；

(ii)證明：由(i)，在1ln2?1<a<0時(shí)，f(x)存在兩個(gè)不相等的零點(diǎn)x1，x2，

不妨令0<x1<2<x2，要證x19.解：(1)若a1=1，則a2=3或a2=4，

當(dāng)a1=1，a2=4時(shí)，a3=2，a4=5，a5=3，此時(shí)A5為1，4，2，5，3，

當(dāng)a1=1，a2=3時(shí)，a3=5，a4=2，a5=4，此時(shí)A5為1，3，5，2，4，

同理可得A5可能為：4，1，3，5，2或4，2，5，3，1或5，2，4，1，3或5，3，1，4，2，

或2，4，1，3，5或2，5，3，1，4或3，5，2，4，1或3，1，4，2，5；

(2)若將A5：3，1，4，2，5記為A2025的第一組數(shù)，

構(gòu)造數(shù)列滿足an+5=an+5，

則對(duì)任意的k∈{1,2,3?,405}，i∈{2,3,4,5}，

|a5k+i?a5k+i?1|=|(ai+5k)?(ai?1+5k)|=|ai?ai?1|=2或3，

當(dāng)i=1時(shí)，|a5k+1?a5k|=|(a1+5k)?(a5+5k?5)|=|a1?a5+5|=3符合要求，

∴a5k+1=a1+5k=3+5k；a5k+2=a2+5k=1+5k；a5k+3=a3+5k=4+5k，

a5k+4=a4+5k=2+5k；a5k+5=a5+5k=5+5k．

綜上所述：an=n+