數(shù)學(xué)自主練習(xí)：合情推理

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精自主廣場我夯基我達(dá)標(biāo)1。對命題“對頂角相等"的說法正確的是（）A.前提是對頂角，結(jié)論“相等".B。前提是“兩個角是對頂角”，結(jié)論是“這兩個角相等".C。前提是“兩個角相等”，結(jié)論是“這兩個角是對頂角”.D.前提是“兩個角相等”，結(jié)論是“兩個角全等".思路解析:把命題“對頂角相等”改寫成“如果兩個角是對頂角,那么這兩個角相等”.所以前提是“兩個角是對頂角"，結(jié)論是“這兩個角相等".答案:B2.等差數(shù)列1,3,5，…(2n-1)的前n項和為（）A.n2B.（n+1)2C。(n-1）2思路解析：令前n項的和為Sn，則S1=1,S2=1+3=4=22，S3=1+3+5=9=32，S4=1+3+5+7=42.所以猜想Sn=n2.答案：A3.若f(n)=n2+n+41（n∈N）,下列說法中正確的是(）A.f(n）可以為偶數(shù)B.f(n）一定為奇數(shù).C。f（n）一定為質(zhì)數(shù)D.f（n)必為合數(shù).思路解析:f（1）=43,f(2）=22+2+41=47，f(3)=32+3+41=53，f(4)=42+4+41=71,猜想f（n）一定是奇數(shù)。答案：B4。下列說法中正確的是（）A。合情推理就是正確的推理B。合情推理就是歸納推理C.歸納推理是從一般到特殊的推理過程D。類比推理是從特殊到特殊的推理過程思路解析：合情推理包括歸納推理和類比推理，而歸納推理是從特殊到一般的推理過程，而類比推理是從特殊到特殊的推理過程.答案:D5.（2005年湖南省高考卷）設(shè)f0（x)=sinx,f1(x)=f′0（x），f2（x）=f′1（x)，…fn(x）=fn-1′(x）,n∈N，則f2005(x)=（）A.sinxB。-sinxC.cosxD.-cosx思路解析:(sinx)′=cosx，（cosx）′=—sinx,（-sinx)′=-cosx，（-cosx)′=sinx,由此可知，其周期為4，故可得fn+4(x）=…=…=fn（x)故猜測fn(x)是以4為周期的函數(shù),有f4n+1（x）=f（1）=cosxf4n+2(x)=-sinxf4n+3（x）=-cosx，f4n+4(x）=f(4)=sinx.答案:C6.（2005年廣東高考卷)設(shè)平面內(nèi)有n條直線(n≥3),其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點,若用f（n）表示這n條直線交點的個數(shù)，則f(4）=___________________，當(dāng)n＞4時,f（n）=__________________________。(用n表示）思路解析:f（2)=0,f(3)=2，f（4)=5,f(5)=9，可以歸納出每增加一條直線，交點增加的個數(shù)為原有直線的條數(shù).所以有f（3)-f(2）=2,f（4)-f(3）=3,f(5)-f（4）=4,猜測得出f(n）-f（n—1）=n-1,有f（n）-f（2）=2+3+4+…+（n-1)∴f（n）=（n+1)（n-2）因此，f(4）=5，f（n）=(n+1)（n≠2）答案：f（4)=5f(n）=(n+1）（n—2).7。已知數(shù)列{an}的第1項a1=1,且an+1=(n=1,2,…),試用歸納法歸納出這個數(shù)列的通次公式.解：a1=1,當(dāng)n=2時，a2==當(dāng)n=3時，a3==當(dāng)n=4時，a4=觀察可得,數(shù)列{an}的前4項都等于相應(yīng)序號的倒數(shù)，由此我們可以猜測，這個數(shù)列的通項公式為an=.8.應(yīng)用歸納推理猜測的結(jié)果。解：當(dāng)n=1時,=3當(dāng)n=2時，=33當(dāng)n=3時,=333當(dāng)n=4時，=3333觀察可得9。找出圓與球的相似之處，并用圓的下列性質(zhì)類比球的有關(guān)性質(zhì)。（1）圓心與弦（非直徑)中點的連線垂直于弦；(2）與圓心距離相等的弦也相等；（3)圓的周長C=πd(d為圓心直徑）；(4）圓的面積S=πr2。解：(1）圓是平面內(nèi)到定點的距離等于定長的所有點構(gòu)成的集合，球面是一空間中到定點的距離等于定長的所有點構(gòu)成的集合.(2）圓是平面內(nèi)封閉的曲線所圍成的對稱圖形，球是空間中封閉的曲面所圍成的對稱圖形.與圓的有關(guān)性質(zhì)類比，可以推測球的有關(guān)性質(zhì):圓球（1）圓心與弦（非直徑）中點的連線垂直于弦球心與截面圓（不過球心的小截面圓)圓心的連線垂直于截面（2)與圓心距離相等的弦長相等與球心的距離相等的兩個截面圓的面積相等（3）圓的周長C=πd球的表面積S=πd2（4)圓的面積S=πr2球的體積V=(5)圓的面積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于圓的周長函數(shù)，即（πr2)′=2πr，球的體積函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于球的表面積函數(shù)。()′=4πr2我綜合我發(fā)展10.(2006年廣東高考卷，10）對于任意的兩個實數(shù)對（a,b）和（c,d）,規(guī)定:（a,b）=（c,d），當(dāng)且僅當(dāng)a=c，b=d時成立;運算“”為：（a，b）（c,d）=(ac-bd，bc+ad），運算“"為（a，b）（c，d）=（a+c,b+d），設(shè)p、q∈R,若（1，2）（p、q)=(5,0)，則（1，2）（p、q）=（）A。(4、0）B。（2、0）C.（0、2）D。(0，-4）思路解析:利用類比推理得：由（1，2)(p，q）=（5，0）得所以（1，2)（p，q）=（1,2)（1,-2）=（2,0）答案：B11。如圖2-1-2中的三角形稱為謝賓斯基三角形,在下面3個三角形中，著色的三角形的個數(shù)依次構(gòu)成一個數(shù)列的前3項，則這個數(shù)列的一個通項公式是__________________________。圖2—1-2思路解析:這3個三角形中著色三角形的個數(shù)依為1，3，9,則所示數(shù)列的前3項都是3的指數(shù)冪，指數(shù)為序號減1，所以數(shù)列的一個通項為an=3n—1答案:an=3n-112。(2006年廣東高考卷，14）在德國不來梅舉行的第48屆世乒賽期間，某商場櫥窗里用同樣的乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品,其中第1堆只有一層，就一個球；第2，3，4，…堆最底層（第一層）分別按圖2-1—3所示方式固定擺放.從第二層開始，每層的木球自然壘放在下一層之上，第n堆第n層就放一個乒乓球.以f(n）表示第n堆的乒乓球總數(shù)，則f（3）=___________________；f(n)=__________________________.(答案用n表示）圖2-1—3思路解析:f（1）=1，觀察圖象可知f(2)=4,f(3)=10，f(4）=20，下一堆的個數(shù)是上一堆的個數(shù)加上其第一層個數(shù),而第一層的個數(shù)滿足1，3,6，10，…通項公式是?！鄁（5)=f（4）+15=35。答案：10，。13。類比實數(shù)的加法和乘法，列出它們相似的運算性質(zhì)。解：(1）兩個實數(shù)經(jīng)過加法運算或者乘法運算后，所得的結(jié)果仍然是一個實數(shù)。（2）從運算律方面來考慮，加法和乘法都滿足交換律和結(jié)合律，即：a+b=b+aab=ba（a+b）+c=a+（b+c）（ab）c=a（bc）（3）從逆運算的角度來考慮，二者都有逆運算；加法的逆運算是減法，乘法的逆運算是除法，這就使得方程:a+x=0ax=1(a≠0）都有惟一的解：x=—a，x=。(4）在加法中,任意實數(shù)與0相加都不改變大小，乘法中的1與加法中的0類似，即任意實數(shù)與1的積都等于原來的數(shù)，即：a+0=aa×1=a.14。觀察1+3=4=221+3+5=9=321+3+5+7=16=421+3+5+7+9=25=52…由上述具體事實能得出怎樣的結(jié)論?解：將上述事實分別敘述為:前2個連續(xù)奇數(shù)的和等于2的平方前3個連續(xù)奇數(shù)的和等于3的平方前4個連續(xù)奇數(shù)的和等于4的平方前5個連續(xù)奇數(shù)的和等于5的平方由此猜想：前n(n∈N*）個連續(xù)奇數(shù)的和等于n的平方.