4.2-4.3立方根和實(shí)數(shù)（一）（原卷版）

4.2-4.3立方根和實(shí)數(shù)（一）【推本溯源】1.如圖，棱長為1時(shí)，正方體的體積為1，那體積為2的棱長等于多少？設(shè)棱長為x，x3=2一般地，如果x3=a，那么x叫做a的，a的立方很記作，讀作。和平方根相似的地方是求一個(gè)數(shù)的立方很的運(yùn)算叫做。2.計(jì)算（1）若，則；（2）若，則；（3）若，則；、（4）若，則=；因此，3.立方根的性質(zhì)4.平方根和立方根小數(shù)點(diǎn)平移被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)2位，它的平方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.被開方數(shù)的小數(shù)點(diǎn)向右或者向左移動(dòng)3位，它的立方根的小數(shù)點(diǎn)就相應(yīng)地向右或者向左移動(dòng)1位.例如，，，，.5.（1）如圖，試著就算，你能說出的值嗎？（2）你可以畫出長度為的線段嗎？要去想，所以構(gòu)造以1cm、3cm為直角邊的是直角三角形即可；求一下后面兩個(gè)數(shù)。（3）可以畫出半徑為1cm的圓，求出它的周長和面積嗎？因此，想上面含有根號(hào)、含有Π的數(shù)都是。有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為。無理數(shù)也可以在數(shù)軸上面表示出來。如圖A表示的數(shù)為每一個(gè)實(shí)數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)來表示；反過來，數(shù)軸上的每一個(gè)都表示一個(gè)實(shí)數(shù)。實(shí)數(shù)與一一對(duì)應(yīng)?！窘饣蟆坷?：在，，，，2023這五個(gè)數(shù)中無理數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例2：如圖，小明將一個(gè)直徑為1個(gè)單位長度的圓環(huán)（厚度忽略不計(jì)）從原點(diǎn)沿?cái)?shù)軸向右滾動(dòng)一周，圓上的一點(diǎn)由原點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)，則下列實(shí)數(shù)與點(diǎn)表示的數(shù)最接近的是（

）

A． B． C． D．例3：如果，那么（

）A． B． C． D．例4：已知：與是某正數(shù)的兩個(gè)不相等的平方根，的立方根是．求：(1)的值；(2)的平方根．例5：如圖，在數(shù)軸上點(diǎn)、、所表示的數(shù)分別為，，，點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離相等，設(shè)點(diǎn)所表示的實(shí)數(shù)為．

(1)求出實(shí)數(shù)的值(2)求的值．【摩拳擦掌】1．（2023春·山西呂梁·七年級(jí)統(tǒng)考期中）歸納平方根和立方根的特征時(shí)，分了正數(shù)、、負(fù)數(shù)三種情況進(jìn)行研究，其中主要體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想是（

）A．轉(zhuǎn)化思想 B．方程思想 C．分類討論思想 D．?dāng)?shù)形結(jié)合思想2．（2023春·黑龍江哈爾濱·七年級(jí)哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校?？奸_學(xué)考試）若，，則x為（

）．A．214 B． C．2140 D．3．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)?？计谀┤鐖D，在數(shù)軸上標(biāo)有O，A，B，C，D五個(gè)點(diǎn)，根據(jù)圖中各點(diǎn)所表示的數(shù)，判斷應(yīng)該在下列線段的（

）

A．上 B．上 C．上 D．上4．（2023春·黑龍江佳木斯·七年級(jí)統(tǒng)考期中）定義一種運(yùn)算：對(duì)于任意實(shí)數(shù)，都有，則的值為_________．5．（2023春·黑龍江鶴崗·七年級(jí)?？计谥校?.16的平方根是_____，的算術(shù)平方根是_____，的立方根是_____．6．（2023春·湖北武漢·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）已知a、b滿足以下條件：①一個(gè)正數(shù)x的兩個(gè)平方根分別是和；②．(1)求a，b，x；(2)求的平方根．7．（2023春·廣東汕頭·七年級(jí)?？计谥校┮阎粋€(gè)正數(shù)的平方根是和，的立方根是，是的整數(shù)部分，d的平方根是它本身．(1)求a，b，c，d的值；(2)求的算術(shù)平方根．8．（2023·浙江臺(tái)州·統(tǒng)考中考真題）計(jì)算：．9．（2023春·黑龍江佳木斯·七年級(jí)統(tǒng)考期中）計(jì)算：(1)；(2)．【知不足】1．（2023·浙江嘉興·統(tǒng)考中考真題）下面四個(gè)數(shù)中，比1小的正無理數(shù)是（）A． B． C． D．2．（2023年山東省臨沂市中考二模數(shù)學(xué)試題）在實(shí)數(shù)，，，0中，絕對(duì)值最小的一個(gè)是（

）A． B． C． D．03．（2023·四川南充·四川省南充高級(jí)中學(xué)?？级＃┫铝袑?shí)數(shù)中，最小的實(shí)數(shù)是（）A．1 B． C． D．4．（2023春·江蘇南通·七年級(jí)統(tǒng)考期中）下列各數(shù)中，化簡結(jié)果為的是（

）A． B． C． D．5．（2023·福建莆田·?？寄M預(yù)測）如圖，A，B兩點(diǎn)分別是在數(shù)軸上表示實(shí)數(shù)1，2的點(diǎn)，若點(diǎn)C在A，B兩點(diǎn)之間的數(shù)軸上，則點(diǎn)C表示的c的值可以是________（只需寫出一個(gè)符合條件的實(shí)數(shù)）．

6．（2023年四川省內(nèi)江市中考數(shù)學(xué)真題）若a、b互為相反數(shù)，c為8的立方根，則___________．7．（2023春·黑龍江佳木斯·七年級(jí)統(tǒng)考期中）在實(shí)數(shù)，最大的一個(gè)數(shù)是_________．8．（2023春·黑龍江佳木斯·七年級(jí)統(tǒng)考期中）求下列名式中的值．(1)；(2)．9．（2023·陜西西安·校考模擬預(yù)測）計(jì)算：．10．（2023春·湖北咸寧·七年級(jí)咸寧市溫泉中學(xué)校考期中）已知的平方根是，的立方根是3，求的平方根．11．（2023春·廣東肇慶·七年級(jí)?？计谥校┣蟪龅仁街械膞：(1)；(2)．【一覽眾山小】1．（2023春·全國·七年級(jí)期末）已知是二元一次方程組的解，則的立方根為（

）A．2 B．4 C．8 D．162．（2019春·廣東汕尾·七年級(jí)期末）下列算式中，錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．3．（2023春·廣東惠州·七年級(jí)校考期中）若，，則的值為（

）A． B．5 C．或 D．或54．（2023·四川瀘州·統(tǒng)考二模）估計(jì)的值在()A．和之間 B．和之間 C．和之間 D．和之間5．（2023春·廣東汕頭·七年級(jí)校考期中）已知，a、b互為倒數(shù)，c、d互為相反數(shù)，是e的平方根，則＝_____．6．（2023秋·河北石家莊·八年級(jí)校考期末）在，，，0，，，，中，無理數(shù)有______個(gè)．7．（2023春·江西南昌·七年級(jí)江西師范大學(xué)附屬外國語學(xué)校?？计谥校┮阎粋€(gè)正數(shù)x的兩個(gè)不同的平方根是和．(1)求a與x的值；(2)計(jì)算：．8．（2023春·廣東肇慶·七年級(jí)?？计谥校┮粋€(gè)正數(shù)y的兩個(gè)平方根分別是與，求的立方根.9．（2023春·廣東東莞·七年級(jí)?？计谥校┤粢粋€(gè)正數(shù)的平方根分別是和，求的立方根．10．（2023春·廣東湛江·七年級(jí)?？计谥校┮阎钠椒礁?，2是的立方根．(1)求a，b的值．(2)求滿足等式的x的值．11．（2023春·湖北咸寧·七年級(jí)咸寧市溫泉中學(xué)校考期中）（1）如圖1，分別把兩個(gè)邊長為的小正方形沿一條對(duì)角線裁成4個(gè)小三角形拼成一個(gè)大正方形，則大正方形的邊長為______；（2）若一個(gè)圓的面積與一個(gè)正方形的面積都是，設(shè)圓的周長為，正方形的周長為，請比較與的大??；（3）如圖2，若正方形的面積為，李明同學(xué)想沿這塊正方形邊的方向裁出一塊面積為的長方形紙片，使它的長和寬之比為，他能裁出嗎？

12．（2023春·廣東汕頭·七年級(jí)校考期中）計(jì)算(1)(2)13．（2023春·廣東湛江·七年級(jí)?？计谥校┯?jì)算：14．（2023·山東棗莊·統(tǒng)考中考真題）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，定義一種新運(yùn)算：，例如：，．根據(jù)上面的材料，請完成下列問題：(1)___________，___________；