第十六章 二次根式（單元重點(diǎn)綜合測(cè)試）

第十六章二次根式單元重點(diǎn)綜合測(cè)試注意事項(xiàng)：本試卷滿分100分，考試時(shí)間120分鐘，試題共25題。答卷前，考生務(wù)必用0.5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、班級(jí)等信息填寫在試卷規(guī)定的位置選擇題（6小題，每小題2分，共12分）1．（2023·上海浦東新·?？既＃┫铝卸胃街?，最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．2．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）已知，，則的值為（）A． B． C． D．3．（2023春·上海松江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列運(yùn)算中，正確的是（）A． B．C． D．4．（2023春·上海寶山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下圖所示：當(dāng)輸入的數(shù)是324時(shí)，輸出的結(jié)果等于（）

A．3 B．18 C． D．5．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）如圖，在大正方形紙片中放置兩個(gè)小正方形，已知兩個(gè)小正方形的面積分別為，，重疊部分是一個(gè)正方形，其面積為2，則空白部分的面積為（）A．6 B．16 C． D．6．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知，則的值為（）A．0 B．1 C． D．二、填空題（12小題，每小題2分，共24分）7．（2023春·上海松江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：___________.8．（2023·上海虹口·校聯(lián)考二模）化簡(jiǎn)：______．9．（2023春·上海靜安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）方程的根是______．10．（2023春·上海嘉定·七年級(jí)校考階段練習(xí)）比較大?。篲__________．11．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是__________．12．（2023春·上海嘉定·七年級(jí)?？计谀┮阎獢?shù)軸上的兩點(diǎn)、所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是和，那么、兩點(diǎn)的距離等于______．13．（2023春·上海寶山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，那么______．14．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）若兩最簡(jiǎn)根式和是同類二次根式，則的值的平方根是______．15．（2023秋·上海·八年級(jí)專題練習(xí)）若，化簡(jiǎn)_____．16．（2023春·上?！て吣昙?jí)期中）若的小數(shù)部分為，則的值為_______．17．（2023·上海閔行·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）人們把這個(gè)數(shù)叫做黃金分割數(shù)，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的法就應(yīng)用了黃金分割數(shù)．設(shè)，，則，記，，…，．則____．18．（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，階梯圖的每個(gè)臺(tái)階上都標(biāo)著一個(gè)數(shù)，從下到上的第1個(gè)至第4個(gè)臺(tái)階上依次標(biāo)著，，，，且任意相鄰四個(gè)臺(tái)階上數(shù)的和都相等．

（1）前4個(gè)臺(tái)階上的數(shù)的積是________；（2）把從第1個(gè)臺(tái)階開始的前30個(gè)臺(tái)階上的數(shù)相加，結(jié)果是________；（3）從第1個(gè)臺(tái)階起，把連續(xù)若干個(gè)臺(tái)階上數(shù)的平方相加起來，如果和為113，那么一共是________個(gè)臺(tái)階上的數(shù)的平方相加．三、解答題（9小題，共64分）19．（2023春·湖北黃岡·八年級(jí)期中）計(jì)算：(1)；(2)20．（2023秋·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，求的值．21．（2023春·上海浦東新·七年級(jí)?？计谥校┤鐖D，正方形的面積為，．

(1)如果點(diǎn)、分別在、上，，說明的理由．(2)如果四邊形是正方形，且它的面積為，求三角形的面積．22．（2023春·河南駐馬店·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，有一張長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形紙板，現(xiàn)將該紙板的四個(gè)角剪掉，制作一個(gè)有底無蓋的長(zhǎng)方體盒子，剪掉的四個(gè)角都是邊長(zhǎng)為的小正方形．

(1)求制作成的無蓋長(zhǎng)方體盒子的體積；(2)求制作成的無蓋長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積（不含下底面）．23．（2023春·上?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期中）先閱讀下列的解答過程，然后再解答：形如的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)正數(shù)a、b，使，，使得，，那么便有：（）例如：化簡(jiǎn)解：首先把化為，這里，，由于，即，所以(1)填空：_，_(2)化簡(jiǎn)：_；24．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀下面的材料，解答后面給出的問題：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與．這樣，化簡(jiǎn)一個(gè)分母含有二次根式的式子時(shí)，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，．(1)請(qǐng)你寫出的一個(gè)有理化因式：_；(2)請(qǐng)仿照上面給出的方法化簡(jiǎn)；(3)已知，，求的值．25．（2023春·北京大興·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀材料】小華根據(jù)學(xué)習(xí)“二次根式“及”乘法公式“積累的經(jīng)驗(yàn)，通過“由特殊到一般”的方法，探究”當(dāng)時(shí)，與的大小關(guān)系”．下面是小單的深究過程：①具體運(yùn)算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：當(dāng)時(shí)，特例1：若，則；特例2：若，則；特例3：若，則．②觀察、歸納，得出猜想：當(dāng)時(shí)，．③證明猜想：當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴．當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，．請(qǐng)你利用小華發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決以下問題：(1)當(dāng)時(shí)，的最小值為__(2)當(dāng)時(shí)，的最小值為__；(3)當(dāng)時(shí)，求的最大值．

第十六章二次根式單元重點(diǎn)綜合測(cè)試答案全解全析選擇題（6小題，每小題2分，共12分）1．（2023·上海浦東新·?？既＃┫铝卸胃街?，最簡(jiǎn)二次根式的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)最簡(jiǎn)二次根式的意義進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故不符合題意；B、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故不符合題意；C、是最簡(jiǎn)二次根式，故符合題意；D、，不是最簡(jiǎn)二次根式，故不符合題意；故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查最簡(jiǎn)二次根式，理解“被開方數(shù)是整式且不含有能開得盡方的因數(shù)或因式的二次根式是最簡(jiǎn)二次根式”是正確判斷的關(guān)鍵．2．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）已知，，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式的混合運(yùn)算，乘法公式，二次根式的混合運(yùn)算即可求解．【詳解】解：，把，代入得，，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式的混合運(yùn)算，掌握分式的混合運(yùn)算法則，乘法公式，二次根式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·上海松江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）下列運(yùn)算中，正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次根式的加減運(yùn)算，乘方運(yùn)算計(jì)算即可．【詳解】A.與不是同類二次根式，無法計(jì)算，不符合題意；B.，正確，符合題意；C.，不正確，不符合題意；D.，不正確，不符合題意；故選Ｂ．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的加減運(yùn)算，乘方運(yùn)算計(jì)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．4．（2023春·上海寶山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）有一個(gè)數(shù)值轉(zhuǎn)換器，原理如下圖所示：當(dāng)輸入的數(shù)是324時(shí)，輸出的結(jié)果等于（）

A．3 B．18 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)算術(shù)平方根的定義以及實(shí)數(shù)分類，根據(jù)程序進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：輸入時(shí)，取正平方根為，是有理數(shù)，輸入時(shí)，取正平方根為，是無理數(shù)，輸出，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了求一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根，二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)，根據(jù)程序設(shè)計(jì)進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．5．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）如圖，在大正方形紙片中放置兩個(gè)小正方形，已知兩個(gè)小正方形的面積分別為，，重疊部分是一個(gè)正方形，其面積為2，則空白部分的面積為（）A．6 B．16 C． D．【答案】D【分析】先算出三個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)，再得到大正方形的邊長(zhǎng)，通過面積的計(jì)算得結(jié)論．【詳解】解：三個(gè)小正方形的面積分別為18、12、2，三個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)分別為、、．由題圖知：大正方形的邊長(zhǎng)為：．．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的應(yīng)用，用小正方形的邊長(zhǎng)表示出大正方形的邊長(zhǎng)是解決本題的關(guān)鍵．6．（2023春·八年級(jí)單元測(cè)試）已知，則的值為（）A．0 B．1 C． D．【答案】C【分析】由的值進(jìn)行化簡(jiǎn)到=，再求得，把式子兩邊平方，整理得到，再把兩邊平方，再整理得到，原式可變形為，利用整體代入即可求得答案．【詳解】解∵==∴∴整理得∴∵∴整理得∴∴∴=====故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)，乘法公式，提公因式法因式分解等知識(shí)，關(guān)鍵在于熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則和整體代入的方法．二、填空題（12小題，每小題2分，共24分）7．（2023春·上海松江·七年級(jí)統(tǒng)考期末）計(jì)算：___________.【答案】【分析】根據(jù)二次根式加減運(yùn)算法則計(jì)算即可．【詳解】解：原式．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的加減混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握運(yùn)算法則．8．（2023·上海虹口·校聯(lián)考二模）化簡(jiǎn)：______．【答案】/【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可化簡(jiǎn)．【詳解】解：由得：故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查二次根式的性質(zhì)．掌握相關(guān)化簡(jiǎn)法則是解題關(guān)鍵．9．（2023春·上海靜安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）方程的根是______．【答案】1【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)可得，從而可得，再將方程轉(zhuǎn)化為，據(jù)此解答即可．【詳解】解：由二次根式的被開方數(shù)的非負(fù)性得：，即，，則原方程可化為，，解得．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的性質(zhì)，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．10．（2023春·上海嘉定·七年級(jí)校考階段練習(xí)）比較大?。篲__________．【答案】【分析】根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可求解．【詳解】解：∵，，∵，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】此題主要考查二次根式的大小比較，解題的關(guān)鍵是熟知二次根式的性質(zhì)．11．（2023·上海·八年級(jí)假期作業(yè)）當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值是__________．【答案】0【分析】將代入計(jì)算即可．【詳解】解：將代入得，，故答案為：0．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的求值，解題關(guān)鍵在于正確地計(jì)算．12．（2023春·上海嘉定·七年級(jí)?？计谀┮阎獢?shù)軸上的兩點(diǎn)、所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是和，那么、兩點(diǎn)的距離等于______．【答案】【分析】根據(jù)實(shí)數(shù)與數(shù)軸的關(guān)系列式計(jì)算即可．【詳解】解：數(shù)軸上的兩點(diǎn)、所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是和，、兩點(diǎn)的距離等于,故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，此為基礎(chǔ)且重要知識(shí)點(diǎn)，必須熟練掌握．13．（2023春·上海寶山·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，，那么______．【答案】/【分析】將已知等式代入代數(shù)式，根據(jù)二次根式的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】解：∵，，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了因式分解的應(yīng)用，二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．14．（2023·上?！ぐ四昙?jí)假期作業(yè)）若兩最簡(jiǎn)根式和是同類二次根式，則的值的平方根是______．【答案】【分析】根據(jù)同類二次根式的定義，列出方程，求解即可，【詳解】解：由題意可得：，解得的平方根為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式的定義，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．15．（2023秋·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）若，化簡(jiǎn)_____．【答案】1【分析】先根據(jù)，判斷出，據(jù)此可得，再依據(jù)絕對(duì)值性質(zhì)和二次根式的性質(zhì)化簡(jiǎn)可得．【詳解】解：，則，即，，原式，故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是掌握二次根式的性質(zhì)、絕對(duì)值的性質(zhì)和解一元一次不等式的步驟．16．（2023春·上?！て吣昙?jí)期中）若的小數(shù)部分為，則的值為_______．【答案】5【分析】由已知求出a=，再將a的值代入所求式子即可．【詳解】解：∵的整數(shù)部分為3，∴a=，∴故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用及整式的混合運(yùn)算，關(guān)鍵是求出a的值．17．（2023·上海閔行·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）人們把這個(gè)數(shù)叫做黃金分割數(shù)，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的法就應(yīng)用了黃金分割數(shù)．設(shè)，，則，記，，…，．則____．【答案】10【分析】先根據(jù)求出（為正整數(shù)）的值，從而可得的值，再求和即可得．【詳解】解：，（為正整數(shù)），，，，，則，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的運(yùn)算、分式的運(yùn)算，正確發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．18．（2023春·河北邢臺(tái)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，階梯圖的每個(gè)臺(tái)階上都標(biāo)著一個(gè)數(shù)，從下到上的第1個(gè)至第4個(gè)臺(tái)階上依次標(biāo)著，，，，且任意相鄰四個(gè)臺(tái)階上數(shù)的和都相等．

（1）前4個(gè)臺(tái)階上的數(shù)的積是________；（2）把從第1個(gè)臺(tái)階開始的前30個(gè)臺(tái)階上的數(shù)相加，結(jié)果是________；（3）從第1個(gè)臺(tái)階起，把連續(xù)若干個(gè)臺(tái)階上數(shù)的平方相加起來，如果和為113，那么一共是________個(gè)臺(tái)階上的數(shù)的平方相加．【答案】2419【分析】（1）將前4個(gè)數(shù)字相乘，根據(jù)二次根式乘法法則計(jì)算即可得答案；（2）根據(jù)“臺(tái)階上的數(shù)字是每4個(gè)一循環(huán)”求解可得；（3）前4個(gè)臺(tái)階上數(shù)的平方相加起來和為25，且，而，據(jù)此可得答案．【詳解】解：（1）由題意得前4個(gè)臺(tái)階上數(shù)的積是；故答案為：24；（2）∵任意相鄰四個(gè)臺(tái)階上數(shù)的和都相等，∴臺(tái)階上的數(shù)字是每4個(gè)一循環(huán)，∵，，∴，從第1個(gè)臺(tái)階開始的前30個(gè)臺(tái)階上的數(shù)相加，結(jié)果是，故答案為：；（3）前4個(gè)臺(tái)階上數(shù)的平方相加起來和為：，∵，且，，∴一共是19個(gè)臺(tái)階上的數(shù)的平方相加．故答案為：19．【點(diǎn)睛】本題主要考查圖形的變化規(guī)律及二次根式的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是根據(jù)相鄰四個(gè)臺(tái)階上數(shù)的和都相等得出臺(tái)階上的數(shù)字是每4個(gè)一循環(huán)．三、解答題（9小題，共64分）19．（2023春·湖北黃岡·八年級(jí)期中）計(jì)算：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】（1）將被開方數(shù)相乘，再利用二次根式的混合運(yùn)算法則即可求解；（2）利用乘法分配律，將各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，即可求解．【詳解】（1）解：原式（2）解：原式【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算．掌握相關(guān)運(yùn)算法則即可．20．（2023秋·上?！ぐ四昙?jí)專題練習(xí)）若最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式，求的值．【答案】，．【分析】根據(jù)同類二次根式的定義列方程即可求出．【詳解】解：最簡(jiǎn)二次根式與是同類二次根式解得：即，．【點(diǎn)睛】本題考查了同類二次根式的定義，熟練掌握同類二次根式的定義是解題的關(guān)鍵．21．（2023春·上海浦東新·七年級(jí)校考期中）如圖，正方形的面積為，．

(1)如果點(diǎn)、分別在、上，，說明的理由．(2)如果四邊形是正方形，且它的面積為，求三角形的面積．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)垂直的定義可得，再根據(jù)同位角相等，兩直線平行求出，然后根據(jù)兩直線平行，同位角相等即可得證；（2）根據(jù)正方形的面積求出、的長(zhǎng)，然后求出的長(zhǎng)，再根據(jù)三角形的面積公式列式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【詳解】（1）解∶∵，已知，∴（垂直的意義，∴（同位角相等，兩直線平行，∴兩直線平行，同位角相等；（2）∵正方形與的面積分別為、，∴它們的邊長(zhǎng)分別為、，∴，∴三角形的面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，二次根式的運(yùn)算，主要利用了正方形的面積公式，三角形的面積，是基礎(chǔ)題，熟記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2023春·河南駐馬店·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，有一張長(zhǎng)為，寬為的長(zhǎng)方形紙板，現(xiàn)將該紙板的四個(gè)角剪掉，制作一個(gè)有底無蓋的長(zhǎng)方體盒子，剪掉的四個(gè)角都是邊長(zhǎng)為的小正方形．

(1)求制作成的無蓋長(zhǎng)方體盒子的體積；(2)求制作成的無蓋長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積（不含下底面）．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)長(zhǎng)方體計(jì)算公式列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)長(zhǎng)方體的側(cè)面積公式列式計(jì)算即可．【詳解】（1）解：無蓋長(zhǎng)方體盒子的體積為：；答：制作成的無蓋長(zhǎng)方體盒子的體積是．（2）解：無蓋長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積為：；答：制作成的無蓋長(zhǎng)方體盒子的側(cè)面積為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次根式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次根式混合運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計(jì)算．23．（2023春·上海·七年級(jí)統(tǒng)考期中）先閱讀下列的解答過程，然后再解答：形如的化簡(jiǎn)，只要我們找到兩個(gè)正數(shù)a、b，使，，使得，，那么便有：（）例如：化簡(jiǎn)解：首先把化為，這里，，由于，即，所以(1)填空：_，_(2)化簡(jiǎn)：_；【答案】(1)；(2)【分析】（1）由條件對(duì)式子進(jìn)行變形利用完全平方公式對(duì)的形式化簡(jiǎn)后即可得出結(jié)論；（2）由條件對(duì)式子進(jìn)行變形利用完全平方公式對(duì)的形式化簡(jiǎn)后即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：；；（2）解：【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的化簡(jiǎn)求值，涉及了配方法的運(yùn)用和完全平方式的運(yùn)用以及二次根式性質(zhì)的運(yùn)用．24．（2023春·江蘇揚(yáng)州·八年級(jí)校考階段練習(xí)）閱讀下面的材料，解答后面給出的問題：兩個(gè)含有二次根式的代數(shù)式相乘，如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個(gè)代數(shù)式互為有理化因式，例如與，與．這樣，化簡(jiǎn)一個(gè)分母含有二次根式的式子時(shí)，采用分子、分母同乘以分母的有理化因式的方法就可以了，例如：，．(1)請(qǐng)你寫出的一個(gè)有理化因式：_；(2)請(qǐng)仿照上面給出的方法化簡(jiǎn)；(3)已知，