第十七章 一元二次方程（5個(gè)知識(shí)歸納）

第十七章一元二次方程（5大知識(shí)歸納）知識(shí)點(diǎn)一：一元二次方程的概念1．理解并掌握一元二次方程的意義未知數(shù)個(gè)數(shù)為1，未知數(shù)的最高次數(shù)為2，整式方程，可化為一般形式；2．正確識(shí)別一元二次方程中的各項(xiàng)及各項(xiàng)的系數(shù)（1）明確只有當(dāng)二次項(xiàng)系數(shù)時(shí)，整式方程才是一元二次方程。（2）各項(xiàng)的確定(包括各項(xiàng)的系數(shù)及各項(xiàng)的未知數(shù)).（3）熟練整理方程的過(guò)程一元二次方程的解的定義與檢驗(yàn)一元二次方程的解列出實(shí)際問(wèn)題的一元二次方程知識(shí)點(diǎn)二：一元二次方程的解法1．明確一元二次方程是以降次為目的，以配方法、開(kāi)平方法、公式法、因式分解法等方法為手段，從而把一元二次方程轉(zhuǎn)化為一元一次方程求解；根據(jù)方程系數(shù)的特點(diǎn)，熟練地選用配方法、開(kāi)平方法、公式法、因式分解法等方法解一元二次方程；3．體會(huì)不同解法的相互的聯(lián)系；4．值得注意的幾個(gè)問(wèn)題：(1)開(kāi)平方法：對(duì)于形如或的一元二次方程，即一元二次方程的一邊是含有未知數(shù)的一次式的平方，而另一邊是一個(gè)非負(fù)數(shù)，可用開(kāi)平方法求解.形如的方程的解法：當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根。（2）配方法：通過(guò)配方的方法把一元二次方程轉(zhuǎn)化為的方程，再運(yùn)用開(kāi)平方法求解。配方法的一般步驟：①移項(xiàng)：把一元二次方程中含有未知數(shù)的項(xiàng)移到方程的左邊，常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊；②“系數(shù)化1”：根據(jù)等式的性質(zhì)把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；③配方：將方程兩邊分別加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方，把方程變形為的形式；④求解：若時(shí)，方程的解為，若時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)解。（3）公式法：一元二次方程的根當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根不相等；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根,且這兩個(gè)實(shí)數(shù)根相等，寫為；當(dāng)時(shí)，方程無(wú)實(shí)數(shù)根.公式法的一般步驟：①把一元二次方程化為一般式；②確定的值；③代入中計(jì)算其值，判斷方程是否有實(shí)數(shù)根；④若代入求根公式求值，否則，原方程無(wú)實(shí)數(shù)根。（因?yàn)檫@樣可以減少計(jì)算量。另外，求根公式對(duì)于任何一個(gè)一元二次方程都適用，其中也包括不完全的一元二次方程。）（4）因式分解法：①因式分解法解一元二次方程的依據(jù)：如果兩個(gè)因式的積等于0，那么這兩個(gè)因式至少有一個(gè)為0，即：若，則；②因式分解法的一般步驟：若方程的右邊不是零，則先移項(xiàng)，使方程的右邊為零；把方程的左邊分解因式；令每一個(gè)因式都為零，得到兩個(gè)一元一次方程；解出這兩個(gè)一元一次方程的解可得到原方程的兩個(gè)解。（5）選用適當(dāng)方法解一元二次方程①對(duì)于無(wú)理系數(shù)的一元二次方程，可選用因式分解法，較之別的方法可能要簡(jiǎn)便的多，只不過(guò)應(yīng)注意二次根式的化簡(jiǎn)問(wèn)題。②方程若含有未知數(shù)的因式，選用因式分解較簡(jiǎn)便，若整理為一般式再解就較為麻煩。（6）解含有字母系數(shù)的方程（1）含有字母系數(shù)的方程，注意討論含未知數(shù)最高項(xiàng)系數(shù)，以確定方程的類型；（2）對(duì)于字母系數(shù)的一元二次方程一般用因式分解法解，不能用因式分解的可選用別的方法，此時(shí)一定不要忘記對(duì)字母的取值進(jìn)行討論。知識(shí)點(diǎn)三：根的判別式的應(yīng)用了解一元二次方程根的判別式概念，能用判別式判定根的情況，并會(huì)用判別式求一元二次方程中符合題意的參數(shù)取值范圍。（1）=（2）根的判別式定理及其逆定理：對(duì)于一元二次方程（）①當(dāng)方程有實(shí)數(shù)根；（當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；當(dāng)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；）②當(dāng)方程無(wú)實(shí)數(shù)根；從左到右為根的判別式定理；從右到左為根的判別式逆定理。2．常見(jiàn)的問(wèn)題類型（1）利用根的判別式定理，不解方程，判別一元二次方程根的情況（2）已知方程中根的情況，如何由根的判別式的逆定理確定參數(shù)的取值范圍（3）應(yīng)用判別式，證明一元二次方程根的情況①先計(jì)算出判別式（關(guān)鍵步驟）；②用配方法將判別式恒等變形；③判斷判別式的符號(hào)；④總結(jié)出結(jié)論.（4）分類討論思想的應(yīng)用：如果方程給出的時(shí)未指明是二次方程，后面也未指明兩個(gè)根，那一定要對(duì)方程進(jìn)行分類討論，如果二次系數(shù)為0，方程有可能是一元一次方程；如果二次項(xiàng)系數(shù)不為0，一元二次方程可能會(huì)有兩個(gè)實(shí)數(shù)根或無(wú)實(shí)數(shù)根。（5）一元二次方程根的判別式常結(jié)合三角形、四邊形、不等式（組）等知識(shí)綜合命題，解答時(shí)要在全面分析的前提下，注意合理運(yùn)用代數(shù)式的變形技巧（6）一元二次方程根的判別式與整數(shù)解的綜合（7）判別一次函數(shù)與反比例函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)四：根與系數(shù)的關(guān)系如果一元二次方程（）的兩根為那么，就有比較等式兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，得①式與②式也可以運(yùn)用求根公式得到．人們把公式①與②稱之為韋達(dá)定理，即根與系數(shù)的關(guān)系．因此，給定一元二次方程就一定有①與②式成立．反過(guò)來(lái)，如果有兩數(shù)滿足①與②，那么這兩數(shù)必是一個(gè)一元二次方程的根．利用這一基本知識(shí)?？梢院?jiǎn)捷地處理問(wèn)題．利用根與系數(shù)的關(guān)系，我們可以不求方程的根，而知其根的正、負(fù)性．在的條件下，我們有如下結(jié)論：當(dāng)時(shí)，方程的兩根必一正一負(fù)．若，則此方程的正根不小于負(fù)根的絕對(duì)值；若，則此方程的正根小于負(fù)根的絕對(duì)值．當(dāng)時(shí)，方程的兩根同正或同負(fù)．若，則此方程的兩根均為正根；若，則此方程的兩根均為負(fù)根．⑴韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）：如果的兩根是，，則，．(隱含的條件：)⑵若，是的兩根(其中)，且為實(shí)數(shù)，當(dāng)時(shí)，一般地：①，②且，③且，特殊地：當(dāng)時(shí)，上述就轉(zhuǎn)化為有兩異根、兩正根、兩負(fù)根的條件．⑶以兩個(gè)數(shù)為根的一元二次方程(二次項(xiàng)系數(shù)為1)是：．⑷其他：①若有理系數(shù)一元二次方程有一根，則必有一根(，為有理數(shù))．②若，則方程必有實(shí)數(shù)根．③若，方程不一定有實(shí)數(shù)根．④若，則必有一根．⑤若，則必有一根．⑸韋達(dá)定理（根與系數(shù)的關(guān)系）主要應(yīng)用于以下幾個(gè)方面：①已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根以及確定方程參數(shù)的值；②已知方程，求關(guān)于方程的兩根的代數(shù)式的值；③已知方程的兩根，求作方程；④結(jié)合根的判別式，討論根的符號(hào)特征；⑤逆用構(gòu)造一元二次方程輔助解題：當(dāng)已知等式具有相同的結(jié)構(gòu)時(shí)，就可以把某兩個(gè)變?cè)醋髂硞€(gè)一元二次方程的兩根，以便利用韋達(dá)定理；⑤利用韋達(dá)定理求出一元二次方程中待定系數(shù)后，一定要驗(yàn)證方程的．一些考試中，往往利用這一點(diǎn)設(shè)置陷阱．知識(shí)點(diǎn)五：一元二次方程的應(yīng)用列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢、答。具體可分為：①審題，找等量關(guān)系，這是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵；②設(shè)未知數(shù)，注意單位;③根據(jù)題意找等量關(guān)系列出方程；④解方程；⑤檢驗(yàn)解是否合理；⑥寫出答案作答考點(diǎn)1數(shù)字問(wèn)題數(shù)字問(wèn)題有以下幾種常見(jiàn)類型:(1)連續(xù)整數(shù).若三個(gè)連續(xù)整數(shù)最中間的整數(shù)是，則最小的整數(shù)是，最大的整數(shù)是.(2)連續(xù)偶數(shù).若三個(gè)連續(xù)偶數(shù)最中間的偶數(shù)是，則最小的偶數(shù)是，最大的偶數(shù)是.(3)連續(xù)奇數(shù).若三個(gè)連續(xù)奇數(shù)最中間的奇數(shù)是，則最小的奇數(shù)是，最大的奇數(shù)是.(4)兩位數(shù).若一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是，個(gè)位數(shù)字是，則這個(gè)兩位數(shù)是.(5)三位數(shù).若一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字是，十位數(shù)字是，個(gè)位數(shù)字是，則這個(gè)三位數(shù)是.考點(diǎn)2多邊形對(duì)角線問(wèn)題利用一元二次方程解多邊形對(duì)角線問(wèn)題時(shí)需要用到公式，其中是多邊形的邊數(shù)，是多邊形對(duì)角線的總條數(shù).考點(diǎn)3循環(huán)問(wèn)題雙方參與問(wèn)題有以下幾種常見(jiàn)類型:(1)握手（單循環(huán)）.若兩個(gè)人握1次手，則個(gè)人握次手.(2)互送賀卡（雙循環(huán)）.若兩個(gè)人互送1張賀卡，則個(gè)人互送張賀卡.(3)球賽.①若兩個(gè)隊(duì)只比賽1場(chǎng)(單循環(huán))，則個(gè)隊(duì)比賽場(chǎng);②若兩個(gè)隊(duì)相互比賽1場(chǎng)(雙循環(huán))，則個(gè)隊(duì)比賽場(chǎng).考點(diǎn)4傳播問(wèn)題1、病毒傳染問(wèn)題：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人.開(kāi)始有一人患了流感，第一輪的傳染源就是這個(gè)人，他傳染了個(gè)人，用代數(shù)式表示第一輪后共有人患了流感.第二輪傳染中，人中的每個(gè)人又傳染了個(gè)人，用代數(shù)式表示第二輪后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x）2人患了流感.樹(shù)枝問(wèn)題：設(shè)一個(gè)主干長(zhǎng)x個(gè)枝干，每個(gè)枝干長(zhǎng)x個(gè)小分支，則一共有1+x+x2個(gè)枝。考點(diǎn)5增減率問(wèn)題增減率問(wèn)題涉及的公式有:(1)(2)若設(shè)原來(lái)量是，平均增長(zhǎng)率是，增長(zhǎng)次數(shù)