13.3 等腰三角形 同步練習(xí)

第13章全等三角形13.3等腰三角形基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練知識(shí)點(diǎn)1等腰三角形的概念及性質(zhì)1.(2022江蘇宿遷中考)若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別是3cm和5cm，則這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是()A.8cmB.13cmC.8cm或13cmD.11cm或13cm2.(2023四川資陽(yáng)安岳期末)一個(gè)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為70°，則它的頂角的度數(shù)為()A.40°B.55°C.70°D.40°或70°3.如圖，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，下列結(jié)論中不一定正確的是()A.D是BC的中點(diǎn)B.AD平分∠BACC.AB=2BDD.∠B=∠C4.(2022山東濱州中考)如圖，屋頂鋼架外框是等腰三角形，其中AB=AC，立柱AD⊥BC，且頂角∠BAC=120°，則∠C的大小為.

5.(2022福建連江期中)如圖，在△ABC中，AB=AC=BD，則3∠ADB-∠CAD=.

6.(2023寧夏中衛(wèi)期末)如圖所示，已知AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，且AB=AC.求證：AD∥BC.7.如圖所示的衣架可以近似看成一個(gè)等腰三角形ABC，其中AB=AC，AD是△ABC的中線，∠ABC=30°，求∠CAD的度數(shù).知識(shí)點(diǎn)2等邊三角形的概念及性質(zhì)8.(2023吉林長(zhǎng)春吉大附中期末)如圖，a∥b，△ABC為等邊三角形，若∠1=45°，則∠2的度數(shù)為()A.75°B.95°C.105°D.120°9.如圖，直線l1∥l2，△ABC是等邊三角形，∠1=50°，則∠2的大小為()A.60°B.80°C.70°D.100°知識(shí)點(diǎn)3等腰三角形及等邊三角形的判定10.(2023山西呂梁汾陽(yáng)期末)如圖，A，B是池塘兩側(cè)端點(diǎn)，在池塘的一側(cè)選取一點(diǎn)O，測(cè)得OA的長(zhǎng)為6米，OB的長(zhǎng)為6米，∠O=60°，則A，B兩點(diǎn)之間的距離是()A.4米B.6米C.8米D.10米11.(2023吉林長(zhǎng)春南關(guān)期末)如圖，在△ABC中，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)D，AD=6，過(guò)點(diǎn)D作DE∥BC交AB于點(diǎn)E，若△AED的周長(zhǎng)為16，則邊AB的長(zhǎng)為()A.6B.8C.10D.1212.(2023北京順義期末)如圖，在正方形網(wǎng)格中，A，B兩點(diǎn)都在小方格的頂點(diǎn)上，如果點(diǎn)C也是圖中小方格的頂點(diǎn)，且△ABC是等腰三角形，那么點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為()A.1B.2C.3D.413.(2023吉林長(zhǎng)春朝陽(yáng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校月考)如圖，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，MN∥BC，AB=15，AC=18，則△AMN的周長(zhǎng)為()A.15B.18C.30D.33[變式](1)如圖1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分線相交于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作DE∥BC，分別交AB，AC于點(diǎn)D，E，求證：DE=BD+CE；(2)如圖2，若F是∠ABC的平分線和△ABC的外角∠ACG的平分線的交點(diǎn)，(1)中的其他條件不變，請(qǐng)猜想線段DE，BD，EC之間有何數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想.圖1圖214.如圖，已知∠ACE是△ABC的一個(gè)外角，CD平分∠ACE，且CD∥AB，求證：△ABC為等腰三角形.15.如圖，已知△ABC中，∠B=60°，∠E=15°，點(diǎn)B、C、D、E在同一直線上，且CG=CD，DF=DE，判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由.16.(2022甘肅莊浪期中)已知：如圖，∠A=∠D=90°，點(diǎn)E、F在線段BC上，DE與AF交于點(diǎn)O，且AB=CD，BE=CF.求證：△OEF是等腰三角形.17.(2022福建連江期中)如圖，等邊△ADE的頂點(diǎn)D恰好在等邊△ABC的邊BC上，AC，ED相交于點(diǎn)G，連結(jié)CE.(1)求∠ECD的度數(shù)；(2)已知F是ED延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且∠FCD=∠CAD，判斷CF和GF的數(shù)量關(guān)系，并證明.能力提升全練18.(2022遼寧鞍山中考)如圖，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=24°，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，使CD=AC，連結(jié)AD，則∠D的度數(shù)為()A.39°B.40°C.49°D.51°19.(2022山東泰安中考)如圖，l1∥l2，點(diǎn)A在直線l1上，點(diǎn)B在直線l2上，AB=BC，∠C=25°，∠1=60°，則∠2的度數(shù)是()A.70°B.65°C.60°D.55°20.(2022福建龍巖期中)在等腰△ABC中，AB=AC，AC邊上的中線將這個(gè)三角形的周長(zhǎng)分為15和12兩個(gè)部分，則該等腰三角形的底邊長(zhǎng)等于.

21.(2021黑龍江牡丹江中考)過(guò)等腰三角形頂角頂點(diǎn)的一條直線，將該等腰三角形分成的兩個(gè)三角形均為等腰三角形，則原等腰三角形的底角度數(shù)為.

22.(2021浙江溫州中考)如圖，BE是△ABC的角平分線，在AB上取點(diǎn)D，使DB=DE.(1)求證：DE∥BC；(2)若∠A=65°，∠AED=45°，求∠EBC的度數(shù).23.(2022湖南懷化中考)如圖，在等邊三角形ABC中，點(diǎn)M為AB邊上任意一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)N，使CN=AM，連結(jié)MN交AC于點(diǎn)P，MH⊥AC于點(diǎn)H.(1)求證：MP=NP；(2)若AB=a，求線段PH的長(zhǎng)(結(jié)果用含a的代數(shù)式表示).素養(yǎng)探究全練24.(2022廣東汕頭潮陽(yáng)期中)如圖1，在△ABC中，∠ACB為銳角.點(diǎn)D為射線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)AD，以AD為一邊且在AD的右側(cè)作等腰直角三角形ADE，AD=AE，∠DAE=90°.解答下列問(wèn)題：(1)如果AB=AC，∠BAC=90°.①當(dāng)點(diǎn)D在線段BC上(與點(diǎn)B不重合)時(shí)，如圖2，線段CE、BD之間的位置關(guān)系為，數(shù)量關(guān)系為；(不用證明)

②當(dāng)點(diǎn)D在線段BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖3，①中的結(jié)論是否仍然成立?為什么?(2)如果AB≠AC，∠BAC≠90°，點(diǎn)D在線段BC上運(yùn)動(dòng).當(dāng)△ABC滿足一個(gè)什么條件時(shí)，CE⊥BD(點(diǎn)C、E重合除外)?畫出相應(yīng)的圖形，并說(shuō)明理由.圖1圖2圖3

第13章全等三角形13.3等腰三角形答案全解全析基礎(chǔ)過(guò)關(guān)全練1.D當(dāng)3cm是腰長(zhǎng)時(shí)，3+3>5，能組成三角形，此時(shí)周長(zhǎng)為3+3+5=11cm；當(dāng)5cm是腰長(zhǎng)時(shí)，3+5>5，能組成三角形，此時(shí)周長(zhǎng)為5+5+3=13cm.綜上可知，這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)是11cm或13cm.2.D分兩種情況：70°角為等腰三角形的底角時(shí)，等腰三角形的頂角為180°-2×70°=40°；70°角為等腰三角形的頂角.綜上所述，等腰三角形的頂角的度數(shù)為40°或70°，故選D.3.C∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠B=∠C，∠BAD=∠CAD，BD=DC.∴AD平分∠BAC，D是BC的中點(diǎn)，故A、B、D正確.無(wú)法確定AB=2BD，故C不一定正確.故選C.4.答案30°解析∵AB=AC，∠BAC=120°，∴∠B=∠C=12(180°-∠BAC)=12×(180°-120°)=5.答案180°解析∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AB=BD，∴∠ADB=∠DAB，∴2∠ADB=180°-∠B=180°-∠C，∵∠ADB=∠C+∠CAD，∴∠C=∠ADB-∠CAD，∴2∠ADB=180°-(∠ADB-∠CAD)，∴3∠ADB-∠CAD=180°.6.證明∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵∠EAC=∠B+∠C，∴∠B=12∠EAC∵AD是△ABC的外角∠EAC的平分線，∴∠EAD=12∠EAC∴∠B=∠EAD，∴AD∥BC.7.解析解法一：∵AB=AC，AD是△ABC的中線，∴AD⊥BC，∠C=∠ABC=30°，∴∠CAD=180°-90°-30°=60°.解法二：∵AB=AC，∠ABC=30°，∴∠C=∠ABC=30°，∴∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-30°-30°=120°.∵AD是△ABC的中線，∴AD平分∠BAC，∴∠CAD=12∠BAC=18.C∵△ABC為等邊三角形，∴∠ACB=60°，∵∠1=45°，∴∠1+∠ACB=105°，∵a∥b，∴∠2=∠1+∠ACB=105°.故選C.9.C如圖，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A=60°，∵∠1=50°，∴∠3=∠1+∠A=50°+60°=110°，∵直線l1∥l2，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-∠3=70°.故選C.10.B∵OA的長(zhǎng)為6米，OB的長(zhǎng)為6米，∴OA=OB，又∵∠O=60°，∴△AOB是等邊三角形，∴AB=OA=6米，∴A，B兩點(diǎn)之間的距離是6米，故選B.11.C∵BD平分∠ABC，∴∠EBD=∠CBD，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD，∴∠EBD=∠EDB，∴BE=DE，∵△AED的周長(zhǎng)為16，∴AE+DE+AD=AE+BE+AD=AB+AD=16，∵AD=6，∴AB=10，故選C.12.C當(dāng)AB為腰時(shí)，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為2；當(dāng)AB為底邊時(shí)，點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為1.故點(diǎn)C的個(gè)數(shù)為2+1=3，故選C.13.D∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO=∠OBC，∠ACO=∠OCB，∵M(jìn)N∥BC，∴∠MOB=∠OBC，∠NOC=∠OCB，∴∠ABO=∠MOB，∠ACO=∠NOC，∴MB=MO，NO=NC，∵AB=15，AC=18，∴△AMN的周長(zhǎng)=AM+MN+AN=AM+MO+NO+AN=AM+MB+NC+AN=AB+AC=33，故選D.[變式]解析(1)證明：如圖，∵BF，CF分別平分∠ABC，∠ACB，∴∠1=∠2，∠5=∠4.∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6，∴∠1=∠3，∠6=∠5，∴BD=DF，EF=CE，∴DE=DF+EF=BD+CE.(2)DE+EC=BD.證明：∵BF平分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC.∵DF∥BC，∴∠DFB=∠FBC，∴∠ABF=∠DFB，∴BD=DF.∵CF平分∠ACG，∴∠ACF=∠FCG.∵DF∥BC，∴∠DFC=∠FCG，∴∠ACF=∠DFC，∴CE=EF，∵DE+EF=DF，∴DE+EC=BD.14.證明∵CD平分∠ACE，∴∠ACD=∠ECD=12∠ACE∵CD∥AB，∴∠A=∠ACD，∠B=∠ECD，∴∠A=∠B，∴AC=BC，∴△ABC為等腰三角形.15.解析△ABC是等邊三角形，理由如下：∵DF=DE，∠E=15°，∴∠EFD=∠E=15°，∴∠GDC=∠EFD+∠E=30°.∵CG=CD，∴∠CGD=∠GDC=30°，∴∠ACB=∠CGD+∠GDC=60°.∵∠B=60°，∴∠A=180°-∠ACB-∠B=60°，∴∠A=∠B=∠ACB，∴△ABC是等邊三角形.16.證明∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE，在Rt△ABF和Rt△DCE中，BF=CE∴Rt△ABF≌Rt△DCE(H.L.)，∴∠AFB=∠DEC，∴OE=OF，∴△OEF是等腰三角形.17.解析(1)∵△AED，△ABC都是等邊三角形，∴∠ADE=∠EAD=∠CAB=∠B=∠ACB=60°，AE=AD，AC=AB，∴∠EAD-∠CAD=∠CAB-∠CAD，即∠EAC=∠DAB，在△EAC和△DAB中，AE=AD∴△EAC≌△DAB(S.A.S.)，∴∠ACE=∠B=60°，∴∠ECD=∠ACE+∠ACB=120°.(2)CF=GF.證明：∵∠FCG=∠ACB+∠FCD=60°+∠FCD，∠FGC=∠ADG+∠CAD=60°+∠CAD，∠FCD=∠CAD，∴∠FCG=∠FGC，∴CF=GF.能力提升全練18.A∵AB=AC，∠BAC=24°，∴∠B=∠ACB=78°.∵CD=AC，∴∠CAD=∠D，∵∠ACB=∠D+∠CAD，∴∠D=∠CAD=12∠19.A如圖，設(shè)直線l2交AC于點(diǎn)E，∵AB=BC，∠C=25°，∴∠BAC=∠C=25°.∵l1∥l2，∠1=60°，∴∠BEC=∠1+∠BAC=60°+25°=85°，∴∠2=180°-∠C-∠BEC=180°-25°-85°=70°.20.答案7或11解析①當(dāng)15是腰長(zhǎng)與腰長(zhǎng)一半的和時(shí)，AC+12AC=15，解得AC=10，所以底邊長(zhǎng)=12-12②當(dāng)12是腰長(zhǎng)與腰長(zhǎng)一半的和時(shí)，AC+12AC=12，解得AC=8，所以底邊長(zhǎng)=15-1所以底邊長(zhǎng)為7或11.21.答案36°或45°解析分兩種情況討論：如圖1，△ABC中，AB=AC，BD=AD，AC=CD.則∠ABC=∠C=∠BAD，∠CDA=∠CAD，∴∠CDA=2∠ABC，∴∠CAB=3∠ABC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴5∠ABC=180°，∴∠ABC=36°.圖1圖2如圖2，△ABC中，AB=AC，AD=BD=CD.則∠ABC=∠C=∠DAC=∠DAB，∴∠BAC=2∠ABC，∵∠BAC+∠ABC+∠C=180°，∴4∠ABC=180°，∴∠ABC=45°.綜上，∠ABC=36°或45°，即原等腰三角形的底角度數(shù)為36°或45°.22.解析(1)證明：∵BE是△ABC的角平分線，∴∠DBE=∠EBC，∵DB=DE，∴∠DEB=∠DBE，∴∠DEB=∠EBC，∴DE∥BC.(2)∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=45°，在△ABC中，∠A+∠ABC+∠C=180°，∴∠ABC=180°-∠A-∠C=180°-65°-45°=70°.∵BE是△ABC的角平分線，∴∠EBC=12∠23.解析(1)證明：過(guò)點(diǎn)M作MQ∥BC，交AC于點(diǎn)Q，如圖，在等邊△ABC中，∠A=∠B