第14章 勾股定理 綜合檢測

第14章勾股定理綜合檢測(滿分100分，限時60分鐘)一、選擇題(每小題3分，共30分)1.如圖，點E是正方形ABCD內(nèi)一點，∠AEB=90°.若AE=2，BE=3，則正方形ABCD的面積為()A.10B.13C.36D.1692.(2023福建寧德博雅培文學(xué)校月考)如圖，網(wǎng)格中小正方形的邊長均為1，A、B為網(wǎng)格線的交點，則AB的長為()A.3B.5C.7D.123.(2023廣東佛山南海瀚文外國語學(xué)校月考)下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的是()A.7，8，10B.8，24，25C.8，15，17D.5，10，134.(2023山東棗莊嶧城東方國際學(xué)校月考)三角形的三邊長為a，b，c，且滿足(a+b)2=c2+2ab，則這個三角形是()A.等邊三角形B.鈍角三角形C.直角三角形D.銳角三角形5.用反證法證明：若abc=0，則a，b，c至少有一個為0，應(yīng)該假設(shè)()A.a，b，c沒有一個為0B.a，b，c只有一個為0C.a，b，c至多一個為0D.a，b，c三個都為06.(2023山西太原實驗中學(xué)月考)如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于點D，且AB=4，BD=5，則點D到BC的距離是()A.3B.4C.5D.67.(2023山東聊城實驗中學(xué)期中)如圖，數(shù)軸上點A、B、C分別表示數(shù)1、2、3，過點C作PQ⊥AB，以點C為圓心，BC長為半徑畫弧，交PQ于點D，以點A為圓心，AD長為半徑畫弧，交數(shù)軸于點M，則點M表示的數(shù)是()A.3+1B.5+1C.3D.58.如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面積分別是6、10、4、6，則最大正方形E的面積是()A.20B.26C.30D.529.(2023福建寧德博雅培文學(xué)校月考)在△ABC中，AB=15，AC=13，BC邊上的高AD的長為12，則△ABC的面積為()A.84B.24C.24或84D.42或8410.美國數(shù)學(xué)家加菲爾德在1876年提出了證明勾股定理的一種巧妙方法，如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=90°，E是邊BC上一點，且BE=CD=a，AB=EC=b.如果△ABE的面積為1，且a-b=1，那么△ADE的面積為()A.1B.2C.2.5D.5二、填空題(每小題3分，共24分)11.(2022河南新鄉(xiāng)原陽月考)用反證法證明“一個五邊形不可能有4個內(nèi)角為銳角”.第一步應(yīng)假設(shè).

12.在△ABC中，∠C=90°，AB=25，AC=24，則BC=.

13.如圖，將兩個完全相同的含30°角的直角三角板拼接在一起，拼接后得到△ABD.若BC=1，則AC=.

14.(2022福建漳州八中期中)若△ABC的三邊長為a，b，c，且滿足a-6+|b-8|+(c-10)2=0，則這個三角形為15.(2022河南三門峽靈寶期中)將沒有公因數(shù)的勾股數(shù)3，4，5擴大為原來的2倍，3倍，4倍，……，可以得到勾股數(shù)6，8，10；9，12，15；12，16，20；……，我們把3，4，5這樣的勾股數(shù)稱為基本勾股數(shù)，請你寫出三組基本勾股數(shù)：，，.

16.如圖，一圓柱高8cm，底面半徑為2cm，BC為底面直徑，且點A、B、C位于同一軸截面，一只螞蟻打算從點A處爬到點B處吃食物，則它要爬行的最短路程(π取3)是.

17.如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，動點P從點B出發(fā)，沿射線BC以2cm/s的速度移動，設(shè)運動的時間為ts，當(dāng)t=時，△ABP為直角三角形.

18.圖1是第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(ICME)的會徽，主體圖案是由如圖2所示的一連串直角三角形演化而成的，其中OA1=A1A2=A2A3=…=A7A8=1，現(xiàn)把圖2中的直角三角形繼續(xù)作下去，則OA4=，OAn=；若OA3·OAn的值是整數(shù)，且1≤n≤80(n≠3)，則符合條件的n有個.

圖1圖2三、解答題(共46分)19.(6分)如圖，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，D是BC的中點，DE⊥AC，垂足為E，求DE的長.20.(6分)如圖，已知△ABC中，AB=17cm，BC=13cm，D是AB上一點，連結(jié)CD，且CD=12cm，BD=5cm.求∠A的度數(shù).21.(6分)如圖所示的是某品牌嬰兒車的簡化結(jié)構(gòu)示意圖.根據(jù)安全標(biāo)準(zhǔn)需滿足BC⊥CD，現(xiàn)測得AB=CD=6dm，BC=3dm，AD=9dm，其中AB與BD之間由一個固定為90°的零件連接(即∠ABD=90°)，通過計算說明該車是否符合安全標(biāo)準(zhǔn).22.(8分)已知圖中的小方格都是邊長為1的小正方形.(1)如圖1，△ABC的三個頂點A、B、C都在格點上，試判斷△ABC的形狀，并加以證明；(2)如圖2，利用(1)的圖形特征，求出∠α+∠β的度數(shù).圖1圖223.(8分)釣魚島及其附屬島嶼是中國固有領(lǐng)土，我國對釣魚島的巡航已經(jīng)常態(tài)化.如圖，甲、乙兩艘海警船同時從位于南北方向的海岸線上某港口P出發(fā)，各自沿一固定方向?qū)︶烎~島巡航，若甲船每小時航行12海里，乙船每小時航行16海里，它們離開港口2小時后分別位于點Q、R處，且相距40海里，如果知道甲船沿北偏東75°方向航行，那么你知道乙船沿哪個方向航行嗎?請說明理由.24.(12分)圖甲是一個任意直角三角形ABC，它的兩條直角邊的長分別為a，b，斜邊長為c.如圖乙、丙，分別取四個與直角三角形ABC全等的三角形，放在邊長為a+b的正方形內(nèi).圖甲圖乙圖丙(1)圖乙、丙中①②③都是正方形，由圖可知①是以為邊長的正方形，②是以為邊長的正方形，③是以為邊長的正方形；

(2)圖乙中①的面積為，②的面積為，圖丙中③的面積為；

(3)圖乙中①②的面積之和為(用只含一個字母的代數(shù)式表示)；

(4)圖乙中①②的面積之和與圖丙中正方形③的面積有什么關(guān)系?為什么?直角三角形三邊長有什么關(guān)系?

第14章勾股定理綜合檢測答案全解全析一、選擇題1.B∵∠AEB=90°，∴AB2=AE2+BE2=22+32=13，∴正方形ABCD的面積=AB2=13，故選B.2.BAB=32+423.CA.∵72+82≠102，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；B.∵82+242≠252，∴不是勾股數(shù)，不符合題意；C.∵82+152=172，且8，15，17都是整數(shù)，∴是勾股數(shù)，符合題意；D.∵52+102≠132，∴不是勾股數(shù)，不符合題意.故選C.4.C化簡(a+b)2=c2+2ab，得a2+b2=c2，所以這個三角形是直角三角形，故選C.5.A反證法證明：若abc=0，則a，b，c至少有一個為0，應(yīng)該假設(shè)a，b，c沒有一個為0，故選A.6.A∵∠A=90°，AB=4，BD=5，∴AD=52∵BD平分∠ABC，∴點D到BC的距離=AD=3.故選A.7.B根據(jù)數(shù)軸可知，AC=3-1=2，BC=CD=3-2=1，由勾股定理得，AD=22∴AM=AD=5，設(shè)原點為O，∵點A表示的數(shù)為1，∴AO=1，∴OM=5+1，故選B.8.B根據(jù)勾股定理的幾何意義，可得最大正方形E的面積=A、B的面積和+C、D的面積和，即6+10+4+6=26.故選B.9.C解題時想當(dāng)然認(rèn)為此三角形是銳角三角形而導(dǎo)致漏解.分兩種情況：①△ABC為銳角三角形時，高AD在△ABC的內(nèi)部，如圖1，∴BD=AB2∴△ABC的面積=12圖1圖2②△ABC為鈍角三角形時，高AD在△ABC的外部，如圖2，∴BD=AB2∴△ABC的面積=12綜上，△ABC的面積為24或84.故選C.10.C∵AB∥CD，∠B=90°，∴∠C=∠B=90°，∵BE=CD=a，AB=EC=b，∴△ABE≌△ECD，∴AE=DE，∠AEB=∠EDC，∵∠EDC+∠DEC=90°，∴∠AEB+∠DEC=90°，∴∠AED=90°，∴△AED是等腰直角三角形，∴△ADE的面積=12AE2∵△ABE的面積為1，∴12ab=1，∴ab=2∵a-b=1，∴(a-b)2=a2+b2-2ab=1，∴a2+b2=5，AE2=AB2+BE2=a2+b2=5，∴△ADE的面積=12×5=2.5，故選二、填空題11.答案一個五邊形中有4個內(nèi)角為銳角解析假設(shè)原結(jié)論不成立，即一個五邊形中有4個內(nèi)角為銳角.12.答案7解析由勾股定理得BC=AB13.答案3解析由題意得AB=AD，∴△ABD是等腰三角形.又∵∠BAC=∠CAD=30°，∴BD=2BC，∠BAD=60°，∴△ABD是等邊三角形，∴AB=BD=2BC，∵BC=1，∴AB=2.在Rt△ABC中，AC=AB14.答案直角三角形解析∵a-6+|b-8|+(c-10)2=0，∴a=6，b=8，∴c2=a2+b2，∴這個三角形是直角三角形.15.答案5，12，13；8，15，17；9，40，41(答案不唯一)解析所給答案中，每組應(yīng)為三個沒有公因數(shù)的正整數(shù)，且滿足a2+b2=c2.16.答案10cm解析沿AC將側(cè)面展開如圖所示，由兩點之間線段最短可知，螞蟻要爬行的最短路程是AB的長.易知圓柱的半個側(cè)面是長方形，長方形的寬BC=12×2×2π=2π=6cm，矩形的長AC=8cm在直角三角形ABC中，AC=8cm，BC=6cm，根據(jù)勾股定理得AB=62+所以螞蟻要爬行的最短路程是10cm.17.答案2或25解析在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5cm，AC=3cm，∴BC=AB2由題意知BP=2tcm.①當(dāng)∠APB為直角時，如圖1，點P與點C重合，此時BP=BC=4cm，即2t=4，∴t=2；②當(dāng)∠BAP為直角時，如圖2，CP=(2t-4)cm，∵AC=3cm，∴在Rt△ACP中，AP2=32+(2t-4)2，∵在Rt△BAP中，AB2+AP2=BP2，∴52+[32+(2t-4)2]=(2t)2，解得t=258綜上所述，當(dāng)t=2或258時，△ABP為直角三角形故答案為2或258圖1圖218.答案2；n；4解析由勾股定理得OA2=OA12+A1A22=12+12∴OA3·OAn=3n，當(dāng)1≤n≤80(n≠3)，且3n為整數(shù)時，整數(shù)n有12、27、48、75，共4個.三、解答題19.解析在△ABC中，AB=AC=13，D是BC的中點，∴DC=12BC=5，AD⊥在Rt△ADC中，由勾股定理得AD=AC∴Rt△ADC的面積為12AD×DC=∴12×12×5=12DE·13，解得DE=20.解析∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm，52+122=132，∴BD2+CD2=BC2，∴△BCD為直角三角形，∠BDC=90°，∴∠ADC=90°.∵AB=17cm，BD=5cm，∴AD=12cm=CD，∴∠A=∠ACD=180°-21.解析在Rt△ABD中，BD2=AD2-AB2=92-62=45，在△BCD中，BC2+CD2=32+62=45，∴BC2+CD2=BD2，∴△BCD為直角三角形，∠BCD=90°，∴BC⊥CD.故該車符合安全標(biāo)準(zhǔn).22.解析(1)△ABC是等腰直角三角形.證明：由勾股定理得，AB2=12+22=5，BC2=12+22=5，AC2=12+32=10，∴AB2+BC2=AC2，AB=BC，∴△ABC是等腰直角三角形.(2)作輔助線如圖.由(1)可知△ABC是等腰直角三角形，∴∠BAC=45°，易知∠1=∠α，∴∠α+∠β=∠1+∠β=45°.23.解析乙船沿南偏東15°方向航行.理由：由題意可得∠APQ=75°，PQ=12×2=24(海里)，PR=16×2=32(海里)，在△PQR中，∵PQ2+PR2=242+322=1600，QR2=4