2025版高考數(shù)學一輪復習第二章函數(shù)導數(shù)及其應用第七講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)學案含解析新人教版

PAGE第七講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)學問梳理·雙基自測eq\x(知)eq\x(識)eq\x(梳)eq\x(理)學問點一對數(shù)與對數(shù)運算1．對數(shù)的概念(1)對數(shù)的定義：假如ax＝N(a＞0，且a≠1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作__x＝logaN__，其中__a__叫做對數(shù)的底數(shù)，__N__叫做真數(shù)．(2)幾種常見對數(shù)對數(shù)形式特點記法一般對數(shù)底數(shù)為a(a>0，且a≠1)__logaN__常用對數(shù)底數(shù)為__10____lgN__自然對數(shù)底數(shù)為__e____lnN__2．對數(shù)的性質(zhì)與運算法則(1)對數(shù)的性質(zhì)：①loga1＝__0__；②logaa＝__1(其中a>0且a≠1)__.(2)對數(shù)恒等式：alogaN＝__N__.(其中a>0且a≠1，N>0)(3)對數(shù)的換底公式：logbN＝__eq\f(logaN,logab)__(a，b均大于零且不等于1，N>0)．(4)對數(shù)的運算法則：假如a>0且a≠1，M>0，N>0，那么①loga(MN)＝__logaM＋logaN__；②logaeq\f(M,N)＝__logaM－logaN__；③logaMn＝__nlogaM__(n∈R)．學問點二對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．對數(shù)函數(shù)的定義、圖象和性質(zhì)定義函數(shù)__y＝logax(a＞0，且a≠1)__叫做對數(shù)函數(shù)圖象a＞10＜a＜1性質(zhì)定義域：__(0，＋∞)__值域：__(－∞，＋∞)__當x＝1時，y＝0，即過定點__(1,0)__當0＜x＜1時，y<0；當x＞1時，__y＞0__當0＜x＜1時，y＞0；當x＞1時，__y＜0__在(0，＋∞)上為__增函數(shù)__在(0，＋∞)上為__減函數(shù)__2．反函數(shù)指數(shù)函數(shù)y＝ax(a>0且a≠1)與對數(shù)函數(shù)__y＝logax__(a>0且a≠1)互為反函數(shù)，它們的圖象關于直線__y＝x__對稱．eq\x(歸)eq\x(納)eq\x(拓)eq\x(展)1．指數(shù)式與對數(shù)式互化2．換底公式的兩個重要結(jié)論①logab＝eq\f(1,logba)；②logambn＝eq\f(n,m)logab.其中a>0，且a≠1，b>0，且b≠1，m，n∈R.3．對數(shù)函數(shù)的圖象與底數(shù)大小的比較如圖，作直線y＝1，則該直線與四個函數(shù)圖象交點的橫坐標為相應的底數(shù)．故0<c<d<1<a<b.由此我們可得到以下規(guī)律：在第一象限內(nèi)從左到右底數(shù)漸漸增大．eq\x(雙)eq\x(基)eq\x(自)eq\x(測)題組一走出誤區(qū)1．推斷下列結(jié)論是否正確(請在括號中打“√”或“×”)(1)若M＝N，則logaM＝logaN(a>0，a≠1)．(×)(2)若MN>0，則loga(MN)＝logaM＋logaN.(×)(3)對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>0且a≠1)在(0，＋∞)上是增函數(shù)．(×)(4)y＝log2x2不是對數(shù)函數(shù)，而y＝log2(－x)是對數(shù)函數(shù)．(×)(5)函數(shù)y＝lneq\f(1＋x,1－x)與y＝ln(1＋x)－ln(1－x)的定義域相同．(√)(6)2lg3≠3lg2.(×)[解析](4)y＝log2(－x)不是對數(shù)函數(shù)．(6)設2lg3＝M,3lg2＝N，則lgM＝lg2lg3＝lg3lg2＝lg3lg2＝lgN，∴M＝N.題組二走進教材2．(必修1P75T11改編)寫出下列各式的值：(1)log2eq\f(\r(2),2)＝__－eq\f(1,2)__；(2)log53＋log5eq\f(1,3)＝__0__；(3)lgeq\f(5,2)＋2lg2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝__－1__；(4)(log29)·(log34)＝__4__.[解析](1)log2eq\f(\r(2),2)＝log22－eq\s\up4(\f(1,2))＝－eq\f(1,2)；(2)log53＋log5eq\f(1,3)＝log51＝0；(3)lgeq\f(5,2)＋2lg2－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝lgeq\f(5,2)＋lg4－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))－1＝lg10－2＝－1；(4)解法一：原式＝eq\f(lg9,lg2)·eq\f(lg4,lg3)＝eq\f(2lg3·2lg2,lg2·lg3)＝4.解法二：原式＝2log23·eq\f(log24,log23)＝2×2＝4.3．(必修1P74AT4改編)若lg2＝a，lg3＝b，則lg12的值為(C)A．a(chǎn) B．bC．2a＋b D．2ab[解析]因為lg2＝a，lg3＝b，所以lg12＝lg(4×3)＝2lg2＋lg3＝2a＋b.故選C．4．(必修1P74AT7改編)函數(shù)y＝eq\r(eqlog\s\do8(\f(2,3))2x－1)的定義域是__eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))__.[解析]eqlog\s\do8(\f(2,3))(2x－1)≥0，即0<2x－1≤1，解得eq\f(1,2)<x≤1，定義域為eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1)).5.(必修1P75AT10改編)已知圖中曲線C1，C2，C3，C4是函數(shù)y＝logax的圖象，則曲線C1，C2，C3，C4對應的a的值依次為(B)A．3,2，eq\f(1,3)，eq\f(1,2) B．2,3，eq\f(1,3)，eq\f(1,2)C．2,3，eq\f(1,2)，eq\f(1,3) D．3,2，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)[解析]解法一：因為C1，C2為增函數(shù)，可知它們的底數(shù)都大于1，又當x>1時，圖象越靠近x軸，其底數(shù)越大，故C1，C2對應的a值分雖為2,3.又因為C3，C4為減函數(shù)，可知它們的底數(shù)都小于1，此時x>1時，圖象越靠近x軸，其底數(shù)越小，所以C3，C4對應的a分別eq\f(1,3)，eq\f(1,2).綜上可得C1，C2，C3，C4的a值依次為2,3，eq\f(1,3)，eq\f(1,2).解法二：可以畫直線y＝1，看交點的位置自左向右，底數(shù)由小到大．題組三走向高考6．(2024·課標Ⅲ，10,5分)設a＝log32，b＝log53，c＝eq\f(2,3)，則(A)A．a(chǎn)<c<b B．a(chǎn)<b<cC．b<c<a D．c<a<b[解析]因為a＝log32＝log3eq\r(3,8)<log3eq\r(3,9)＝eq\f(2,3)＝c，b＝log53＝log5eq\r(3,27)>log5eq\r(3,25)＝eq\f(2,3)＝c，所以a<c<b.故選A．7．(2024·全國卷Ⅱ，5分)函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(D)A．(－∞，－2) B．(－∞，1)C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)[解析]由x2－2x－8>0，得x<－2或x>4.因此，函數(shù)f(x)＝ln(x2－2x－8)的定義域是(－∞，－2)∪(4，＋∞)．留意到函數(shù)y＝x2－2x－8在(4，＋∞)上單調(diào)遞增，由復合函數(shù)的單調(diào)性知，f(x)＝ln(x2－2x－8)的單調(diào)遞增區(qū)間是(4，＋∞)，選D．考點突破·互動探究考點一對數(shù)與對數(shù)運算——自主練透例1(1)eq\f(lg\r(27)＋lg8－3lg\r(10),lg1.2)＝__eq\f(3,2)__.(2)(log32＋log92)·(log43＋log83)＝__eq\f(5,4)__.(3)(2024·保定模擬)設2a＝5b＝m，且eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝2，則m＝__eq\r(10)__.(4)若loga2＝m，loga3＝n，則a2m＋n＝__12__，用m，n表示log46為__eq\f(m＋n,2m)__.[解析](1)解法一：原式＝eq\f(lg33eq\s\up4(\f(1,2))＋lg23－3lg10eq\s\up4(\f(1,2)),lg\f(3×22,10))＝eq\f(\f(3,2)lg3＋3lg2－\f(3,2)lg10,lg3＋2lg2－1)＝eq\f(\f(3,2)lg3＋2lg2－1,lg3＋2lg2－1)＝eq\f(3,2).解法二：原式＝eq\f(\f(3,2)lg3＋\f(3,2)lg4－\f(3,2),lg1.2)＝eq\f(\f(3,2)lg1.2,lg1.2)＝eq\f(3,2).(2)原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,lg9)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,lg4)＋\f(lg3,lg8)))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg2,lg3)＋\f(lg2,2lg3)))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lg3,2lg2)＋\f(lg3,3lg2)))＝eq\f(3lg2,2lg3)·eq\f(5lg3,6lg2)＝eq\f(5,4).(3)因為2a＝5b＝m，所以a＝log2m，b＝log5m，所以eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,log2m)＋eq\f(1,log5m)＝logm2＋logm5＝logm10＝2，所以m2＝10，m＝eq\r(10).(4)因為loga2＝m，loga3＝n，所以am＝2，an＝3，a2m＋n＝(am)2×an＝22×3＝12，log46＝eq\f(loga6,loga4)＝eq\f(loga2＋loga3,2loga2)＝eq\f(m＋n,2m).故填12；eq\f(m＋n,2m).考點二對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)考向1對數(shù)函數(shù)的圖象及其應用——師生共研例2(1)(2024·浙江高考)在同始終角坐標系中，函數(shù)y＝eq\f(1,ax)，y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))(a>0，且a≠1)的圖象可能是(D)(2)(2024·合肥月考)當0<x≤eq\f(1,2)時，4x<logax(a>0且a≠1)，則實數(shù)a的取值范圍是(B)A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(\r(2),2))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1))C．(1，eq\r(2)) D．(eq\r(2)，2)[解析](1)解法一：當a>1時，函數(shù)y＝ax的圖象過定點(0,1)，在R上單調(diào)遞增，于是函數(shù)y＝eq\f(1,ax)的圖象過定點(0,1)，在R上單調(diào)遞減，函數(shù)y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))的圖象過定點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞增．明顯A、B、C、D四個選項都不符合．當0<a<1時，函數(shù)y＝ax的圖象過定點(0,1)，在R上單調(diào)遞減．于是函數(shù)y＝eq\f(1,ax)的圖象過定點(0,1)，在R上單調(diào)遞增，函數(shù)y＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))的圖象過定點eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，＋∞))上單調(diào)遞減．因此，選項D中的兩個圖象符合，故選D．解法二：易知a與eq\f(1,a)必有一個大于1，一個小于1，則f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)))x與g(x)＝logaeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))在各自定義域內(nèi)單調(diào)性相反，可解除B；由geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝0可解除A、C．故選D．(2)構(gòu)造函數(shù)f(x)＝4x和g(x)＝logax，當a>1時不滿意條件，當0<a<1時，畫出兩個函數(shù)在(0，eq\f(1,2)]上的圖象，可知，feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))<geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，即2<logaeq\f(1,2)，則a>eq\f(\r(2),2)，所以a的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，1)).本題還有以下解法：因為0<x≤eq\f(1,2)，所以1<4x≤2，所以logax>4x>1，所以0<a<1，解除選項C，D；取a＝eq\f(1,2)，x＝eq\f(1,2)，則有4eq\s\up4(\f(1,2))＝2，eqlog\s\do8(\f(1,2))eq\f(1,2)＝1，明顯4x<logax不成立，解除選項A．故選B．名師點撥應用對數(shù)型函數(shù)的圖象可求解的問題(1)對一些可通過平移、對稱變換作出其圖象的對數(shù)型函數(shù)，在求解其單調(diào)性(單調(diào)區(qū)間)、值域(最值)、零點時，常利用數(shù)形結(jié)合思想．(2)一些對數(shù)型方程、不等式問題常轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)圖象問題，利用數(shù)形結(jié)合法求解．〔變式訓練1〕(1)函數(shù)f(x)＝loga|x|＋1(0<a<1)的圖象大致為(A)(2)若不等式x2－logax<0對x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為__eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1))__.[解析](1)由函數(shù)f(x)的解析式可確定該函數(shù)為偶函數(shù)，圖象關于y軸對稱．設g(x)＝loga|x|，先畫出x>0時，g(x)的圖象，然后依據(jù)g(x)的圖象關于y軸對稱畫出x<0時g(x)的圖象，最終由函數(shù)g(x)的圖象向上整體平移一個單位即得f(x)的圖象，結(jié)合圖象知選A．(2)由x2－logax<0得x2<logax，設f1(x)＝x2，f2(x)＝logax，要使x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))時，不等式x2<logax恒成立，只需f1(x)＝x2在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上的圖象在f2(x)＝logax圖象的下方即可．當a>1時，明顯不成立；當0<a<1時，如圖所示，要使x2<logax在x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上恒成立，需f1eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))≤f2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))，所以有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2≤logaeq\f(1,2)，解得a≥eq\f(1,16)，所以eq\f(1,16)≤a<1.即實數(shù)a的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,16)，1)).考向2對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及其應用——多維探究角度1比較對數(shù)值的大小例3(2024·課標Ⅲ，12,5分)已知55<84,134<85.設a＝log53，b＝log85，c＝log138，則(A)A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<a<b[解析]a＝log53∈(0,1)，b＝log85∈(0,1)，則eq\f(a,b)＝eq\f(log53,log85)＝log53·log58<eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log53＋log58,2)))2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(log524,2)))2<1，∴a<b.又∵134<85，∴135<13×85，兩邊同取以13為底的對數(shù)得log13135<log13(13×85)，即log138>eq\f(4,5)，∴c>eq\f(4,5).又∵55<84，∴8×55<85，兩邊同取以8為底的對數(shù)得log8(8×55)<log885，即log85<eq\f(4,5)，∴b<eq\f(4,5).綜上所述，c>b>a，故選A．角度2利用對數(shù)函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍例4(理)(2024·華南師大附中模擬)已知函數(shù)f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，則實數(shù)a的取值范圍是(D)A．(－∞，4] B．[4，＋∞)C．[－4,4] D．(－4,4](文)函數(shù)y＝loga(2－ax)在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù)，則a的取值范圍是(C)A．(0,1) B．(0,2)C．(1,2) D．(2，＋∞)[分析]函數(shù)f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減，說明在[2，＋∞)上，函數(shù)t＝x2－ax＋3a>0成立，且為增函數(shù)．[解析](理)函數(shù)f(x)＝log0.5(x2－ax＋3a)在[2，＋∞)上單調(diào)遞減?函數(shù)t＝x2－ax＋3a在[2，＋∞)上單調(diào)遞增，且t>0?eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(22－2a＋3a>0，,\f(a,2)≤2))?－4<a≤4.故選D．(文)題中隱含a>0，∴2－ax在區(qū)間[0,1]上是減函數(shù)．∴y＝logau應為增函數(shù)，且u＝2－ax在區(qū)間[0,1]上應恒大于零，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1，,2－a>0，))∴1<a<2.角度3簡潔對數(shù)不等式的解法例5設函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(log2x，x>0，,log\f(1,2)－x，x<0.))若f(a)>f(－a)，則實數(shù)a的取值范圍是(C)A．(－1,0)∪(0,1) B．(－∞，－1)∪(1，＋∞)C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0,1)[解析]由題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,log2a>－log2a))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,－log2－a>log2－a，))解得a>1或－1<a<0.故選C．另解：令a＝2，由f(2)＝1>f(－2)＝－1，解除A、D．令a＝－2，由f(－2)＝－1<f(2)＝1，解除B，∴選C．名師點撥1．比較對數(shù)式的大小的關系：(1)若底數(shù)為同一常數(shù)，則可由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性干脆進行推斷；若底數(shù)為同一字母，則須要對底數(shù)進行分類探討；(2)若底數(shù)不同，真數(shù)相同，則可以先用換底公式化為同底后，再進行比較；(3)若底數(shù)與真數(shù)都不同，則常借助1,0等中間量進行比較．2．解決與對數(shù)函數(shù)有關的函數(shù)的單調(diào)性問題的步驟〔變式訓練2〕(1)(角度1)(2024·天津，6,5分)設a＝30.7，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－0.8，c＝log0.70.8，則a，b，c的大小關系為(D)A．a(chǎn)<b<c B．b<a<cC．b<c<a D．c<a<b(2)(角度2)若函數(shù)f(x)＝eqlog\s\do8(\f(1,2))(－x2＋4x＋5)在區(qū)間(3m－2，m＋2)內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)m的取值范圍為(C)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，3)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))C．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2)) D．eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，＋∞))(3)(角度3)(2024·河南信陽質(zhì)量檢測)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞增．若實數(shù)a滿意f(log4a)＋f(log0.25a)≤2f(1)，則a的取值范圍是(B)A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，2)) B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,4)，4))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，2)) D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，4))[解析](1)由函數(shù)y＝3x單調(diào)遞增，函數(shù)y＝log0.7x(x>0)單調(diào)遞減，可知a＝30.7>30＝1，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))－0.8＝30.8>30.7＝a，c＝log0.70.8<log0.70.7＝1，即c<1<a<b，故選D．(2)由題意得：y＝eqlog\s\do8(\f(1,2))(－x2＋4x＋5)增區(qū)間為(2,5)，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3m－2≥2,m＋2≤5,3m－2<m＋2))，解得m∈eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，2))，故選C．(3)∵log0.25a＝eqlog\s\do8(\f(1,4))a＝－log4a且f(x)為偶函數(shù)，