2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第三章概率3.3.1幾何概型課時跟蹤訓(xùn)練含解析新人教A版必修3

PAGE第三章概率3．3幾何概型3．3.1幾何概型[A組學(xué)業(yè)達標(biāo)]1．下列關(guān)于幾何概型的說法錯誤的是 ()A．幾何概型也是古典概型中的一種B．幾何概型中事務(wù)發(fā)生的概率與位置、形態(tài)無關(guān)C．幾何概型中每一個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性D．幾何概型在一次試驗中能出現(xiàn)的結(jié)果有無限個解析：幾何概型與古典概型是兩種不同的概型．答案：A2．在區(qū)間(15，25]內(nèi)的全部實數(shù)中隨機取一個實數(shù)a，則這個實數(shù)滿意17<a<20的概率是 ()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,10) D.eq\f(5,10)解析：a∈(15，25]，∴P(17<a<20)＝eq\f(20－17,25－15)＝eq\f(3,10).答案：C3．在長為10厘米的線段AB上任取一點G，用AG為半徑作圓，則圓的面積介于36π平方厘米到64π平方厘米的概率是 ()A.eq\f(9,25) B.eq\f(16,25)C.eq\f(3,10) D.eq\f(1,5)解析：以AG為半徑作圓，面積介于36π平方厘米到64π平方厘米，則AG的長度應(yīng)介于6厘米到8厘米之間．∴所求概率P(A)＝eq\f(2,10)＝eq\f(1,5).答案：D4．當(dāng)你到一個紅綠燈路口時，紅燈的時間為30秒，黃燈的時間為5秒，綠燈的時間為45秒，那么你看到黃燈的概率是 ()A.eq\f(1,12) B.eq\f(3,8)C.eq\f(1,16) D.eq\f(5,6)解析：由題意可知在80秒內(nèi)路口的紅、黃、綠燈是隨機出現(xiàn)的，可以認為是無限次等可能出現(xiàn)的，符合幾何概型的條件．事務(wù)“看到黃燈”的時間長度為5秒，而整個燈的變換時間長度為80秒，據(jù)幾何概型概率計算公式，得看到黃燈的概率為P＝eq\f(5,80)＝eq\f(1,16).答案：C5．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點P，則△PBC的面積大于eq\f(S,4)的概率是 ()A.eq\f(1,4) B.eq\f(1,2)C.eq\f(3,4) D.eq\f(2,3)解析：如圖，在△ABC中，在AB上取點D使BD＝eq\f(1,4)AB，則eq\f(h,H)＝eq\f(1,4)，此時S△DBC＝eq\f(1,4)S.在AB邊上取點P，則全部的隨機結(jié)果為AB上的點，而使面積大于eq\f(S,4)的點落在AD上，∴P＝eq\f(3,4).答案：C6．在1000mL水中有一個草履蟲，現(xiàn)從中隨機取出3mL水樣放到顯微鏡下視察，則發(fā)覺草履蟲的概率是__________．解析：由幾何概型知，P＝eq\f(3,1000).答案：eq\f(3,1000)7．在邊長為2的正三角形ABC內(nèi)任取一點P，則使點P到三個頂點的距離至少有一個小于1的概率是__________．解析：以A、B、C為圓心，以1為半徑作圓，與△ABC交出三個扇形，當(dāng)P落在陰影部分內(nèi)時符合要求．∴P＝eq\f(3×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×\f(π,3)×12)),\f(\r(3),4)×22)＝eq\f(\r(3)π,6).答案：eq\f(\r(3)π,6)8．在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1內(nèi)任取一點P，則點P到點A的距離小于等于a解析：點P到點A的距離小于等于a可以看作是隨機的，點P到點A的距離小于等于a可視作構(gòu)成事務(wù)的區(qū)域，棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1可視作試驗的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域，可用“體積比”公式計算概率：P＝eq\f(\f(1,8)×\f(4,3)πa3,a3)＝eq\f(1,6)π.答案：eq\f(1,6)π9．在長為12cm的線段AB上任取一點M，并以線段AM為邊長作一個正方形，求作出的正方形面積介于36cm2與81cm2之間的概率．解析：如圖所示，點M落在線段AB上的任一點上是等可能的，并且這樣的點有無限多個．設(shè)事務(wù)A為“所作正方形面積介于36cm2與81cm2之間”，它等價于“所作正方形邊長介于6cm與9cm之間”．取AC＝6cm，CD＝3cm，則當(dāng)M點落在線段CD上時，事務(wù)A發(fā)生．所以P(A)＝eq\f(|CD|,|AB|)＝eq\f(3,12)＝eq\f(1,4).10．在街道旁邊有一嬉戲：在鋪滿邊長為9cm的正方形塑料板的寬廣地面上，擲一枚半徑為1cm的小圓板．規(guī)則如下：每擲一次交5角錢，若小圓板壓在邊上，可重擲一次；若擲在正方形內(nèi)，需再交5角錢才可玩；若壓在正方形塑料板的頂點上，可獲得一元錢．試問：(1)小圓板壓在塑料板的邊上的概率是多少？(2)小圓板壓在塑料板頂點上的概率是多少？解析：(1)如圖①所示，因為O落在正方形ABCD內(nèi)任何位置是等可能的，小圓板與正方形塑料板ABCD的邊相交接是在圓板的中心O到與它靠近的邊的距離不超過1cm時，所以O(shè)落在圖中陰影部分時，小圓板就能與塑料板ABCD的邊相交接，這個范圍的面積等于92－72＝32(cm2)，因此所求的概率是eq\f(32,92)＝eq\f(32,81).(2)小圓板與正方形的頂點相交接是在圓心O與正方形的頂點的距離不超過小圓板的半徑1cm時，如圖②陰影部分，四塊合起來面積為πcm2，故所求概率是eq\f(π,81).[B組實力提升]11．已知事務(wù)“在矩形ABCD的邊CD上隨機取一點P，使△APB的最大邊是AB”發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，則eq\f(AD,AB)＝ ()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,2) D.eq\f(\r(7),4)解析：由于滿意條件的點P發(fā)生的概率為eq\f(1,2)，且點P在邊CD上運動，依據(jù)圖形的對稱性當(dāng)點P在靠近點D的CD邊的eq\f(1,4)分點時，EB＝AB(當(dāng)點P超過點E向點D運動時，PB>AB)．設(shè)AB＝x，過點E作EF⊥AB交AB于點F，則BF＝eq\f(3,4)x.在Rt△FBE中，EF2＝BE2－FB2＝AB2－FB2＝eq\f(7,16)x2，即EF＝eq\f(\r(7),4)x，所以eq\f(AD,AB)＝eq\f(\r(7),4).答案：D12．如圖，分別以正方形ABCD的四條邊為直徑畫半圓，重疊部分如圖中陰影區(qū)域，若向該正方形內(nèi)隨機投一點，則該點落在陰影區(qū)域的概率為()A.eq\f(4－π,2) B.eq\f(π－2,2)C.eq\f(4－π,4) D.eq\f(π－2,4)答案：B13．如圖，在正方形圍欄內(nèi)勻稱撒米粒，一只小雞在其中隨意啄食，此刻小雞正在正方形的內(nèi)切圓中的概率是__________．解析：設(shè)事務(wù)A＝{小雞正在正方形的內(nèi)切圓中}，則事務(wù)A的幾何區(qū)域為內(nèi)切圓的面積S＝πR2(2R為正方形的邊長)，全體基本領(lǐng)件的幾何區(qū)域為正方形的面積，由幾何概型的概率公式可得P(A)＝eq\f(πR2,（2R）2)＝eq\f(π,4)，即小雞正在正方形的內(nèi)切圓中的概率為eq\f(π,4).答案：eq\f(π,4)14．有一個圓面，圓面內(nèi)有一個內(nèi)接正三角形，若隨機向圓面上投一鏢都中圓面，則鏢落在三角形內(nèi)的概率為__________．解析：設(shè)圓面半徑為R，如圖所示：△ABC的面積S△ABC＝3·S△AOC＝3·eq\f(1,2)AC·OD＝3·CD·OD＝3·Rsin60°·Rcos60°＝eq\f(3\r(3)R2,4)，所以P＝eq\f(S△ABC,πR2)＝eq\f(3\r(3)R2,4πR2)＝eq\f(3\r(3),4π).答案：eq\f(3\r(3),4π)15．設(shè)關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0.(1)若a是從0，1，2，3四個數(shù)中任取的一個數(shù)，b是從0，1，2三個數(shù)中任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．(2)若a是從區(qū)間[0，3]上任取的一個數(shù)，b是從區(qū)間[0，2]上任取的一個數(shù)，求上述方程有實根的概率．解析：設(shè)事務(wù)A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實根”．當(dāng)a≥0，b≥0時，方程x2＋2ax＋b2＝0有實根的充要條件為a≥b.(1)基本領(lǐng)件共有12個：(0，0)，(0，1)，(0，2)，(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)．其中第一個數(shù)表示a的