重難點(diǎn)31 阿基米德三角形（舉一反三）（新高考專(zhuān)用）（教師版） 2025年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專(zhuān)練（新高考專(zhuān)用）

重難點(diǎn)31阿基米德三角形【六大題型】【新高考專(zhuān)用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1弦長(zhǎng)與弦所在方程問(wèn)題】 2【題型2定點(diǎn)問(wèn)題】 5【題型3切線垂直問(wèn)題】 11【題型4切線交點(diǎn)及其軌跡問(wèn)題】 16【題型5面積問(wèn)題】 22【題型6最值問(wèn)題】 271、阿基米德三角形阿基米德三角形是圓錐曲線的重要內(nèi)容，圓錐曲線是高考的重點(diǎn)、熱點(diǎn)內(nèi)容，從近幾年的高考情況來(lái)看，阿基米德三角形的考查頻率變高，在各類(lèi)題型中都有可能考查，復(fù)習(xí)時(shí)要加強(qiáng)此類(lèi)問(wèn)題的訓(xùn)練，靈活求解.【知識(shí)點(diǎn)1阿基米德三角形】拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.如圖.性質(zhì)1阿基米德三角形的底邊AB上的中線MQ平行于拋物線的軸.性質(zhì)2若阿基米德三角形的底邊AB過(guò)拋物線內(nèi)的定點(diǎn)C，則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為一條直線，該直線與以C點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行.性質(zhì)3若直線l與拋物線沒(méi)有公共點(diǎn)，以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊AB過(guò)定點(diǎn)(若直線l方程為：ax+by+c=0，則定點(diǎn)的坐標(biāo)為.性質(zhì)4底邊AB為a的阿基米德三角形的面積最大值為.性質(zhì)5若阿基米德三角形的底邊AB過(guò)焦點(diǎn)，則頂點(diǎn)Q的軌跡為準(zhǔn)線，且阿基米德三角形的面積最小，最小值為p2.【題型1弦長(zhǎng)與弦所在方程問(wèn)題】【例1】（23-24高二下·河南開(kāi)封·期末）阿基米德（公元前287年—公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱(chēng)號(hào)．拋物線上任意兩點(diǎn)A，B處的切線交于點(diǎn)P，稱(chēng)△PAB為“阿基米德三角形”，當(dāng)線段AB經(jīng)過(guò)拋物線焦點(diǎn)F時(shí)，△PAB具有以下特征：（1）P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；（2）△PAB為直角三角形，且PA⊥PB；（3）PF⊥AB．已知過(guò)拋物線x2=16y焦點(diǎn)的直線l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，B處的切線交于點(diǎn)P，若點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2，則直線AB的方程為（

）A．x+2y?8=0 B．x?2y+8=0C．x?4y+16=0 D．x+4y?16=0【解題思路】根據(jù)“阿基米德三角形”的性質(zhì)直接可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，進(jìn)而得解.【解答過(guò)程】拋物線x2=16y的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為0,4，準(zhǔn)線方程為由題意知，△PAB為“阿基米德三角形”，可得P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上，所以點(diǎn)P2,?4，直線PF的斜率為4?又因?yàn)镻F⊥AB，所以直線AB的斜率為14所以直線AB的方程為y=14x+4故選：C．【變式1-1】（2024·陜西西安·二模）阿基米德（公元前287年-公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家，不僅在物理學(xué)方面貢獻(xiàn)巨大，還享有“數(shù)學(xué)之神”的稱(chēng)號(hào)．拋物線上任意兩點(diǎn)A，B處的切線交于點(diǎn)P，稱(chēng)三角形PAB為“阿基米德三角形”.已知拋物線C：x2=8y的焦點(diǎn)為F，過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線的方程為3x?3y+6=0，關(guān)于“阿基米德三角形”△PABA．AB=323C．PF⊥AB D．點(diǎn)P的坐標(biāo)為3【解題思路】聯(lián)立方程可解得A?433,23,B43,6，則AB=323，根據(jù)導(dǎo)數(shù)可得k【解答過(guò)程】聯(lián)立方程3x?3y+6=0x2=8y，消去x得：3即A?43∵x2=8y對(duì)于A?4∴kAkB在點(diǎn)A的切線方程為y?23同理可得在點(diǎn)B的切線方程為3聯(lián)立方程3x+3y+2=03x?y?6=0，解得x=4∵F0,2，則kPF∴kPFkAB故選：D．【變式1-2】（23-24高二上·重慶·期末）阿基米德(公元前287年～公元前212年)是古希臘偉大的物理學(xué)家，數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家，并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱(chēng)號(hào).他研究拋物線的求積法，得出了著名的阿基米德定理．在該定理中，拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩切線所圍成的三角形被稱(chēng)為“阿基米德三角形”．若拋物線上任意兩點(diǎn)A,B處的切線交于點(diǎn)P，則△PAB為“阿基米德三角形”，且當(dāng)線段AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F時(shí)，△PAB具有以下特征：（1）P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；（2）PA⊥PB；（3）PF⊥AB．若經(jīng)過(guò)拋物線y2=8x的焦點(diǎn)的一條弦為AB，“阿基米德三角形”為△PAB，且點(diǎn)P在直線x?y+6=0上，則直線AB的方程為（

A．x?y?2=0 B．x?2y?2=0C．x+y?2=0 D．x+2y?2=0【解題思路】首先根據(jù)題意可得到P點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線x=?2上，又在直線x?y+6=0上，從而可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；根據(jù)PF⊥AB，即可求出直線AB的斜率，從而可求出直線AB的方程.【解答過(guò)程】根據(jù)題意，可知P點(diǎn)在拋物線的準(zhǔn)線x=?2上，又點(diǎn)P在直線x?y+6=0上，所以P?2,4，又F2,0，所以因?yàn)镻F⊥AB，所以kAB=1，所以直線AB的方程為y?0=x?2，即故選：A.【變式1-3】（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）AB為拋物線x2=2pyp>0的弦，Ax1,y1，Bx2,y2A．xB．底邊AB的直線方程為x0C．△AMB是直角三角形；D．△AMB面積的最小值為2p【解題思路】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得可得A處的切線方程，得出直線AM,BM的方程為y=x1px?x點(diǎn)M(x0,y0設(shè)直線AB:y=kx+p2，聯(lián)立方程組，根據(jù)取AB的中點(diǎn)H，化簡(jiǎn)得到△AMB的面積為S=p【解答過(guò)程】如圖：

依題意設(shè)Ax1,y1，Bx2由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線AM的斜率為kAM=1px可得A處的切線方程為：y?y1=化簡(jiǎn)可得y=x1px?x同理可得：直線BM的方程為y=x2p則1p因?yàn)閤1≠x2，解得因點(diǎn)M(x0,可得x0?x即Ax1,y1在x所以底邊AB的直線方程為x0設(shè)直線AB:y=kx+p2，聯(lián)立方程組y=kx+p則Δ=(?2p)2+4p因?yàn)閗MA?k所以△AMB是直角三角形，所以C正確；取AB的中點(diǎn)H，連接MH，根據(jù)拋物線的定義，可得MH平行y軸，所以S==因?yàn)閤1+x2=2pkx1代入可得S=1當(dāng)k=0時(shí)，Smin故選：D.【題型2定點(diǎn)問(wèn)題】【例2】（23-24高二下·安徽·開(kāi)學(xué)考試）拋物線的弦與在弦兩端點(diǎn)處的切線所圍成的三角形被稱(chēng)為“阿基米德三角形”．對(duì)于拋物線C：y=ax2給出如下三個(gè)條件：①焦點(diǎn)為F0,12(1)從以上三個(gè)條件中選擇一個(gè)，求拋物線C的方程；(2)已知△ABQ是（1）中拋物線的“阿基米德三角形”，點(diǎn)Q是拋物線C在弦AB兩端點(diǎn)處的兩條切線的交點(diǎn)，若點(diǎn)Q恰在此拋物線的準(zhǔn)線上，試判斷直線AB是否過(guò)定點(diǎn)？如果是，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．【解題思路】(1)根據(jù)拋物線的性質(zhì)寫(xiě)出焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,14a，準(zhǔn)線方程為(2)設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，Qx0,?12【解答過(guò)程】（1）C：y=ax2即C：其焦點(diǎn)坐標(biāo)為0,14a，準(zhǔn)線方程為若選①，焦點(diǎn)為F(0,12)，則1所以拋物線的方程為x2若選②，準(zhǔn)線為y=?12，則?1所以拋物線的方程為x2若選③，與直線2y?1=0相交所得的弦為2，將y=12代入方程x2即拋物線與直線2y?1=0相交所得的弦長(zhǎng)為2×2a解得a=12，所以拋物線的方程為（2）設(shè)Ax1,y1，Bx2將其與C：x2=2y聯(lián)立得由Δ=?2k2故切線lAQ：y?y1同理lBQ：又點(diǎn)Qx0,?12即有?故弦AB所在直線方程為y=x0?x+【變式2-1】（2024·湖南·三模）已知拋物線E:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)F且斜率為2的直線與E交于A，B(1)求E的方程；(2)直線l:x=?4，過(guò)l上一點(diǎn)P作E的兩條切線PM,PN，切點(diǎn)分別為M，N.求證：直線MN過(guò)定點(diǎn)，并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).【解題思路】（1）根據(jù)已知條件，設(shè)直線AB的方程為x=12y+p2（2）設(shè)直線MN的方程為x=my+n，Mx3,y3，Nx4,y【解答過(guò)程】（1）由已知，F(xiàn)p2,0，過(guò)F且斜率為2的直線與E交于A設(shè)AB的方程為x=12y+聯(lián)立y2=2pxx=12則y1所以|AB|=x解得p=4，故拋物線E的方程為：y2（2）設(shè)直線MN的方程為x=my+n，Mx3,聯(lián)立y2=8xx=my+nΔ=64m2所以y3+y令y3>0，當(dāng)y2=8x可化為y=22x則在M處的切線PM的方程為：y?y即y=4同理可得切線PN的方程為：y=4聯(lián)立PM與PN的方程，解得xp所以y3y4=?32=?8n，則則直線MN的方程為x=my+4，所以直線MN過(guò)定點(diǎn)，該定點(diǎn)坐標(biāo)為4,0.【變式2-2】（2024·甘肅蘭州·一模）已知圓C過(guò)點(diǎn)P4,1，M2,3和N2,?1，且圓C與y軸交于點(diǎn)F，點(diǎn)F(1)求圓C和拋物線E的方程；(2)過(guò)點(diǎn)P作直線l與拋物線交于不同的兩點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)A，B分別作拋物線E的切線，兩條切線交于點(diǎn)Q，試判斷直線QM與圓C的另一個(gè)交點(diǎn)D是否為定點(diǎn)，如果是，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不是，說(shuō)明理由．【解題思路】（1）依題意可知圓心在直線y=1上，設(shè)圓心為Ca,1，半徑為r，再由圓過(guò)點(diǎn)P4,1，即可得到a=2，r=2，從而求出圓的方程，再令x=0求出（2）設(shè)直線AB的方程為y?1=kx?4Ax1,y1，Bx2,y2，過(guò)A，B點(diǎn)的拋物線的切線的斜率分別為k【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閳AC過(guò)點(diǎn)M2,3和N所以圓心在直線y=1上，設(shè)圓心為Ca,1，半徑為r又圓過(guò)點(diǎn)P4,1，所以a=2，r=2則圓C的方程為x?22令x=0，解得y=1，所以F0,1，則p2=1所以拋物線E的方程為x2（2）依題意直線AB的斜率必存在，不妨設(shè)為k，則直線AB的方程為y?1=kx?4即y=kx?4k+1，由y=kx?4k+1x2=4y其中Δ=16k2?416k?4>0，解得k<2?3設(shè)Ax1,y1，Bx2,y又y=14x2，所以y′所以過(guò)A點(diǎn)的切線方程為y?x12同理可得過(guò)B點(diǎn)的切線方程為y=x由y=x12x?x所以點(diǎn)Q在直線y=2x?1上，而點(diǎn)M2,3也在直線y=2x?1所以直線QM與圓C的另一個(gè)交點(diǎn)D就是直線y=2x?1與圓C的交點(diǎn)，由y=2x?1x?22+y?12所以直線QM與圓C的另一個(gè)交點(diǎn)為定點(diǎn)D2【變式2-3】（2024·遼寧·三模）設(shè)拋物線C的方程為y2=4x，M為直線l:x=?m(m>0)上任意一點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)M作拋物線C的兩條切線MA，MB，切點(diǎn)分別為A，B（(1)當(dāng)M的坐標(biāo)為?1,32時(shí)，求過(guò)M，A，(2)求證：直線AB恒過(guò)定點(diǎn)；(3)當(dāng)m變化時(shí)，試探究直線l上是否存在點(diǎn)M，使△MAB為直角三角形，若存在，有幾個(gè)這樣的點(diǎn)，說(shuō)明理由；若不存在，也請(qǐng)說(shuō)明理由．【解題思路】（1）設(shè)切線方程，與拋物線聯(lián)立方程組，由Δ=0求出切線斜率，得A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)，可求A，B（2）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)和切線方程，與拋物線聯(lián)立方程組，由Δ=0求出切線斜率，把M點(diǎn)代入切線方程，可得直線AB（3）利用向量數(shù)量積和直線的斜率，結(jié)合韋達(dá)定理，確定△MAB為直角三角形所需條件.【解答過(guò)程】（1）當(dāng)M的坐標(biāo)為?1,32時(shí)，設(shè)過(guò)M點(diǎn)的切線方程為與y2=4x聯(lián)立，得y?3令Δ=1?4?k4k+3分別代入方程得y=?1和y=4，故得A(4,4)，B1同時(shí)可求得直線MA的方程為y=12x+2，直線MB進(jìn)而可知kMA?kMB=?1則過(guò)M，A，B三點(diǎn)的圓的直徑為線段AB，設(shè)該圓上任一點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x,y)，則AP=(x?4,y?4)，BP所以AP?從而過(guò)M，A，B三點(diǎn)的圓的一般方程為x2（圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：x?17（2）設(shè)切點(diǎn)分別為Ax1,過(guò)拋物線上點(diǎn)Ax1,與y2=4x聯(lián)立，整理得Δ=1?4?k4又因?yàn)閥12=4x1即y1y=2x+x1又切線MA，MB都過(guò)點(diǎn)Mx0,y0即點(diǎn)Ax1,故直線AB的方程為y0設(shè)Mx0,故y0y=2(x?m)對(duì)任意y0成立，從而直線AB（3）由（2）知y1,y故有y1+y2=2y0所以MA?①當(dāng)m=1時(shí)，MA?MB=0，直線l上任意一點(diǎn)M均有MA⊥MB②當(dāng)0<m<1時(shí)，MA?MB<0，∠AMB>③當(dāng)m>1時(shí)，MA?MB>0因?yàn)閗AB=y所以kAB若kAB?kMA=?1又因?yàn)閤0=?m，所以因?yàn)榉匠?m?2)y02=4有解的充要條件是m>2，所以當(dāng)m>2時(shí)，有所以△MAB為直角三角形．綜上所述，當(dāng)m=1時(shí)，直線l上任意一點(diǎn)M，使△MAB為直角三角形，當(dāng)m>2時(shí)，直線l上存在兩點(diǎn)M，使△MAB為直角三角形；當(dāng)0<m<1或1<m≤2時(shí)，△MAB不是直角三角形．【題型3切線垂直問(wèn)題】【例3】（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知拋物線C的方程為x2=4y，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為（1）若點(diǎn)P坐標(biāo)為0,?1，求切線PA,PB的方程；（2）若點(diǎn)P是拋物線C的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，求證：切線PA和PB互相垂直.【解題思路】（1）設(shè)過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y=kx?1，與拋物線的方程聯(lián)立，由根的判別式為零求得切線的斜率，由此可求得切線的方程．（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為t,?1，切線斜率為k，過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y=kx?t?1，與拋物線的方程聯(lián)立，由根的判別式為零求得切線的斜率間的關(guān)系，根據(jù)直線垂直的條件可證得切線PA和【解答過(guò)程】解：（1）由題意，開(kāi)口向上的拋物線的切線斜率存在，設(shè)切線斜率為k，點(diǎn)P坐標(biāo)為0,?1，過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y=kx?1，聯(lián)立方程x2=4yy=kx?1，消去y由Δ=16k2?16=0所以切線PA,PB的方程分別為y=x?1和y=?x?1，即切線方程分別為x?y?1=0和x+y+1=0；（2）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為t,?1，切線斜率為k，過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y=kx?t聯(lián)立方程x2=4yy=kx?t?1由Δ=16k2?16kt+1=0，得k2?tk?1=0則k1,k2分別為切線所以切線PA和PB互相垂直.【變式3-1】（23-24高二上·河南駐馬店·期末）已知P是拋物線C:y2=4x的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線PA,PB(1)若點(diǎn)P縱坐標(biāo)為0，求此時(shí)拋物線C的切線方程；(2)設(shè)直線PA,PB的斜率分別為k1,k【解題思路】（1）由拋物線性質(zhì)得到點(diǎn)P，直曲聯(lián)立，令判別式得零，解出斜率，得到切線方程；（2）由點(diǎn)斜式設(shè)出直線方程，直曲聯(lián)立，由判別式為零，得到關(guān)于k的一元二次方程，再由韋達(dá)定理得到斜率之積為定值.【解答過(guò)程】（1）由拋物線C的方程為y2=4x由于點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為0，所以點(diǎn)P為(?1,0)，過(guò)P作拋物線C的切線，由題意知斜率存在且不為0，設(shè)其斜率為k則切線方程為y=k(x+1)聯(lián)立y由于直線與拋物線C相切，可知Δ=16?16k此時(shí)拋物線C的兩條切線方程分別為x?y+1=0和x+y+1=0.（2）點(diǎn)P在拋物線C的準(zhǔn)線上，設(shè)P(?1,m)由題意知過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的切線，斜率存在且不為0，設(shè)其斜率為k則切線方程為y=k(x+1)+m聯(lián)立y由于直線與拋物線C相切，可知Δ=16?16k(m+k)=0，即而拋物線C的兩條切線PA,PB的斜率k1,k故k1【變式3-2】（23-24高二上·安徽蚌埠·期末）已知拋物線C的方程為x2=4y，點(diǎn)P是拋物線C的準(zhǔn)線上的任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C的兩條切線，切點(diǎn)分別為A,B，點(diǎn)M是（1）求證：切線PA和PB互相垂直；（2）求證：直線PM與y軸平行；（3）求△PAB面積的最小值.【解題思路】（1）設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為t,?1，切線斜率為k，過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y=kx?t聯(lián)立直線和拋物線的方程得到韋達(dá)定理，得到k1k2=?1，即得切線PA和PB互相垂直；（2）設(shè)點(diǎn)Ax1x12而點(diǎn)P的橫坐標(biāo)也為t，所以直線PM與y軸平行；（3）求出S△PAB=1【解答過(guò)程】解：（1）由題意，開(kāi)口向上的拋物線的切線斜率存在.設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為t,?1，切線斜率為k，過(guò)點(diǎn)P的切線方程為y=kx?t聯(lián)立方程，x2消去y，得x2由Δ=16k2?16記關(guān)于k的一元二次方程k2?tk?1=0的兩根為則k1,k2分別為切線所以切線PA和PB互相垂直.（2）設(shè)點(diǎn)Ax1x124,B所以過(guò)點(diǎn)A的切線方程為y=x將點(diǎn)t,?1代入，化簡(jiǎn)得x1同理可得x2所以x1,x2是關(guān)于由根與系數(shù)的關(guān)系知x1所以x1+x22=t，即而點(diǎn)P的橫坐標(biāo)也為t，所以直線PM與y軸平行.（3）點(diǎn)Mt,x1則SΔPAB由（2）知，x1則x12+SΔPAB當(dāng)t=0時(shí)，△PAB面積的最小值為4.【變式3-3】（23-24高三下·江西景德鎮(zhèn)·階段練習(xí)）已知橢圓C1:x23+y22=1，拋物線C2與橢圓C1有相同的焦點(diǎn)，拋物線C2的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線C2的準(zhǔn)線上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作拋物線C2的兩條切線PA（1）求拋物線C2的方程及k（2）若直線AB交橢圓C1于C、D兩點(diǎn)，S1、S2分別是△PAB、△PCD【解題思路】（1）依題意得拋物線C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，進(jìn)而可得其方程為y2=4x；設(shè)過(guò)點(diǎn)P(?1,t)與拋物線C2相切的直線方程為y?t=k(x+1)（k≠0），代入y2=4x，由（2）先證得直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)，且斜率不為零，故設(shè)直線AB的方程為x=my+1，將其與拋物線聯(lián)立，由弦長(zhǎng)公式求得AB，再將其與橢圓聯(lián)立，由弦長(zhǎng)公式求得CD，進(jìn)而得S1【解答過(guò)程】（1）依題意可得拋物線C2的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，又拋物線C2的頂點(diǎn)為原點(diǎn)，所以拋物線C2設(shè)P(?1,t)，過(guò)點(diǎn)P與拋物線C2相切的直線方程為y?t=k(x+1)（k≠0），將其代入y2=4x由Δ=0得1k2?tk（2）設(shè)A(x1,y1)，B(x2,則以A為切點(diǎn)的切線方程為y?y1=同理，以B為切點(diǎn)的切線方程為y2因?yàn)閮汕芯€均過(guò)點(diǎn)P(?1,t)，所以ty1=2(則切點(diǎn)弦AB的方程為ty=2(x?1)，所以直線AB恒過(guò)定點(diǎn)(1,0).設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，則S1因?yàn)橹本€AB恒過(guò)定點(diǎn)(1,0)，且斜率不為零，故設(shè)直線AB的方程為x=my+1.聯(lián)立x=my+1y2=4x得y則AB=聯(lián)立x=my+1x23+y22=1得則CD=則S1故當(dāng)m=0時(shí)，S1S2【題型4切線交點(diǎn)及其軌跡問(wèn)題】【例4】（2024·遼寧沈陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線E：x2=2y，過(guò)點(diǎn)T1,1的直線與拋物線E交于A，B兩點(diǎn)，設(shè)拋物線E在點(diǎn)A，B處的切線分別為l1和l2，已知l1與x軸交于點(diǎn)M，l2與x軸交于點(diǎn)N(1)證明：點(diǎn)P在定直線上；(2)若△PMN面積為22，求點(diǎn)P(3)若P，M，N，T四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)P的坐標(biāo).【解題思路】（1）根據(jù)題意，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出直線l1和l2方程，聯(lián)立直線方程可得點(diǎn)（2）根據(jù)題意，由三角形面積公式可得k的值，由此計(jì)算可得答案；（3）根據(jù)題意，求出直線MF的斜率，分析可得MF⊥MP，同理NF⊥NP，TF⊥TP，由此可得直線TP的方程，與直線y=x?1聯(lián)立可得答案．【解答過(guò)程】（1）由x2=2y，得y=x22，y′=x所以l1方程為：y=x1同理可得，l2方程為：聯(lián)立l1方程l2方程解得x因?yàn)辄c(diǎn)T在拋物線內(nèi)部，可知直線AB的斜率存在，且與拋物線必相交，設(shè)直線AB的方程為y=kx?1+1，與拋物線方程聯(lián)立得：故，所以x1+所以xP=k，y所以點(diǎn)P在定直線y=x?1上.（2）在l1，l2的方程中，令y=0，得Mx由（1）知x1+x2=2k，x所以△PMN面積S=1故S=1化簡(jiǎn)可得k?12=1，故k=0或所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為0,?1或2,1（3）若x1=0，則P，拋物線焦點(diǎn)F0,12，由Mx12,0直線MP斜率kMP=x可知MF⊥MP，同理NF⊥NP，所以PF是△PMN外接圓的直徑.若點(diǎn)T也在該圓上，則TF⊥TP.由F0,12,T1,1得直線TP的方程為：y=?2x?1又點(diǎn)P在定直線y=x?1上，聯(lián)立兩直線方程得P4【變式4-1】（24-25高三上·云南·階段練習(xí)）已知點(diǎn)Px0,y0是拋物線y2=2pxp>0上任意一點(diǎn)，則在點(diǎn)P處的切線方程為y0y=px+(1)當(dāng)a=6時(shí)，設(shè)這兩條切線交于點(diǎn)Q，求點(diǎn)Q的軌跡方程；(2)（ⅰ）求證：由點(diǎn)A，B及拋物線C0的頂點(diǎn)所成三角形的重心的軌跡為一拋物線C（ⅱ）對(duì)C1再重復(fù)上述過(guò)程，又得一拋物線C2，以此類(lèi)推，設(shè)得到的拋物線序列為C1，C2，C3【解題思路】（1）根據(jù)題意，寫(xiě)出切線方程，再利用垂直得到斜率相乘等于?1進(jìn)行化簡(jiǎn)；（2）（?。┰冢?）的基礎(chǔ)上，結(jié)合重心的性質(zhì)可以得到重心的軌跡方程；（ⅱ）根據(jù)圖象平移對(duì)C1重復(fù)上述過(guò)程，得到拋物線C2，要觀察其變換規(guī)律，進(jìn)而歸納出【解答過(guò)程】（1）設(shè)Ax1,y1則QA:y1y=3聯(lián)立y1y=3∴QA⊥QB，∴kQA?k∴xQ故點(diǎn)Q的軌跡方程為x=?3（2）（ⅰ）由已知可得QA:y1y=∴QA⊥QB，∴kQA?k因?yàn)閽佄锞€C的頂點(diǎn)為O，設(shè)△OAB的重心坐標(biāo)為x,y，則x=x由①②得y2故由點(diǎn)A，B及拋物線C的頂點(diǎn)所成三角形的重心的軌跡方程為C1:y（ⅱ）由C:y2=ax變?yōu)镃1:y2由C1:y2=a3x?a6變?yōu)橐源祟?lèi)推，拋物線Cny==a

【變式4-2】（2024·廣西·二模）已知拋物線C:x2=y，過(guò)點(diǎn)E0,2作直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，過(guò)A，B兩點(diǎn)分別作拋物線(1)證明：P在定直線上；(2)若F為拋物線C的焦點(diǎn)，證明：∠PFA=∠PFB．【解題思路】（1）設(shè)出Ax1,x12，Bx（2）要證∠PFA=∠PFB．即證FA?【解答過(guò)程】（1）證明：設(shè)Ax1,x1直線AB的方程為y?x12又因?yàn)橹本€AB過(guò)點(diǎn)E0,2，所以?x1設(shè)直線PA的方程為y?x12=kx?x1又因?yàn)橹本€PA與拋物線相切，所以x1=k?x所以直線PA的方程為y?x12同理直線PB的方程為y=2xx由y=2xx1?x1故點(diǎn)P在直線y=（2）證明：∵cos∠PFA=FA?注意到兩角都在0,π內(nèi)，可知要證∠PFA=∠PFB．即證FA而FA=x1所以FA?又|FA所以FA?FPFA即有FA?FPFA【變式4-3】（2024·上?！と＃┮阎獟佄锞€Γ:x2=2y的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)T1,1的直線l與Γ交于A、B兩點(diǎn)．設(shè)Γ在點(diǎn)A、B處的切線分別為l1，l2，l1與x軸交于點(diǎn)M，l2與x(1)設(shè)點(diǎn)A橫坐標(biāo)為a，求切線l1的斜率，并證明FM⊥(2)證明：點(diǎn)P必在直線y=x?1上；(3)若P、M、N、T四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【解題思路】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出切線l1的斜率，再由點(diǎn)斜式求出直線l1的方程，從而可求出M的坐標(biāo)，則可得（2）設(shè)Aa,a22，Bb,b22，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求出l1（3）解法一：表示出M,N,P三點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)△PMN的外接圓方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0，將坐標(biāo)代入方程可求出D,E,F，從而可得圓的方程，再將T1,1代入圓方程，化簡(jiǎn)后與ab?a+b+2=0聯(lián)立可求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；解法二：由（1）可得MF⊥l1，NF⊥l2，則F，M，N，P四點(diǎn)共圓，【解答過(guò)程】（1）點(diǎn)A橫坐標(biāo)為a，則Aa,因?yàn)閥=x22，y′所以切線l1的方程為y?切線l1與x軸的交點(diǎn)為M因?yàn)镕0,12所以kMF?k當(dāng)a=0時(shí)，亦有FM⊥l結(jié)論得證.（2）證明：設(shè)Aa,a22，Bb,所以kl所以直線l1:y=ax?a由y=ax?a22y=bx?b因?yàn)辄c(diǎn)Aa,a22，所以kAB=kBT，所以ab?a+b+2=0所以點(diǎn)P在直線y=x?1上（3）因?yàn)橹本€l1:y=ax?a所以Ma2,0，N設(shè)△PMN的外接圓方程為x2則a2解得D=?a+b2，E=?所以外接圓方程為x將T1,1代入方程，得又a+b=ab+2，解得a+b=83，所以點(diǎn)P坐標(biāo)為4解法二:拋物線Γ的焦點(diǎn)F0,由（1）可知MF⊥l1，同理可證得所以F，M，N，P四點(diǎn)共圓，所以PF是△PMN的外接圓的直徑，因?yàn)镻、M、N、T四點(diǎn)共圓，所以點(diǎn)T在△PMN的外接圓上，所以FT⊥TP，所以kFT?kTP=?1所以直線TP方程為y?1=?2(x?1)，即y=?2x+3又點(diǎn)P在直線y=x?1上，則由y=?2x+3y=x?1，得x=所以點(diǎn)P坐標(biāo)為43【題型5面積問(wèn)題】【例5】（23-24高三上·河南濮陽(yáng)·階段練習(xí)）我們把圓錐曲線的弦AB與過(guò)弦的端點(diǎn)A，B處的兩條切線所圍成的三角形△PAB（P為兩切線的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”．拋物線有一類(lèi)特殊的“阿基米德三角形”，當(dāng)線段AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F時(shí)，△PAB具有以下性質(zhì)：①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②PA⊥PB；③PF⊥AB．已知直線l:y=kx?1與拋物線y2=4x交于A，B點(diǎn)，若AB=8，則拋物線的“阿基米德三角形”A．82 B．42 C．22【解題思路】根據(jù)給定條件求出直線PF方程，進(jìn)而求出點(diǎn)P坐標(biāo)及PF長(zhǎng)即可求出△PAB的面積.【解答過(guò)程】拋物線的焦點(diǎn)為F1,0，準(zhǔn)線方程為x=?1，直線l:y=k依題意，k≠0，設(shè)Ax1,由y2=4xy=kx?1消去y并整理得k2AB=x1+x當(dāng)k=1時(shí)，因△PAB為“阿基米德三角形”，則直線PF斜率kPF=?1，直線PF方程為：點(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線x=?1上，點(diǎn)P?1,2，PF又PF⊥AB，于是得S△PAB由對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)k=?1時(shí)，同理有S△PAB所以△PAB的面積是82故選：A.【變式5-1】（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）圓錐曲線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形，過(guò)拋物線焦點(diǎn)F作拋物線的弦，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B兩點(diǎn)作拋物線的切線l1，l2相交于點(diǎn)P，那么阿基米德三角形PAB滿足以下特性：①點(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線上；②△PAB為直角三角形，且∠APB為直角；③PF⊥AB，已知P為拋物線y2=x的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，則阿基米德三角形A．12 B．14 C．2【解題思路】設(shè)直線AB的方程為x=my+14，A(y12,y1)，B(y22,y2)，y1>0,y2<0，P?14,y0【解答過(guò)程】易知，焦點(diǎn)F(14,0)設(shè)直線AB的方程為x=my+14，A(y12,y聯(lián)立y2=xx=my+14則Δ>0，y又PF⊥AB，可得PF?AB=0，即1過(guò)P點(diǎn)作PM//x軸交AB于則yM=y0=y1故S=1當(dāng)且僅當(dāng)y1故三角形PAB的面積的最小值為14故選：B．【變式5-2】（2024·河北秦皇島·二模）已知拋物線E：x2=2y的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P是x軸下方的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作E的兩條切線l1,l2，且(1)求證：F，P，M，N四點(diǎn)共圓；(2)過(guò)點(diǎn)F作y軸的垂線l，兩直線l1,l2分別交l于【解題思路】（1）在取定點(diǎn)Px0,（2）從斜率k滿足的二次方程出發(fā)，可以對(duì)l1,l2的斜率k1,k2使用韋達(dá)定理，并可以使用k1,k【解答過(guò)程】（1）設(shè)Px0,y0，若過(guò)點(diǎn)P且斜率為k的直線y=kx?x此即關(guān)于x的二次方程x2?2kx+2kx0?2另一方面，該直線與x軸交于點(diǎn)x0?y0k所以，過(guò)點(diǎn)P作拋物線的切線后，該切線與x軸的交點(diǎn)到焦點(diǎn)F和點(diǎn)P的連線互相垂直.這就說(shuō)明∠PMF=∠PNF=90°，從而∠PMF+∠PNF=90°+90°=180°，所以F，P，M，N四點(diǎn)共圓.（2）由l的定義知其方程為y=12，設(shè)l1,l2的斜率分別為k1,k故k1+k由于l1,l2均過(guò)點(diǎn)Px在y=k1x?x0+y0中令所以AB=由y0<0，可設(shè)u=?2S△PAB所以S=≥14u2?1?=3另一方面，當(dāng)P0,?16時(shí)，l1,l2從而此時(shí)AB=43綜上，△PAB的面積的最小值是43【變式5-3】（2024·河南·模擬預(yù)測(cè)）在直角坐標(biāo)系xOy中，已知a=4,y,(1)求點(diǎn)Mx,y的軌跡Γ(2)由圓x2+y2=R2上任一點(diǎn)Nx0,y0處的切線方程為x0x+y0y=R2，類(lèi)比其推導(dǎo)思想可得拋物線C:y2=2px(p>0)上任一點(diǎn)【解題思路】（1）由a?b=0（2）設(shè)P?3,tt≠0,Qx1,y1,Rx2【解答過(guò)程】（1）因?yàn)閍?b=0，所以4x?y2=0，整理得y2（2）設(shè)P?3,t由題可知，PQ方程為y1y=2x+x1，當(dāng)y=0將點(diǎn)P?3,t帶入y1y=2x+x所以Qx1,y1所以直線QR的方程為yt=2?3+x，即由y2=4x,2x=ty+6,整理得，y2?2ty?12=0所以QR=1+t22點(diǎn)P到直線QR的距離為d=?6?t2所以S△PQR因?yàn)镼1所以Q1R1S△P所以S△P因?yàn)閠≠0，所以t2t2+12∈【題型6最值問(wèn)題】【例6】（23-24高三·云南昆明·階段練習(xí)）過(guò)拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F作拋物線的弦，與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，分別過(guò)A，B兩點(diǎn)作拋物線的切線l1，l2相交于點(diǎn)P，△PAB又常被稱(chēng)作阿基米德三角形．△PABA．p23 B．p22 C．【解題思路】設(shè)出直線AB的方程，利用弦長(zhǎng)公式求出弦長(zhǎng)，求出兩條切線的方程得出點(diǎn)P的坐標(biāo)，利用三角形的面積公式可得S△PAB【解答過(guò)程】設(shè)Ax1,y1因?yàn)橹本€AB過(guò)焦點(diǎn)p2,0，所以設(shè)直線AB的方程聯(lián)立y2=4xx=my+所以y1AB由拋物線的性質(zhì)可得過(guò)點(diǎn)Ax1,yy聯(lián)立yy1=px+x1y點(diǎn)P到直線的距離d=pS當(dāng)且僅當(dāng)m=0時(shí)取到最小值.故選：C.【變式6-1】（23-24高三上·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）AB為拋物線x2=2pyp>0的弦，Ax1,y1，Bx2,y2分別過(guò)A,BA．xB．底邊AB的直線方程為x0C．△AMB是直角三角形；D．△AMB面積的最小值為2p【解題思路】由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求得可得A處的切線方程，得出直線AM,BM的方程為y=x1px?x122p和y=x2px?x222p，得到1px1【解答過(guò)程】依題意設(shè)Ax1,y1，Bx2由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線AM的斜率為kAM=1px可得A處的切線方程為：y?y1=化簡(jiǎn)可得y=x1px?x同理可得：直線BM的方程為y=x2p則1p因?yàn)閤1≠x2，解得因點(diǎn)M(x0,可得x0?x即Ax1,y1在x所以底邊AB的直線方程為x0設(shè)直線AB:y=kx+p2，聯(lián)立方程組y=kx+p則Δ=(?2p)2+4p因?yàn)閗MA?k所以△AMB是直角三角形，所以C正確；取AB的中點(diǎn)H，連接MH，根據(jù)拋物線的定義，可得MH平行y軸，所以S==因?yàn)閤1+x2=2pkx1代入可得S=1當(dāng)k=0時(shí)，Smin故選：ABC.【變式6-2】（2024·云南曲靖·一模）已知斜率為1的直線l1交拋物線E:x2=2pyp>0于A、B兩點(diǎn)，線段AB(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)拋物線E的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線l2與拋物線E交于M、N兩點(diǎn)，分別在點(diǎn)M、N處作拋物線E的切線，兩條切線交于點(diǎn)P，則△PMN的面積是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值及此時(shí)對(duì)應(yīng)的直線l【解題思路】（1）設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、Bx2（2）設(shè)點(diǎn)Mx3,y3、Nx4,y4，分析可知，直線l2的斜率存在，設(shè)直線l2的方程為y=kx+1，將該直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出【解答過(guò)程】（1）解：設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、Bx2因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為2，則x1kAB=y所以，拋物線E的方程為x2（2）解：設(shè)點(diǎn)Mx3,y3若直線l2的斜率不存在，則直線l2與拋物線設(shè)直線l2的方程為y=kx+1，聯(lián)立y=kx+1x2Δ=16k2+16>0，由韋達(dá)定理可得由焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得MN=對(duì)函數(shù)y=x24求導(dǎo)得y′=x2同理可知，直線PN的方程為y=x聯(lián)立y=x3x2?則FP=2k,?2，所以，F(xiàn)P?MN=2k且PF=所以，S△PMN當(dāng)且僅當(dāng)k=0時(shí)，等號(hào)成立，故△PMN的面積存在最小值，且最小值為4，此時(shí)，直線l2的方程為y=1【變式6-3】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）已知拋物線C:x2=2py(p>0)，過(guò)點(diǎn)P(0,2)的直線l與C交于A,B兩點(diǎn)，當(dāng)直線l與y軸垂直時(shí)，OA⊥OB(1)求C的準(zhǔn)線方程；(2)若點(diǎn)A在第一象限，直線l的傾斜角為銳角，過(guò)點(diǎn)A作C的切線與y軸交于點(diǎn)T，連接TB交C于另一點(diǎn)為D，直線AD與y軸交于點(diǎn)Q，求△APQ與△ADT面積之比的最大值.【解題思路】（1）將y=2代入拋物線，結(jié)合△AOB為等腰直角三角形求參數(shù)，即可得拋物線方程，進(jìn)而寫(xiě)出準(zhǔn)線方程；（2）設(shè)A(a,a22)，直線l:y=kx+2(k>0)，聯(lián)立拋物線求B坐標(biāo)，導(dǎo)數(shù)幾何意義求直線TA方程，依次求出T,D,Q坐標(biāo)，進(jìn)而求【解答過(guò)程】（1）將y=2代入x2=2py(p>0)，則由OA⊥OB，故△AOB為等腰直角三角形，故2p=2，即所以C:x2=2y（2）設(shè)A(a,a22)，直線所以axB=?4，則x由y=x22，則y′=x令x=0，則yT=?a設(shè)直線TB:y=k1x?所以?4axD=綜上，直線AD:y?a22=a632由直線l的傾斜角為銳角，故a>2，則S△APQ=a所以S△APQS△ADT=4(則S△APQS△ADT=4t所以△APQ與△ADT面積之比的最大值3?22一、單選題1．（2024·吉林白山·二模）阿基米德三角形由偉大的古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出，有著很多重要的應(yīng)用，如在化學(xué)中作為一種穩(wěn)定的幾何構(gòu)型，在平面設(shè)計(jì)中用于裝飾燈等.在圓倠曲線中，稱(chēng)圓錐曲線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形.已知拋物線C:y2=8x的焦點(diǎn)為F，頂點(diǎn)為O，斜率為43的直線l過(guò)點(diǎn)F且與拋物線C交于M,N兩點(diǎn)，若△PMN為阿基米德三角形，則A．11 B．23 C．13 D．【解題思路】求出直線l的方程，聯(lián)立拋物線方程，得到M,N兩點(diǎn)坐標(biāo)，求出過(guò)點(diǎn)M,N的切線方程，聯(lián)立后得到P?2,3【解答過(guò)程】依題意，F(xiàn)2,0，設(shè)直線l:y=43則y2?6y?16=0，解得y=8或y=設(shè)直線PM方程為y?8=kx?8，聯(lián)立C:kx?8+82Δ=解得k=1故直線PM的斜率k=12，故直線同理可得直線PN的斜率k′=?2，故直線聯(lián)立y=12x+4,即P?2,3，則OP故選：C.2．（2024·青海西寧·二模）拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱(chēng)為阿基米德三角形．阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過(guò)焦點(diǎn)，則過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線的斜率之積為定值．設(shè)拋物線y2=2px(p>0)，弦AB過(guò)焦點(diǎn)，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為（A．p22 B．p2 C．2【解題思路】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，設(shè)直線AB為x=my+p2，代入拋物線方程，由韋達(dá)定理得y1+y2=2pm,y1y2=?p2，設(shè)過(guò)A的切線方程為【解答過(guò)程】設(shè)Ax1,y1,Bx整理得y2?2pmy?p設(shè)過(guò)點(diǎn)A的切線方程為y?y1=k整理得y2?2pky+則過(guò)A的切線為：y?y1=py1x?同理可得過(guò)點(diǎn)B的切線斜率為py2，過(guò)點(diǎn)B的切線方程為：聯(lián)立兩切線py1x+所以兩條切線的交點(diǎn)Q在準(zhǔn)線上，則y1兩式相減得y1∴y=y1+y2又因?yàn)橹本€AB的斜率為1m(m≠0)，∴AB⊥QF（如圖，設(shè)準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)為M，△ABQ的面積S=1當(dāng)AB⊥x軸時(shí)，AB最短（最短為2p），QF也最短（最短為MF=p此時(shí)△ABQ的面積取最小值p2故選：B.3．（23-24高二·全國(guó)·課后作業(yè)）圓錐曲線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形常被稱(chēng)為阿基米德三角形，其中拋物線中的阿基米德三角形有一些有趣的性質(zhì)，如：若拋物線的弦過(guò)焦點(diǎn)，則過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線的交點(diǎn)在其準(zhǔn)線上．設(shè)拋物線y2=2pxp>0，弦AB過(guò)焦點(diǎn)F，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQA．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．隨著點(diǎn)A，B位置的變化，前三種情況都有可能【解題思路】設(shè)出直線AB的方程，聯(lián)立拋物線，利用韋達(dá)定理得出y1【解答過(guò)程】如圖，設(shè)Ax1,y1，Bx2設(shè)直線AB的方程為my=x?p2，聯(lián)立整理得y2?2pmy?p2=0設(shè)過(guò)點(diǎn)A的切線方程為k1y?y整理得y2則Δ=?2pk設(shè)過(guò)點(diǎn)B的切線方程為k2y?y則p2k1k2則兩條切線的斜率之積為?1，故△ABQ是直角三角形．故選：B．4．（2024·河北·三模）拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形稱(chēng)為阿基米德三角形，在數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史長(zhǎng)河中，它不斷地閃煉出真理的光輝，這個(gè)兩千多年的古老圖形，蘊(yùn)藏著很多性質(zhì)．已知拋物線y2=4x，過(guò)焦點(diǎn)的弦AB的兩個(gè)端點(diǎn)的切線相交于點(diǎn)M，則下列說(shuō)法正確的是（A．M點(diǎn)必在直線x=?2上，且以AB為直徑的圓過(guò)M點(diǎn)B．M點(diǎn)必在直線x=?1上，但以ABC．M點(diǎn)必在直線x=?2上，但以AB為直徑的圓不過(guò)M點(diǎn)D．M點(diǎn)必在直線x=?1上，且以AB【解題思路】結(jié)合導(dǎo)數(shù)幾何意義可證得過(guò)拋物線y2=4x上一點(diǎn)x0,y0的切線方程為y0y=2x+x0，由此可確定在A,B處的切線方程，進(jìn)而結(jié)合M點(diǎn)坐標(biāo)得到直線AB【解答過(guò)程】設(shè)x0,y當(dāng)y0>0時(shí)，由y=2x得：y′=即y?y0=同理可得：當(dāng)y0<0時(shí)，在x0經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)x0=0，y0=0時(shí)，切線方程為∴過(guò)拋物線y2=4x上一點(diǎn)x0設(shè)Ax則拋物線在A,B處的切線方程為y1y=2x+x1∴點(diǎn)A,B滿足直線方程：yy3=2x+x∴21+x3=0，解得：x3=?1，由題意知：y1≠0，∵kMA=2y設(shè)直線AB方程為：x=ty+1，由x=ty+1y2=4x得：y2?4ty?4=0，∴∴以AB為直徑的圓過(guò)M點(diǎn)；B錯(cuò)誤，D正確.故選：D.5．（23-24高三上·河南濮陽(yáng)·階段練習(xí)）我們把圓錐曲線的弦AB與過(guò)弦的端點(diǎn)A，B處的兩條切線所圍成的三角形△PAB（P為兩切線的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”．拋物線有一類(lèi)特殊的“阿基米德三角形”，當(dāng)線段AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F時(shí)，△PAB具有以下性質(zhì)：①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②PA⊥PB；③PF⊥AB．已知直線l:y=kx?1與拋物線y2=4x交于A，B點(diǎn)，若AB=8，則拋物線的“阿基米德三角形”△PAB頂點(diǎn)A．±1 B．±2 C．±3 D．±【解題思路】確定直線l:y=kx?1過(guò)拋物線焦點(diǎn)，聯(lián)立拋物線方程，得到根與系數(shù)的關(guān)系式，利用弦長(zhǎng)公式可求得k2=1【解答過(guò)程】拋物線的焦點(diǎn)為F1,0，準(zhǔn)線方程為x=?1直線l:y=kx?1由題意k≠0，設(shè)Ax1,聯(lián)立y2=4xy=k所以x1+x2=2k∴k=±1，當(dāng)k=1時(shí)，kPF=?1，所以直線PF方程為：因?yàn)椤鱌AB為“阿基米德三角形”，所以點(diǎn)P必在拋物線的準(zhǔn)線x=?1上，所以點(diǎn)P?1,2由拋物線對(duì)稱(chēng)性可知，當(dāng)k=?1時(shí)，P?1,?2故選：B．6．（23-24高三·云南昆明·階段練習(xí)）過(guò)拋物線y2=2pxp>0的焦點(diǎn)F作拋物線的弦與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，分別過(guò)A、B兩點(diǎn)作拋物線的切線l1、l2相交于點(diǎn)P①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②AP⊥PB；③設(shè)Ax1,y1、Bx2④PF⊥AB；⑤PM平行于x軸.其中正確的個(gè)數(shù)是（

）A．2 B．3 C．4 D．5【解題思路】作出圖形，設(shè)點(diǎn)Ax1,y1、Bx2,y2，設(shè)直線AB的方程為x=my+p2，將直線AB的方程與拋物線方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出直線l1、l2的方程，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)，可判斷①的正誤；利用直線【解答過(guò)程】先證明出拋物線y2=2pxp>0在其上一點(diǎn)x證明如下：由于點(diǎn)x0,y0在拋物線聯(lián)立y2=2pxy0y=px+px0所以，拋物線y2=2pxp>0在其上一點(diǎn)x如下圖所示：設(shè)Ax1,y1、B聯(lián)立x=my+p2y2=2px由韋達(dá)定理可得y1y2對(duì)于命題①，拋物線y2=2px在點(diǎn)A處的切線方程為y1同理可知，拋物線y2=2px在點(diǎn)B處的切線方程為聯(lián)立y1y=px+y122y即點(diǎn)P在拋物線的準(zhǔn)線上，①正確；對(duì)于命題②，直線l1的斜率為k1=py1，直線所以，AP⊥PB，②正確；對(duì)于命題④，當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)P為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，此時(shí)PF⊥AB；當(dāng)AB不與x軸垂直時(shí)，直線AB的斜率為kAB直線PF的斜率為kPF=mp?p=?m綜上，PF⊥AB，④正確；對(duì)于命題③，AB=PF=所以，S△PAB=1當(dāng)且僅當(dāng)m=0y對(duì)于命題⑤，當(dāng)AB垂直于x軸時(shí)，由拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知，點(diǎn)P為拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，此時(shí)直線PM與x軸重合，⑤錯(cuò)誤.故選：B.7．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線Γ:x2=8y的焦點(diǎn)為F，直線l與拋物線Γ在第一象限相切于點(diǎn)P，并且與直線y=?2和x軸分別相交于A，B兩點(diǎn)，直線PF與拋物線Γ的另一個(gè)交點(diǎn)為Q．過(guò)點(diǎn)B作BC//AF交PF于點(diǎn)C附加結(jié)論：拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為Ax1,y1，Bx2,y2，以A，B為切點(diǎn)的切線

定理：點(diǎn)P的坐標(biāo)為x1推論：若阿基米德三角形的底邊即弦AB過(guò)拋物線內(nèi)定點(diǎn)C0,mm>0，則另一頂點(diǎn)P的軌跡方程為A．5?1 B．2+5 C．3+5【解題思路】根據(jù)題意可知：△APQ為拋物線的阿基米德三角形，AQ也與拋物線相切，結(jié)合平行關(guān)系可得QQ′=PD，可得【解答過(guò)程】因?yàn)橹本€PQ過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F0,2由推論可知以PQ為底邊的阿基米德三角形的另一個(gè)頂點(diǎn)P的軌跡方程為y=又因?yàn)榍芯€PA與直線y=?2故△APQ為拋物線的阿基米德三角形，AQ也與拋物線相切．如圖，設(shè)點(diǎn)P，Q在直線y=?2（拋物線的準(zhǔn)線）上的射影分別為P連接PP′，QQ′，PP

由BC∥AF可得PCPF因?yàn)镻C=QF=又因?yàn)镻F=PP設(shè)Px1,y1由定理可得x1x2即8y1?8聯(lián)立①②兩式，解得y1=5故PF=故選：C．8．（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）阿基米德（公元前287年～公元前212年）是古希臘偉大的物理學(xué)家、數(shù)學(xué)家和天文學(xué)家.他研究拋物線的求積法得出著名的阿基米德定理，并享有“數(shù)學(xué)之神”的稱(chēng)號(hào).拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形被稱(chēng)為阿基米德三角形.如圖，△PAB為阿基米德三角形.拋物線x2=2py(p>0)上有兩個(gè)不同的點(diǎn)Ax1,y1,Bx2,（1）若弦AB過(guò)焦點(diǎn)，則△ABP為直角三角形且∠APB=90（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)是x1（3）△PAB的邊AB所在的直線方程為x1（4）△PAB的邊AB上的中線與y軸平行（或重合）.A．（2）（3）（4） B．（1）（2） C．（1）（2）（3） D．（1）（3）（4）【解題思路】設(shè)Ax1,x1利用焦點(diǎn)弦性質(zhì)得kPA寫(xiě)出切線方程，聯(lián)立求出P點(diǎn)坐標(biāo)，得（2）錯(cuò)誤；用A,B兩點(diǎn)坐標(biāo)表示出kAB，寫(xiě)出直線AB設(shè)N為拋物線弦AB的中點(diǎn)，立即得（4）正確；【解答過(guò)程】由題意設(shè)Ax1,x122p，Bx2,x222p，x1<x2，由以點(diǎn)A為切點(diǎn)的切線方程為y?x122p=x1p(x?x1)，以點(diǎn)B為切點(diǎn)的切線方程為y?x設(shè)N為拋物線弦AB的中點(diǎn)，N的橫坐標(biāo)為xN=x1+x22，因此則直線PN平行于y軸，即平行于拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，故（4）正確；設(shè)直線AB的斜率為故選：D.二、多選題9．（2024·山東·模擬預(yù)測(cè)）拋物線的弦與過(guò)弦的端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形叫做阿基米德三角形．已知拋物線C:x2=8y，阿基米德三角形PAB，弦AB過(guò)C的焦點(diǎn)F，其中點(diǎn)AA．點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為?2 B．C的準(zhǔn)線方程為x=?2C．若AF=8，則AB的斜率為3 D．△PAB【解題思路】設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，直線AB:y=kx+2，聯(lián)立方程組，求得x1+x2=8k，x1x2=?16，求得A【解答過(guò)程】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)Ax1,y1聯(lián)立C:x2=8y，消去y，得x所以x1+x由C:x2=8y，得y′=同理點(diǎn)B處的切線：y=14x2x?所以，點(diǎn)P4k,?2對(duì)于B項(xiàng)，準(zhǔn)線方程為y=對(duì)于C項(xiàng)，AF=y1+2=8，得y1對(duì)于D項(xiàng)，AB=y1+y2+4=k所以S△ABP當(dāng)k=0時(shí)，△ABP的面積有最小值16.故D正確.故選：AD.10．（2024·湖南長(zhǎng)沙·二模）過(guò)拋物線C：x2=2py（p>0）的焦點(diǎn)F的直線與拋物線C相交于A，B兩點(diǎn)，以A，B為切點(diǎn)作拋物線C的兩條切線l1，l2，設(shè)l1，l2的交點(diǎn)為M，稱(chēng)△A．△AMB是直角三角形B．頂點(diǎn)M的軌跡是拋物線C的準(zhǔn)線C．MF是△AMB的高線D．△AMB面積的最小值為2【解題思路】關(guān)于阿基米德三角形△AMB的結(jié)論，需要逐個(gè)選項(xiàng)去判斷，由kMA?kMB=?1，即可證明A；求出A,B處的切線方程，可以得出M的坐標(biāo)進(jìn)而可以驗(yàn)證B；設(shè)AB【解答過(guò)程】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2由導(dǎo)數(shù)的幾何意義知，直線AM的斜率為kAM=1px設(shè)直線AB:y=kx+p2，聯(lián)立y=kx+p得到x1+x對(duì)于A，∵kMA?k所以△AMB是直角三角形，故A正確；對(duì)于B，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得A處的切線方程為：y?y則y?x12所以直線AM的方程為：y=x同理可得：直線BM的方程為：y=x所以x1px?因?yàn)閤1≠x所以y=x所以Mx1+x22,?所以頂點(diǎn)M的軌跡是拋物線C的準(zhǔn)線，且取AB的中點(diǎn)H，連接MH，MH平行y軸，故B正確；對(duì)于C，kAB=y1所以MF是△AMB的高線，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)镸H平行y軸，所以S==因?yàn)閤1+x所以x1x1代入可得：S=1當(dāng)k=0時(shí)，Smin故選：ABC.

11．（23-24高三下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）拋物線的弦與弦的端點(diǎn)處的兩條切線形成的三角形稱(chēng)為阿基米德三角形，該三角形以其深刻的背景?豐富的性質(zhì)產(chǎn)生了無(wú)窮的魅力.設(shè)A,B是拋物線C:x2=4y上兩個(gè)不同的點(diǎn)，以Ax1,y1,BA．xB．若x1=2，則AC．存在點(diǎn)P，使得PAD．△PAB面積的最小值為4【解題思路】聯(lián)立方程組，結(jié)合韋達(dá)定理，可判定A正確；求得y′=12x，得到切點(diǎn)坐標(biāo)Ax1,14x12，得出切線方程y=12x1【解答過(guò)程】對(duì)于A中，設(shè)直線AB:y=kx+1，聯(lián)立方程組y=kx+1x2=4y再設(shè)Ax1,對(duì)于B中，由拋物線x2=4y.可得y=1則過(guò)點(diǎn)A的切線斜率為12x1，且y則切線方程為：y?14x若x1=2時(shí)，則過(guò)點(diǎn)A的切線方程為：對(duì)于C中，由選項(xiàng)B可得：直線AP的斜率為12x1，直線BP因?yàn)?2x1?1對(duì)于D中，由選項(xiàng)B可知，過(guò)點(diǎn)B的切線方程為y=1聯(lián)立直線PA,PB的方程可得P2k,?1所以S△ABPAB=PF=則S△ABP=41+k232故選：ABD.三、填空題12．（2024高三·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）拋物線的弦與過(guò)弦端點(diǎn)的兩條切線所圍成的三角形被稱(chēng)為阿基米德三角形．設(shè)拋物線為y2=4x，弦AB過(guò)焦點(diǎn)，△ABQ為阿基米德三角形，則△ABQ的面積的最小值為【解題思路】根據(jù)拋物線y2=2pxp>0在點(diǎn)P【解答過(guò)程】先證拋物線y2=2pxp>0在點(diǎn)P不妨設(shè)切線方程為：x?x0=k切線方程與拋物線聯(lián)立可得：y2所以Δ=4易知該切線只有一條，所以k=y先設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為xA,yA，點(diǎn)B的坐標(biāo)為xB由于弦AB過(guò)拋物線y2=4x的焦點(diǎn)，于是可反設(shè)直線AB的方程為因此點(diǎn)A，B的坐標(biāo)滿足y2=4x,x=my+1,再使用韋達(dá)定理就有yA由于在AxA,yA處拋物線y2=4x的切線方程為y因此阿基米德三角形的頂點(diǎn)QxQ,進(jìn)而yA?y將yQ=yA+因此點(diǎn)Q的坐標(biāo)為?1,2m，于是點(diǎn)Q到直線AB的距離d=?1?2根據(jù)弦長(zhǎng)公式得AB=于是△ABQ的面積S=12AB因此△ABQ的面積的最小值為4．故答案為：4.

13．（24-25高二上·上海·單元測(cè)試）我們把圓錐曲線的弦AB與過(guò)弦的端點(diǎn)A、B處的兩條切線所圍成的△PAB（P為兩切線的交點(diǎn)）叫做“阿基米德三角形”．拋物線有一類(lèi)特殊的“阿基米德三角形”，當(dāng)線段AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)F時(shí)，△PAB具有以下性質(zhì)：①P點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上；②PA⊥PB；③PF⊥AB．已知直線l：y=kx?1與拋物線y2=4x交于A、B兩點(diǎn)，若AB=8，則拋物線的“阿基米德三角形”△PAB的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?1,2)【解題思路】設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2)，將直線方程代入拋物線方程化簡(jiǎn)利用根與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合弦長(zhǎng)【解答過(guò)程】拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為設(shè)A(x由y2=4xy=k(x?1)由Δ=所以x1所以AB=x1+x當(dāng)k=1時(shí)，因?yàn)镻F⊥AB，所以kPF所以直線PF的方程為y=?(x?1)，因?yàn)镻點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線x=?1上，所以xP所以yP=?(x當(dāng)k=?1時(shí)，因?yàn)镻F⊥AB，所以kPF所以直線PF的方程為y=x?1，因?yàn)镻點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線x=?1上，所以xP所以yP=x綜上，△PAB的頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為(?1,2)或(?1,?2).故答案為：(?1,2)或(?1,?2).14．（23-24高三下·江西·階段練習(xí)）圓錐曲線C的弦AB與過(guò)弦的端點(diǎn)A，B的兩條切線的交點(diǎn)P所圍成的三角形PAB叫做阿基米德三角形，若曲線C的方程為x2=4y，弦AB過(guò)C的焦點(diǎn)F，設(shè)Ax1,y1，Bx2,y2，Px0,y0，則有x0=【解題思路】由已知可設(shè)直線AB的方程為y=kx+1，聯(lián)立方程組，結(jié)合設(shè)而不求法依次判斷各命題即可.【解答過(guò)程】拋物線x2=4y的焦點(diǎn)為F0,1過(guò)點(diǎn)F0,1故可設(shè)直線AB方程為y=kx+1，聯(lián)立x2=4yy=kx+1，消y方程x2?4kx?4=0的判別式所以x1所以y1因?yàn)閤0=x所以x0=2k，因?yàn)閥0=?1，所以點(diǎn)P在直線kPAkPA因?yàn)镕A=所以FAFBPF=所以PF2故答案為：①④.四、解答題15．（23-24高三上·河北衡水·階段練習(xí)）著名古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德首次用“逼近法”的思想得到了橢圓的面積公式S=abπ，（a,b分別為橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)和短半軸長(zhǎng)）為后續(xù)微積分的開(kāi)拓奠定了基礎(chǔ)，已知橢圓C：x2(1)求C的面積；(2)若直線l:x+2y?3=0交C于A,B兩點(diǎn)，求AB．【解題思路】（1）根據(jù)橢圓方程和橢圓面積公式，即可求解；（2）直線與橢圓方程來(lái)努力，利用弦長(zhǎng)公式，即可求解.【解答過(guò)程】（1）橢圓C的方程為x218+y2則a=32，b=3所以橢圓C的面積S=π（2）聯(lián)立x218+Δ=16+24=40>0，y1+AB=16．（23-24高二下·重慶·階段練習(xí)）過(guò)拋物線外一點(diǎn)P作拋物線的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，我們稱(chēng)△PAB為拋