清單04整式的乘法與因式分解（五大考點(diǎn)梳理題型解讀核心素養(yǎng)提升中考聚焦）

清單04整式的乘法與因式分解（五大考點(diǎn)梳理+題型解讀+核心素養(yǎng)提升+中考聚焦）【知識(shí)導(dǎo)圖】【知識(shí)清單】考點(diǎn)一：冪的運(yùn)算同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加.(其中m,n都是正整數(shù))注意：（1）三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相乘時(shí)，也具有這一性質(zhì)，即（m，n，p都是正整數(shù)）（2）逆用公式：把一個(gè)冪分解成兩個(gè)或多個(gè)同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的冪的指數(shù)。即（m,n都是正整數(shù)）.冪的乘方法則：冪的乘方，底數(shù)不變，指數(shù)相乘.(其中m，n都是正整數(shù)).注意：（1）(m，n，p均為正整數(shù))（2）逆用公式：，根據(jù)題目的需要常常逆用冪的乘方運(yùn)算能將某些冪變形，從而解決問題.積的乘方法則：積的乘方，等于把積的每一個(gè)因式分別乘方，再把所得的冪相乘.(其中n是正整數(shù)).注意：（1）(n為正整數(shù)).（2）逆用公式：逆用公式適當(dāng)?shù)淖冃慰珊喕\(yùn)算過程，尤其是遇到底數(shù)互為倒數(shù)時(shí)，計(jì)算更簡便.如：.同底數(shù)冪的除法法則：同底數(shù)冪相除，底數(shù)不變，指數(shù)相減，（a≠0，m、n都是正整數(shù)，并且m＞n）注意：（1）同底數(shù)冪乘法與同底數(shù)冪的除法是互逆運(yùn)算；（2）被除式、除式的底數(shù)相同，被除式的指數(shù)大于除式指數(shù)，0不能作除式的底數(shù);（3）當(dāng)三個(gè)或三個(gè)以上同底數(shù)冪相除時(shí)，也具有這一性質(zhì).即：（a≠0，m、n、p都是正整數(shù)，并且m＞n＞p）；（4）逆用公式:（a≠0，m、n都是正整數(shù)，并且m＞n）零指數(shù)冪：任何不等于0的數(shù)的0次冪都等于1.即（a≠0）注意：底數(shù)a不能為0，無意義.負(fù)整數(shù)指數(shù)冪:任何不等于零的數(shù)的n（n為正整數(shù)）次冪，等于這個(gè)數(shù)的n次冪的倒數(shù)，即（a≠0，n是正整數(shù)）.注意：是的倒數(shù)，a可以是不等于0的數(shù)，也可以是不等于0的代數(shù)式.例如，.引進(jìn)了零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪后，指數(shù)的范圍已經(jīng)擴(kuò)大到了全體整數(shù)，以前所學(xué)的冪的運(yùn)算性質(zhì)仍然成立。(其中m，n為整數(shù)，a≠0);(其中m，n為整數(shù)，a≠0);(其中n為整數(shù)，a≠0，b≠0).科學(xué)記數(shù)法的一般形式:（1）把一個(gè)絕對(duì)值大于10的數(shù)表示成的形式，其中n是正整數(shù)，（2）利用10的負(fù)整數(shù)次冪表示一些絕對(duì)值較小的數(shù)，即的形式，其中是正整數(shù)，.用以上兩種形式表示數(shù)的方法，叫做科學(xué)記數(shù)法.冪的運(yùn)算總結(jié)：（1）底數(shù)可以是任意實(shí)數(shù)，也可以是單項(xiàng)式、多項(xiàng)式；（2）同底數(shù)冪的乘法或除法時(shí)，只有當(dāng)?shù)讛?shù)相同時(shí),指數(shù)才可以相加.指數(shù)沒寫就為1，計(jì)算時(shí)不要遺漏；（3）冪的乘方運(yùn)算時(shí)，指數(shù)相乘，而同底數(shù)冪的乘法中是指數(shù)相加；（4）積的乘方運(yùn)算時(shí)須注意，積的乘方要將每一個(gè)因式(特別是系數(shù))都要分別乘方；（5）靈活地逆用公式，使運(yùn)算更加方便、簡潔；（6）帶有負(fù)號(hào)的冪的運(yùn)算，要養(yǎng)成先化簡符號(hào)的習(xí)慣?！纠?】（2022·黑龍江·大慶市第三中學(xué)八年級(jí)期末）計(jì)算：(1)；(2)；(3)已知，求代數(shù)式的值．(4)化簡求值：，其中【答案】(1)4a6；(2)1；(3)；(4)；【分析】（1）根據(jù)同底數(shù)冪的乘法和除法，積的乘方和冪的乘方計(jì)算即可；（2）利用平方差公式計(jì)算即可；（3）利用平方差公式和多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則將式子化簡，再整體代入計(jì)算即可；（4）根據(jù)整式的混合運(yùn)算法則計(jì)算即可化簡，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可求出x和y的值，最后代入求值即可．(1)；(2)；(3)∵∴．將代入，得；(4)∵∴，解得：，將代入，得：．【點(diǎn)睛】（1）考查冪的混合運(yùn)算，涉及同底數(shù)冪的乘法和除法，積的乘方和冪的乘方；（2）考查平方差公式；（3）考查整式的化簡求值，需利用整體代入的思想；（4）考查整式的化簡求值，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，注意絕對(duì)值和平方的非負(fù)性．熟練掌握各運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵．考點(diǎn)二：整式的乘法整式的乘要用到有關(guān)冪的一些運(yùn)算法則單項(xiàng)式的乘法法則：單項(xiàng)式與單項(xiàng)式相乘，把它們的系數(shù)，相同字母的冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的一個(gè)因式。如：注意：（1）單項(xiàng)式的乘法法則的實(shí)質(zhì)是乘法的交換律和同底數(shù)冪的乘法法則的綜合應(yīng)用；（2）單項(xiàng)式的乘法方法步驟：積的系數(shù)等于各系數(shù)的積，是把各單項(xiàng)式的系數(shù)交換到一起進(jìn)行有理數(shù)的乘法計(jì)算，一定要先確定符號(hào)；相同字母相乘，是同底數(shù)冪的乘法，按照“底數(shù)不變，指數(shù)相加”進(jìn)行計(jì)算；（3）結(jié)果仍為單項(xiàng)式，也是由系數(shù)、字母、字母的指數(shù)這三部分組成;（4）三個(gè)或三個(gè)以上的單項(xiàng)式相乘同樣適用以上法則.單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則：單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，用單項(xiàng)式去乘多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，要注意每項(xiàng)的符號(hào)。如：.(單項(xiàng)式為m,分別去乘多項(xiàng)式+a，b，+c)注意：（1）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的計(jì)算方法，實(shí)質(zhì)是利用乘法的分配律將其轉(zhuǎn)化為多個(gè)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的問題.（2）單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的乘積仍是一個(gè)多項(xiàng)式，項(xiàng)數(shù)與原多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)相同.（3）計(jì)算的過程中要注意符號(hào)問題，多項(xiàng)式中的每一項(xiàng)包括它前面的符號(hào)，同時(shí)還要注意單項(xiàng)式的符號(hào).（4）對(duì)混合運(yùn)算，應(yīng)注意運(yùn)算順序，最后有同類項(xiàng)時(shí)，必須合并，從而得到最簡的結(jié)果.多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的運(yùn)算法則：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，先用一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)乘另一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)，要注意每項(xiàng)的符號(hào)。如：（前一個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)2m，1，分別去乘后面一個(gè)多項(xiàng)式的每項(xiàng)3m，2）注意：多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘，仍得多項(xiàng)式，多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的最后結(jié)果需化簡，需要合并同類項(xiàng)?！纠?】（2022·河南鶴壁·八年級(jí)期末）（1）計(jì)算①；

②；③；

④．（2）根據(jù)（1）中的計(jì)算，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？用字母表示出來．（3）根據(jù)（2）中的結(jié)論，直接寫出下題的結(jié)果：①__________；②若，則____________．【答案】（1）①；②；③；④；（2）（n為正整數(shù)）；（3）①；②【分析】（1）根據(jù)多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則可得答案；（2）觀察（1）中等式特點(diǎn)即得規(guī)律；（3）運(yùn)用（2）的規(guī)律即可得到答案．【詳解】解：（1）①；②；③；④；（2）由（1）可得規(guī)律為：（n為正整數(shù)）；（3）由（2）可知，①；故答案為：；②∵，又；∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的法則．【變式1】（2022·河北承德·八年級(jí)期末）已知，．(1)對(duì)A，B分別進(jìn)行整式乘法運(yùn)算；(2)甲乙兩位同學(xué)用框圖的方法比較A，B的大?。渍J(rèn)為：A大于B；乙認(rèn)為：A不小于B，通過計(jì)算判斷誰的說法正確．【答案】(1)、(2)乙說的對(duì)【分析】（1）利用整式的乘法運(yùn)算即可；（2）利用作差法計(jì)算即可判斷．（1）解：，

；；（2）解：=，∴乙說的對(duì)．【點(diǎn)睛】本題主要考查整式的混合運(yùn)算，掌握整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·四川宜賓·八年級(jí)期末）仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：觀察下列各計(jì)算題：26×682＝286×6234×473＝374×4352×275＝572×2515×561＝165×51……以上每個(gè)等式都非常巧妙，左邊是一個(gè)兩位數(shù)乘以三位數(shù)，等式兩邊的數(shù)字之間具有特殊性，一邊的數(shù)字也有特殊性，且數(shù)字關(guān)于等號(hào)成對(duì)稱分布，我們把滿足這種條件的等式稱為“對(duì)稱積等式”．(1)解決問題：填空，使下列各式成為“對(duì)稱積等式”：41×154＝×14；×286＝682×(2)解決問題：設(shè)“對(duì)稱積等式”這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，①寫出a+b的取值范圍；②請(qǐng)用含a、b的代數(shù)式寫出表示“對(duì)稱積等式”的式子，并證明你的結(jié)論．【答案】(1)14,62,26(2)①②證明見解析【分析】（1）根據(jù)例題寫出對(duì)稱積等式即可；（2）①根據(jù)為整數(shù)且的和為三位數(shù)的十位數(shù)字，即可求得范圍；②根據(jù)規(guī)律列出等式，進(jìn)而根據(jù)整式的乘法運(yùn)算進(jìn)行證明即可(1)41×154＝451×14；62×286＝682×26故答案為：14,62,26(2)設(shè)“對(duì)稱積等式”這類等式左邊兩位數(shù)的十位數(shù)字為a，個(gè)位數(shù)字為b，，，且為整數(shù)②證明：等式的左邊等于等式的右邊等于左邊等于右邊原等式成立【點(diǎn)睛】本題考查了找規(guī)律，整式的乘法運(yùn)算，不等式組的應(yīng)用，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三：乘法公式平方差公式：兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，等于這兩個(gè)數(shù)的平方差；即注意：(1)a,b既可以是具體數(shù)字，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.(2)抓住平方差公式的典型特征：既有相同項(xiàng)，又有“相反項(xiàng)”，而結(jié)果是“相同項(xiàng)”的平方減去“相反項(xiàng)”的平方.（1）位置變化：如（2）系數(shù)變化：如（3）指數(shù)變化：如（4）符號(hào)變化：如（相同項(xiàng)為b,“相反項(xiàng)”為a）（5）增項(xiàng)變化：如（6）增因式變化：如完全平方公式：兩數(shù)和(差)的平方等于這兩數(shù)的平方和加上（減去）這兩數(shù)乘積的兩倍.注意：左邊是兩數(shù)的和（或差）的平方，右邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍，常見的變形：補(bǔ)充公式：；；；.【例3】（2022·遼寧大連·八年級(jí)期末）用等號(hào)或不等號(hào)填空，探究規(guī)律并解決問題：(1)比較a2+b2與2ab的大?。孩佼?dāng)a＝3，b＝3時(shí)，a2+b22ab；②當(dāng)a＝2，b＝時(shí)，a2+b22ab；③當(dāng)a＝﹣2，b＝3時(shí)，a2+b2ab．(2)通過上面的填空，猜想a2+b2與2ab的大小關(guān)系，并證明你的猜想；(3)如圖，直線l上從左至右任取A、B、G三點(diǎn)，以AB，BG為邊，在線段AG的兩側(cè)分別作正方形ABCD，BEFG，連接CG，設(shè)兩個(gè)正方形的面積分別為S1，S2，若三角形BCG的面積為1，求S1+S2的最小值．【答案】(1)①；②；③(2)；理由見解析(3)的最小值為4【分析】（1）代入計(jì)算得出答案；（2）根據(jù)（1）的結(jié)果，得出結(jié)論；（3）由題意可知ab＝2，S1＋S2＝a2＋b2，而a2＋b2≥2ab，進(jìn)而得出答案．(1)解：①把a(bǔ)＝3，b＝3代入，a2＋b2＝9＋9＝18，2ab＝2×3×3＝18，∴a2＋b2＝2ab；故答案為：＝；②把a(bǔ)＝2，b＝代入，a2＋b2＝4＋＝，2ab＝2×2×＝2，∴a2＋b2＞2ab；故答案為：＞；③把a(bǔ)＝?2，b＝3代入，a2＋b2＝4＋9＝13，2ab＝2×（?2）×3＝?12，∴a2＋b2＞2ab，故答案為：＞．(2)由（1）可得，a2＋b2≥2ab，理由如下：∵，又∵，∴a2＋b2≥2ab．(3)由題意可知S1＝a2，S2＝b2，∵△ACF的面積為1，即，∴ab＝2，∵S1＋S2＝a2＋b2≥2ab，∴S1＋S2＝a2＋b2≥4，因此S1＋S2的最小值為4．【點(diǎn)睛】本題主要考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是正確應(yīng)用的前提，根據(jù)偶次冪的性質(zhì)得出a2＋b2≥2ab是正確解答的關(guān)鍵．【變式1】（2022·重慶黔江·八年級(jí)期末）若多項(xiàng)式是完全平方式，請(qǐng)你寫出所有滿足條件的單項(xiàng)式Q是_______．【答案】±4x,4x4【分析】根據(jù)題意可知本題是考查完全平方式，設(shè)這個(gè)單項(xiàng)式為Q，①如果這里首末兩項(xiàng)是2x和1這兩個(gè)數(shù)的平方，那么中間一項(xiàng)為加上或減去2x和1積的2倍，故Q=±4x;②如果如果這里首末兩項(xiàng)是Q和1，則乘積項(xiàng)是4x2=2×2x2，所以Q=4x4.【詳解】解：∵4x2+1±4x=(2x±1)24x2+1+4x4=(2x2+1)2;∴加上的單項(xiàng)式可以是±4x,4x4,中任意一個(gè),故答案為：±4x,4x4.【點(diǎn)睛】本題主要考查完全公式的有關(guān)知識(shí)，根據(jù)已知兩個(gè)項(xiàng)分類討論求出第三項(xiàng)是解題的關(guān)鍵.【變式2】已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，，求的值．【答案】【分析】由和兩式變形得出，，，再將原式變形為，計(jì)算即可．【詳解】∵，∴，兩邊同時(shí)平方得，即，∴，又∵，∴，∴，即，同理可得，，原式============．【點(diǎn)睛】本題考查了完全平方公式和平方差公式，解題的關(guān)鍵是對(duì)代數(shù)式進(jìn)行變形．考點(diǎn)四：因式分解因式分解把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解，也叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式.要點(diǎn)詮釋：（1）因式分解只針對(duì)多項(xiàng)式，而不是針對(duì)單項(xiàng)式，是對(duì)這個(gè)多項(xiàng)式的整體，而不是部分，因式分解的結(jié)果只能是整式的積的形式.（2）要把一個(gè)多項(xiàng)式分解到每一個(gè)因式不能再分解為止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的運(yùn)算，二者不能混淆.因式分解是一種恒等變形，而整式乘法是一種運(yùn)算.公因式多項(xiàng)式的各項(xiàng)中都含有相同的因式，那么這個(gè)相同的因式就叫做公因式.要點(diǎn)詮釋：（1）公因式必須是每一項(xiàng)中都含有的因式.（2）公因式可以是一個(gè)數(shù)，也可以是一個(gè)字母，還可以是一個(gè)多項(xiàng)式.（3）公因式的確定分為數(shù)字系數(shù)和字母兩部分：①公因式的系數(shù)是各項(xiàng)系數(shù)的最大公約數(shù).②字母是各項(xiàng)中相同的字母，指數(shù)取各字母指數(shù)最低的.提公因式法把多項(xiàng)式分解成兩個(gè)因式的乘積的形式，其中一個(gè)因式是各項(xiàng)的公因式，另一個(gè)因式是，即，而正好是除以所得的商，這種因式分解的方法叫提公因式法．要點(diǎn)詮釋：（1）提公因式法分解因式實(shí)際上是逆用乘法分配律，即.（2）用提公因式法分解因式的關(guān)鍵是準(zhǔn)確找出多項(xiàng)式各項(xiàng)的公因式.（3）當(dāng)多項(xiàng)式第一項(xiàng)的系數(shù)是負(fù)數(shù)時(shí)，通常先提出“—”號(hào)，使括號(hào)內(nèi)的第一項(xiàng)的系數(shù)變?yōu)檎龜?shù)，同時(shí)多項(xiàng)式的各項(xiàng)都要變號(hào).（4）用提公因式法分解因式時(shí)，若多項(xiàng)式的某項(xiàng)與公因式相等或它們的和為零，則提取公因式后，該項(xiàng)變?yōu)椋骸埃?”或“－1”，不要把該項(xiàng)漏掉，或認(rèn)為是0而出現(xiàn)錯(cuò)誤.公式法——平方差公式兩個(gè)數(shù)的平方差等于這兩個(gè)數(shù)的和與這兩個(gè)數(shù)的差的積，即：要點(diǎn)詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的多項(xiàng)式分解因式.（2）平方差公式的特點(diǎn)：左邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的平方，且符號(hào)相反，右邊是兩個(gè)數(shù)（整式）的和與這兩個(gè)數(shù)（整式）的差的積.（3）套用公式時(shí)要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.公式法——完全平方公式兩個(gè)數(shù)的平方和加上（減去）這兩個(gè)數(shù)的積的2倍，等于這兩個(gè)數(shù)的和（差）的平方．即，.形如，的式子叫做完全平方式.要點(diǎn)詮釋：（1）逆用乘法公式將特殊的三項(xiàng)式分解因式；（2）完全平方公式的特點(diǎn)：左邊是二次三項(xiàng)式，是這兩數(shù)的平方和加（或減）這兩數(shù)之積的2倍.右邊是兩數(shù)的和（或差）的平方.（3）完全平方公式有兩個(gè)，二者不能互相代替，注意二者的使用條件.（4）套用公式時(shí)要注意字母a和b的廣泛意義，a、b可以是字母，也可以是單項(xiàng)式或多項(xiàng)式.【例4】（2022·山東威海·八年級(jí)期末）【方法提取】數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，是在公式化體系的不斷完善中進(jìn)行的．我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了平方差公式，在平方差公式的基礎(chǔ)上，可以對(duì)式子a3﹣b3進(jìn)行如下推導(dǎo)：a3﹣b3=a3﹣a2b+a2b﹣b3=a2（a﹣b）+b（a2﹣b2）=a2（a﹣b）+b（a+b）（a﹣b）=（a﹣b）[a2+b（a+b）]=（a﹣b）（a2+ab+b2）．對(duì)于a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2），稱為立方差公式．【公式推導(dǎo)】請(qǐng)推導(dǎo)立方和公式：a3+b3．【公式應(yīng)用】請(qǐng)利用上面的公式進(jìn)行因式分解：（直接寫結(jié)果）（1）=；（2）=．【答案】公式推導(dǎo)見解析；（1）；（2）【分析】[公式推導(dǎo)]在立方和公式中加上a2b﹣a2b仿照例題計(jì)算可得結(jié)果；[公式應(yīng)用]應(yīng)用推導(dǎo)的公式計(jì)算即可．【詳解】解：[公式推導(dǎo)]a3+b3=a3+a2b﹣a2b+b3=a2（a+b）﹣b（a2﹣b2）=a2（a+b）﹣b（a+b）（a﹣b）=（a+b）[a2﹣b（a﹣b）]=（a+b）（a2﹣ab+b2）．【公式應(yīng)用】（1）=．（2）=．故答案為：（1）；（2）．【點(diǎn)睛】此題考查了因式分解的應(yīng)用，熟練掌握平方差計(jì)算公式及正確理解題意是解題的關(guān)鍵．【變式】（2022·福建廈門·八年級(jí)期末）我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)n都可以進(jìn)行這樣的分解：（p，q是正整數(shù)，且），在n的所有這種分解中，如果p，q兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱是n的最佳分解，并規(guī)定；，例如12可以分解成，或，因?yàn)?，所以?2的最佳分解，所以．(1)求；(2)如果一個(gè)正整數(shù)只有1與m本身兩個(gè)正因數(shù)，則m稱為質(zhì)數(shù)．若質(zhì)數(shù)m滿足，求m的值；(3)是否存在正整數(shù)n滿足，若存在，求n的值：若不存在，說明理由．【答案】(1)；(2)5；(3)4，理由見解析．【分析】（1）讀懂F(n)的定義，寫出24的最佳分解，即可直接作答；（2）根據(jù)F(m+4)=1可以知道m(xù)+4是一個(gè)平方數(shù)，再利用因式分解求出m的值；（3）根據(jù)，設(shè)n=a4a=4a2，n+12=b4b=4b2，由n=4a2=4b212得，進(jìn)而得，從而求得n的值．(1)解：∵24=124=212=38=46，241>122>83>64，∴；(2)解：由質(zhì)數(shù)m滿足設(shè)，∴m+4=a2，∴m=，∵m為質(zhì)數(shù)，∴a2=1，∴a=3，∴m=a24=5，(3)解：存在n的值，理由如下：由，設(shè)n=a4a=4a2，n+12=b4b=4b2，∴n=4a2=4b212，∴b2a2=3，∴，∵a，b為正整數(shù)，∴，解得，∴n=4a2=41=4．【點(diǎn)睛】本題考查因式分解的應(yīng)用，用讀懂新定義，并把問題轉(zhuǎn)化為方程或方程組，再用因式分解法解方程或方程組是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)五：整式的除法整式的除要用到有關(guān)冪的一些運(yùn)算法則：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式：多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，把這個(gè)多項(xiàng)式的每一項(xiàng)分別除以單項(xiàng)式，要注意每項(xiàng)的符號(hào)。如：【例5】（2022·福建泉州·八年級(jí)期末）計(jì)算（a2＋ab）÷a的結(jié)果是（

）A．a(chǎn)＋b B．a(chǎn)2＋b C．a(chǎn)＋ab D．a(chǎn)3＋a2b【答案】A【分析】利用多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：（a2＋ab）÷a＝a＋b，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，正確的計(jì)算是解題的關(guān)鍵．【變式1】（2022·貴州遵義·八年級(jí)期末）小明作業(yè)本發(fā)下來時(shí)，不小心被同學(xué)沾了墨水：，你幫小明還原一下被墨水污染的地方應(yīng)該是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用多項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算即可求解．【詳解】解：(?4x2y2+3xy?y)?(?6x2y)=24x4y3?18x3y2+6x2y2，∴■=18x3y2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是整式的除法和乘法，掌握法則是解題的關(guān)鍵．【變式2】（2022·河南南陽·八年級(jí)期末）我閱讀：類比于兩數(shù)相除可以用豎式運(yùn)算，多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式也可以用豎式運(yùn)算，其步驟是：（1）把被除式和除式按同一字母的降冪排列（若有缺項(xiàng)用零補(bǔ)齊）．（2）用豎式進(jìn)行運(yùn)算．（3）當(dāng)余式的次數(shù)低于除式的次數(shù)時(shí)，運(yùn)算終止，得到商式和余式．我會(huì)做：請(qǐng)把下面解答部分中的填空內(nèi)容補(bǔ)充完整．求的商式和余式．解：答：商式是，余式是（

）我挑戰(zhàn)：已知能被整除，請(qǐng)直接寫出a、b的值．【答案】我會(huì)做：；，我挑戰(zhàn)：【分析】我會(huì)做：根據(jù)題意填空即可；我挑戰(zhàn)，根據(jù)例題列豎式進(jìn)行多項(xiàng)式的除法計(jì)算即可，然后根據(jù)整除，最后結(jié)果余0，即可求得的值．【詳解】解：我會(huì)做：補(bǔ)全如下，答：商式是，余式是（）故答案為：；我挑戰(zhàn)：能被整除，則余數(shù)為0，根據(jù)題意列豎式運(yùn)算即可，解得【點(diǎn)睛】本題考查了多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式，掌握多項(xiàng)式的乘法是解題的關(guān)鍵．【核心素養(yǎng)提升】1.逆向思維的思想方法1．（2022·吉林·東北師大附中明珠學(xué)校八年級(jí)期末）已知，則＝_____．【答案】【分析】先根據(jù)冪的乘方求出，再根據(jù)同底數(shù)冪的除法的逆運(yùn)算法則求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了冪的乘方，同底數(shù)冪除法的逆運(yùn)算，熟知相關(guān)計(jì)算法則是解題的關(guān)鍵．2．（2022·山西·右玉縣第三中學(xué)校八年級(jí)期末）若，則______．【答案】【分析】根據(jù)兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零則它們均為零，可求得a與b的值，把a(bǔ)與b的值代入代數(shù)式中即可求得結(jié)果．【詳解】∵，，且，∴，，即a+3=0，3b1=0，∴，．當(dāng)，時(shí)，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了兩個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零的性質(zhì)，積的乘方逆用，求代數(shù)式的值等知識(shí)，利用兩個(gè)非負(fù)數(shù)和為零的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵，積的乘方逆用是難點(diǎn)．2.直觀想象利用幾何直觀來解決問題3．（2022·浙江臺(tái)州·八年級(jí)期末）學(xué)習(xí)了平方差、完全平方公式后，小聰同學(xué)對(duì)學(xué)習(xí)和運(yùn)用數(shù)學(xué)公式非常感興趣，他通過上網(wǎng)查閱，發(fā)現(xiàn)還有很多數(shù)學(xué)公式，如立方和公式：（a＋b）（a2－ab＋b2）＝a3＋b3，他發(fā)現(xiàn)，運(yùn)用立方和公式可以解決很多數(shù)學(xué)問題，請(qǐng)你也來試試?yán)昧⒎胶凸浇鉀Q以下問題：(1)【公式理解】公式中的字母可以代表任何數(shù)、字母或式子①化簡：（a－b）（a2＋ab＋b2）＝；②計(jì)算：（993＋1）÷（992－99＋1）＝；(2)【公式運(yùn)用】已知：＋x＝5，求的值：(3)【公式應(yīng)用】如圖，將兩塊棱長分別為a、b的實(shí)心正方體橡皮泥揉合在一起，重新捏成一個(gè)高為的實(shí)心長方體，問這個(gè)長方體有無可能是正方體，若可能，a與b應(yīng)滿足什么關(guān)系？若不可能，說明理由．【答案】(1)a3b3，100(2)4(3)不可能，理由見解析【分析】（1）根據(jù)立方差公式計(jì)算；（2）根據(jù)完全平方公式計(jì)算；（3）根據(jù)體積找到a，b關(guān)系．(1)解：①原式=a3+(b)3=a3b3．②原式=（99+1）（99299×1+12）÷（99299+1）=100．故答案為：a3b3，100．(2)∵，∴原式=51=4．(3)假設(shè)長方體可能為正方體，由題意：，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴7a210ab+7b2=0不成立，∴該長方體不可能是邊長為的正方體．【點(diǎn)睛】本題考查立方差和立方和公式的應(yīng)用，構(gòu)造使用公式的條件是求解本題的關(guān)鍵．3.數(shù)學(xué)運(yùn)算運(yùn)用整體思想求值4．（2022·安徽蕪湖·八年級(jí)期末）計(jì)算的值可以用換元法．（1）設(shè)，則___________（用含x的代數(shù)式表示）；（2）計(jì)算：__．【答案】

2022【分析】（1）由得到即可；（2）設(shè)，，則原式，求解即可．【詳解】解：（1）故答案為：；（2）設(shè)，原式原式故答案為：2022．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)所給式子，找到規(guī)律，再利用整體思想解題是關(guān)鍵．【中考熱點(diǎn)聚焦】熱點(diǎn)1.整式的運(yùn)算1．（2023?衢州）下列運(yùn)算，結(jié)果正確的是（）A．3a+2a＝5a2 B．3a﹣2a＝1 C．a(chǎn)2?a3＝a5 D．a(chǎn)÷a2＝a【分析】根據(jù)同底數(shù)冪的乘法法則和同底數(shù)冪的除法法則及合并同類項(xiàng)法則即可解決問題．【解答】解：因?yàn)?a+2a＝5a，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤．因?yàn)?a﹣2a＝a，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤．因?yàn)閍2?a3＝a2+3＝a5，所以C選項(xiàng)正確．因?yàn)閍÷a2＝a1﹣2＝a﹣1，所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查同底數(shù)冪的運(yùn)算及合并同類項(xiàng)，熟知同底數(shù)冪的運(yùn)算法則及合并同類項(xiàng)法則是解題的關(guān)鍵．2．（2023?西寧）計(jì)算：（2a﹣3）2﹣（a+5）（a﹣5）．【分析】利用完全平方公式和平方差公式解答即可．【解答】解：（2a﹣3）2﹣（a+5）（a﹣5）＝（4a2﹣12a+9）﹣（a2﹣25）＝4a2﹣12a+9﹣a2+25＝3a2﹣12a+34．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了完全平方公式，平方差公式，熟練掌握兩個(gè)公式是解題的關(guān)鍵．熱點(diǎn)2.因式分解3．（2023?杭州）分解因式：4a2﹣1＝（）A．（2a﹣1）（2a+1） B．（a﹣2）（a+2） C．（a﹣4）（a+1） D．（4a﹣1）（a+1）【分析】直接利用平方差公式分解因式得出答案．【解答】解：4a2﹣1＝（2a）2﹣12＝（2a﹣1）（2a+1）．故選：A．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了公式法分解因式，正確運(yùn)用平方差公式分解因式是解題關(guān)鍵．4．（2023?赤峰）分解因式：x3﹣9x＝．【分析】根據(jù)提取公因式、平方差公式，可分解因式．【解答】解：原式＝x（x2﹣9）＝x（x+3）（x﹣3），故答案為：x（x+3）（x﹣3）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了因式分解，利用了提公因式法與平方差公式，注意分解要徹底．5．（2023?懷化）分解因式：2x2﹣4x+2＝．【分析】先提取公因數(shù)2，再利用完全平方公式進(jìn)行二次分解．a(chǎn)2±2ab+b2＝（a±b）2．【解答】解：2x2﹣4x+2，＝2（x2﹣2x+1），＝2（x﹣1）2．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查提公因式法分解因式和利用完全平方公式分解因式，難點(diǎn)在于需要進(jìn)行二次分解因式．6．（2023?呼和浩特）分解因式2b3﹣4b2+2b＝