浙江省嘉興市八校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

絕密★考試結(jié)束前2023學(xué)年第二學(xué)期嘉興八校聯(lián)盟期中聯(lián)考高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題卷（2024.04）考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題Ⅰ（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.函數(shù)的圖象如圖所示，它的導(dǎo)函數(shù)為，下列導(dǎo)數(shù)值排序正確的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及切線斜率的變化可得出結(jié)論.【詳解】由圖象可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，，即，，，又因?yàn)榍€在點(diǎn)處切線的斜率隨著的增大而減小，即在點(diǎn)處切線的斜率隨著的增大而減小，故.故選：A.2.從6名同學(xué)中選出正、副組長各1名，不同的選法種數(shù)是（）A.30種 B.11種 C.15種 D.35種【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，從6名同學(xué)中選出正、副組長各1名是個排列問題，可得答案.【詳解】由題意可得不同的選法種數(shù)是種.故選：A.3.的展開式的第項(xiàng)的系數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】寫出展開式的通項(xiàng)，即可判斷.【詳解】二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)為（且），所以展開式的第項(xiàng)的系數(shù)是.故選：A4.設(shè)隨機(jī)變量，則（）A.2 B.3 C.6 D.7【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的方差公式及性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】由題意得，故.故選：C.5.一個盒內(nèi)有五個月餅，其中兩個為果漿餡，三個為五仁餡，現(xiàn)從盒內(nèi)隨機(jī)取出兩個月餅，若事件“取到的兩個月餅為同一種餡”，“取到的兩個月餅都是五仁餡”，則概率（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】首先求出，，再根據(jù)條件概率的概率公式計(jì)算可得.【詳解】依題意，，所以故選：D6.甲?乙?丙等七人相約到電影院看電影《長津湖》，恰好買到了七張連號的電影票，若甲?乙兩人必須相鄰，且丙坐在七人的正中間，則不同的坐法的種數(shù)為（）A.240 B.192 C.96 D.48【答案】B【解析】【分析】分三步：先安排丙，再安排甲、乙，然后安排其他四人.【詳解】丙在正中間（4號位）；甲?乙兩人只能坐12，23或56，67號位，有4種情況，考慮到甲?乙的順序有種情況；剩下的4個位置其余4人坐有種情況；故不同的坐法的種數(shù)為.故選：B.7.函數(shù)的圖象如圖所示，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由的圖象得到的單調(diào)區(qū)間，從而得到的取值情況，從而得解.【詳解】由圖可得在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以時，時，時，時，所以不等式的解集為.故選：C8.已知函數(shù)，若，其中，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)，求導(dǎo)后可判斷原函數(shù)的單調(diào)性，根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想，令，則，可判斷出，，，由三次方程的韋達(dá)定理為，，，湊出選項(xiàng)，利用不等式的性質(zhì)或者函數(shù)的單調(diào)性求出范圍即可.【詳解】因?yàn)?，，所以，所以?dāng)時，當(dāng)或時，所以在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，，當(dāng)時，，且時，或，又，，整理得：，所以的對稱中心為，如圖所示：令，則由圖可知：且，，，所以A錯誤；對于B：，又因?yàn)?，所以，且，所以，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，故，所以，故B錯誤；對于C，因?yàn)椋?，，所以，由，知，，由B知，，所以，故，又，所以，所以C正確；對于D，因?yàn)榈膶ΨQ中心為，當(dāng)時，所以，或者根據(jù)三次方程的韋達(dá)定理知，，所以D錯誤.故選：C【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：關(guān)于的三次方程的韋達(dá)定理為，，.二、選擇題Ⅱ（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分，有選錯的得0分．）9.設(shè)隨機(jī)變量的分布列如表所示，則下列選項(xiàng)中正確的為（）0?123A. B. C. D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)求出的值，再根據(jù)期望、方差公式計(jì)算可得.【詳解】依題意，解得，即，故D正確；，故A錯誤；，故B正確；，故C正確.故選：BCD10.已知，則（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】分別令，，即可判斷AB；求出展開式的通項(xiàng)，進(jìn)而可判斷CD.【詳解】令，則①，故B正確；令，則②，由①②得，故A正確；展開式的通項(xiàng)為，令，則，所以，故C錯誤；令，則，所以，故D正確.故選：ABD.11.已知直線與曲線相交于不同兩點(diǎn)，曲線在點(diǎn)處的切線與在點(diǎn)處的切線相交于點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】對于A，構(gòu)造函數(shù)，計(jì)算即可判斷；對于B，寫出、點(diǎn)處的切線程聯(lián)立并化簡得，而，計(jì)算即可判斷；對于C，根據(jù)斜率相等可得，為兩切線的交點(diǎn)代入化簡得，再計(jì)算可得；對于D，根據(jù)，計(jì)算即可判斷.【詳解】對A，令，則，故時，單調(diào)遞增；時，單調(diào)遞減，所以的極大值，且，，因?yàn)橹本€與曲線相交于?兩點(diǎn)，所以與圖象有個交點(diǎn)，所以，故A正確；對B，設(shè)，且，可得，在點(diǎn)處切線程為，得，即，因?yàn)?，所以，即，故B錯誤；對C，因?yàn)?，所以，因?yàn)闉閮汕芯€的交點(diǎn)，所以，即，所以，所以，故C正確；對D，因?yàn)?，，所以，又因?yàn)椋?，所以，同理得，得，即，因?yàn)椋?，所以，即，故D正確.其中不等式①的證明如下：不等式①（其中），構(gòu)造函數(shù)，則．因?yàn)椋?，所以函?shù)在上單調(diào)遞減，故，從而不等式①成立.故選：ACD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：導(dǎo)函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導(dǎo)數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，?；癁椴坏仁胶愠闪栴}．注意分類討論與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用；二是函數(shù)的零點(diǎn)、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．非選擇題部分三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分）12.函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)是___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式直接求導(dǎo)可得.【詳解】故答案為：13.某區(qū)學(xué)生參加模擬大聯(lián)考，假如聯(lián)考的數(shù)學(xué)成績服從正態(tài)分布，其總體密度函數(shù)為：，且，若參加此次聯(lián)考的學(xué)生共有人，則數(shù)學(xué)成績超過分的人數(shù)大約為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)總體密度函數(shù)可知，結(jié)合對稱性求出，再估計(jì)人數(shù)即可.【詳解】因?yàn)榭傮w密度函數(shù)為：，所以，即，由，所以,所以數(shù)學(xué)成績超過分的人數(shù)大約為人，故答案為：.14.用這九個正整數(shù)組成無重復(fù)數(shù)字且任意相鄰的三個數(shù)字之和是的倍數(shù)的九位數(shù)，這樣的九位數(shù)有______個（用數(shù)學(xué)作答）【答案】1296【解析】【分析】分析題意，列出每種情況，利用排列數(shù)知識求解即可.【詳解】若任意相鄰的三個數(shù)字之和是的倍數(shù)，因此第三個數(shù)與第個數(shù)的余數(shù)也必然相同，故第一，四，七個數(shù)和第二，五，八個數(shù)第三，六，九個數(shù)必為，因此有個.故答案為：1296【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查排列問題，解題關(guān)鍵是分析出每種情況，然后表示利用排列數(shù)公式，得到所要求的結(jié)果即可．四、解答題（本大題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）15.已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的極值.【答案】（1）（2）極小值為，無極大值【解析】【分析】（1）根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可.（2）求出函數(shù)的極值點(diǎn)（注意定義域），再把極值點(diǎn)代入原函數(shù)即可得到極值.【小問1詳解】的定義域?yàn)椋?，所以，又因?yàn)椋郧悬c(diǎn)為，所以曲線在處的切線方程為【小問2詳解】，當(dāng)時，，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極小值，且極小值為，無極大值.16.已知的展開式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和是512．（1）求展開式中含項(xiàng)的系數(shù)；（2）求的展開式中的常數(shù)項(xiàng).【答案】（1）27（2）【解析】【分析】（1）利用賦值法得所有項(xiàng)的系數(shù)和，求解n，然后利用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式求解即可；（2）把式子化簡為，然后分別利用二項(xiàng)式展開式通項(xiàng)公式求解常數(shù)項(xiàng)即可.【小問1詳解】因?yàn)榈恼归_式中，所有項(xiàng)的系數(shù)之和是512．所以令，得，所以，所以的展開式通項(xiàng)公式為，令，解得，所以展開式中含項(xiàng)為，所以展開式中含項(xiàng)的系數(shù)為27.【小問2詳解】由（1）知，，從而，因?yàn)榈恼归_式的通項(xiàng)為，所以的常數(shù)項(xiàng)為，又的常數(shù)項(xiàng)為，所以的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.17.為落實(shí)“堅(jiān)持五育并舉，全面發(fā)展素質(zhì)教育，強(qiáng)化體育鍛煉”的精神，某高中學(xué)校鼓勵學(xué)生自發(fā)組織各項(xiàng)體育比賽活動．甲、乙兩名同學(xué)利用課余時間進(jìn)行乒乓球比賽．規(guī)定：每局比賽中獲勝方記1分，失敗方記0分，沒有平局．首先獲得5分者獲勝，比賽結(jié)束．假設(shè)每局比賽甲獲勝的概率都是．（1）求比賽結(jié)束時恰好打了6局甲獲勝的概率；（2）若甲以的比分領(lǐng)先，記X表示到結(jié)束比賽時還需要比賽的局?jǐn)?shù)，求X的分布列．【答案】（1）（2）分布列見解析【解析】【分析】（1）比賽恰好打了6局的情況有兩種：甲勝或乙勝，即可求解；（2）分析可知X的可能取值為2，3，4，5，分別求出對應(yīng)的概率，由此能求出X的分布列.【小問1詳解】比賽結(jié)束時，恰好打了6局，甲獲勝的概率為，恰好打了6局，乙獲勝的概率為，所以比賽結(jié)束時恰好打了6局的概率為；【小問2詳解】X的可能取值為2，3，4，5，，，，，所以X的分布列如下：234518.甲箱的產(chǎn)品中有5個正品和3個次品，乙箱的產(chǎn)品有4個正品和3個次品．（1）從甲箱中任取2個產(chǎn)品，求這2個產(chǎn)品都是次品概率；（2）如果依次不放回地從乙箱中抽取2個產(chǎn)品，每次取1個，已知第二個是次品的條件下，求第一個是正品的概率；（3）若先從甲箱中任取2個產(chǎn)品放入乙箱中，再從乙箱中任取一個產(chǎn)品，求取出這個產(chǎn)品是正品的概率．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）利用古典概型的概率公式計(jì)算可得；（2）令事件“第次從乙箱中取到次品”，，利用全概率公式及條件概率的概率公式計(jì)算可得；（3）記事件=“從乙箱取一個正品”，從甲箱中取出兩個正品、一個正品一個次品、兩個次品的事件分別記為，再利用全概率計(jì)算可得.【小問1詳解】記“這個產(chǎn)品都是次品”為事件，則.【小問2詳解】令事件“第次從乙箱中取到次品”，則“第次從乙箱中取到正品”，，則，，，，因此，所以.【小問3詳解】令事件=“從乙箱取一個正品”，事件=“從甲箱中取出兩個正品”，事件=“從甲箱中取出一個正品一個次品”，事件=“從甲箱中取出兩個次品”，互斥，且，，，則，所以從乙箱中取出的這個產(chǎn)品是正品的概率是.19.已知函數(shù)（1）是的極值點(diǎn)，有兩個零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）令，討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，設(shè)和為兩個不相等正數(shù)，且，證明：．【答案】（1）（2）答案見解析（3）證明見解析【解析】【分析】（1）由是的極值點(diǎn)，可得，即可求出，再利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值，函數(shù)有兩個零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)圖象即可得解；（2）求導(dǎo)，再由分類討論，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號即可求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）分別通過構(gòu)造函數(shù)，并利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性與最值分別證明及即可.【小問1詳解】，因?yàn)槭堑臉O值點(diǎn)，所以，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，則，，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，又當(dāng)時，且，當(dāng)時，，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，函數(shù)有兩個零點(diǎn)，即函數(shù)的圖象有兩個不同的交點(diǎn)，由圖可知，所以；【小問2詳解】，，函數(shù)減函數(shù)，令，則，當(dāng)時，令，得，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，當(dāng)時，令，得，令，得，所以函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為，綜上所述，當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為；當(dāng)時，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為；【小問3詳解】當(dāng)時，，由，不妨設(shè)，又，結(jié)合（1），則，要證，即證，若，則必成立，若，