四年級數(shù)學下冊 同步復習與測試講義-第2章 認識三角形和四邊形 （含解析）（北師大版）

2019-2020學年北師大版小學四年級數(shù)學下冊同步復習與測試講義第2章認識三角形和四邊形【知識點歸納總結】1.四邊形的特點、分類及識別1．四邊形的特點：四邊形就是四條線段圍成的圖形，有四條邊，四個角，且內(nèi)角和是360°．

2．四邊形的分類：

任意四邊形：圖形沒有平行的邊

平行四邊形：圖形兩組平行的邊

梯形：圖形只有一組平行的邊

3．四邊形的識別：

根據(jù)分類特地進行識別即可．【經(jīng)典例題】例1：把符合要求的圖形序號填在橫線里．

A、正方形B、長方形C、平形四邊形D、梯形

①兩組對邊分別平行，有四個直角．A、B

②只有一組對邊平行．D

③兩組對邊分別平行，沒有直角C．

分析：①長方形的特征是：兩組對邊分別平行且相等，四個角都是直角；②正方形的特征：四條邊都相等，四個角都是直角；③平行四邊形的特征：兩組對邊分別平行；④梯形的特征：只有一組對邊平行，據(jù)此解答．

解：由分析可知：①兩組對邊分別平行，有四個直角的是正方形和長方形；

②只有一組對邊平行的四邊形是梯形；

③兩組對邊分別平行，沒有直角的是平行四邊形；

故答案為：①A、B，②D，③C．

點評：此題根據(jù)正方形、長方形、平行四邊形、梯形的特征進行解答．例2：正方形、長方形是特殊的平行四邊形．√．（判斷對錯）

分析：四個角都為直角的平行四邊形是長方形，四條邊都相等的長方形是正方形；也就是說正方形和長方形都是特殊的平行四邊形；由此判斷即可．

解：根據(jù)長方形和正方形的含義可知：正方形和長方形都是特殊的平行四邊形；

故答案為：√．

點評：解答此題應根據(jù)長方形和正方形的含義進行解答．2.平行四邊形的特征及性質(zhì)平行四邊形的概念：

1．兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形．

平行四邊形用符號“□ABCD”，如平行四邊形ABCD記作“□ABCD”．

（1）平行四邊形屬于平面圖形．

（2）平行四邊形屬于四邊形．

（3）平行四邊形中還包括特殊的平行四邊形：矩形，正方形和菱形等．

（4）平行四邊形屬于中心對稱圖形．

2．平行四邊形的性質(zhì)：

主要性質(zhì)

（矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四邊形．）

（1）如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩組對邊分別相等．

（簡述為“平行四邊形的兩組對邊分別相等”）

（2）如果一個四邊形是平行四邊形，那么這個四邊形的兩組對角分別相等．（簡述為“平行四邊形的兩組對角分別相等”）

（3）夾在兩條平行線間的平行線段相等．

（4）平行四邊形的面積等于底和高的積．（可視為矩形）

（5）過平行四邊形對角線交點的直線，將平行四邊形分成全等的兩部分圖形．

（6）平行四邊形是中心對稱圖形，對稱中心是兩對角線的交點．

（7）平行四邊形不是軸對稱圖形，矩形和菱形是軸對稱圖形．

注：正方形，矩形以及菱形也是一種特殊的平行四邊形，三者具有平行四邊形的性質(zhì)．【經(jīng)典例題】例1：兩組對邊分別平行沒有直角的圖形是（）

A、長方形

B、平行四邊形

C、梯形

分析：平行四邊形的含義：兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形；

如果兩組對邊分別平行、有4個直角的四邊形是長方形或正方形；

據(jù)此判斷即可．

解：兩組對邊分別平行沒有直角的圖形是平行四邊形．

故選：B．

點評：此題應根據(jù)平行四邊形的含義進行分析、解答．例2：一個長方形的框架，如果把它拉成一個平行四邊形，它的周長和面積（）

A、周長不變，面積變大

B、周長不變，面積也不變

C、周長變小，面積變小

D、周長不變，面積變小

分析：平行四邊形和長方形的周長就是圍成它們的線段的和，每條線段長度沒有變化，則周長不變；長方形拉成平行四邊形后高變小了，底沒變，則面積減小了．

解：平行四邊形和長方形的周長就是圍成它們的線段的和，每條線段長度沒有變化，則周長不變；

長方形拉成平行四邊形后高變小了，底沒變，則面積減小了．

故選：D．

點評：此題主要考查周長的定義及平行四邊形和長方形的面積之間的變化關系．3.長方形的特征及性質(zhì)長方形：是一種平面圖形，長方形的四個角都是直角，同時長方形的對角線相等．

長方形的性質(zhì)：

1．長方形的4個內(nèi)角都是直角；

2．長方形對邊相等；

3．長方形既是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形（對稱軸是任何一組對邊中點的連線），它至少有兩條對稱軸．對稱中心是對角線的交點．

4．長方形是特殊的平行四邊形，長方形具有平行四邊形的所有性質(zhì)

長方形的判定：

①定義：有一個角是直角的平行四邊形是長方形

②定理1：有三個角是直角的四邊形是長方形

矩形的面積：S矩形=長×寬=ab．

黃金長方形：

寬與長的比是（√5-1）/2（約為0.618）的矩形叫做黃金長方形．黃金長方形給我們一協(xié)調(diào)、勻稱的美感．世界各國許多著名的建筑，為取得最佳的視覺效果，都采用了黃金矩形的設計．如希臘的巴特農(nóng)神廟等．【經(jīng)典例題】例：如圖中甲的周長與乙的周長相比（）

A、甲長

B、乙長

C、同樣長

分析：因為甲的周長=長方形的一組鄰邊的和+中間的曲線的長，乙的周長=長方形的另一組鄰邊的和+中間的曲線的長，根據(jù)長方形的特征：對邊相等；進行解答繼而得出結論．

解：甲的周長=長方形的一組鄰邊的和+中間的曲線的長，乙的周長=長方形的另一組鄰邊的和+中間的曲線的長，

因為長方形對邊相等，所以甲的周長等于乙的周長；

故選：C．

點評：解答此題應根據(jù)長方形的特征，并結合周長的計算方法進行解答．4.正方形的特征及性質(zhì)1．概念：有一組鄰邊相等且一個角是直角的平行四邊形叫做正方形．

2．性質(zhì)：

（1）邊：兩組對邊分別平行；四條邊都相等；相鄰邊互相垂直

（2）內(nèi)角：四個角都是90°；

（3）對角線：對角線互相垂直；對角線相等且互相平分；每條對角線平分一組對角；

（4）對稱性：既是中心對稱圖形，又是軸對稱圖形（有四條對稱軸）．

（5）正方形具有平行四邊形、菱形、矩形的一切性質(zhì)．

（6）特殊性質(zhì)：正方形的一條對角線把正方形分成兩個全等的等腰直角三角形，對角線與邊的夾角是45°；正方形的兩條對角線把正方形分成四個全等的等腰直角三角形．

（7）正方形是特殊的長方形．【經(jīng)典例題】例：四個角都是直角的四邊形一定是正方形．×．（判斷對錯）

分析：根據(jù)正方形的特征及性質(zhì)可知：具有四條邊都相等且四個角都是直角的四邊形為正方形，據(jù)此判斷即可．

解：因為四邊相等，四個角都是直角的四邊形是正方形，

所以題干的說法不全面，四個角都是直角的四邊形還可能是長方形，

因此題干的說法是錯誤的；

故答案為：×．

點評：本題主要考查正方形的特征及性質(zhì)．5.梯形的特征及分類1．概念：梯形是指一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形．

2．分類：

（1）直角梯形：有一個角為直角的梯形為直角梯形

（2）等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形

（3）一般梯形．【經(jīng)典例題】例1：只有一組對邊平行的四邊形是（）

A、三角形

B、長方形

C、平行四邊形

D、梯形

分析：根據(jù)梯形的定義可知：只有一組對邊平行的四邊形是梯形，由此即可選擇．

解：只有一組對邊平行的四邊形是梯形，

故選：D．

點評：此題考查了梯形的定義．

例2：兩個完全一樣的直角梯形，一定不能拼成（）

A、平行四邊形

B、長方形

C、三角形

分析：兩個完全一樣的直角梯形，可以拼成平行四邊形和長方形，但不能拼成三角形；據(jù)此解答．

解：由分析可知：兩個完全一樣的直角梯形，一定不能拼成三角形；

故選：C．點評：結合題意，根據(jù)完全一樣的兩個直角三角形拼組的特點，即可得出結論．6.三角形的特性三角形具有穩(wěn)定性．

三內(nèi)角之和等于180度，根據(jù)角可以分為銳角三角形（每個角小于90°），直角三角形（有一個角等于90°），鈍角三角形（有一個角大于90°）．

任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊．【經(jīng)典例題】例1：可以圍成一個三角形的三條線段是．（）

A、

B、

C、

分析：緊扣三角形三邊關系，即可選擇正確答案．

解：A：5厘米+4厘米＜10厘米，兩邊之和小于第三邊，不能圍成三角形，

B：5厘米+5厘米=10厘米，兩邊之和等于第三邊，不能圍成三角形，

C：5厘米+6厘米＞10厘米，兩邊之和大于第三邊，能圍成三角形，

故選：C．

點評：此題是考查了三角形三邊關系的應用．例2：下面圖形是用木條釘成的支架，其中最不容易變形的是（）

A、

B、

C、

分析：不容易變形，是三角形的特性，由此找出圖形中含有三角形的即可．

解：根據(jù)三角形的特性：三角形具有穩(wěn)定性；

故選：C．

點評：此題主要考查三角形的穩(wěn)定性在實際問題中的運用．7.三角形的分類1．按角分

判定法一：

銳角三角形：三個角都小于90°．

直角三角形：可記作Rt△．其中一個角必須等于90°．

鈍角三角形：有一個角大于90°．

判定法二：

銳角三角形：最大角小于90°．

直角三角形：最大角等于90°．

鈍角三角形：最大角大于90°．

其中銳角三角形和鈍角三角形統(tǒng)稱為斜三角形．2．按邊分

不等邊三角形；

等腰三角形；

等邊三角形．【經(jīng)典例題】例：一個三角形，三個內(nèi)角的度數(shù)比是2：3：4，這個三角形為（）

A、銳角三角形

B、直角三角形

C、鈍角三角形

D、不能確定

分析：判斷這個三角形是什么三角形，要知道這個三角形中最大角的度數(shù)情況，由題意知：把這個三角形的內(nèi)角和180°平均分了（2+3+4）=9份，最大角占總和的，根據(jù)一個數(shù)乘分數(shù)的意義，求出最大角的度數(shù)，繼而根據(jù)三角形的分類判斷即可．

解：最大角：180×=80（度），

因為最大角是銳角，所以這個三角形是銳角三角形；

故選：A．

點評：此題考查了根據(jù)角對三角形分類的方法：三個角都是銳角，這個三角形是銳角三角形；有一個角是鈍角的三角形是鈍角三角形；有一個角是直角的三角形是直角三角形．【同步測試】單元同步測試題一．選擇題（共8小題）1．四條邊相等，四個角是直角的四邊形是（）A．正方形 B．長方形 C．梯形2．將一個平行四邊形沿高剪開，不可能得到（）A．一個三角形和一個梯形 B．一個平行四邊形和一個梯形 C．兩個三角形3．如圖是個四邊形，但被擋住了一部分．被擋住的角一定是（）A．銳角 B．直角 C．鈍角4．正方形是特殊的（）A．三角形 B．圓 C．平行四邊形 D．梯形5．下面三句話中，說法錯誤的是（）A．梯形的上底與下底互相平行 B．梯形的兩腰相等 C．平行四邊形的兩組對邊分別互相平行6．下列幾組長度能拼成三角形的是（）A．4cm、5cm、9cm B．3cm、C．4cm、6cm7．下列各圖表示的關系正確的個數(shù)有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個8．當一個四邊形只有一組對邊平行時，它是（）A．正方形 B．長方形 C．平行四邊形 D．梯形二．填空題（共7小題）9．數(shù)學書相鄰的兩條邊互相，上下的兩條邊互相．10．兩腰相等的梯形叫做．11．張紅用一根40厘米長的鐵絲圍成了一個平行四邊形，這個平行四邊形的一條邊長是15厘米，與它相鄰的另一條邊是厘米．12．小紅用一根14cm長的鐵絲圍成了一個三邊長都為整厘米數(shù)的三角形，它的邊長可能是6cm、cm、13．和都是特殊的平行四邊形．14．如圖是長方形，如果寬不變，長減少厘米，長方形就變成正方形；如果長不變，寬增加厘米，長方形也變成正方形．15．等邊三角形每個角都是度，它按角分又是三角形．三．判斷題（共5小題）16．把一個銳角三角形順時針旋轉90°，它就變成了直角三角形．（判斷對錯）17．這樣的四根小棒可以圍成許多不同的平行四邊形．（判斷對錯）18．梯形的兩條腰一定不平行．．（判斷對錯）19．四條邊都相等的圖形不一定是正方形．（判斷對錯）20．兩組對邊相等的四邊形一定是長方形．．（判斷對錯）四．計算題（共1小題）21．計算下面圖形的周長．五．應用題（共2小題）22．一塊平行四邊形菜地，它的兩條相交的邊的長度分別是28.5米和46米，圍這塊菜地需要籬笆多少米？23．一個三角形2邊的長度如圖，第三邊最短是幾厘米？最長是幾厘米？（取整厘米數(shù)）六．操作題（共1小題）24．在點子圖上按要求畫圖形．七．解答題（共4小題）25．用一張長10厘米，寬6厘米的長方形紙折成一個最大的正方形，正方形的邊長是多少厘米？26．選擇正確的番號填空．27．一根27厘米長的鐵絲，可以圍成邊長是幾厘米的等邊三角形？28．一個等腰三角形的周長是36厘米，底比腰多3厘米，它的腰長是多少厘米？底長是多少厘米？

參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）1．【分析】根據(jù)正方形的特征及性質(zhì)可知：具有四條邊都相等且四個角都是直角的四邊形為正方形，據(jù)此判斷即可．【解答】解：四條邊相等，四個角是直角的四邊形是正方形；故選：A．【點評】本題主要考查正方形的特征及性質(zhì)．2．【分析】沿平行四邊形鈍角所在的一個頂點，向?qū)呑龃咕€，這樣的高有兩條，沿這兩條高剪開，都能得到一個三角形和一個梯形；如圖2這樣剪開，得到兩個梯形，且是直角梯形．如圖三特殊的一點的平行四邊形沿高剪開可以得到兩個直角三角形．【解答】解：由以上圖形可以看出，將一個平行四邊形沿高剪開，可能得到一個三角形和一個梯形、兩個梯形或兩個直角三角形．故選：C．【點評】本題屬于簡單的圖形切割，在練習本上畫一畫就可以得到答案．3．【分析】根據(jù)長方形、正方形的特征，長方形的對邊平行且相等，4個角都是直角；正方形的4條邊的長度都相等，4個角都是直角．據(jù)此解答即可．【解答】解：這個四邊形是長方形，所以擋住的角一定是直角；故選：B．【點評】此題考查的目的是理解掌握長方形、正方形的特征及應用．4．【分析】根據(jù)平行四邊形的特征，兩組對邊分別平行且相等的四邊形是平行四邊形，因為正方形的對邊分別平行且相等，所以正方形是特殊的平行四邊形．據(jù)此解答．【解答】解：由分析得：正方形是特殊的平行四邊形．故選：C．【點評】此題考查的目的是理解掌握平行四邊形、正方形的特征及應用，明確：長方形、正方形都是特殊的平行四邊形．5．【分析】根據(jù)梯形的特征，梯形的上、下底互相平行．A說法正確．等腰梯形的兩腰相等，一般梯形的兩腰不相等．B說法錯誤．根據(jù)平行四邊形的特征，平行四邊形再組對邊平行且相等．C說法正確．【解答】解：A、梯形的上底與下底互相平行．此種說法正確；B、梯形的兩腰相等．此種說法錯誤；C、平行四邊形的兩組對邊分別互相平行．此種說法正確．故選：B．【點評】此題主要考查梯形、平行四邊形的特征．6．【分析】根據(jù)三角形的特性：兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊的差一定小于第三邊；進行解答即可．【解答】解：A、4+5＝9，所以不能圍成三角形；B、3+6＝9＜10，所以不能圍成三角形；C、4+5＝9＞6，所以能圍成三角形；故選：C．【點評】解答此題的關鍵是根據(jù)三角形的特性進行分析、解答即可．7．【分析】根據(jù)三角形按角可以分為銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形；按邊可以分為：不等腰三角形和等腰三角形，其中等邊三角形屬于等腰三角形；四邊形可以分為一般四邊形和長方形，其中正方形是長方形的一種特殊情況；由此解答即可．【解答】解：下列各圖表示的關系正確的個數(shù)有0個；故選：A．【點評】靈活掌握三角形的分類、四邊形的分類，是解答此題的關鍵．8．【分析】根據(jù)平行四邊形和圖形的定義：兩組對邊分別平行的四邊形叫平行四邊形，正方形和長方形都是特殊的平行四邊形；只有一組對邊平行的四邊形叫梯形，即可解答．【解答】解：當一個四邊形只有一組對邊平行時，它是梯形；故選：D．【點評】此題考查了平行四邊形和梯形的定義．二．填空題（共7小題）9．【分析】數(shù)學書的封面是長方形，根據(jù)長方形的特征，對邊平行且相等，4個角都是直角．由此解答．【解答】解：根據(jù)長方形的特征，對邊平行且相等，4個角都是直角．因此，數(shù)學書的封面相鄰的兩條邊互相垂直，上下的兩條邊互相平行．故答案為：垂直，平行．【點評】此題主要考查長方形的特征，對邊平行且相等，4個角都是直角，據(jù)此解決問題．10．【分析】根據(jù)梯形的分類可知：兩腰相等的梯形是等腰梯形，由此填空．【解答】解：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形．故答案為：等腰梯形．【點評】此題考查了等腰梯形的定義．11．【分析】根據(jù)平行四邊形的周長＝鄰邊之和×2，可得鄰邊之和＝周長÷2，由此先求得鄰邊之和，再減去15厘米即可得解．【解答】解：40÷2﹣15＝20﹣15＝5（厘米）答：與它相鄰的另一條邊是5厘米．故答案為：5．【點評】本題主要考查了平行四邊形的周長公式的靈活運用．12．【分析】根據(jù)三角形的特性：兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊的差一定小于第三邊；進行解答即可．【解答】解：3+5+6＝14，3+5＞6，符合構成三角形的條件，所以，它的三邊長可能是6cm，3cm，故答案為：3，5．（答案不唯一）【點評】解答此題的關鍵是根據(jù)三角形的特性進行分析、解答即可．13．【分析】根據(jù)平行四邊形的特征：兩組對邊平行且相等；則得出：長方形、正方形兩組對邊平行且相等，有四個角是直角，所以是特殊的平行四邊形．【解答】解：長方形和正方形都是特殊的平行四邊形；故答案為：長方形，正方形．【點評】此題考查了正方形和長方形與平行四邊形的關系，應注意基礎知識的積累．14．【分析】根據(jù)正方形的特征“四條邊都相等”可知：如果寬不變，則長和寬相等時，該長方形變成正方形，即長減少：6﹣4＝2厘米；同理，如果長不變，寬增長到和長相等時，長方形也變成正方形，即寬增加：6﹣4＝2厘米；由此解答即可．【解答】解：長減少：6﹣4＝2（厘米），寬增加：6﹣4＝2（厘米）；故答案為：2，2．【點評】解答此題應根據(jù)正方形的特征進行解答．15．【分析】等邊三角形又叫做正三角形，其三個內(nèi)角都相等，即每個內(nèi)角都是60度，又因為三個角都是銳角，根據(jù)銳角三角形的含義得出結論．【解答】解：等邊三角形每個角都是60度，它按角分又是銳角三角形．故答案為：60，銳角．【點評】解答此題應結合題意，并根據(jù)等邊三角形的特征和銳角三角形的含義進行解答．三．判斷題（共5小題）16．【分析】根據(jù)旋轉的特征，一個圖形繞某點順時針旋轉90°，某點的位置不動，其余各部分均繞此點按相同方向旋轉相同的度數(shù)即可畫出旋轉后的圖形，即旋轉后形狀、大小不變，只是位置發(fā)生變化．【解答】解：一個圖形繞某一點順時針旋轉90°，其大小、形狀不變，位置發(fā)生變化，原題的說法是錯誤的．故答案為：×．【點評】此題是考查旋轉的特征．圖形平移、旋轉后形狀、大小不變，只是位置發(fā)生變化．17．【分析】依據(jù)平行四邊形的意義，即兩組對邊分別平行或相等的四邊形，叫做平行四邊形；據(jù)此可知：只要是兩組對邊相等，就能圍成一個平行四邊形；據(jù)此判斷即可．【解答】解：如圖的四根小棒，因為兩組分別相等，所以可以圍成平行四邊形，因為平行四邊形具有易變形的性質(zhì)，所以能圍成許多不同的平行四邊形，所以本題說法正確；故答案為：√．【點評】此題關鍵是根據(jù)四邊形的特征進行分析、解答．18．【分析】只有一組對邊平行的四邊形是梯形，平行的這組對邊叫做梯形的底，不平行的對邊叫做梯形的腰，由此可知：梯形的兩條腰一定不平行；由此判斷即可．【解答】解：根據(jù)梯形的特征可知：梯形的兩條腰一定不平行，如果延長，可以相交，所以本題說法正確；故答案為：√．【點評】此題考查梯形的特征及同一平面內(nèi)兩條直線的位置關系的靈活應用．19．【分析】如果一個四邊形為正方形，必須保證四條邊都相等，四個角都是直角，兩個條件缺一不可．【解答】解：四條邊相等的圖形，四個角不一定都是直角，所以原題說法正確．故答案為：√．【點評】此題主要利用正方形的性質(zhì)：正方形的四條邊都相等，四個角都是直角進行判定．20．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)：兩組對邊平行且相等；可以得出：兩組對邊相等的四邊形一定是平行四邊形，但不一定是長方形，因為長方形的四個角都是直角；進而判斷即可．【解答】解：兩組對邊相等的四邊形一定是長方形，說法錯誤，因為兩組對邊相等的四邊形一定是平行四邊形，但不一定是長方形，因為長方形的四個角都是直角．故答案為：×【點評】此題考查了長方形的辨析，應注意基礎知識的積累．四．計算題（共1小題）21．【分析】根據(jù)周長的意義，圍成平面圖形所有邊長的和叫做這個平面圖形的周長．（1）根據(jù)加法的意義，把圍成這個多邊形的4條邊的長度合并起來即可．（2）已知正六邊形的邊長是5分米，根據(jù)正六邊形的周長＝邊長×6，據(jù)此列式解答．【解答】解：（1）33+17+（15+35）＝50+50＝100（厘米）；答：它的周長是100厘米．（2）5×6＝30（分米）；答：這個正六邊形的周長是30分米．【點評】此題考查的目的是理解掌握周長的意義，以及多邊形周長的計算方法及應用．五．應用題（共2小題）22．【分析】由題意得：四周的籬笆的長度等于平行四邊形的四條邊的長度之和，因為平行四邊形對邊長度相等，所以平行四邊形周長＝鄰邊長度之和×2．據(jù)此解答即可．【解答】解：（28.5+46）×2＝74.5×2＝149（米）．答：圍這個菜地需要149米長的籬笆．【點評】此題主要考查利用平行四邊形的周長＝鄰邊的和×2進行解決實際問題．23．【分析】根據(jù)三角形的兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，進行分析