2024八年級數(shù)學(xué)上冊第十三章全等三角形練素養(yǎng)2.構(gòu)造全等三角形的四大技法習(xí)題課件新版冀教版

冀教版八年級上第十三章全等三角形集訓(xùn)課堂練素養(yǎng)2.構(gòu)造全等三角形的四大技法通過證明三角形全等來證線段相等、角相等是中考中常見的

中檔題.證明三角形全等的方法有“SSS”“SAS”“ASA”

和“AAS”，此外直角三角形全等的判定方法還有

“HL”，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意構(gòu)造恰當(dāng)?shù)妮o助線，然后

選擇合適的判定方法.技法1連“公共邊”法1.

如圖，在一個(gè)四邊形風(fēng)箏

ABCD

中，

AB

＝

AD

，

BC

＝

DC

，分別在

AB

，

AD

的中點(diǎn)

E

，

F

處掛兩根彩線

EC

，

FC

.

求證：

EC

＝

FC

.

1234【證明】如圖，連接

AC

.

易得△

ABC

≌△

ADC

(SSS).∴∠

EAC

＝∠

FAC

.

∵

E

，

F

分別是

AB

，

AD

的中點(diǎn)，

∵

AB

＝

AD

，∴

AE

＝

AF

.

∴△

AEC

≌△

AFC

(SAS).∴

EC

＝

FC

.

1234技法2截長補(bǔ)短法2.

如圖，在△

ABC

中，

AB

＞

AC

，

P

是∠

BAC

的平分線

AD

上任一點(diǎn).求證：

AB

－

AC

＞

PB

－

PC

.

1234【證明】方法一

如圖，在

AB

上取一點(diǎn)

E

，使

AE

＝

AC

，連接

PE

，∵

AP

為∠

BAC

的平分線，∴∠

EAP

＝∠

CAP

.

易得△

AEP

≌△

ACP

(SAS)，∴

PE

＝

PC

.

∵

AE

＝

AC

，∴

BE

＝

AB

－

AE

＝

AB

－

AC

.

在△

PBE

中，∵

BE

＞

PB

－

PE

，∴

AB

－

AC

＞

PB

－

PC

.

1234方法二

如圖，延長

AC

至點(diǎn)

M

，使

AM

＝

AB

，連接

PM

.

∵

AP

為∠

BAC

的平分線，∴∠

PAB

＝∠

PAM

.

易得△

ABP

≌△

AMP

(SAS)，∴

PB

＝

PM

.

在△

PCM

中，∵

CM

＞

PM

－

PC

，∴

AM

－

AC

＞

PB

－

PC

，∴

AB

－

AC

＞

PB

－

PC

.

1234技法3倍長中線法3.

[2024·江蘇南通期中]課外興趣小組活動(dòng)時(shí)，老師提出了如

下問題：如圖①，△

ABC

中，若

AB

＝6，

AC

＝4，求

BC

邊上的中線

AD

的取值范圍.小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，

得到了如下的解決方法：延長

AD

到

E

，

使

DE

＝

AD

，連接

BE

.

請根據(jù)小明的

方法思考：1234(1)由已知和作圖能得到△

ADC

≌△

EDB

，得到

BE

＝

AC

，在△

ABE

中求得2

AD

的取值范圍，從而求得

AD

的取值范圍是

?.方法總結(jié)：上述方法我們稱為“倍長中線法”.“倍長

中線法”多用于構(gòu)造全等三角形和證明邊之間的關(guān)系.1＜

AD

＜5

1234(2)如圖②，

AD

是△

ABC

的中線，

AB

＝

AE

，

AC

＝

AF

，∠

BAE

＋∠

CAF

＝180°，試判斷線段

AD

與

EF

的數(shù)量關(guān)系，并加以證明.1234【解】

EF

＝2

AD

.

證明：如圖，延長

AD

到

M

，使得

DM

＝

AD

，連接

BM

，∴

AM

＝

AD

＋

DM

＝2

AD

.

∵

AD

是△

ABC

的中線，∴

BD

＝

CD

.

又∵∠

BDM

＝∠

CDA

，∴△

BDM

≌△

CDA

(SAS).∴

BM

＝

AC

.

∵

AC

＝

AF

，∴

BM

＝

AF

.

1234∵△

BDM

≌△

CAD

，∴∠

MBD

＝∠

ACD

.

∴

BM

∥

AC

.

∴∠

ABM

＋∠

BAC

＝180°.

∴∠

ABM

＝∠

FAE

.

又∵

AB

＝

AE

，∴△

ABM

≌△

EAF

(SAS).∴

AM

＝

EF

.

∵

AM

＝2

AD

，∴

EF

＝2

AD

.

1234技法4基礎(chǔ)三角形模型法4.

[2024·石家莊外國語學(xué)校模擬]如圖，已知∠

BAC

＝

90°，

AB

＝

AC

，

M

為

AC

邊的中點(diǎn)，

AD

⊥

BM

于點(diǎn)

E

，交

BC

于點(diǎn)

D

，連接

DM

.

求證：∠

AMB

＝∠

CMD

.

1234【證明】如圖，作∠

BAC

的平分線

AG

交

BM

于點(diǎn)

G

.

∵∠

BAC

＝90°，

AB

＝

AC

，∴∠

ABC

＝∠

ACB

＝45°，∠

MAG

＝∠

BAG

＝45°.∵

AE

⊥

BM

，∴∠

MAE

＋∠

AMB

＝90°.又∵∠

ABM

＋∠

AMB

＝90°，∴∠

ABM

＝∠

MAE

.

1234

∴△