安全系統(tǒng)工程課件：事故樹分析（六）-計算頂上事件的發(fā)生概率（二）

計算頂上事件的發(fā)生概率（二）本課重難點及教學目標五、最小割集法六、最小徑集法七、近似計算法課程小結課程復習思考題下次課預習要點本課重難點及教學目標本課的重點及難點利用最小割集法、最小徑集法及近似求頂上事件發(fā)生概率的方法。教學目標

掌握利用最小割集法、最小徑集法以及近似求頂上事件發(fā)生概率的方法。五、最小割集法

在定性分析中，已給出了用最小割集表示的事故樹的等效圖，從圖中可以看出，其標準結構式是頂上事件T與最小割集Kj的邏輯連接為或門，而每個最小割集Kj與其所包含的基本事件xi的邏輯連接為與門。分以下兩種情況進行計算。五、最小割集法a各最小割集中沒有重復的基本事件

如果各最小割集中彼此沒有重復的基本事件，則可以先求出各個最小割集的概率，即最小割集中所包含的基本事件的交(邏輯與)集的概率，然后求所有最小割集的并(邏輯或)集的概率，即得頂上事件的發(fā)生概率。由于與門的結構函數為：或門的結構函數為：五、最小割集法

根據最小割集的定義，如果在某個割集中任意除去一個基本事件就不再是割集。換句話說，也就是要求最小割集中所有基本事件都同時發(fā)生，該最小割集才存在，即：五、最小割集法

在事故樹中，一般有多個最小割集，只要存在一個最小割集，頂上事件就會發(fā)生，因此，事故樹的結構函數可表示為：五、最小割集法

因此，若各個最小割集中彼此沒有重復的基本事件，則可按下式計算頂上事件的發(fā)生概率：五、最小割集法

【例2-31】設某事故樹有3個最小割集，K1={x1，x2}，K2={x3，x4，x5}，K3={x6，x7}。各基本事件的發(fā)生概率分別為

求頂上事件的發(fā)生概率。

解：根據事故樹的3個最小割集，可以作出用最小割集表示的等效事故樹圖，見圖2-38所示。五、最小割集法3個最小割集的概率，可由各個最小割集所包含的基本事件的邏輯與分別求出：

頂上事件的發(fā)生概率，即求所有最小割集的邏輯或，得：五、最小割集法

從結果可以看出，頂上事件的發(fā)生概率等于各個最小割集的概率積的和。

利用式2-36計算事故樹頂上事件的發(fā)生概率，要求各最小割集中沒有重復的基本事件，也就是各最小割集之間是完全不相交的。若事故樹各最小割集中有重復的基本事件，則上式不成立。五、最小割集法b各最小割集中有重復的基本事件

【例2-32】某事故樹共有3個最小割集分別為K1={x1，x2}，K2={x2，x3，x4}，K3={x2，x5}。各基本事件的發(fā)生概率分別為

，求頂上事件的發(fā)生概率。五、最小割集法

解：該事故樹的結構函數式為：五、最小割集法

通過上例進行分析，由此，若最小割集中有重復的基本事件時，必須將式2-36展開，用布爾代數消除每個概率積中的重復基本事件，從而得到：五、最小割集法第一項==將各最小割集中的基本事件的概率積的和；第二項==每兩個最小割集中的基本事件的概率積的和（化簡重復事件）第三項==每三個最小割集的基本事件的概率積的和（化簡重復事件）以此類推，加減號交替，直到最后一項“計算所有最小割集同時發(fā)生的概率積。1、列出頂上事件發(fā)生的概率表達式2、展開，消除每個概率積中的重復的概率因子qi·

qi=qi3、將各基本事件的概率值帶入，計算頂上事件的發(fā)生概率如果各個最小割集中彼此不存在重復的基本事件，可省略第2步五、最小割集法六、最小徑集法在定性分析中，同樣也給出了用最小徑集表示的事故樹的等效圖，從圖中可以看出，其標準結構式是頂上事件T與最小徑集Pj的邏輯連接為與門，而每個最小徑集Pj與其所包含的基本事件xi的邏輯連接為或門。同樣分以下兩種情況進行計算。六、最小徑集法a各最小徑集中沒有重復的基本事件如果各最小徑集中彼此沒有重復的基本事件，則可以先求出各個最小徑集的概率，即最小徑集中所包含的基本事件的并(邏輯或)集的概率，然后求所有最小徑集的交(邏輯與)集的概率，即得頂上事件的發(fā)生概率。故可按下式進行計算：六、最小徑集法六、最小徑集法【例2-33】假設某事故樹有3個最小徑集，分別為P1={x1，x2}，P2={x3，x4，x5}，P3={x6，x7}。各基本事件的發(fā)生概率分別為

，求頂上事件的發(fā)生概率。六、最小徑集法

解：根據事故樹的3個最小徑集，作出用最小徑集表示的等效圖，如圖2-39所示。六、最小徑集法3個最小徑集的概率，可由各個最小徑集所包含的基本事件的邏輯或分別求出：頂上事件的發(fā)生概率，即求所有最小徑集的邏輯與，得：六、最小徑集法

用式2-38計算任意一個事故樹頂上事件的發(fā)生概率時，要求各最小徑集中沒有重復的基本事件，也就是最小徑集之間是完全不相交的。如果事故樹中各最小徑集中彼此有重復的基本事件，則式2-38不成立。六、最小徑集法b各最小徑集中有重復的基本事件如果事故樹中各最小徑集中彼此有重復的基本事件，則需要將式2-38展開，消去概率積中基本事件xi不發(fā)生概率（1-qi）的重復基本事件，即得：六、最小徑集法

式中符號意義同前。第一項==各最小徑集中的基本事件不發(fā)生的概率積的和；第二項==每兩個最小徑集的各基本事件不發(fā)生的概率積和（化簡重復事件）第三項==每三個最小徑集的各基本事件不發(fā)生的概率積的和（化簡重復事件）以此類推，加減號交替，直到最后一項“計算所有最小徑集同時不發(fā)生的概率積。六、最小徑集法

【例2-34】假設某事故樹共有3個最小徑集，分別為P1={x1，x2}，P2={x2，x3}，P3={x2，x4}。各基本事件的發(fā)生概率分別為

，求頂上事件的發(fā)生概率。解：根據題意，可寫出其結構函數式為：

頂上事件的發(fā)生概率則為：六、最小徑集法

將上式進一步展開得：根據等冪律有：

故：六、最小徑集法

整理上式得：六、最小徑集法

又例如：某事故樹共有4個最小徑集，

P1=｛x1，x3

｝，P2=｛x1，x5｝,P3=｛x3，x4｝,P3=｛x2，x4，x5｝已知各基本事件發(fā)生的概率為：q1=0.01；q2=0.02；q3=0.03；q4=0.04；q5=0.05試用最小徑集法求頂上事件的發(fā)生概率？六、最小徑集法P1=｛x1，x3

｝，P2=｛x1，x5

｝,P3=｛x3，x4｝,P4=｛x2，x4，x5｝1、列出定上事件發(fā)生的概率表達式2、展開，消除每個概率積中的重復的概率因子(1-qi)·(1-qi)=1-qi3、將各基本事件的概率值帶入，計算頂上事件的發(fā)生概率如果各個最小徑集中彼此不存在重復的基本事件，可省略第2步六、最小徑集法七、近似計算法

在進行事故樹分析時，往往會遇到很復雜很龐大的事故樹，有時一顆事故樹會牽扯成百上千個基本事件，這時要精確求出頂上事件的發(fā)生概率，需要花費相當大的人力和物力。但在許多工程問題中，這種精確計算是不必要的，這是因為統(tǒng)計得到的基本數據往往是不很精確的。因此，需要找出一種簡便方法，它既能保證必要的精確度，又能較為方便地算出結果。實際計算中多采用近似計算法。

七、近似計算法近似計算方法有：首項近似法、平均近似法、最小割集逼近法、最小徑集逼近法、獨立事件近似法等。近似計算法是利用最小割集計算頂上事件發(fā)生概率的公式得到的。一般情況下，可以假定所有基本事件都是統(tǒng)計獨立的，因而每個最小割集也是統(tǒng)計獨立的。下面介紹兩種常用的近似計算法。七、近似計算法a首項近似法

在近似計算時往往（根據利用最小割集計算頂上事件的發(fā)生概率公式2-37）求出F1就能滿足要求，即：

該式說明，頂上事件的發(fā)生概率近似等于所有最小割集發(fā)生概率的代數和。七、近似計算法

【例2-35】現仍以圖2-36所示的簡單事故樹為例，其用最小割集表示的等效圖如圖2-41所示。圖中基本事件x1，x2，x3的發(fā)生概率均為0.1，用近似公式計算頂上事件的發(fā)生概率。七、近似計算法用首項近似公式計算如下：七、近似計算法b平均近似法有時為了提高計算精度，取首項與第二項之半的差作為近似值，即：

一般當基本事件的發(fā)生概率值q1<0.01時，采用

就可以得到較為精確的近似概率值。七、近似計算法

【例2-36】某事故樹如圖2-42所示，已知q1=q2=0.2，q3=q4=0.3，q5=0