2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)十一3.4反證法含解析北師大版選修1-2

PAGE課時(shí)素養(yǎng)評(píng)價(jià)十一反證法(20分鐘·50分)一、選擇題(每小題5分,共20分)1.反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出沖突,這個(gè)沖突可以是①與已知條件沖突;②與假設(shè)沖突;③與定義、公理、定理沖突;④與事實(shí)沖突.其中正確的為 ()A.①② B.②③ C.③④ D.①②③④【解析】選D.利用已知定義、定理、公理等基本原理逐步推證出一個(gè)與命題的條件或已證明的定理或公認(rèn)的簡(jiǎn)潔事實(shí)相沖突的結(jié)論,以此說(shuō)明原假設(shè)的結(jié)論不成立,從而確定原命題的結(jié)論成立的方法稱(chēng)為反證法.①與已知條件沖突;正確.②與假設(shè)沖突;正確.③與定義、公理、定理沖突;正確.④與事實(shí)沖突.正確.2.小方,小明,小馬,小紅四人參與完某項(xiàng)競(jìng)賽,當(dāng)問(wèn)到四人誰(shuí)得第一時(shí),回答如下:小方:“我得第一名”;小明:“小紅沒(méi)得第一名”;小馬:“小明沒(méi)得第一名”;小紅:“我得第一名”.已知他們四人中只有一人說(shuō)真話,且只有一人得第一名.依據(jù)以上信息可以推斷出得第一名的人是 ()A.小明 B.小馬 C.小紅 D.小方【解析】選A.假設(shè)第一名是小方,則小方、小明、小馬說(shuō)的都是真話,小紅說(shuō)的是假話,不合題意;假設(shè)第一名是小明,則只有小明說(shuō)的是真話,另外三人說(shuō)的都是假話,符合題意;假設(shè)第一名是小馬,則小方、小紅說(shuō)的都是假話,小馬、小明說(shuō)的是真話,不合題意;假設(shè)第一名是小紅,則小方、小明說(shuō)的是假話,小馬和小紅說(shuō)的是真話,不合題意.3.已知a,b是異面直線,直線c平行于直線a,那么直線c與b的位置關(guān)系為()A.確定是異面直線 B.確定是相交直線C.不行能是平行直線 D.不行能是相交直線【解析】選C.假設(shè)c∥b,而由c∥a,可得a∥b,這與a,b異面沖突,故c與b不行能是平行直線.4.已知x1>0,x1≠1且xn+1=QUOTE(n=1,2,…),試證:數(shù)列{xn}對(duì)隨意的正整數(shù)n都滿意xn>xn+1,當(dāng)此題用反證法否定結(jié)論時(shí)應(yīng)為 ()A.對(duì)隨意的正整數(shù)n,有xn=xn+1B.存在正整數(shù)n,使xn=xn+1C.存在正整數(shù)n,使xn≥xn+1D.存在正整數(shù)n,使xn≤xn+1【解析】選D.隨意的否定為存在,xn>xn+1的否定為xn≤xn+1.二、填空題(每小題5分,共10分)5.命題“隨意多面體的面至少有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定是__________________.

【解析】“至少有一個(gè)”的否定是“沒(méi)有一個(gè)”.答案:沒(méi)有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形6.命題“三角形中最多只有一個(gè)內(nèi)角是直角”的否定是__________________.

【解析】“最多”的反面是“最少”,故本題的否定是:三角形中最少有兩個(gè)內(nèi)角是直角.答案:“三角形中最少有兩個(gè)內(nèi)角是直角”三、解答題(每小題10分,共20分)7.設(shè)二次函數(shù)f(x)=ax2+bx+c(a≠0)中,a,b,c均為整數(shù),且f(0),f(1)均為奇數(shù).求證f(x)=0無(wú)整數(shù)根.【證明】設(shè)f(x)=0有一個(gè)整數(shù)根k,則ak2+bk=-c.①又因?yàn)閒(0)=c,f(1)=a+b+c均為奇數(shù),所以a+b為偶數(shù),當(dāng)k為偶數(shù)時(shí),明顯與①式?jīng)_突;當(dāng)k為奇數(shù)時(shí),設(shè)k=2n+1(n∈Z),則ak2+bk=(2n+1)·(2na+a+b)為偶數(shù),也與①式?jīng)_突,故假設(shè)不成立,所以方程f(x)=0無(wú)整數(shù)根.8.已知函數(shù)f(x)=ax+QUOTE(a>1),用反證法證明方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.【證明】假設(shè)方程f(x)=0有負(fù)數(shù)根,設(shè)為x0(x0≠-1).則有x0<0,且f(x0)=0.所以QUOTE+QUOTE=0,所以QUOTE=-QUOTE.因?yàn)閍>1,所以0<QUOTE<1,所以0<-QUOTE<1.解上述不等式,得QUOTE<x0<2.這與假設(shè)x0<0沖突.故方程f(x)=0沒(méi)有負(fù)數(shù)根.(15分鐘·30分)1.(5分)用反證法證明命題“設(shè)a,b為實(shí)數(shù),則方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí),要作的假設(shè)是 ()A.方程x3+ax+b=0沒(méi)有實(shí)根B.方程x3+ax+b=0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x3+ax+b=0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x3+ax+b=0恰好有兩個(gè)實(shí)根【解析】選A.結(jié)論“方程x3+ax+b=0至少有一個(gè)實(shí)根”的假設(shè)是“方程x3+ax+b=0沒(méi)有實(shí)根.”2.(5分)設(shè)x,y,z均為正數(shù),a=x+QUOTE,b=y+QUOTE,c=z+QUOTE,則a,b,c三個(gè)數(shù) ()A.至少有一個(gè)不大于2 B.都小于2C.至少有一個(gè)不小于2 D.都大于2【解析】選C.假設(shè)a,b,c都小于2,則a+b+c<6,而a+b+c=x+QUOTE+y+QUOTE+z+QUOTE=QUOTE+QUOTE+QUOTE≥2+2+2=6,與a+b+c<6沖突,所以a,b,c都小于2錯(cuò)誤.所以a,b,c三個(gè)數(shù)至少有一個(gè)不小于2.3.(5分)若a,b,c,d都是有理數(shù),QUOTE,QUOTE都是無(wú)理數(shù),且a+QUOTE=b+QUOTE,則a與b,c與d之間的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)_______.

【解析】假設(shè)a≠b,令a=b+m(m是不等于零的有理數(shù)),于是b+m+QUOTE=b+QUOTE,所以m+QUOTE=QUOTE,兩邊平方整理得QUOTE=QUOTE.左邊是無(wú)理數(shù),右邊是有理數(shù),沖突,因此a=b,從而c=d.答案:a=b,c=d4.(5分)某班有49位學(xué)生,用反證法證明:至少有5位學(xué)生的生日在同一個(gè)月.完善下列證明過(guò)程:【證明】假設(shè)至多只有________位學(xué)生的生日在同一個(gè)月,即生日同在1,2,3,…,12月的學(xué)生人數(shù)都不超過(guò)________人,所以該班學(xué)生總數(shù)m≤________人,與該班有49位學(xué)生的條件沖突,所以假設(shè)不成立,原命題成立.

【解析】“至少有5位學(xué)生的生日在同一個(gè)月”的否定為“至多只有4位學(xué)生的生日在同一個(gè)月”,即生日同在1,2,3,…,12月的學(xué)生人數(shù)都不超過(guò)4人,所以該班學(xué)生總數(shù)m≤4×12=48人.答案:44485.(10分)已知f(x)=x2+px+q.(1)求證:f(1)+f(3)-2f(2)=2.(2)求證:|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個(gè)不小于QUOTE.【證明】(1)f(1)+f(3)-2f(2)=(1+p+q)+(9+3p+q)-2(4+2p+q)=2.(2)假設(shè)|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個(gè)不小于QUOTE不成立,則|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|都小于QUOTE,則|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2,而|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|≥f(1)+f(3)-2f(2)=2,這與|f(1)|+2|f(2)|+|f(3)|<2相沖突,從而假設(shè)不成立,原命題成立,|f(1)|,|f(2)|,|f(3)|中至少有一個(gè)不小于QUOTE.1.某市在今年中學(xué)學(xué)生足球聯(lián)賽分組中,通過(guò)抽簽方式,把甲、乙、丙、丁四支隊(duì)伍分到編號(hào)為1,2,3,4的四個(gè)小組中作為種子隊(duì)(每組有且只有一個(gè)種子隊(duì)).A,B,C,D四位學(xué)生進(jìn)行如下預(yù)料:A預(yù)料:乙隊(duì)在第1小組,丙隊(duì)在第3小組;B預(yù)料:乙隊(duì)在第2小組,丁隊(duì)在第3小組;C預(yù)料:丁隊(duì)在第4小組,丙隊(duì)在第2小組;D預(yù)料:甲隊(duì)在第4小組,丙隊(duì)在第3小組.假如A,B,C,D四位學(xué)生每人的預(yù)料都只對(duì)了一半,那么在第3小組和第4小組的種子隊(duì)分別是 ()A.丁在第3小組,丙在第4小組或甲在第3小組,丁在第4小組B.丙在第3小組,丁在第4小組或甲在第3小組,丁在第4小組C.丁在第3小組,丙在第4小組或丁在第3小組,甲在第4小組D.丙在第3小組,丁在第4小組或丁在第3小組,甲在第4小組【解析】選D.A,B,C,D四位學(xué)生每人的預(yù)料都只對(duì)了一半,假設(shè)丁在第3小組,由B的預(yù)料可得乙不在第2小組,由C的預(yù)料可得丙在第2小組,由A的預(yù)料可得乙在第1小組,由D的預(yù)料可得甲在第4小組,符合題意,可得甲在第4小組,乙在第1小組,丙在第2小組,丁在第3小組;假設(shè)丁在第4小組,由B的預(yù)料可得乙在第2小組,由C的預(yù)料可得丙不在第2小組,由A的預(yù)料可得丙在第3小組,由D的預(yù)料可得甲不在第4小組,符合題意,可得甲在第1小組,乙在第2小組,丙在第3小組,丁在第4小組.2.設(shè){an}是公比為q的等比數(shù)列.(1)推導(dǎo)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式.(2)設(shè)q≠1,證明數(shù)列{an+1}不是等比數(shù)列.【解析】(1)設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,當(dāng)q=1時(shí),Sn=a1+a1+…+a1=na1.當(dāng)q≠1時(shí),Sn=a1+a1q+a1q2+…+a1qn-1,①qSn=a1q+a1q2+…+a1qn,②由①-②得(1-q)Sn=a1-a1qn所以Sn=QUOTE,綜上所述,Sn=QUOTE(2)假設(shè){an+1}是等比