江蘇省啟東市高中數(shù)學 第一章 三角函數(shù) 第9課時 1.3.1 三角函數(shù)的周期性教案 蘇教版必修4

江蘇省啟東市高中數(shù)學第一章三角函數(shù)第9課時1.3.1三角函數(shù)的周期性教案蘇教版必修4主備人備課成員教學內(nèi)容本節(jié)課的教學內(nèi)容來自江蘇省啟東市高中數(shù)學第一章三角函數(shù)的第9課時，具體為1.3.1三角函數(shù)的周期性。本節(jié)課的主要內(nèi)容有：

1.理解三角函數(shù)周期性的概念，掌握正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的周期性。

2.學會利用周期性進行三角函數(shù)的簡化計算和求解。

3.能夠運用周期性解決實際問題，提高解決問題的能力。

4.培養(yǎng)學生的邏輯思維能力和團隊協(xié)作能力。

教學重點為三角函數(shù)周期性的理解和運用，教學難點為周期性在實際問題中的運用。核心素養(yǎng)目標本節(jié)課旨在培養(yǎng)學生的數(shù)學核心素養(yǎng)，主要包括：

1.邏輯推理：通過探究三角函數(shù)的周期性，培養(yǎng)學生從具體實例中抽象出一般性規(guī)律的能力，提高其邏輯推理水平。

2.數(shù)學建模：引導學生運用周期性解決實際問題，培養(yǎng)學生建立數(shù)學模型解決問題的能力。

3.直觀想象：通過圖形演示和實際操作，幫助學生建立直觀的周期性概念，提高其空間想象能力。

4.數(shù)據(jù)分析：培養(yǎng)學生利用周期性對數(shù)據(jù)進行分析、處理和解釋的能力，提高其數(shù)據(jù)分析能力。

5.數(shù)學運算：在學習三角函數(shù)周期性的過程中，培養(yǎng)學生熟練運用運算規(guī)則，提高其數(shù)學運算能力。

6.數(shù)學抽象：通過學習三角函數(shù)的周期性，培養(yǎng)學生從具體情境中抽象出數(shù)學模型的能力，提高其數(shù)學抽象水平。

7.數(shù)學建模：引導學生運用周期性解決實際問題，培養(yǎng)學生將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型解決問題的能力。學習者分析1.知識基礎(chǔ)：學生在之前的數(shù)學學習中，已經(jīng)掌握了初中階段的三角函數(shù)基礎(chǔ)知識，如正弦、余弦和正切函數(shù)的定義和性質(zhì)。同時，學生也掌握了函數(shù)的一般概念和性質(zhì)，這為學習三角函數(shù)的周期性提供了基礎(chǔ)。

2.學習興趣與能力：高中生對數(shù)學知識的探究欲望較強，特別是對于函數(shù)這一重要數(shù)學概念。學生已經(jīng)具備一定的邏輯思維能力和抽象思維能力，能夠從具體實例中抽象出一般性規(guī)律。同時，學生在之前的數(shù)學學習中已經(jīng)培養(yǎng)了較強的數(shù)學運算能力和數(shù)據(jù)分析能力。

3.學習風格：學生的學習風格多樣，有善于通過自學和思考解決問題的，也有喜歡與同學討論和合作的。這要求教師在教學過程中既要注重啟發(fā)式教學，引導學生獨立思考，又要充分發(fā)揮小組合作的作用，讓學生在討論和交流中共同進步。

4.可能遇到的困難和挑戰(zhàn)：在理解三角函數(shù)周期性的概念時，學生可能會對周期性的本質(zhì)和應(yīng)用產(chǎn)生困惑。尤其是在實際問題中運用周期性求解時，可能會遇到難以將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學模型的問題。此外，學生在運用周期性進行計算和求解時，可能會出現(xiàn)運算錯誤或邏輯推理不嚴密的情況。

針對以上分析，教師在教學過程中應(yīng)關(guān)注學生的個體差異，針對不同學生的學習需求進行有針對性的指導，幫助學生克服困難和挑戰(zhàn)，提高教學質(zhì)量。學具準備多媒體課型新授課教法學法講授法課時第一課時師生互動設(shè)計二次備課教學資源準備1.教材：確保每位學生都有《江蘇省啟東市高中數(shù)學第一章三角函數(shù)第9課時1.3.1三角函數(shù)的周期性教案蘇教版必修4》的教材或?qū)W習資料，以便學生能夠跟隨教學進度進行學習和復習。

2.輔助材料：為了幫助學生更好地理解三角函數(shù)周期性的概念，準備相關(guān)的圖片、圖表、視頻等多媒體資源。例如，可以準備正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖像，以及周期性的具體實例和應(yīng)用場景的圖片和視頻。

3.實驗器材：如果本節(jié)課涉及實驗部分，需要確保實驗器材的完整性和安全性。例如，準備一些簡單的測量工具，如尺子、量角器等，以及一些演示用的三角函數(shù)模型或玩具。

4.教室布置：根據(jù)教學需要，對教室進行適當?shù)牟贾??？梢栽O(shè)置分組討論區(qū)，供學生在小組合作時進行討論和交流；同時，也可以設(shè)置實驗操作臺，供學生進行實驗操作。

5.教學工具：準備投影儀、計算機、白板等教學工具，以便教師能夠清晰地展示教學內(nèi)容，并與學生進行互動。

6.學習任務(wù)單：準備一份詳細的學習任務(wù)單，列出學生需要完成的任務(wù)和學習目標，以便學生能夠明確學習任務(wù)和方向。

7.解答疑惑：準備一些常見的疑問和解答，以便在課堂上能夠及時解答學生的問題，幫助學生更好地理解和掌握知識。教學流程1.導入新課（用時5分鐘）

通過展示一些生活中的周期性現(xiàn)象，如擺鐘的擺動、月亮的圓缺等，引導學生關(guān)注周期性的概念。提問：“你們認為什么是周期性？在數(shù)學中，周期性是如何定義的？”讓學生思考并分享他們的理解。進而引入本節(jié)課的主題：三角函數(shù)的周期性。

2.新課講授（用時15分鐘）

（1）首先，介紹正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的周期性定義和性質(zhì)。舉例說明，如正弦函數(shù)sin(x)的周期為2π，余弦函數(shù)cos(x)的周期也為2π，正切函數(shù)tan(x)的周期為π。

（2）其次，講解如何利用周期性進行三角函數(shù)的簡化計算和求解。例如，當要求解sin(3x)+cos(4x)在一個周期內(nèi)的解析式時，可以利用周期性將其轉(zhuǎn)化為sin(x)+cos(x)的形式。

（3）最后，介紹周期性在實際問題中的應(yīng)用。例如，在物理中，正弦函數(shù)可以用來描述簡諧振動；在工程中，余弦函數(shù)可以用來分析交流電的變化規(guī)律。

3.實踐活動（用時10分鐘）

（1）讓學生分組討論，每組選擇一個周期性現(xiàn)象，如擺鐘的擺動、心臟跳動的規(guī)律等，嘗試用數(shù)學語言和函數(shù)模型來描述和分析。

（2）每組展示他們的討論成果，其他組進行評價和提問。教師引導學生從周期性的角度去思考和解決問題。

（3）讓學生利用計算器或數(shù)學軟件，繪制一些周期性函數(shù)的圖像，觀察和分析其周期性特點。

4.學生小組討論（用時10分鐘）

（1）教師提出一些關(guān)于周期性的問題，讓學生進行小組討論。例如：“周期性在現(xiàn)實生活中有哪些應(yīng)用？如何利用周期性解決實際問題？”

（2）每組選出一個代表進行回答，其他組進行評價和補充。教師引導學生從多角度去思考和解決問題。

（3）讓學生舉例說明，如何將實際問題轉(zhuǎn)化為周期性問題的數(shù)學模型，并解釋其周期性特點。

5.總結(jié)回顧（用時5分鐘）

對本節(jié)課的主要內(nèi)容進行總結(jié)回顧，強調(diào)三角函數(shù)周期性的定義、性質(zhì)和應(yīng)用。提醒學生要注意周期性在實際問題中的運用，提高解決問題的能力。

總用時：45分鐘知識點梳理本節(jié)課的主要知識點包括：

1.三角函數(shù)周期性的概念：周期性是指函數(shù)值按照一定的規(guī)律重復出現(xiàn)的一種性質(zhì)。對于三角函數(shù)，周期性指的是正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的值在一定范圍內(nèi)按照固定間隔重復出現(xiàn)。

2.正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的周期性：正弦函數(shù)sin(x)和余弦函數(shù)cos(x)的周期都是2π，即每隔2π個單位長度，函數(shù)值重復出現(xiàn)。正切函數(shù)tan(x)的周期是π，即每隔π個單位長度，函數(shù)值重復出現(xiàn)。

3.周期性的性質(zhì)：周期性具有以下性質(zhì)：

a.周期性是周期函數(shù)的基本屬性，與函數(shù)的振幅、相位等無關(guān)。

b.周期函數(shù)的周期是函數(shù)值重復出現(xiàn)的最小距離。

c.周期函數(shù)的周期性不會因為平移、伸縮等變換而改變。

4.周期性的應(yīng)用：周期性在數(shù)學、物理、工程等領(lǐng)域有廣泛的應(yīng)用。例如，在物理學中，正弦函數(shù)可以用來描述簡諧振動；在電子學中，余弦函數(shù)可以用來分析交流電的變化規(guī)律。

5.周期性的求解和應(yīng)用：利用周期性可以簡化三角函數(shù)的求解過程。例如，當要求解三角方程時，可以利用周期性將方程轉(zhuǎn)化為標準形式，從而簡化求解步驟。

6.周期性在實際問題中的應(yīng)用：在實際問題中，周期性可以幫助我們建立數(shù)學模型，從而更好地理解和解決問題。例如，在分析人口增長、股市走勢等問題時，可以利用周期性來建立數(shù)學模型，預(yù)測未來的發(fā)展趨勢。板書設(shè)計1.三角函數(shù)周期性的定義和性質(zhì)

①周期性：函數(shù)值按照一定規(guī)律重復出現(xiàn)的性質(zhì)

②三角函數(shù)的周期性：正弦函數(shù)sin(x)、余弦函數(shù)cos(x)的周期為2π，正切函數(shù)tan(x)的周期為π

③周期性的性質(zhì)：周期函數(shù)的基本屬性，與函數(shù)的振幅、相位等無關(guān)；周期是函數(shù)值重復出現(xiàn)的最小距離；周期性不會因為平移、伸縮等變換而改變

2.周期性的應(yīng)用

①數(shù)學中的應(yīng)用：簡化三角函數(shù)的求解過程，如求解三角方程

②物理中的應(yīng)用：描述簡諧振動，分析交流電的變化規(guī)律

③工程中的應(yīng)用：分析信號的變化趨勢，設(shè)計濾波器等

3.周期性在實際問題中的應(yīng)用

①建立數(shù)學模型：分析人口增長、股市走勢等問題

②預(yù)測發(fā)展趨勢：利用周期性進行趨勢分析和預(yù)測

③解決實際問題：利用周期性優(yōu)化工程設(shè)計、提高生產(chǎn)效率等

板書設(shè)計要求簡潔明了，突出重點，同時具有藝術(shù)性和趣味性，以激發(fā)學生的學習興趣和主動性。可以通過使用清晰的符號、圖表、顏色等元素，使得板書更具吸引力。例如，可以使用不同顏色的粉筆標出周期性的性質(zhì)，或者用圖示來展示三角函數(shù)的周期性應(yīng)用。通過這樣的設(shè)計，學生能夠更容易地理解和記憶知識點，提高學習效果。重點題型整理1.三角函數(shù)周期性的判斷

題目：判斷以下函數(shù)是否為周期函數(shù)，若是，指出其周期。

答案：函數(shù)f(x)=sin(2x)+cos(3x)是周期函數(shù)，其周期為2π/2=π。

2.利用周期性簡化三角函數(shù)表達式

題目：利用周期性簡化以下三角函數(shù)表達式。

答案：f(x)=sin(x)+sin(3x)可以簡化為f(x)=2sin(2x)cos(x)。

3.周期性在實際問題中的應(yīng)用

題目：某城市去年的人口為100萬人，今年的人口為102萬人。假設(shè)人口增長呈現(xiàn)周期性，求明年的人口預(yù)測值。

答案：設(shè)人口增長函數(shù)為f(x)，其周期為T。根據(jù)題意，f(0)=100,f(1)=102。由周期性可知，f(2)=f(0)=100,f(3)=f(1)=102。因此，人口增長呈現(xiàn)4年一個周期的周期性。明年的人口預(yù)測值為f(3)=102萬人。

4.周期性在物理中的應(yīng)用

題目：一個簡諧振動系統(tǒng)的振動方程為x(t)=A*sin(ωt+φ)，其中A為振幅，ω為角頻率，φ為初相位。若系統(tǒng)的周期為T，求ω與T的關(guān)系。

答案：周期T與角頻率ω的關(guān)系為T=2π/ω。

5.周期性在工程中的應(yīng)用

題目：設(shè)計一個低通濾波器，使得輸入信號的頻率低于1kHz時，輸出信號的頻率為0.5kHz。

答案：可以設(shè)計一個周期為2kHz的三角函數(shù)濾波器，其傳遞函數(shù)為H(ω)=sin(ω)/sin(2ω)。當輸入信號的頻率低于1kHz時，輸出信號的頻率為0.5kHz。作業(yè)布置與反饋本節(jié)課的作業(yè)包括以下幾個部分，以鞏固所學知識并提高能力：

a.判斷以下三角函數(shù)是否為周期函數(shù)，若是，指出其周期。

1.f(x)=sin(x)

2.f(x)=cos(2x)

3.f(x)=tan(x)

b.利用周期性簡化以下三角函數(shù)表達式。

1.f(x)=sin(x)+cos(3x)

2.f(x)=2sin(2x)cos(x)-sin(4x)

c.求解以下實際問題。

1.某城市去年的人口為100萬人，今年的人口為110萬人。假設(shè)人口增長呈現(xiàn)周期性，求明年的人口預(yù)測值。

2.一個簡諧振動系統(tǒng)的振動方程為x(t)=A*sin(ωt+φ)，其中A為振幅，ω為角頻率，φ為初相位。若系統(tǒng)的周期為T，求ω與T的關(guān)系。

d.設(shè)計一個低通濾波器，使得輸入信號的頻率低于1kHz時，輸出信號的頻率為0.5kHz。

2.作業(yè)反饋

及時對學生的作業(yè)進行批改和反饋，指出存在的問題并給出改進建議。例如：

a.在判斷三角函數(shù)周期性的作業(yè)中，有些學生可能沒有正確理解周期性的概念，或者沒有正確計算出周期。在反饋中，可以指出周期性的定義，并指導學生如何計算周期。

b.在簡化三角函數(shù)表達式的作