第六章 一次函數(shù)（3類壓軸題專練）

第六章一次函數(shù)（壓軸題專練）一、動點函數(shù)問題1．如圖，在長方形ABCD中，動點P從A出發(fā)，以一定的速度，沿方向運動到點A處停止（提示：當(dāng)點P在AB上運動時，點P到DC的距離始終等于AD和BC）．設(shè)點P運動的路程為x，的面積為y，如果y與x之間的關(guān)系如圖所示，那么長方形ABCD的面積為（）A．6 B．9 C．15 D．182．已知動點H以每秒x厘米的速度沿圖1的邊框（邊框拐角處都互相垂直）按從的路徑勻速運動，相應(yīng)的的面積關(guān)于時間的關(guān)系圖象如圖2，已知，則下列說法正確的有幾個（）①動點H的速度是；②BC的長度為；③b的值為14；④在運動過程中，當(dāng)?shù)拿娣e是時，點H的運動時間是和．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個3．如圖1，四邊形中，，，點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度，沿路線A-B-C-D運動.設(shè)點的運動時間為，的面積為，當(dāng)運動到的中點時，的面積為（）A． B． C． D．4．如圖，在長為形中，，點分別是線段上的點，其中，連線，動點從點出發(fā)，以的速度沿著路徑勻速運動，運動到點即停止運動，連接，設(shè)點運動的時間為．

(1)如圖1，線段；當(dāng)時，線段；(2)如圖1，點在線段上運動的過程中，連接，當(dāng)是以為直角邊的直角三角形時，請求出對應(yīng)的時間的值；(3)如圖2，連接，點在整個運動過程中，的面積總是隨著時間的變化而變化，請直接寫出面積與運動時間的關(guān)系式．二、一次函數(shù)之三角形存在性問題問題5．如圖，直線的圖像與軸和軸分別交于點和點，將沿直線對折使點和點重合，直線與軸交于點，與交于點，連接．(1)求線段的長；(2)若點是點關(guān)于軸的對稱點，求的面積；(3)已知軸上有一點，若以點，，為頂點的三角形是等腰三角形，請求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：分別交x軸，y軸于A、B兩點，直線：分別交x軸，y軸于C、D兩點，兩直線相交于點，點P是直線上一動點．(1)求n和b的值；(2)若是直角三角形，求點P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)，求點P的坐標(biāo)．7．直線：分別與x，y軸交于A，B兩點，點A的坐標(biāo)為，過點B的直線交x軸正半軸于點C，且．(1)求點B的坐標(biāo)及直線的函數(shù)表達式；(2)在y軸存在點P，使得三點B、C、P構(gòu)成等腰三角形，請直接寫出點P的坐標(biāo)；(3)在坐標(biāo)系平面內(nèi)，存在點D，使以點A，B，D為頂點的三角形與全等（重合除外），請求出點D的坐標(biāo)．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點A，交y軸于點B，交直線于點C，點D與點B關(guān)于x軸對稱，連接交直線于點E．(1)求直線的解析式；(2)在x軸上存在一點P，使得的和最小，并求出其最小值；(3)當(dāng)時，點Q為y軸上的一個動點，使得為等腰直角三角形，求點Q的坐標(biāo)．一次函數(shù)之三角形全等問題9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸，軸交于點，，過點作軸的垂線，與直線交于點．

(1)求點的坐標(biāo)；(2)點是線段上一動點，直線與軸交于點．i）若的面積為8，求點的坐標(biāo)；ii）如圖2，當(dāng)點在軸正半軸上時，將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后的直線與線段交于點，連接，若，求線段的長．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點為坐標(biāo)原點，直線交軸于點，交軸于點，直線：交軸于點．已知．

(1)求直線的解析式；(2)已知點為直線上第三象限的一點，連接，設(shè)點的橫坐標(biāo)為，的面積為，求與之間的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫出變量的取值范圍）；(3)在（2）的條件下，，點關(guān)于軸的對稱點為點，點在第一象限直線的右側(cè)，點在線段上，連接相交于點，滿足，，過作軸交直線于點，連接，取的中點，連接，過點作交軸于點，且，延長與相交于點，若，求的長．

第六章一次函數(shù)（動點、全等、三角形存在性問題）（壓軸題專練）答案全解全析一、動點函數(shù)問題1．如圖，在長方形ABCD中，動點P從A出發(fā)，以一定的速度，沿方向運動到點A處停止（提示：當(dāng)點P在AB上運動時，點P到DC的距離始終等于AD和BC）．設(shè)點P運動的路程為x，的面積為y，如果y與x之間的關(guān)系如圖所示，那么長方形ABCD的面積為（）A．6 B．9 C．15 D．18【答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合圖象得出AB、BC的長度，再求出面積即可．【詳解】由題意可知，當(dāng)點P從點A運動到點B時，△PCD的面積為：，即△PCD的面積不變，則結(jié)合圖象可知AB=6，當(dāng)點P從點B運動到點C時，△PCD的面積逐漸變小直到為0，即結(jié)合圖象可知BC=x-AB=9-6=3，∴長方形ABCD的面積為：AB?BC=6×3=18．故選：D．2．已知動點H以每秒x厘米的速度沿圖1的邊框（邊框拐角處都互相垂直）按從的路徑勻速運動，相應(yīng)的的面積關(guān)于時間的關(guān)系圖象如圖2，已知，則下列說法正確的有幾個（）①動點H的速度是；②BC的長度為；③b的值為14；④在運動過程中，當(dāng)?shù)拿娣e是時，點H的運動時間是和．A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】A【分析】先根據(jù)點H的運動，得出當(dāng)點H在不同邊上時的面積變化，并對應(yīng)圖2得出相關(guān)邊的邊長，最后經(jīng)過計算判斷各個說法．【詳解】解：當(dāng)點H在上時，如圖所示，

，，此時三角形面積隨著時間增大而逐漸增大，當(dāng)點H在上時，如圖所示，是的高，且，

∴，此時三角形面積不變，當(dāng)點H在上時，如圖所示，是的高，C，D，P三點共線，

，點H從點C點D運動，逐漸減小，故三角形面積不斷減小，當(dāng)點H在上時，如圖所示，是的高，且，

，此時三角形面積不變，當(dāng)點H在時，如圖所示，

，點H從點E向點F運動，逐漸減小，故三角形面積不斷減小直至零，對照圖2可得時，點H在上，，∴，，∴動點H的速度是，故①正確，時，點H在上，此時三角形面積不變，∴動點H由點B運動到點C共用時，∴，故②錯誤，，點H在上，，∴動點H由點D運動到點E共用時，∴，故③錯誤．當(dāng)?shù)拿娣e是時，點H在上或上，點H在上時，，解得，點H在上時，，解得，∴，∴從點C運動到點H共用時，由點A到點C共用時，∴此時共用時，故④錯誤．故選：A．3．如圖1，四邊形中，，，點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度，沿路線A-B-C-D運動.設(shè)點的運動時間為，的面積為，當(dāng)運動到的中點時，的面積為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先結(jié)合圖形和函數(shù)圖像判斷出的長和的長，進而可得的長，從而可得點坐標(biāo)，然后再計算出當(dāng)時直線解析式，然后再代入的值計算出即可．【詳解】解：四邊形中，，，∴，∵點從點出發(fā)，以每秒個單位長度的速度，當(dāng)點從運動到處需要秒，則，根據(jù)圖像：當(dāng)時，點運動到點，的面積為，∴，∴，根據(jù)圖像：當(dāng)點運動到點時，面積為，∴，∴，∴，∴四邊形是梯形，又∵，∴四邊形是直角梯形，∵，點的速度是每秒個單位長度，∴運動時間為秒，∴，設(shè)當(dāng)時，函數(shù)解析式為，∴，解得：，∴當(dāng)時，函數(shù)解析式為，如圖，過點作于點，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∴，在中，，∴當(dāng)運動到的中點時的時間，∴，∴當(dāng)運動到的中點時，的面積為．故選：A．4．如圖，在長為形中，，點分別是線段上的點，其中，連線，動點從點出發(fā)，以的速度沿著路徑勻速運動，運動到點即停止運動，連接，設(shè)點運動的時間為．

(1)如圖1，線段；當(dāng)時，線段；(2)如圖1，點在線段上運動的過程中，連接，當(dāng)是以為直角邊的直角三角形時，請求出對應(yīng)的時間的值；(3)如圖2，連接，點在整個運動過程中，的面積總是隨著時間的變化而變化，請直接寫出面積與運動時間的關(guān)系式．【答案】(1)13；9(2)或(3)①當(dāng)時：；②當(dāng)時：；③當(dāng)時：【分析】（1）由矩形性質(zhì)及已知，再利用勾股定理可得的長度，利用當(dāng)時，在上，從而可得答案；（2）當(dāng)是以為直角邊的直角三角形時，分兩種情況：當(dāng)時，如圖所示，過作于，則；當(dāng)，過作于，連接，如圖所示，同理可得：，再利用勾股定理建立方程求解即可；（3）分三種情況：①當(dāng)時：數(shù)形結(jié)合，由三角形面積公式得到；②當(dāng)時：數(shù)形結(jié)合，間接表示面積得到；③當(dāng)時：數(shù)形結(jié)合，由梯形面積公式間接表示得到．【詳解】（1）解：∵在長為形中，，∴，∵，∴，∴在中，，則，動點從點出發(fā)，以的速度沿著路徑勻速運動，運動的路程為，，當(dāng)時，在上，；故答案為：13；9；（2）解：當(dāng)是以為直角邊的直角三角形時，分兩種情況，討論如下：當(dāng)時，過作于，如圖所示：

，∵，∴在中，，則，，當(dāng)動點從點出發(fā)，以的速度在勻速運動時，則，∴，在中，，則由勾股定理可得：，∴，解得：，當(dāng)，過作于，連接，如圖所示：

同理可得：，∴在中，，則由勾股定理可得：，∴，解得：；綜上：當(dāng)是以為直角邊的直角三角形時，對應(yīng)的時間的值為或；（3）解：，分三段：①段，分界；②段，分界；③段，分界；當(dāng)時，如圖所示：

，則，由（2）知，∴；當(dāng)時，如圖所示：

∴，∵，設(shè)邊上的高為，則，∴；當(dāng)時，如圖所示：

，，∴；綜上所述，S．二、一次函數(shù)之三角形存在性問題問題5．如圖，直線的圖像與軸和軸分別交于點和點，將沿直線對折使點和點重合，直線與軸交于點，與交于點，連接．(1)求線段的長；(2)若點是點關(guān)于軸的對稱點，求的面積；(3)已知軸上有一點，若以點，，為頂點的三角形是等腰三角形，請求出所有滿足條件的點的坐標(biāo)．【答案】(1)(2)(3)或或或【分析】（1）根據(jù)坐標(biāo)軸上點的特征，求出點的坐標(biāo)，設(shè)，由折疊的性質(zhì)可得，利用勾股定理求解即可；（2）先求出點的坐標(biāo)，然后由，即可獲得答案；（3）設(shè)點，分三種情況利用等腰三角形兩腰相等的性質(zhì)，建立方程并求解即可獲得答案．【詳解】（1）解：對于直線，令，則，∴點，令，則有，解得，∴點，設(shè)，∵將沿直線對折使點和點重合，直線與軸交于點，與交于點，∴，在中，可有，即，解得，∴線段的長為；（2）如下圖，連接，∵點是點關(guān)于軸的對稱點，線段的長為，∴，∴，，∵，，∴，∴；（3）∵線段的長為，∴，設(shè)點，∵點，∴，，，∵為等腰三角形，∴①當(dāng)時，可有，解得，∴點的坐標(biāo)為；②當(dāng)時，可有，解得（舍去）或，∴點的坐標(biāo)為；③當(dāng)時，可有，解得或，∴點的坐標(biāo)為或．綜上所述，點的坐標(biāo)為或或或．6．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線：分別交x軸，y軸于A、B兩點，直線：分別交x軸，y軸于C、D兩點，兩直線相交于點，點P是直線上一動點．(1)求n和b的值；(2)若是直角三角形，求點P的坐標(biāo)；(3)當(dāng)，求點P的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)或；(3)或．【分析】（1）兩直線相交于點，將點代入兩條直線方程求解即可；（2）根據(jù)直線解析式求出、、、①當(dāng)時，如圖，設(shè)，依據(jù)可求解；②當(dāng)時，如圖，設(shè)運用勾股定理求出、、結(jié)合求解即可；（3）①如圖，當(dāng)P在線段上時，得，設(shè)，即可求解；②如圖，當(dāng)P在線段的延長線上時，延長交于，結(jié)合已知和對頂角求得得，由解得，得到坐標(biāo)，再求出過的直線解析式，最后聯(lián)立方程組即可求解．【詳解】（1）解：兩直線相交于點，故在、上，，解得：，；（2）解：由（1）可知：：分別交x軸，y軸于A、B兩點，當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，故，：分別交x軸，y軸于C、D兩點，當(dāng)時，，故，當(dāng)時，，故，①當(dāng)時，如圖，設(shè)，則有，，，②當(dāng)時，如圖，設(shè)，在上，，，，∵，，即，解得或，當(dāng)時重合，不合題意舍去，當(dāng)時，；（3）解：①如圖，當(dāng)P在線段上時，，，設(shè)，在上，則，當(dāng)時，，②如圖，當(dāng)P在線段的延長線上時，延長交于，，，，，，，，解得：，，設(shè)過的直線解析式為：，則有：，解得：，∴，，解得，，綜上，坐標(biāo)為：或．7．直線：分別與x，y軸交于A，B兩點，點A的坐標(biāo)為，過點B的直線交x軸正半軸于點C，且．(1)求點B的坐標(biāo)及直線的函數(shù)表達式；(2)在y軸存在點P，使得三點B、C、P構(gòu)成等腰三角形，請直接寫出點P的坐標(biāo)；(3)在坐標(biāo)系平面內(nèi)，存在點D，使以點A，B，D為頂點的三角形與全等（重合除外），請求出點D的坐標(biāo)．【答案】(1)，(2)或或或(3)或或【分析】（1）由直線過點A，利用一次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出b的值，進而可得出點B的坐標(biāo)及的長度，結(jié)合可求出點C的坐標(biāo)，再由點B、C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法即可求出直線的函數(shù)表達式；（2）根據(jù)等腰三角形的定義（兩條邊相等的三角形是等腰三角形）結(jié)合圖形求解即可；（3）分和兩種情況考慮，結(jié)合的長度即可得出點D的坐標(biāo)．【詳解】（1）∵直線：過點A，∴，∴．當(dāng)時，，∴點B的坐標(biāo)為，即．∵，∴．∵點C在x軸正半軸，∴點C的坐標(biāo)為．設(shè)直線BC的解析式為，將、代入，得：，解得：，∴直線BC的函數(shù)表達式為．（2）∵、∴，∴①當(dāng)為腰時，點P的位置有三處，(，和)如圖，當(dāng)時，則有∴，當(dāng)時，∴，當(dāng)時，∴；②當(dāng)為底邊時，設(shè)，則有解得，∴，∴點P的坐標(biāo)為或或或故答案為：或或或；（3）分在x軸上方：和（如圖1）和點D在y軸上（如圖②）兩種情況考慮：如圖①：①當(dāng)時，∵，∴．∵，∴，，∴，∴點D的坐標(biāo)為；②當(dāng)時，，，∴，∴點D的坐標(biāo)為．如圖②當(dāng)時，∴∴點D的坐標(biāo)為．綜上所述，點D的坐標(biāo)為或或．8．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點A，交y軸于點B，交直線于點C，點D與點B關(guān)于x軸對稱，連接交直線于點E．(1)求直線的解析式；(2)在x軸上存在一點P，使得的和最小，并求出其最小值；(3)當(dāng)時，點Q為y軸上的一個動點，使得為等腰直角三角形，求點Q的坐標(biāo)．【答案】(1)；(2)(3)點的坐標(biāo)為或或．【分析】（1）分別計算、的坐標(biāo)，再利用待定系數(shù)法可得直線的解析式；（3）根據(jù)軸對稱的最短路徑先確認(rèn)的位置：連接交軸于，此時，最小，即是的長，利用勾股定理可計算的長，最后將其配方后，根據(jù)二次函數(shù)的最值可得結(jié)論；（4）存在三種情況：分別以、、三個頂點為直角頂點，畫圖可得的坐標(biāo)．【詳解】（1）直線交軸于點，交軸于點，令，得，∴，令，，，，點與點關(guān)于軸對稱，，設(shè)直線的解析式為，將，代入得，，，直線的解析式為；（2）如圖2，點與點關(guān)于軸對稱，當(dāng)時，的值最小，即，，，，，，；則的和最小為；（3）設(shè)交x軸于點F，∵直線的解析式為，點E橫坐標(biāo)為a，∴，∴，∴∵，∴，，設(shè)，，為等腰直角三角形時，存在以下三種情況：①當(dāng)為直角頂點時，如圖3，，則，，，；②當(dāng)為直角頂點時，如圖3，同理得；③當(dāng)為直角頂點時，如圖4，此時與重合，綜上，點的坐標(biāo)為或或．一次函數(shù)之三角形全等問題9．如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線分別與軸，軸交于點，，過點作軸的垂線，與直線交于點．

(1)求點的坐標(biāo)；(2)點是線段上一動點，直線與軸交于點．i）若的面積為8，求點的坐標(biāo)；ii）如圖2，當(dāng)點在軸正半軸上時，將直線繞點逆時針旋轉(zhuǎn)后的直線與線段交于點，連接，若，求線段的長．【答案】(1)(2)或；【分析】（1）根據(jù)題意，易求的函數(shù)解析法，點在直線上，可求出點坐標(biāo)；（2）i）解：在線段上，且，，設(shè)點，分兩種情況：①在點右側(cè)時，根據(jù)題圖表示和、的關(guān)系列出方程，即：，解之得；②點在點左側(cè)時根據(jù)、、三者之間的關(guān)系列出方程：，解得．綜上所述或；ii）出現(xiàn)想到構(gòu)造等腰直角三角形，證明三角形全等，再利用勾股定理和方程思想求．【詳解】（1）解：分別與軸，軸交于點，，，解得，，時，，；（2）解：i）在線段上，且，，設(shè)點，分兩種情況：①當(dāng)在軸正半軸上時，如圖所示：

，，，軸，，，，，即，解得，；②當(dāng)在軸負半軸上時，如圖所示：

點，，，，，，，，解得，；綜上所述：或；ii）過作垂直于軸，垂足為，過作的垂線交軸于點，如圖所示：

，，，在與中，，，，，在與中，，，，又，，，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得，，解得，．10．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點為坐標(biāo)