第一章 全等三角形（9類題型突破）

第一章全等三角形（題型突破）題型一全等圖形的識(shí)別【例1】1．下列各項(xiàng)中，兩個(gè)圖形屬于全等圖形的是（）A．

B．

C．

D．

【例2】對(duì)于兩個(gè)圖形，給出下列結(jié)論：①兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)相等；②兩個(gè)圖形的面積相等；③兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)和面積都相等；④兩個(gè)圖形的形狀相同，大小也相等．其中能獲得這兩個(gè)圖形全等的結(jié)論共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)鞏固訓(xùn)練：1．下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（）A． B．C． D．2．對(duì)于“全等圖形”的描述，下列說法正確的是（）A．邊長(zhǎng)相等的圖形 B．面積相等的圖形C．周長(zhǎng)相等的圖形 D．能夠完全重合的圖形題型二全等三角形的概念【例3】下列說法正確的是（）A．兩個(gè)直角三角形一定全等 B．形狀相同的兩個(gè)三角形全等C．全等三角形的面積一定相等 D．面積相等的兩個(gè)三角形全等【例4】下列說法正確的是（）A．形狀相同的兩個(gè)三角形一定是全等三角形B．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形一定是全等三角形C．面積相等的兩個(gè)三角形一定是全等三角形D．邊長(zhǎng)為的等邊三角形都是全等三角形鞏固訓(xùn)練：3．下列說法正確的是（）A．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等 B．面積相等的兩個(gè)三角形全等C．完全重合的兩個(gè)三角形全等 D．所有的等邊三角形全等4．下列說法正確的是（）A．全等三角形是指形狀相同的兩個(gè)三角形 B．全等三角形是指面積相等的兩個(gè)三角形C．全等三角形的周長(zhǎng)和面積分別相等 D．所有的等邊三角形是全等三角形題型三全等三角形的性質(zhì)【例5】如圖是兩個(gè)全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長(zhǎng)，則∠1的度數(shù)是（）A．76° B．62°C．42° D．76°、62°或42°都可以【例6】如圖，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A=30°，∠CGF=88°，則∠E的度數(shù)是（C）A．50° B．44°C．34° D．30°【例7】（1）已知△ABC≌△DEF，若AB=10cm，BC=5cm，AC=7cm，則DF等于______．（2）已知△ABC與△DEF，若AB=10cm，BC=5cm，AC=7cm，則DF等于______．【例8】一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)分別是3，5，7，另一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)分別是3，，，若這兩個(gè)三角形全等，則的值是_____．鞏固訓(xùn)練：5．如圖，，其中，，，則的周長(zhǎng)為______．6．如圖，，，則___________．

題型四“SAS”判定方法【例9】已知A、D、C、F在一條直線上，BC與DE交于點(diǎn)G，AD=CF，BC∥EF且BC=EF，求證：△ABC≌△DEF．【例10】如圖，在△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，且DF∥AB，BE=DF．求證：△BED≌△DFC．【例11】已知：如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，AB=DE，∠B=∠E，BF=EC．求證：AC∥DF．【例12】如圖，在△ABC中，AB＞AC，點(diǎn)D在邊AB上，且AC=DB，過點(diǎn)D作DE∥AC，并截取AB=DE，且點(diǎn)C、E在AB同側(cè)，連接BE．求證：BC=EB．鞏固訓(xùn)練：7．如圖，已知在和中，，，能直接判定的依據(jù)是（）

A． B． C． D．8．如圖，與相交于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，則與全等的理由是________．

9．如圖，已知點(diǎn)，，，在一條直線上，，，．求證：題型五“ASA”判定方法【例13】已知：如圖，AB=AE，AB∥DE，∠ECB+∠D=180°．求證：△ABC≌△EAD．【例14】如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BD=BE．【例15】如圖所示，∠E=∠F，∠1=∠2，AE=AF，求證：△ACN≌△ABM．鞏固訓(xùn)練：10、如圖，已知AE=CF，DF∥BE，AD∥BC，求證：△ADF≌△CBE．11．如圖，七1班同學(xué)要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)、的距離，用合適的方法使，，因此測(cè)得的長(zhǎng)就是的長(zhǎng)，在這里判定，最恰當(dāng)?shù)睦碛墒牵ǎ?/p>

A． B． C． D．12．如圖，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，，，試說明：．題型六“AAS”判定方法【例16】如圖，∠A=∠B，AC=BD，點(diǎn)D在AC邊上，∠1=∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O，求證：△AEC≌△BED．【例17】如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD，求證：AB=BE．【例18】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分別為點(diǎn)D，E．求證：DE=AD+BE．題型七“SSS”判定方法【例19】如圖，AC與BD交于點(diǎn)O，AD=CB，E、F是BD上兩點(diǎn)，且AE=CF，DE=BF．求證：（1）∠D=∠B；（2）OE=OF．【例20】如圖，已知點(diǎn)B，C，D，E在同一條直線上，AB=FC，AD=FE，BC=DE．求證：△ABD≌△FCE．【例21】人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，做法如下：如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M、N重合，過角尺頂點(diǎn)P的射線OP便是∠AOB的平分線，請(qǐng)說明理由．鞏固訓(xùn)練：13．如圖是雨傘在開合過程中某時(shí)刻的截面圖，傘骨，點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，，是連接彈簧和傘骨的支架，且，已知彈簧M在向上滑動(dòng)的過程中，總有，其判定依據(jù)是（）

A． B． C． D．14．一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為，，，另一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為，，，如果由“”可以判定兩個(gè)三角形全等，則的值為（）A． B． C． D．題型八“HL”判定方法【例22】如圖，點(diǎn)C在BE上，AB⊥BE，DE⊥BE，且AB=BE，BC=DE，AC交BD于F．（1）求證：△ABC≌△BED；（2）求∠BFC的度數(shù)．【例23】如圖，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC與BD交于O，AC=BD．求證：（1）BC=AD；（2）OA=OB．【例24】如圖，AB=AC，AE=AF，AE⊥EC于E，AF⊥FB于F，求證：∠1=∠2．鞏固訓(xùn)練：15．下列條件，不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等B．斜邊和一直角邊分別對(duì)應(yīng)相等C．兩條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等D．一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線對(duì)應(yīng)相等16．如圖，，，要使得．若以“”為依據(jù)，需添加的條件是（）

A． B．C．D．17．如圖，在中，，P、Q兩點(diǎn)分別在和過點(diǎn)A且垂直于的射線上運(yùn)動(dòng)，要使和全等，則______．題型九全等三角形判定與性質(zhì)綜合【例25】如圖，A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，∠A=∠C=90°，AB=CD，添加下列條件，不能判定△EAB≌△BCD的是（）A．EB=BD B．∠E+∠D=90° C．AC=AE+CD D．∠EBD=60°【例26】如圖，∠ABC=∠ABD，要使△ABC≌△ABD，還需添加一個(gè)條件，那么在①AC=AD；②BC=BD；③∠C=∠D；④∠CAB=∠DAB這四個(gè)關(guān)系中可以選擇的是______．【例27】如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AC∥DF，下列條件中，能判斷△ABC≌△DEF的是（）A．BE=CE B．∠A=∠D C．EC=CF D．BE=CF【例28】如圖所示，已知點(diǎn)D為△ABC的邊BC的中點(diǎn)，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為點(diǎn)E，F(xiàn)．且BF=CE．求證：∠B=∠C．【例29】如圖，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，BE與CD相交于點(diǎn)O，BO=CO．求證：AO平分∠BAC．鞏固訓(xùn)練：18．如圖所示的正方形網(wǎng)格中，等于（）

A． B． C． D．19．如圖在，中，，，．連接，交于點(diǎn)．以下四個(gè)結(jié)論：①；②；③；④平分，其中結(jié)論正確的個(gè)數(shù)為（）

A．1 B．2 C．3 D．420．如圖，邊長(zhǎng)為6的等邊，F(xiàn)是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)D是線段上的動(dòng)點(diǎn)，連接，在的右側(cè)作等邊，連接、、，則以下結(jié)論：①；②；③；④的周長(zhǎng)最小值為9；⑤當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，．其中正確的結(jié)論有____________（填序號(hào)）．

第一章全等三角形（題型突破）答案全解全析題型一全等圖形的識(shí)別【例1】1．下列各項(xiàng)中，兩個(gè)圖形屬于全等圖形的是（）A．

B．

C．

D．

【答案】C【解析】解：A、兩個(gè)圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；B、兩個(gè)圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；C、兩個(gè)圖形能夠完全重合，是全等圖形，符合題意；D、兩個(gè)圖形不能完全重合，不是全等圖形，不符合題意；故選：C．【例2】對(duì)于兩個(gè)圖形，給出下列結(jié)論：①兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)相等；②兩個(gè)圖形的面積相等；③兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)和面積都相等；④兩個(gè)圖形的形狀相同，大小也相等．其中能獲得這兩個(gè)圖形全等的結(jié)論共有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】A【解析】解：①周長(zhǎng)相等的兩個(gè)圖形不一定重合，所以不一定全等；②如果面積相同而形狀不同也不全等；③如果周長(zhǎng)相同面積相同而形狀不同，則不全等，④兩個(gè)圖形的形狀相同，大小也相等，則二者一定重合，正確．所以只有1個(gè)正確，故選A．鞏固訓(xùn)練：1．下列各組圖形中，屬于全等圖形的是（）A． B．C． D．

【答案】C【解析】解：A、兩個(gè)圖形的大小不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項(xiàng)不符合題意；B、兩個(gè)圖形的大小不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項(xiàng)不符合題意；C、兩個(gè)圖形能夠完全重合，是全等圖形，則此項(xiàng)符合題意；D、兩個(gè)圖形的形狀不相同，不能夠完全重合，不是全等圖形，則此項(xiàng)不符合題意；故選：C．2．對(duì)于“全等圖形”的描述，下列說法正確的是（）A．邊長(zhǎng)相等的圖形 B．面積相等的圖形C．周長(zhǎng)相等的圖形 D．能夠完全重合的圖形【答案】D【解析】解：A.邊長(zhǎng)相等的兩個(gè)圖形不一定是全等圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；B.面積相等的兩個(gè)圖形形狀、大小都不一定相同，所以，不是全等圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；C.周長(zhǎng)相等的兩個(gè)圖形形狀、大小都不一定相同，所以，不是全等圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；D.能夠完全重合的兩個(gè)圖形是全等圖形，該說法正確，故本選項(xiàng)符合題意．故選：D．題型二全等三角形的概念【例3】下列說法正確的是（）A．兩個(gè)直角三角形一定全等 B．形狀相同的兩個(gè)三角形全等C．全等三角形的面積一定相等 D．面積相等的兩個(gè)三角形全等【答案】C【解析】解：A、兩個(gè)直角三角形不一定全等，故錯(cuò)誤，不符合題意；B、形狀相同的兩個(gè)三角形不一定全等，故錯(cuò)誤，不符合題意；C、全等三角形的面積一定相等，故正確，符合題意；D、面積相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．【例4】下列說法正確的是（）A．形狀相同的兩個(gè)三角形一定是全等三角形B．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形一定是全等三角形C．面積相等的兩個(gè)三角形一定是全等三角形D．邊長(zhǎng)為的等邊三角形都是全等三角形【答案】D【解析】A、形狀相同且大小相同的兩個(gè)三角形一定是全等三角形，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；B、周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形不一定是全等三角形，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；C、面積相等的兩個(gè)三角形不一定是全等三角形，原說法錯(cuò)誤，不符合題意；D、邊長(zhǎng)為的等邊三角形都是全等三角形，原說法正確，符合題意；故選：D．鞏固訓(xùn)練：3．下列說法正確的是（）A．周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形全等 B．面積相等的兩個(gè)三角形全等C．完全重合的兩個(gè)三角形全等 D．所有的等邊三角形全等【答案】C【解析】解：A．全等三角形的周長(zhǎng)相等，但周長(zhǎng)相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B．全等三角形的面積相等，但面積相等的兩個(gè)三角形不一定全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C．正確，符合全等三角形的定義；D．邊長(zhǎng)不相等的等邊三角形不全等，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．4．下列說法正確的是（）A．全等三角形是指形狀相同的兩個(gè)三角形B．全等三角形是指面積相等的兩個(gè)三角形C．全等三角形的周長(zhǎng)和面積分別相等D．所有的等邊三角形是全等三角形【答案】C【解析】解：A、全等三角形的形狀相同，但形狀相同的兩個(gè)三角形不一定是全等三角形．故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、全等三角形面積相等，但面積相等的兩個(gè)三角形不一定是全等三角形．故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、全等三角形是指能夠完全重合的兩個(gè)三角形，則全等三角形的周長(zhǎng)和面積一定相等，故該選項(xiàng)正確；D、兩個(gè)等邊三角形，形狀相同，但不一定能完全重合，不一定全等．故該選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：C．題型三全等三角形的性質(zhì)【例5】如圖是兩個(gè)全等三角形，圖中的字母表示三角形的邊長(zhǎng)，則∠1的度數(shù)是（）A．76° B．62°C．42° D．76°、62°或42°都可以【答案】B【解析】∵兩個(gè)三角形全等，∴∠1=62°．【例6】如圖，已知△ABC≌△DEF，CD平分∠BCA，若∠A=30°，∠CGF=88°，則∠E的度數(shù)是（）A．50° B．44° C．34° D．30°【答案】C【解析】∵CD平分∠BCA，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴．【例7】（1）已知△ABC≌△DEF，若AB=10cm，BC=5cm，AC=7cm，則DF等于______．（2）已知△ABC與△DEF，若AB=10cm，BC=5cm，AC=7cm，則DF等于______．【答案】7cm、5cm或7cm或10cm【解析】（1）∵△ABC≌△DEF，∴DF=AC=7cm．（2）①當(dāng)△ABC≌△DEF時(shí)，DF=AC=7cm，②當(dāng)△ABC≌△FDE時(shí)，DF=AB=10cm，③當(dāng)△ABC≌△EFD時(shí)，DF=BC=5cm，∴DF=5cm或7cm或10cm．【例8】一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)分別是3，5，7，另一個(gè)三角形的三條邊的長(zhǎng)分別是3，，，若這兩個(gè)三角形全等，則的值是_____．【答案】5或4【解析】由題意得，或，解得：或，x+y=5或x+y=4，故答案為5或4．鞏固訓(xùn)練：5．如圖，，其中，，，則的周長(zhǎng)為______．【答案】15【解析】解：∵，，，，∴，，∴的周長(zhǎng)為，故答案為：15．6．如圖，，，則___________．

【答案】1【解析】【詳解】∵，，∴，∴（）．故答案為：1．題型四“SAS”判定方法【例9】已知A、D、C、F在一條直線上，BC與DE交于點(diǎn)G，AD=CF，BC∥EF且BC=EF，求證：△ABC≌△DEF．【答案】見解析【解析】∵AD=CF，∴AD+DC=CF+DC，∴AC=DF，∵BC∥EF，∴∠ACB=∠DFE，在△ACB和△DFE中，，∴△ABC≌△DEF（SAS）．【例10】如圖，在△ABC中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC邊上，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，且DF∥AB，BE=DF．求證：△BED≌△DFC．【答案】見解析【解析】∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴BD=CD，∵DF∥AB，∴∠B=∠FDC，在△BED和△DFC中，，∴△BED≌△DFC（SAS）．【例11】已知：如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，AB=DE，∠B=∠E，BF=EC．求證：AC∥DF．【答案】見解析【解析】∵BF=EC，∴BF+CF=EC+CF，即BC=EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACF=∠DFE，∴AC∥DF．【例12】如圖，在△ABC中，AB＞AC，點(diǎn)D在邊AB上，且AC=DB，過點(diǎn)D作DE∥AC，并截取AB=DE，且點(diǎn)C、E在AB同側(cè)，連接BE．求證：BC=EB．【答案】見解析【解析】∵DE∥AC，∴∠EDB=∠A．在△DEB與△ABC中，，∴△DEB≌△ABC（SAS），∴EB=BC．鞏固訓(xùn)練：7．如圖，已知在和中，，，能直接判定的依據(jù)是（）

A． B． C． D．【答案】D【解析】解：在和中，，∴．故選：D．8．如圖，與相交于點(diǎn)，且是的中點(diǎn)，則與全等的理由是________．

【答案】SAS【解析】解：∵是的中點(diǎn)，∴在和中，∴，故答案為：．9．如圖，已知點(diǎn)，，，在一條直線上，，，．求證：【答案】見解析【解析】解：∵∴即：在和中∴.題型五“ASA”判定方法【例13】已知：如圖，AB=AE，AB∥DE，∠ECB+∠D=180°．求證：△ABC≌△EAD．【答案】見解析【解析】∵AB∥DE，∴∠CAB=∠E，∵∠ECB+∠D=180°，∠ECB+∠ACB=180°，∴∠D=∠ACB，在△ABC與△EAD中，，∴△ABC≌△EAD（ASA）．【例14】如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠4，求證：BD=BE．【答案】見解析【解析】在△ADC和△AEC中，，∴△ADC≌△AEC（ASA），∴AD=AE，在△ADB和△AEB中，，∴△ADB≌△AEB（SAS），∴BD=BE．【例15】如圖所示，∠E=∠F，∠1=∠2，AE=AF，求證：△ACN≌△ABM．【答案】見解析【解析】∵∠1=∠2，∴∠CAF=∠BAE在△ABE和△ACF中，，∴△ABE≌△ACF（ASA），∴AB=AC，∠B=∠C，在△ACN和△ABM中，，∴△ACN≌△ABM（ASA）．鞏固訓(xùn)練：10、如圖，已知AE=CF，DF∥BE，AD∥BC，求證：△ADF≌△CBE．【答案】見解析【解析】∵AE=CF，∴AF=CE；∵AD∥BC，∴∠A=∠C；∵DF∥BE，∴∠AFD=∠CEB；在△ADF與△CBE中，，∴△ADF≌△CBE（ASA）．11．如圖，七1班同學(xué)要測(cè)量河兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)、的距離，用合適的方法使，，因此測(cè)得的長(zhǎng)就是的長(zhǎng)，在這里判定，最恰當(dāng)?shù)睦碛墒牵ǎ?/p>

A． B． C． D．【答案】D【解析】解：∵若要證明，用到的條件是：，，，∴用到的是兩角及兩角的夾邊對(duì)應(yīng)相等，即這一方法，故選：D．12．如圖，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，，，試說明：．【答案】見解析【解析】解：因?yàn)辄c(diǎn)B是的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，所以，即．在和中，因?yàn)?，，，所以題型六“AAS”判定方法【例16】如圖，∠A=∠B，AC=BD，點(diǎn)D在AC邊上，∠1=∠2，AE和BD相交于點(diǎn)O，求證：△AEC≌△BED．【答案】見解析【解析】∵AE和BD相交于點(diǎn)O，∴∠AOD=∠BOE．在△AOD和△BOE中，∠A=∠B，∴∠BEO=∠2．又∵∠1=∠2，∴∠1=∠BEO，∴∠AEC=∠BED．在△AEC和△BED中，，∴△AEC≌△BED（AAS）．【例17】如圖，已知∠1=∠2，∠3=∠4，EC=AD，求證：AB=BE．【答案】見解析【解析】∵∠1=∠2，∴∠ABD=∠EBC，

在△ABD和△EBC中，，∴△ABD≌△EBC，∴AB=BE．【例18】如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直線MN經(jīng)過點(diǎn)C，且AD⊥MN，BE⊥MN，垂足分別為點(diǎn)D，E．求證：DE=AD+BE．【答案】見解析【解析】∵∠ACB=90°，AD⊥MN，BE⊥MN，∴∠BEC=∠ACB=∠ADC=90°，∴∠ACE+∠BCE=90°，∠BCE+∠CBE=90°，∴∠ACD=∠CBE，在△ADC和△CEB中，∴△ADC≌△CEB（AAS），∴BE=CD，AD=CE，∵CD+CE=DE，∴DE=AD+BE．題型七“SSS”判定方法【例19】如圖，AC與BD交于點(diǎn)O，AD=CB，E、F是BD上兩點(diǎn)，且AE=CF，DE=BF．求證：（1）∠D=∠B；（2）OE=OF．【答案】見解析【解析】（1）在△ADE和△CBF中，，∴△ADE≌△CBF（SSS），∴∠D=∠B．（2）在△ADO和△CBO中，，∴△ADO≌△CBO（AAS），∴DO=BO，∴DO?DE=BO?BF，∴EO=FO．【例20】如圖，已知點(diǎn)B，C，D，E在同一條直線上，AB=FC，AD=FE，BC=DE．求證：△ABD≌△FCE．【答案】見解析【解析】∵BC=DE，∴BC+CD=DE+CD，即BD=CE，在△ABD和△FCE中，，∴△ABD≌△FCE（SSS）．【例21】人師傅常用角尺平分一個(gè)任意角，做法如下：如圖，∠AOB是一個(gè)任意角，在邊OA、OB上分別取OM=ON，移動(dòng)角尺，使角尺兩邊相同的刻度分別與M、N重合，過角尺頂點(diǎn)P的射線OP便是∠AOB的平分線，請(qǐng)說明理由．【答案】見解析【解析】射線OP是∠AOB的平分線，理由如下：在△OMP和△ONP中∴△OMP≌△ONP（SSS），∴∠MOP=∠NOP，∴OP平分∠AOB．鞏固訓(xùn)練：13．如圖是雨傘在開合過程中某時(shí)刻的截面圖，傘骨，點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，，是連接彈簧和傘骨的支架，且，已知彈簧M在向上滑動(dòng)的過程中，總有，其判定依據(jù)是（）

A． B． C． D．【答案】C【解析】解：∵，點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，∴，在和中，，∴，故選：C．14．一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為，，，另一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)為，，，如果由“”可以判定兩個(gè)三角形全等，則的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】解：由“”可以判定兩個(gè)三角形全等，，，，故選：C．題型八“HL”判定方法【例22】如圖，點(diǎn)C在BE上，AB⊥BE，DE⊥BE，且AB=BE，BC=DE，AC交BD于F．（1）求證：△ABC≌△BED；（2）求∠BFC的度數(shù)．【答案】見解析【解析】（1）∵AB⊥BE，DE⊥BE，∴∠ABC=∠BED=90°，在△ABC和△BED中，∴△ABC≌△BED（SAS）；（2）∵△ABC≌△BED，∴∠DBE=∠CAB，∵∠ABC=90°，∴∠CAB+∠ACB=90°．∴∠DBE+∠ACB=90°．∴在△BFC中，∠BFC=90°．【例23】如圖，已知AC⊥BC，BD⊥AD，AC與BD交于O，AC=BD．求證：（1）BC=AD；（2）OA=OB．【答案】見解析【解析】（1）∵AC⊥BC，BD⊥AD，∴∠ADB=∠ACB=90°，在Rt△ABC和Rt△BAD中，∵∴Rt△ABC≌Rt△BAD（HL），∴BC=AD，（2）∵Rt△ABC≌Rt△BAD，∴∠CAB=∠DBA，∴OA=OB．【例24】如圖，AB=AC，AE=AF，AE⊥EC于E，AF⊥FB于F，求證：∠1=∠2．【答案】見解析【解析】∵AE⊥EC，AF⊥BF，∴∠AEC=∠AFB=90°，在Rt△AEC與Rt△AFB中，，∴Rt△AEC≌Rt△AFB（HL），∴∠EAC=∠FAB，∴∠EAC?∠BAC=∠FAB?∠BAC，即∠1=∠2．鞏固訓(xùn)練：15．下列條件，不能判定兩個(gè)直角三角形全等的是（）A．兩個(gè)銳角對(duì)應(yīng)相等B．斜邊和一直角邊分別對(duì)應(yīng)相等C．兩條直角邊分別對(duì)應(yīng)相等D．一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線對(duì)應(yīng)相等【答案】A【解析】解：A．兩銳角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形，不能判定全等，故此選項(xiàng)符合題意；B．斜邊和一直角邊分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形，根據(jù)能判定全等，故此選項(xiàng)不符合題意；C．兩條直角邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)直角三角形，根據(jù)能判定全等，故此選項(xiàng)不符合題意；D．一條直角邊相等且另一條直角邊上的中線對(duì)應(yīng)相等，先根據(jù)，再用可判定全等，故此選項(xiàng)不符合題意．故選：A．16．如圖，，，要使得．若以“”為依據(jù)，需添加的條件是（）

A． B．C．D．【答案】A【解析】【詳解】解：∵，，∴，∴和是直角三角形，∵和有公共直角邊，∴以“”為依據(jù)判斷，需要使，故A正確．故選：A．17．如圖，在中，，P、Q兩點(diǎn)分別在和過點(diǎn)A且垂直于的射線上運(yùn)動(dòng)，要使和全等，則______．【答案】6或12【解析】解：①當(dāng)時(shí)，∵，在與中，∴，∴；②當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到與C點(diǎn)重合時(shí)，，在與中，∴，∴，∴當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)C重合時(shí)，才能和全等，綜上所述，或12，故答案為：6或12．題型九全等三角形判定與性質(zhì)綜合【例25】如圖，A，B，C三點(diǎn)在同一條直線上，∠A=∠C=90°，AB=CD，添加下列條件，不能判定△EAB≌△BCD的是（）A．EB=BD B．∠E+∠D=90°C．AC=AE+CD D．∠EBD=60°【答案】D【解析】∵∠A=∠C=90°，AB=CD，∴當(dāng)添加EB=BD時(shí)，則可根據(jù)“HL”判定△EAB≌△BCD；當(dāng)添加AE=BC，即AC=AE+CD，則可根據(jù)“SAS”判定△EAB≌△BCD；當(dāng)添加∠ABE=∠D時(shí)，此時(shí)∠D+∠E=90°，∠EBD=90°，則可根據(jù)“SAS”判定△EAB≌△BCD．【例26】如圖，∠ABC=∠ABD，要使△ABC≌△ABD，還需添加一個(gè)條件，那么在①AC=AD；②BC=BD；③∠C=∠D；④∠CAB=∠DAB這四個(gè)關(guān)系中可以選擇的是______．【答案】②③④【解析】①∵AD=AC，∠ABC=∠ABD，AB=AB，∴根據(jù)SSA不能推出△ABC≌△ABD，故錯(cuò)誤；②根據(jù)BD=BC，AB=AB，∠ABC=∠ABD能推出△ABC≌△ABD（SAS），故正確；③∵∠D=∠C，∠ABC=∠ABD，AB=AB，∴根據(jù)AAS能推出△ABC≌△ABD，故正確；④∵∠DAB=∠CAB，AB=AB，∠ABC=∠ABD，∴根據(jù)ASA能推出△ABC≌△ABD，故正確．【例27】如圖，點(diǎn)B、E、C、F在一條直線上，AB∥DE，AC∥DF，下列條件中，能判斷△ABC≌△DEF的是（）A．BE=CE B．∠A=∠D C．EC=CF D．BE=CF【答