第2部分-新知預習-專題09 多邊形及其內角和（教師版）-七升八年級數(shù)學暑假銜接（人教版）

專題09多邊形及其內角和新知預習（一）多邊形的相關概念多邊形概念：在平面中，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形內角：多邊形中相鄰兩邊組成的角叫做它的內角。外角：多邊形的邊與它鄰邊的延長線組成的角叫做外角。

對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線。正多邊形概念：各角相等，各邊相等的多邊形叫做正多邊形。（兩個條件缺一不可，除了三角形以外，因為若三角形的三內角相等，則必有三邊相等，反過來也成立）（二）多邊形對角線條數(shù)一個n邊形從一個頂點出發(fā)的對角線的條數(shù)為（n－3）條，其所有的對角線條數(shù)為（三）多邊形的內角和及外角和n邊形的內角和定理：n邊形的內角和為(n?2)?180°n邊形的外角和定理：多邊形的外角和等于360°（與多邊形的形狀和邊數(shù)無關）。注意：正多邊形的內角計算，及外角計算新知訓練考點1：多邊形的概念與分類典例1：（2022·全國·八年級專題練習）在同一平面內，由_____________圖形叫多邊形．組成多邊形的線段叫做__________，相鄰兩邊的公共端點叫多邊形的__________．如果一個多邊形有n條邊，那么這個多邊形叫做__________．多邊形__________叫做它的內角，多邊形的邊與它鄰邊__________組成的角叫多邊形的外角．連接多邊形__________的線段叫做多邊形的對角線．【答案】不在同一條直線上的n（n≥3）條線段首尾順次連接組成的多邊形的邊頂點n邊形相鄰兩邊組成的角延長線不相鄰兩個頂點【分析】利用多邊形定義、多邊形內角、多邊形外角及多邊形對角線定義填空即可．【詳解】在同一平面內，由不在同一條直線上的n（n≥3）條線段首尾順次連接組成的圖形叫多邊形．組成多邊形的線段叫做多邊形的邊，相鄰兩邊的公共端點叫多邊形的頂點．如果一個多邊形有n條邊，那么這個多邊形叫做n邊形．多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角，多邊形的邊與它鄰邊延長線組成的角叫多邊形的外角．連接多邊形不相鄰兩個頂點的線段叫做多邊形的對角線．故答案為：不在同一條直線上的n（n≥3）條線段首尾順次連接組成的；多邊形的邊；頂點；n邊形；相鄰兩邊組成的角；延長線；不相鄰兩個頂點．【點睛】本題主要考查多邊形的定義，屬于基礎題，熟練掌握多邊形的定義是解題關鍵．【變式1】（2020·全國·七年級假期作業(yè)）在平面內，__________，__________的多邊形叫正多邊形．【答案】各邊都相等各內角也相等【分析】根據(jù)正多邊形的概念即可得出答案．【詳解】如果多邊形的各邊都相等，各內角也相等，那么就稱它為正多邊形．故答案為：各邊都相等，各內角也相等．【點睛】本題考查了正多邊形的概念，熟練掌握概念是解題的關鍵．【變式2】（2022秋·八年級課時練習）下圖中的正多邊形分別是：____________________________________________________________.

【答案】正三角形，正方形，正五邊形，正六邊形，正八邊形【分析】根據(jù)正多邊形的定義求解即可.【詳解】根據(jù)正多邊形的特征可知這些多邊形分別為：正三角形，正方形，正五邊形，正六邊形，正八邊形.故答案為正三角形，正方形，正五邊形，正六邊形，正八邊形.【點睛】理解多邊形的定義，根據(jù)定義進行正確解答.【變式3】（2022·全國·七年級專題練習）我們熟悉的平面圖形中的多邊形有三角形、四邊形、五邊形、六邊形、圓等，它們是由若干條_____________的線段首尾順次相連組成的_______圖形．【答案】不在同一直線上封閉平面【解析】略考點2：多邊形對角線條數(shù)問題典例2：（2023春·江蘇徐州·七年級徐州市第二十六中學校考階段練習）連接不相鄰的兩個頂點的線段叫多邊形的對角線，如，四邊形有2條對角線，五邊形有5條對角線，那么，n邊形有___________________條對角線．【答案】n【分析】根據(jù)對角線的定義，得到從一個頂點出發(fā)，該頂點可以與除去它本身和與它相鄰的兩個點之外的任意一個頂點形成對角線，得到從n邊形的一個頂點出發(fā)有n?3條對角線，進行求解即可．【詳解】解：由連接不相鄰的兩個頂點的線段叫多邊形的對角線，可知，從n邊形的一個頂點出發(fā)有n?3條對角線，∵n邊形有n個頂點，又∵能形成對角線的兩個點之間只算1條對角線，∴n邊形有nn?3故答案為：nn?3【點睛】本題考查求多邊形對角線的條數(shù)．理解并掌握多邊形的對角線的定義，是解題的關鍵．【變式1】（2022秋·陜西西安·七年級?？计谀┤鐖D所示，從八邊形ABCDEFGH的頂點A出發(fā)，最多可以作出___________條對角線．【答案】5【分析】利用n邊形從一個頂點出發(fā)可引出n?3條對角線可得答案．【詳解】從八邊邊形ABCDEFGH的一個頂點出發(fā)，最多可以引出對角線的條數(shù)是8?3=5，故答案為：5．【點睛】此題主要考查了多邊形對角線，關鍵是掌握計算公式．【變式2】（2023秋·遼寧沈陽·七年級沈陽市實驗學校?？计谀┤魪哪硞€多邊形的一個頂點出發(fā)，最多可以引6條對?線，則它的邊數(shù)為________．【答案】9【分析】根據(jù)從n邊形的一個頂點引出的對角線有n?3條列出方程求解即可．【詳解】解：設該多邊形的邊數(shù)為n，則n?3=6，解得：n=9，故答案為：9．【點睛】本題考查多邊形對角線的條數(shù)問題、解一元一次方程，熟知從n邊形一個頂點引出的對角線的條數(shù)公式是解答的關鍵．【變式3】（2022秋·湖北恩施·八年級統(tǒng)考期末）如圖，要使六邊形木架（用6根木條釘成）不變形，至少要再釘___________條木條．【答案】3【分析】三角形具有穩(wěn)定性，所以要使六邊形木架不變形需把它分成三角形，即過六邊形的一個頂點作對角線，有幾條對角線，就至少要釘上幾根木條．【詳解】解：過六邊形的一個頂點作對角線，有6?3=3條對角線，所以至少要釘上3根木條．故答案為：3．【點睛】此題考查了三角形的穩(wěn)定性以及多邊形，正確利用圖形得出是解題關鍵．解題時注意：過n邊形的一個頂點作對角線，可以做(n?3)條．考點3：多邊形截角后的邊數(shù)問題典例3：（2022秋·陜西西安·七年級統(tǒng)考期中）一個多邊形截去一個角后，形成一個六邊形，那么原多邊形邊數(shù)為___________．【答案】5或6或7【分析】實際畫圖，數(shù)形結合，可知六邊形可以是五邊形，六邊形，七邊形截去一個角后得到．【詳解】解：如圖所示：六邊形可以是五邊形，六邊形，七邊形截去一個角后得到．故答案為：5或6或7．【點睛】本題主要考查了多邊形，此類問題要從多方面考慮，注意不能漏掉其中的任何一種情況．【變式1】（2022秋·全國·七年級專題練習）把一張形狀是多邊形的紙片剪去其中某一個角，剩下的部分是一個四邊形，則這張紙片原來的形狀可能是_________邊形.【答案】三、四、五【詳解】當剪去一個角后，剩下的部分是一個四邊形，則這張紙片原來的形狀可能是四邊形或三角形或五邊形，故答案為三、四、五.【變式2】（2023春·江蘇·七年級期中）已知一個多邊形的內角和是900°，把這個多邊形剪去一個角，則剩下多邊形的內角和可以是___________．【答案】720°或900°或1080°【分析】先求出原多邊形是七邊形，剪掉一個角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變．根據(jù)多邊形的內角和定理可以知道，邊數(shù)增加1，相應內角和就增加180度，由此即可求出答案．【詳解】解：∵多邊形的內角和是900°，∴n?2×180=900解得：n=7，即原多邊形是七邊形，因為剪掉一個角以后，多邊形的邊數(shù)可能增加了1條，也可能減少了1條，或者不變，當多邊形的邊數(shù)減少了1條邊，內角和=7?1?2當多邊形的邊數(shù)不變，內角和=7?2當多邊形的邊數(shù)增加一條邊，內角和=7+1?2答：將這個多邊形剪去一個角，剩下多邊形的內角和是720°或900°或1080°，故答案為：720°或900°或1080°．【點睛】本題考查了多邊形的內角和定理，在理解剪掉多邊形的一個角的含義時，確定其剩余幾邊形是關鍵．【變式3】（2022秋·云南昭通·八年級統(tǒng)考期末）一個多邊形剪去一個內角后，得到一個內角和為2700°的新多邊形，則原多邊形的邊數(shù)為_____．【答案】16或17或18【分析】根據(jù)多邊形的內角和公式先求出新多邊形的邊數(shù)，然后再根據(jù)截去一個角的情況進行討論．【詳解】解：設新多邊形的邊數(shù)為n，則(n?2)?180°=2700°，解得n=17，①若截去一個角后邊數(shù)增加1，則原多邊形邊數(shù)為16，②若截去一個角后邊數(shù)不變，則原多邊形邊數(shù)為17，③若截去一個角后邊數(shù)減少1，則原多邊形邊數(shù)為18，所以多邊形的邊數(shù)可以為16或17或18．故答案為：16或17或18．【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和公式．解題的關鍵是掌握多邊形的內角和公式，注意要分情況進行討論，避免漏解．考點4：多邊形的內角和問題典例4：（2023·陜西西安·校聯(lián)考模擬預測）如圖，在五邊形ABCDE中，∠P=100°，∠BCD的平分線與∠CDE的平分線交于點P，則∠A＋【答案】380°/380度【分析】根據(jù)三角形的內角和得到∠PCD+∠PDC=180°?∠P=180°?100°=80°，根據(jù)角平分線的定義得到∠BCD+∠EDC=2∠PCD+2∠PDC=2×80°=160°，根據(jù)五邊形的內角和即可得到結論．【詳解】解：在△PCD中，∵∠P=100°，∴∠PCD+∠PDC=180°?∠P=180°?100°=80°，∵PC平分∠BCD，PD平分∠EDC，∴∠BCD+∠EDC=2∠PCD+2∠PDC=2×80°=160°，∵∠A+∠B+∠E+∠BCD+∠EDC=5?2∴∠A+∠B+∠E=540°?∠BCD?∠EDC=540°?160°=380°．故答案為：380°．【點睛】本題考查了多邊形的內角和外角，解答本題的關鍵是掌握多邊形形的內角和定理以及角平分線定理．【變式1】（2022秋·江西宜春·八年級?？茧A段練習）如圖，A，B，C，D，E，F(xiàn)是平面上的6個點，則∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)是______．【答案】360°/360度．【分析】延長FE交AB于M，F(xiàn)E與CD相交于N，由三角形的外角得∠A+∠F=∠BEN，∠D+∠DEF=∠CNM，再由四邊形內角和為360°即可求解．【詳解】解：延長FE交AB于M，F(xiàn)E與CD相交于N，∴∠A+∠F=∠BEN，∠D+∠DEF=∠CNM，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F==∠BEN+∠B+∠C+∠CNM=360°，故答案為：360°．【點睛】本題考查了三角形的外角及四邊形內角和；通過“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”將角進行轉換到四邊形中是解題的關鍵．【變式2】（2023·江蘇鹽城·統(tǒng)考一模）如圖，點A、B、C、D、E在同一平面內，連接AB、BC、CD、DE、【答案】305【分析】如圖，連接BE，利用三角形，四邊形內角和定理、周角的定義求解即可．【詳解】解：如圖，連接BE，根據(jù)三角形與四邊形的內角和定理得：∠ABE+∠AEB+∠A=180°，∠BED+∠D+∠C+∠EBC=360°，∵∠ABC=125°，∴∠ABE+∠CBE=360°?125°=235°，∴∠A+∠C+∠D+∠AED=180°+360°?235°=305°．故答案為：305．【點睛】本題考查三角形內角和定理、四邊形的內角和定理，周角的定義的理解與運用能力．三角形內角和等于180°．作出適當?shù)妮o助線獲取角之間的關系是解本題的關鍵．【變式3】（2023春·浙江·八年級專題練習）如圖所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=______度．【答案】360【分析】首先根據(jù)三角形外角的性質可知：圖示這幾個角是一個四邊形的四個內角，再根據(jù)四邊形的內角和即可求解．【詳解】解：如圖，∵∠A+∠C=∠2，∠B+∠D=∠1，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=∠1+∠2+∠E+∠F=360°，故答案為：360．【點睛】此題主要考查了三角形的外角以及四邊形的內角和，正確掌握三角形外角的性質是解題關鍵．考點5：多（少）算一個角的問題典例5：（2020秋·湖北荊州·八年級?？茧A段練習）小明在求某個多邊形的內角和時，由于看漏了一個角而求得的度數(shù)和為2035°，那么這個多邊形的邊數(shù)為________．【答案】14【分析】根據(jù)多邊形的內角和公式（n-2）?180°可知多邊形的內角和是180°的倍數(shù)，所求出的多邊形的邊數(shù)再加上1即可．【詳解】解：設除去的內角為α，則（n-2）?180°=2035°+α，∵2035°÷180°=11…55°，∴n-2=11+1=12，解得n=14，所以，這個多邊形的邊數(shù)n的值是14．故答案為：14．【點睛】本題考查了多邊形的內角和公式，根據(jù)多邊形的內角和公式得知多邊形的內角和是180°的整數(shù)倍是解題的關鍵．【變式1】（2020春·甘肅張掖·八年級統(tǒng)考期末）小明在計算內角和時，不小心漏掉了一個內角，其和為1160°，則漏掉的那個內角的度數(shù)是_____________．【答案】100°【分析】根據(jù)n邊形的內角和是（n-2）?180°，少計算了一個內角，結果得1160°，可以解方程（n-2）?180°≥1160°，由于每一個內角應大于0°而小于180度，則多邊形的邊數(shù)n一定是最小的整數(shù)值，從而求出多邊形的邊數(shù)，內角和，進而求出少計算的內角．【詳解】解：設多邊形的邊數(shù)是n．依題意有（n-2）?180°≥1160°，解得：n≥8則多邊形的邊數(shù)n=9；九邊形的內角和是（9-2）?180=1260度；則未計算的內角的大小為1260-1160°=100°．故答案為：100°【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和定理，正確確定多邊形的邊數(shù)是解題的關鍵．【變式2】（2020秋·山東德州·八年級統(tǒng)考期末）小明同學在計算一個多邊形(每個內角小于180°)的內角和時，由于粗心少算一個內角，結果得到的和是2020°，則少算了這個內角的度數(shù)為_________．【答案】140°【分析】n邊形的內角和是（n?2）?180°，少計算了一個內角，結果得2020°，則內角和是（n?2）?180°與2020°的差一定小于180度，并且大于0度．因而可以解方程（n?2）?180°≥2020°，多邊形的邊數(shù)n一定是最小的整數(shù)值，從而求出多邊形的邊數(shù)，內角和，進而求出少計算的內角．【詳解】設多邊形的邊數(shù)是n，依題意有（n?2）?180°≥2020°，解得：n≥132則多邊形的邊數(shù)n＝14；多邊形的內角和是（14?2）?180＝2160°；則未計算的內角的大小為2160°?2020°＝140°．故答案為：140°．【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和定理，正確確定多邊形的邊數(shù)是解題的關鍵．【變式3】（2023春·江蘇·七年級泰州市姜堰區(qū)第四中學?？贾軠y）一個多邊形除了一個內角之外，其余各內角的度數(shù)和為1510°，則這個多邊形的邊數(shù)為_____．【答案】11【分析】直接利用多邊形內角和公式列出不等式組進行求解即可．【詳解】解：設這個多邊形邊數(shù)為n，1510°<n?2∴107∵n是整數(shù)，∴n=11，故答案為11．【點睛】本題考查了多邊形的內角和公式，解題關鍵是牢記公式，列出不等式組．考點6：正多邊形的內角、外角問題典例6：（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，在正八邊形ABCDEFGH中，對角線BF的延長線與邊DE的延長線交于點M，則∠M的度數(shù)為______．

【答案】22.5【分析】首先根據(jù)正多邊形的內角和公式求出∠DEF，根據(jù)正多邊形的性質可求出∠EFB，再根據(jù)三角形外角的性質，計算即可求解．【詳解】解：∵八邊形ABCDEFGH是正八邊形，∴∠DEF=8?2×180°÷8=135°，BF平分∴∠FEM=180°?∠DEF=45°，∠DEF=∠EFG=135°，∴∠EFB=∠BFG=1∵∠EFB=∠FEM+∠M，∴∠M=∠EFB?∠FEM=67.5°?45°=22.5°，故答案為：22.5°．【點睛】本題考查了正多邊形的性質，角平分線的有關計算，三角形外角的性質，掌握正多邊形的內角的求法是解題的關鍵．【變式1】（2022秋·河南許昌·八年級統(tǒng)考期末）如圖由內角分別相等的四邊形、五邊形、六邊形組合而成的圖形中，∠1=30°，則∠2+∠3的度數(shù)為______度．【答案】102【分析】根據(jù)正多邊形內角和公式n?2·180°（n≥3【詳解】解：∵四邊形、五邊形、六邊形的各內角相等，∴四邊形的每個內角是90°，五邊形的每個內角是108°，六邊形的每個內角是120∴∠2+∠BAC=90°，∵∠1∵∠1∴∠ABC=132∴∠BAC+∠BCA=180°?102∵∠1∴∠1故答案為：102．【點睛】本題考查多邊形的內角和公式和三角形的內角和，求出正多邊形的內角是解題的關鍵．【變式2】（2023·陜西西安·?？寄M預測）已知正n邊形的一個內角度數(shù)是一個外角度數(shù)的4倍，則n=______．【答案】10【分析】設外角為x，則其內角為4x，然后利用正多邊形的內角與外角互補列出方程求得x的值，然后求邊數(shù)即可．【詳解】解：設外角為x，則其內角為4x，∴則x+4x=180°，解得：x=36°，∵正n邊形外角和為360°，∴n=360°÷36°=10．故答案為：10．【點睛】本題考查正多邊形的外角與內角的知識，熟練掌握正多邊形的內角和和外角和定理是解題的關鍵．【變式3】（2023·福建漳州·統(tǒng)考一模）如圖，一個正五邊形和一個正方形各有一邊在直線l上，且只有一個公共頂點B，則∠ABC的度數(shù)為______度．【答案】18【分析】先求出正五邊形的每一個外角的度數(shù)得到∠BAC=72°，再正方形一個外角的度數(shù)求出∠ACB=90°，然后根據(jù)三角形內角和等于180°求解．【詳解】解：因為正五邊形的每一個外角的度數(shù)為360°5∴∠BAC=72°．∵同理可得：∠ACB=90°，在△ABC中，∴∠ABC=180°?∠BAC?∠ACB=180°?72°?90°=18°．故答案為：18．【點睛】本題主要考查正四邊形和五邊形的外角，三角形內角和性質，求出掌握多邊形外角和等于360°是解答關鍵．考點7：多邊形的內角和與外角和綜合典例7：（2023春·江蘇·七年級期中）如圖，小明從點O出發(fā)，前進3米后到達點A（OA=3米），向右轉24°，再前進3米后到達點B（AB=OA=3米），又向右轉24°，……這樣小明一直右轉了n次剛好回到出發(fā)點O處．根據(jù)以上信息，解答下列問題：(1)n的值為____________．(2)小明走出的這n邊形的周長為____________米．(3)若一個正m邊形的內角和比外角和多720°，求這個正m邊形的每一個內角的度數(shù)．【答案】(1)15(2)45(3)135°【分析】（1）根據(jù)多邊形的外角和等于360°，即可求解；（2）用多邊形的邊數(shù)乘以OA的長，即可求解；（3）根據(jù)多邊形的內角和定理和外角和定理可得關于m的方程，即可求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：n=360°÷24°=15．故答案為：15（2）解：由（1）得：這個n邊形為十五邊形，∴這n邊形的周長為15OA=15×3=45（米）；故答案為：45（3）解：根據(jù)題意，得m?2×180°=720°+360°解得m=8，

∴這個正m邊形的每一個內角的度數(shù)為1080°8【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和定理和外角和定理的應用，熟練掌握多邊形的內角和定理和外角和定理是解題的關鍵．【變式1】（2022秋·江西宜春·八年級?？茧A段練習）（1）一個多邊形的內角和是它的外角和的3倍，這個多邊形的邊數(shù)是多少．（2）如圖，AB∥CD，AD與BC交于點O，∠C=40°，∠AOB=80°，求∠A的度數(shù)．【答案】（1）這個多邊形的邊數(shù)為8；（2）∠A的度數(shù)為60°【分析】（1）設這個多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)多邊形的內角和與外角和建立方程，解方程即可得；（2）先根據(jù)平行線的性質可得∠B=∠C=40°，再根據(jù)三角形的內角和定理即可得．【詳解】解：（1）設這個多邊形的邊數(shù)為n，由題意得：180°n?2解得n=8，答：這個多邊形的邊數(shù)為8；（2）∵AB∥CD，∠C=40°，∴∠B=∠C=40°，∵∠AOB=80°，∠A+∠B+∠AOB=180°，∴∠A=180°?∠AOB?∠B=60°．【點睛】本題考查了多邊形的內角和與外角和、三角形的內角和定理等知識點，熟練掌握多邊形的內角和與外角和是解題關鍵．【變式2】（2023春·浙江·八年級專題練習）已知：多邊形的外角∠CBE和∠CDF的平分線分別為BM，DN．(1)若多邊形為四邊形ABCD．①如圖①，∠A=50°,∠C=100°，BM與DN交于點P，求∠BPD的度數(shù)；②如圖②，猜測當∠A和∠C滿足什么數(shù)量關系時，BM∥(2)如圖③，若多邊形是五邊形ABCDG，已知∠A=140°,∠G=100°,∠BCD=120°，BM與DN交于點P，求∠BPD的度數(shù)．【答案】(1)①25°；②∠A=∠C(2)30°【分析】（1）①由∠A=50°,∠C=100°，可推出∠CBE+∠CDF=150°，由角平分線的性質可得∠PBC+∠PDC=75°，再由∴∠BPD=360°?∠A=∠ABC+∠ADC②連接BD，由BM∥DN可得∠BDN+∠DBM=180°，進而可得∴∠FDN+∠ADB+∠ABD+∠MBE=180°，（2）延長DC交BP于點Q，根據(jù)五邊形的內角和可得∠ABC+∠CDG=180°，進而可得∠CBE+∠CDF=360°?180°=180°，再根據(jù)角平分線的性質進一步推導出∠BPD=∠BCD?∠CBP+∠QDP【詳解】（1）①∵∠A=50°,∠C=100°，∴在四邊形ABCD中，∠ABC+∠ADC=360°?∠A?∠C=210°，∴∠CBE+∠CDF=150°，∵多邊形的外角∠CBE和∠CDF的平分線分別為BM，DN，∴∠PBC+∠PDC=1∴∠BPD=360°?∠A=∠ABC+∠ADC②當∠A=∠C時，BM∥證明：如圖，連接BD，∵BM∥∴∠BDN+∠DBM=180°，∴∠FDN+∠ADB+∠ABD+∠MBE=360°?180°=180°，即12∴1∴1∴∠A=∠C；（2）如圖，延長DC交BP于點Q，∵∠A=140°,∠G=100°,∠BCD=120°，∠A+∠ABC+∠BCD+∠CDG+∠G=540°，∴∠ABC+∠CDG=180°，∴∠CBE+∠CDF=360°?180°=180°，∵BP平分∠CBE，DP平分∠CDF，∴∠CBP+∠CDP=1∵∠BCD=∠CBP+∠CQB,∠CQB=∠QDP+∠BPD，∴∠BCD=∠CBP+∠QDP+∠BPD，∴∠BPD=∠BCD?∠CBP+∠QDP【點睛】本題考查了多邊形的內角和外角，角平分線的定義，平行線的判定和性質，能夠準確找到角之間的關系是解題的關鍵．【變式3】（2022秋·湖北荊州·八年級統(tǒng)考階段練習）如圖1，點M，N分別在正五邊形ABCDE的邊BC，CD上，BM=CN，連結AM，BN相交于H．(1)求正五邊形ABCDE外角的度數(shù)；(2)求∠AHB的度數(shù)；(3)如圖2，將條件中的“正五邊形ABCDE”換成“正六邊形ABCDEF”，其他條件不變，試猜想∠AHB的度數(shù)．【答案】(1)正五邊形ABCDE外角的度數(shù)為72°(2)∠AHB＝72°(3)∠AHB＝60°【分析】（1）根據(jù)多邊形的內角和定理求得內角和，根據(jù)每一個內角都相等求得∠ABC＝108°，根據(jù)每一個外角都相等，用180°?108°即可求解；（2）證明△ABM≌△BCN（SAS）得出∠BAM=∠CBN，根據(jù)（1）的結論可得（3）根據(jù)正六邊形的內角等于180°減去它的一個外角可得∠ABC=180°?360°6=120°，同（2）證明證明△ABM≌△BCN（1）解：∵正五邊形的內角和為5?2×180°∴∠ABC＝15×540°∴正五邊形ABCDE外角的度數(shù)為180°?108°=（2）在△ABM和△BCN中，AB=BC∠ABC=∠BCD∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM=∴∠BAM+∠ABH=∴∠AHB=180°?(∠BAM+∠ABH)=72°；（3）解：在△ABM和△BCN中，AB=BC∠ABC=∠BCD∴△ABM≌△BCN（SAS），∴∠BAM=∵∠ABC=180°?360°∴∠BAM+∠ABH=∴∠AHB=180°?(∠BAM+∠ABH)=60°．【點睛】本題考查了正多邊形的內角和與外角和，全等三角形的性質與判定，三角形內角和定理，掌握以上知識是解題的關鍵．新知檢測一、單選題1．（2023春·山西·七年級統(tǒng)考階段練習）如圖所示，在四邊形ABCD中，∠A=42°，直線l與邊AB，AD分別相交于點M，N，則∠1+∠2等于（

）A．138° B．223° C．222° D．340°【答案】C【分析】先根據(jù)四邊形內角和定理計算出∠B+∠C+∠D度數(shù)，再根據(jù)五邊形內角和求出∠1+∠2即可．【詳解】解：∵∠A=42°，∴∠B+∠C+∠D=360°-∠A=318°，∵五邊形的內角和為（5-2）×180°=540°，∴∠1+∠2=540°-（∠B+∠C+∠D）=540°-318°=222°．故選：C．【點睛】本題考查了四邊形，五邊形內角和知識．也可以根據(jù)三角形外角定理，把∠1、∠2用△AMN的內角表示，進而求解．2．（2022·湖南長沙·八年級校聯(lián)考期中）用形狀、大小完全相同的圖形不能鑲嵌成平面圖案的是(

)A．正三角形 B．正方形 C．正五邊形 D．正六邊形【答案】C【分析】本題考查了平面鑲嵌的條件分別求出各個正多邊形的每個內角的度數(shù)，結合鑲嵌的條件即可作出判斷．【詳解】A、正三角形的每個內角是60°，能整除360°，6個能鑲嵌；B、正方形的每個內角是90°，能整除360°，4個能鑲嵌；C、正五邊形每個內角是180°D、正六邊形每個內角為120度，能整除360度，3個能鑲嵌．故選C．3．（2022秋·湖北省直轄縣級單位·八年級校考期末）一個多邊形的各個外角都等于72°，則這個多邊形是（

）A．十邊形 B．六邊形 C．五邊形 D．四邊形【答案】C【分析】利用多邊形的外角和360°，除以外角的度數(shù)，即可求得邊數(shù)．【詳解】解：360°÷72°=5，故選：C．【點睛】本題考查了多邊形的外角和定理，理解任何多邊形的外角和都是360度是關鍵．4．（2022春·四川眉山·七年級統(tǒng)考期末）十二邊形的內角和是（

）A．1440° B．1620° C．1800° D．1980°【答案】C【分析】由多邊形內角和公式（n-2）×180°計算即可．【詳解】由多邊形內角和=（n-2）180°，其中n為多邊形的邊數(shù)．所以12邊形的內角和=（12-2）×180°=1800°．故答案為：C【點睛】本題主要考查多邊形內角和公式，正確認識公式中的n為多邊形的邊數(shù)，直接代入計算即可解決．5．（2022秋·福建廈門·八年級廈門雙十中學?？计谥校┮粋€多邊形內角和是1440°，則這個多邊形的邊數(shù)為（

）A．7 B．8 C．9 D．10【答案】D【分析】直接根據(jù)多邊形的內角和公式進行求解即可．【詳解】解：由題意得：n?2解得n=10．故選D．【點睛】本題主要考查多邊形的內角和，熟練掌握公式是解題的關鍵．6．（2022秋·黑龍江哈爾濱·八年級統(tǒng)考期中）一個多邊形的外角和比內角和大180°，則這個多邊形的邊數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．3【答案】D【分析】由多邊形內角和定理：(n?2)?180°(n?3且n為整數(shù)），多邊形的外角和是360°，列出關于邊數(shù)的方程即可求解．【詳解】設這個多邊形的邊數(shù)是n，由題意得：360°?(n?2)×180°=180°，∴n=3，故選：D．【點睛】本題考查多邊形的有關知識，關鍵是掌握多邊形內角和定理：(n?2)?180°(n?3且n為整數(shù)），多邊形的外角和是360°．7．（2022春·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，小明從A點出發(fā)，沿直線前進10米后向左轉36°，再沿直線前進10米，再向左轉36°……照這樣走下去，他第一次回到出發(fā)點A點時，一共走的路程是（）A．180米 B．110米 C．120米 D．100米【答案】D【分析】根據(jù)題意，小明走過的路程是正多邊形，先用360°除以36°求出邊數(shù)，然后再乘以10m即可．【詳解】解：∵每次小明都是沿直線前進10米后向左轉36°，∴他走過的圖形是正多邊形，邊數(shù)n=360°÷36°=10，∴他第一次回到出發(fā)點A時，一共走了10×10=100米．故選：D．【點睛】本題考查了多邊形的邊數(shù)的求法，根據(jù)題意判斷出小亮走過的圖形是正多邊形是解題的關鍵．8．（2023秋·湖北荊州·八年級?？茧A段練習）如圖，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度數(shù)為（

）A．180° B．270° C．360° D．720°【答案】C【分析】連接AB，根據(jù)三角形內角和與對頂角相等，可得出∠D+∠E=∠1+∠2，再由四邊形ABCF內角和為360°，即可得出答案.【詳解】如圖，連接AB，∵∠1+∠2+∠3=180°，∠D+∠E+∠4=180°，且∠3=∠4∴∠D+∠E=∠1+∠2在四邊形ABCF中，∠FAB+∠ABC+∠C+∠F=360°，即∠FAD+∠1+∠2+∠CBE+∠C+∠F=360°，∴∠FAD+∠D+∠E+∠CBE+∠C+∠F=360°，故選C.【點睛】本題考查多邊形內角和，連接AB，將∠D+∠E轉化為∠1+∠2是解題的關鍵.9．（2023秋·重慶·八年級校考階段練習）如圖，∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝（

）A．180° B．270° C．360° D．不能確定【答案】C【分析】分析圖形，根據(jù)“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和”能把∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6全部轉化到∠2，∠3所在的四邊形中，利用四邊形內角和為360度求解.【詳解】解：如圖，∵∠1+∠5=∠8，∠4+∠6=∠7，又∵∠2+∠3+∠7+∠8=360°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=360°.故選：C【點睛】本題考查了三角形的內角和外角之間的關系及四邊形內角和定理，（1）三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角和；（2）四邊形內角和為360°，轉化思想是解答此題的關鍵.10．（2023秋·福建福州·八年級統(tǒng)考期末）一個多邊形的每一個外角都等于36°，則該多邊形的內角和等于（

）A．1800° B．1980° C．1440° D．1620°【答案】C【分析】任何多邊形的外角和等于360°，可求得這個多邊形的邊數(shù)．再根據(jù)多邊形的內角和等于（n-2）?180°即可求得內角和．【詳解】解：∵任何多邊形的外角和等于360°，∴多邊形的邊數(shù)為360°÷36°=10，∴多邊形的內角和為（10-2）×180°=1440°．故選C．【點睛】本題考查了多邊形的內角與外角，關鍵是正確計算出多邊形的邊數(shù)．11．（2023·山東威海·八年級統(tǒng)考期末）一個多邊形的內角和比外角和多540°，這個多邊形為(

)A．五邊形 B．六邊形 C．七邊形 D．八邊形【答案】C【分析】根據(jù)多邊形的內角和公式(n﹣2)?180°，外角和等于360°列出方程即可解決問題.【詳解】解：設多邊形的邊數(shù)是n，根據(jù)題意得，(n﹣2)?180°﹣540°＝360°，解得n＝7.故選：C.【點睛】本題考查多邊形外角和與多邊形內角和公式，熟記多邊形外角和度數(shù)與內角和公式是解決本題的關鍵。12．（2023春·八年級?？颊n時練習）下列說法正確的個數(shù)是（

）

①七邊形有14條對角線；②外角和大于內角和的多邊形只有三角形；③如果一個多邊形的內角和與外角和的比是4:1，則它是九邊形A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】①根據(jù)對角線條數(shù)的求法進行計算；②根據(jù)多邊形的內角和與外角和的關系判斷；③多邊形的內角和與邊數(shù)有關，而外角和是固定的360°，從而可列方程求解.【詳解】解：①七邊形有7×(7?3)2②外角和大于內角和的多邊形只有三角形，故正確；③多邊形外角和為360°，設這個多邊形是n邊形，根據(jù)題意得：（n?2）?180°＝360°×4，解得n＝10，故錯誤．故選C．【點睛】本題考查了多邊形的對角線，多邊形內角與外角的性質，解答③時，只要結合多邊形的內角和公式與外角和的關系來尋求等量關系，構建方程即可求解．13．（2023·云南·統(tǒng)考一模）如果正多邊形的一個內角是140°，則這個多邊形的內角和是（

）A．1440° B．1260° C．1080° D．900°【答案】B【分析】利用多邊形外角和為360°求出此多邊形的邊數(shù)，然后再利用多邊形內角和公式進一步求解即可.【詳解】由題意得：360°÷(180°?140°)=360°÷40°=9，∴該多邊形是9邊形，∴內角和為：9?2×180°=1260°故選：B.【點睛】本題主要考查了多邊形內角和與外角和的性質，熟練掌握相關概念是解題關鍵.錯因分析

容易題.失分原因是：①未記住多邊形的外角和為360°；②未掌握正多邊形的每個內角相等.14．（2022秋·七年級課時練習）下列說法中正確的有（

）①過多邊形的一個頂點的所有對角線把這個多邊形分成8個三角形，則這個多邊形的邊數(shù)是11②在時刻8：30時，時鐘上的時針與分針的夾角是75°③線段AB的長度就是A，B兩點間的距離④若點P使AP＝PB，則P是AB的中點⑤把一條彎曲的公路改直，可以縮短行程．這樣做的依據(jù)是：兩點之間線段最短⑥1°＝3600′A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】A【分析】根據(jù)多邊形的對角線，線段的性質，線段的中點，鐘面角及角度的換算依次判斷即可．【詳解】解：①過多邊形的一個頂點的所有對角線把這個多邊形分成8個三角形，則這個多邊形的邊數(shù)是10，原說法錯誤；②在時刻8：30時，時針和分針中間相差2.5個大格，每個大格之間的度數(shù)為30°，∴兩針之間的夾角為：30°×2.5=75°，原說法正確；③線段AB的長度就是A，B兩點間的距離，說法正確；④若點P使AP＝PB，則P是AB的中點，說法錯誤，缺少條件P、A、B在同一直線上；⑤把一條彎曲的公路改直，可以縮短行程．這樣做的依據(jù)是：兩點之間線段最短，正確；⑥1°＝3600”，原說法錯誤；所以正確的有3個，故選：A．【點睛】題目主要考查多邊形的對角線，線段的性質，線段的中點，鐘面角及角度的換算，掌握相關定義是解題關鍵．15．（2023春·江蘇·七年級專題練習）一個正方形紙片，用剪刀沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分；拿出其中一部分，再沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分：又從得到的三部分中拿出其中之一，還是沿一條不過任何頂點的直線將其剪成兩部分……如此下去，最后得到了45個48邊形和一些多邊形紙片，則至少要剪的刀數(shù)是（

）A．2022 B．2023 C．2024 D．2025【答案】C【分析】根據(jù)題意，用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，則各部分的內角和增加360°．于是，剪過k次后，可得k+1個多邊形，這些多邊形的內角和為k+1×360°．因為這k+1個多邊形中有45個48邊形，可求它們的內角和，其余多邊形有k+1?45=k?44（個），而這些多邊形的內角和不少于k?44×180°【詳解】解：根據(jù)題意，用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，則各部分的內角和增加360°．于是，設剪過k次后，可得k+1個多邊形，這些多邊形的內角和為k+1×360°因為這k+1個多邊形中有45個48邊形，它們的內角和45×48?2其余多邊形有k+1?45=k?44（個），而這些多邊形的內角和不少k?44所以k+1×360°≥45×46×180°+解得：k≥2024．故至少要剪的刀數(shù)是2024刀．故選C．【點睛】此題考查了多邊形的內角和的應用，關鍵是理解用剪刀沿不過頂點的直線剪成兩部分時，每剪開一次，使得各部分的內角和增加360°．二、填空題16．（2022秋·全國·八年級專題練習）一個多邊形除一個內角外，其余各內角之和是2570°，則這個內角是__度．【答案】130【分析】設出相應的邊數(shù)和未知的那個內角度數(shù)，利用內角和公式列出相應等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)求解即可．【詳解】解：設這個內角度數(shù)為x°，邊數(shù)為n，則（n﹣2）×180﹣x＝2570，180?n＝2930+x，∴n＝2930+x180∵n為正整數(shù)，0°＜x＜180°，∴n＝17，∴這個內角度數(shù)為180°×（17﹣2）﹣2570°＝130°．故答案為：130．【點睛】本題主要考查多邊形內角和公式的靈活運用，解題的關鍵是找到相應度數(shù)的等量關系．注意多邊形的一個內角一定大于0°，并且小于180°．17．（2023秋·湖北十堰·八年級統(tǒng)考期末）若n邊形的每個內角都等于150°，則n＝_____．【答案】12【分析】根據(jù)多邊形的內角和定理：180°·(n?2)求解即可．【詳解】解：由題意可得：180°·(n?2)=150°·n，解得n=12．故多邊形是12邊形．故答案為12．【點睛】主要考查了多邊形的內角和定理．n邊形的內角和為：180°·(n?2)．此類題型直接根據(jù)內角和公式計算可得．18．（2022秋·云南昆明·八年級統(tǒng)考期末）如圖，一輛汽車由A點出發(fā)向前行駛100米到B處，向左轉45度，繼續(xù)向前行駛同樣的路程到C處，再向左轉45度，按這樣的行駛方法，回到A點總共行駛了______米．【答案】800【分析】根據(jù)題意可知汽車所走的路程正好是一個外角為45°的正多邊形的周長，求出正多邊形的周長即可．【詳解】由題意得：360÷45=8由于行駛的路程一樣，所以汽車行駛的路程是一個正八邊形的周長，且該正八邊形的邊長為100米，則汽車回到A點總共行駛的路程為：8×100=800（米）．故答案為：800．【點睛】本題主要考查多邊形的外角和定理，即任意多邊形的外角和都是360°，掌握此定理是解答本題的關鍵．19．（2021·八年級課前預習）正方形的各個角_______，各條邊都__________．像正方形這樣，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做___________．【答案】相等相等正多邊形【解析】略20．（2023秋·八年級單元測試）如圖中，若BD、CD為角平分線，且∠A=50°,∠E=130°,則∠D＝___度．【答案】90【詳解】解：∵BD、CD是∠ABE和∠ACE的角平分線，∴∠DBE=12∠ABE，∠DCE=12∠∵∠ABE+∠ACE=360°-∠A-（360°-∠E）=130°-50°=80°，∴∠DBE+∠DCE=40°，∴∠D=360°-（360°-∠E）-（∠DBE+∠DCE）=130°-40°=90°，故答案為：9021．（2023·陜西西安·高新一中?？寄M預測）一個邊長為3的正多邊形，每個外角均為45°，則該正多邊形的周長為___________．【答案】24【分析】根據(jù)多邊形外角和是360°，正多邊形的各個內角相等、各個外角也相等，直接用360°÷45可求得邊數(shù)，即可得到答案．【詳解】解：正多邊形外角和是360°，正多邊形的一個外角是45°，360°÷45°=8，即該正多邊形的邊數(shù)是8，該正多邊形的周長為：3×8=24，故答案為：24．【點睛】本題考查了多邊形外角和是360°和正多邊形的性質，解題的關鍵是掌握正多邊形的各個內角相等，各個外角也相等．22．（2023秋·山東德州·八年級階段練習）下列命題：①順次連接四條線段所得的圖形叫做四邊形；②三角形的三個內角可以都是銳角；③四邊形的四個內角可以都是銳角；④三角形的角平分線都是射線；⑤四邊形中有一組對角是直角，則另一組對角必互補，其中正確的有________．(填序號)【答案】②⑤【分析】根據(jù)四邊形的定義、三角形的內角、四邊形的內角和、三角形的角平分線的定義等逐一進行分析判斷即可得答案.【詳解】①在同一平面內，由不在同一直線上的四條線段首尾順次相接組成的圖形叫做四邊形，故①錯誤；②三角形的三個內角可以都是銳角，如銳角三角形的三個內角都是銳角，故說法正確；③四邊形的四個內角不能都是銳角，否則與四邊形內角和定理矛盾，故說法錯誤；④三角形的角平分線都是線段，故說法錯誤；⑤四邊形中有一組對角是直角，則另一組對角必互補，故說法正確，所以正確的有兩個，故答案為②⑤．【點睛】本題考查了多邊形的定義、四邊形的內角和、三角形的內角和等，熟練掌握相關知識是解題的關鍵.23．（2023春·江蘇·七年級階段練習）一個同學在進行多邊形的內角和計算時，所得的內角和為1125°，當發(fā)現(xiàn)錯了以后，重新檢測發(fā)現(xiàn)少了一個內角，則這個內角是度．【答案】135°【詳解】試題分析:本題首先由題意找出不等關系列出不等式，進而求出這一內角的取值范圍；然后可確定這一內角的度數(shù)，進一步得出這個多邊形是九邊形．解：設此多邊形的內角和為x，則有1125°＜x＜1125°+180°，即180°×6+45°＜x＜180°×7+45°，因為x為多邊形的內角和，所以它是180°的倍數(shù)，所以x=180°×7=1260°．所以7+2=9，1260°﹣1125°=135°．因此，漏加的這個內角是135°．故答案為135°．考點：多邊形內角與外角．24．（2023秋·九年級課時練習）若正n邊形的一個外角是一個內角的23時，此時該正n邊形有_________條對角線【答案】5【詳解】根據(jù)題目中正n邊形的一個外角是一個內角的23,可設內角為x,則外角是23x,根據(jù)正多邊形相鄰內角與外角和是180°可得:x+23x=180°,可計算出25．（2022·全國·九年級專題練習）已知從六邊形的一個頂點出發(fā)，可以引m條對角線，這些對角線可以把這個六邊形分成n個三角形，則m?n=______.【答案】﹣1【分析】多邊形的任意一點連其他各點得到的對角線條數(shù)為（n﹣3）；組成的三角形的個數(shù)為（n﹣2），分別求出m、n的值即可得出m?n.【詳解】根據(jù)題意，畫出圖形：總結規(guī)律“多邊形的任意一點連其他各點得到的對角線條數(shù)為（n﹣3）；組成的三角形的個數(shù)為（n﹣2）”可知，對角線共有6﹣3=3條，分成6﹣2=4個三角形，則m=3,n=4所以m?n=3?4=?1故答案為﹣1【點睛】本題主要考查了多邊形的任意一點連其他各點得到的對角線條數(shù)為（n﹣3）及組成的三角形的個數(shù)為（n﹣2），掌握規(guī)律能輕松快速解答本題.三、解答題26．（2022秋·陜西延安·八年級?？茧A段練習）如圖，若一個正方形和一個正六邊形有一邊重合．求∠BAC【答案】150°【分析】先算出正方形和正六邊形每個內角的度數(shù)，分別求出它們一個外角的度數(shù)，相加即可．【詳解】解：正方形的一個內角的度數(shù)為：90°，正六邊形一個內角的度數(shù)為：6-2×180°則：∠BAC【點睛】本題考查正多邊形的每個內角度數(shù)，以及正多邊形的一個外角的度數(shù)．熟練掌握相關計算公式是解題的關鍵．27．（2021秋·寧夏石嘴山·八年級?？计谥校┤鐖D，根據(jù)圖上標注的信息，求出x的大小．【答案】65°【分析】如圖，首先根據(jù)四邊形的內角和求出∠ADC的度數(shù)，然后根據(jù)平角等于180°即可求出x的大?。驹斀狻拷猓喝鐖D，∵四邊形內角和=4?2∴∠ADC=360°?∠A?∠B?∠C=360°?90°?73°?82°=115°，∴x=180°?∠ADC=180°?115°=65°．【點睛】此題考查了四邊形的內角和，鄰補角的概念，解題的關鍵是熟練掌握多邊形內角和公式和鄰補角的概念．n邊形的內角的和等于：n?2×180°(n大于等于3且n28．（2023春·上?！ぐ四昙墝ｎ}練習）把20根長度相等的木條分成三部分，分別用其中兩部分木條首尾相連做成兩個邊數(shù)相等的多邊形，再用剩下的一部分木條首尾相連做成一個多邊形．(1)求這三個多邊形的內角和；(2)如果前兩個多邊形的邊數(shù)和大于后一個多邊形的邊數(shù)，求這三個多邊形的邊數(shù)．【答案】(1)2520°(2)6、6、8或7、7、6或8、8、4【分析】（1）設兩個邊數(shù)相等的多邊形是m邊形，另一個多邊形是n邊形（m≥3，n≥3，m，n為正整數(shù)），則2m+n=20，根據(jù)多邊形的內角和定理，即可求解；（2）設兩個邊數(shù)相等的多邊形是a邊形，另一個多邊形是b邊形（a≥3，b≥3，a，b為正整數(shù)），可得b=20?2a，2a>b，從而得到5<a≤81【詳解】（1）解：設兩個邊數(shù)相等的多邊形是m邊形，另一個多邊形是n邊形（m≥3，n≥3，m，n為正整數(shù)），則2m+n=20，∴這三個多邊形的內角和為2×==14×180°=2520°；（2）解：由題意，得：b=20?2a，2a>b，∴2a>20?2a，解得：∵b≥3，∴20?2a≥3，解得：a≤81∴5<a≤81∵a，b為正整數(shù)，∴a=6，b=8；a=7，b=6；a=8，b=4，答：這三個多邊形的邊數(shù)是6、6、8或7、7、6或8、8、4．【點睛】本題主要考查了多邊形的內角和問題，不等式組的應用，求代數(shù)式的值，熟練掌握多邊形的內角和定理是解題的關鍵．29．（2022春·福建龍巖·七年級?？茧A段練習）在正方形的網格中，每個小正方形的邊長為1個單位長度，△ABC的三個頂點A，B，C都在格點（正方形網格的交點稱為格點）．現(xiàn)將△ABC平移．使點A平移到點D，點E、F分別是B、C的對應點．(1)在圖中請畫出平移后的△DEF；(2)分別連接AD，BE，則AD與BE的數(shù)量關系為，位置關系為．(3)求四邊形ABED的面積．【答案】(1)見解析(2)AD∥BE，AD=BE(3)28【分析】（1）利用平移變換的性質作出B，C的對應點E，F(xiàn)即可；（2）根據(jù)平移變換的性質解決問題即可；（3）利用四邊形ABED所在的長方形的面積減去四邊形ABED周圍的四個直角三角形的面積，即可求解．（1）解：∵點A平移到點D，∴△ABC先向右平移6個單位，再向下平移2個單位得到△DEF，如圖，△DEF即為所求；（2）解：∵△ABC先向右平移6個單位，再向下平移2個單位得到△DEF，∴AD∥BE，AD=BE；故答案為：AD∥BE，AD=BE；（3）解：四邊形ABED的面積等于8×6?1【點睛】本題考查作圖——平移變換等知識，解題關鍵是掌握平移變換的性質．30．（2022春·江蘇鎮(zhèn)江·七年級統(tǒng)考期中）如圖，在六邊形ABCDEF中，此六邊形的每個內角都相等，連接對角線AD，AD平分∠BAF．（1）求∠ADC的度數(shù)；（2）AB與DE平行嗎？請說明理由．【答案】（1）60°；（2）AB//【分析】（1）根據(jù)題意先求得∠BAD，∠B,∠C，再根據(jù)四邊形內角和即可求得∠ADC；（2）由（1）的結論求得內錯角∠BAD=∠ADE即可【詳解】.（1）∵六邊形ABCDEF的內角和為(6?2)×180°=720°，且每個內角相等∴∠BAF=∠B=∠C=∠CDE=120°∵AD平分∠BAF∴∠BAD=∵四邊形ABCD的內角和為360°∴∠ADC=60°（2）∵∠CDE=120°，∠ADC=60°∴∠ADE=60°∴∠BAD=∠ADE∴AB【點睛】本題考查了多邊形內角和，角平分線的定義，平行線的判定定理，熟悉以上知識點是解題的關鍵．31．（2023·全國·七年級專題練習）如圖所示，已知AB//CD．（1）如圖（a）所示，求∠1+∠2+∠3的值；（2）如圖（b）所示，求∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6的值；（3）如圖（c）所示，求∠1+∠2+?+∠n的值．【答案】（1）360°；（2）900°；（3）∠1+∠2+?+∠n=180°n?1【分析】（1）如圖，過點F作FH//AB，利用兩直線平行，內錯角相等即可求解；（2）如圖，分別過點F、G、H、I作FM//AB，GN//AB，HP//AB，IQ//AB，結合（1）的方法即可得答案；（3）根據(jù)前兩問得出規(guī)律列出表達式即可得答案．【詳解】解：（1）方法一：如圖，過點F作FH//AB．∵AB//CD，∵AB//FH//CD，∵∠1+∠EFH=180°，∠3+∠GFH=180°，∴∠1+∠2+∠3=∠1+∠EFH+∠GFH+∠3=360°．方法二：如圖，連接EG，∵AB//CD，∴∠AEG+∠CGE=180°，∵∠GEF+∠2+∠EGF=180°，∴∠1+∠2+∠3=∠AEG+∠GEF+∠2+∠EGF+∠CGE=360°．（2）方法一：如圖，分別過點F、G、H、I作FM//AB，GN//AB，HP//AB，IQ//AB，∵AB//CD，∴AB//FM//GN//HP//IQ//CD，∴∠1+∠EFM=180°，∠MFG+∠FGN=180°，∠NGH+∠PHG=180°，∠PHI+∠HIQ=180°，∠QIJ+∠6=180°，∵∠EFM+∠MFG+∠FGN+NGH+∠PHG+∠PHI+∠HIQ+∠QIJ=∠2+∠3+∠4+∠5+∠6，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=900°．方法二：如圖，連接EJ，∵AB//CD，∴∠AEJ+∠CJE=180°，∵六邊形內角和為180°×（6-2）=720°，∴∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=∠AEJ+∠CJE+720°=900°．（3）方法一：∵360°=180°×（3-1），900°=180°×（6-1），∴∠1+∠2+?+∠n=180°n?1方法二：如圖，連接EF，∵AB//CD，∴∠AEF+CFE=180°，∵n邊形的內角和為180°（n-2），∴∠1+∠2+?+∠n=∠AEF+∠CFE+180°（n-2）=180°（n-1）．【點睛】此題考查平行線的性質及多邊形內角和，兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內錯角相等；兩直線平行，同旁內角互補；多邊形的內角和為180°（n-2）（n≥3）；熟練掌握平行線的性質、熟記多邊形內角和公式，正確作出輔助線是解題關鍵．32．（2022秋·全國·八年級專題練習）如圖①，已知線段AB，CD相交于點O，連接AC，BD，我們把形如圖①的圖形稱之為“8字形”．如圖②，∠CAB和∠BDC的平分線AP和DP相交于點P，并且與CD，AB分別相交于M，N．試解答下列問題：(1)在圖①中，寫出一個關于∠A、∠B、∠C、∠D的關系的等式．(2)在圖②中，若∠B＝96°，∠C＝100°，求∠P的度數(shù)；(3)在圖②中，若設∠C＝α，∠B＝β，∠CAP＝13∠CAB，∠CDP＝13∠CDB，試問∠P與∠C，∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關系（用α，β表示∠(4)如圖③，則∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F的度數(shù)為．【答案