02挑戰(zhàn)壓軸題（填空題）2

（挑戰(zhàn)壓軸題）2023年中考數(shù)學(xué)【三輪沖刺】專題匯編（杭州專用）—02挑戰(zhàn)壓軸題（填空題）1．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖是以點(diǎn)O為圓心，AB為直徑的圓形紙片，點(diǎn)C在⊙O上，將該圓形紙片沿直線CO對折，點(diǎn)B落在⊙O上的點(diǎn)D處（不與點(diǎn)A重合），連接CB，CD，AD．設(shè)CD與直徑AB交于點(diǎn)E．若AD=ED，則∠B=_________度；BCAD的值等于_________【答案】36【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出∠DAE=∠DEA，證出∠BEC=∠BCE，由折疊的性質(zhì)得出∠ECO=∠BCO，設(shè)∠ECO=∠OCB=∠B=x，證出∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∠CEB=2x，由三角形內(nèi)角和定理可得出答案；證明△CEO∽△BEC，由相似三角形的性質(zhì)得出，設(shè)EO=x，EC=OC=OB=a，得出a2=x（x+a），求出OE=a，證明△BCE∽△DAE，由相似三角形的性質(zhì)得出，則可得出答案．【詳解】解：∵AD=DE，∴∠DAE=∠DEA，∵∠DEA=∠BEC，∠DAE=∠BCE，∴∠BEC=∠BCE，∵將該圓形紙片沿直線CO對折，∴∠ECO=∠BCO，又∵OB=OC，∴∠OCB=∠B，設(shè)∠ECO=∠OCB=∠B=x，∴∠BCE=∠ECO+∠BCO=2x，∴∠CEB=2x，∵∠BEC+∠BCE+∠B=180°，∴x+2x+2x=180°，∴x=36°，∴∠B=36°；∵∠ECO=∠B，∠CEO=∠CEB，∴△CEO∽△BEC，∴，∴CE2=EO?BE，設(shè)EO=x，EC=OC=OB=a，∴a2=x（x+a），解得，x=5-1∴OE=5-1∴AE=OAOE=a5-12a=∵∠AED=∠BEC，∠DAE=∠BCE，∴△BCE∽△DAE，∴，∴BCAD故答案為：36，3+5【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖是一張矩形紙片ABCD，點(diǎn)M是對角線AC的中點(diǎn)，點(diǎn)E在BC邊上，把△DCE沿直線DE折疊，使點(diǎn)C落在對角線AC上的點(diǎn)F處，連接DF，EF．若MF=AB，則∠DAF=【答案】18【分析】連接MD，設(shè)∠DAF=x，利用折疊與等腰三角形的性質(zhì)，用x的代數(shù)式表示出∠ADC=90°，列出方程解方程即可．【詳解】連接MD，設(shè)∠DAF=x根據(jù)矩形的基本性質(zhì)可知AM=MD，AD∥BC，∠BCD=∠ADC=90°∴∠MDA=∠DAF=x，∠ACB=∠DAC=x∴∠DMF=2x∵△DCE折疊得到△DFE∴DF=CD=AB，DE⊥FC，∠FDE=∠CDE又MF=AB∴MF=DF∴∠MDF=2x∵∠BCD=∠ACB+∠ACD=90°，∠EDC+∠FCD=90°∴∠CDE=∠ACD=x∴∠FDE=∠CDE=x∴∠ADC=∠ADM+∠MDF+∠FDE+∠CDE=x+2x+x+x=5x=90°∴x=18°故∠DAF=18°故答案為18．【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的折疊問題，能夠做出合適的輔助線用∠DAF表示出∠ADC是解題關(guān)鍵．3．（2020·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖是一張矩形紙片，點(diǎn)E在AB邊上，把△BCE沿直線CE對折，使點(diǎn)B落在對角線AC上的點(diǎn)F處，連接DF．若點(diǎn)E，F(xiàn)，D在同一條直線上，AE＝2，則DF＝_____，BE＝_____【答案】25﹣1【分析】先根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC，∠ADC=∠B=∠DAE=90°，再根據(jù)折疊的性質(zhì)得到，∠CFE=∠B=90°，EF=BE，然后根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到DF=AE=2；最后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得BE的值．【詳解】∵四邊形ABCD是矩形∴AD=BC，∠∵把△BCE沿直線CE對折，使點(diǎn)B落在對角線AC上的點(diǎn)F∴，∠CFE=∠B=90°，EF=BE∴CF=AD，∴∠∴∠在△ADE和△FCD中，∠∴△∴DF=AE=2∵∠∴∠∵∠∴△∴AEDE=∴2解得EF=5-1或則BE=EF=故答案為：2，5-【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識點(diǎn)，根據(jù)矩形與折疊的性質(zhì)，正確找出兩個相似三角形是解題關(guān)鍵．4．（2020·浙江杭州·統(tǒng)考中考真題）如圖，已知AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點(diǎn)B，連接AC，OC．若sin∠BAC＝，則tan∠BOC＝_____．【答案】2【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)得到AB⊥BC，設(shè)BC＝x，AC＝3x，根據(jù)勾股定理得到AB＝AC2-BC2＝＝【詳解】解：∵AB是⊙O的直徑，BC與⊙O相切于點(diǎn)B，∴AB⊥BC，∴∠ABC＝90°，∵sin∠BAC＝BCAC＝，∴設(shè)BC＝x，AC＝3x，∴AB＝AC2-BC2＝＝∴OB＝12AB＝2x∴tan∠BOC＝＝22，故答案為：22【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、解直角三角形，熟練掌握解直角三角形的相關(guān)知識是解決本題的關(guān)鍵．5．（2019·浙江杭州·中考真題）如圖，把某矩形紙片ABCD沿EF、GH折疊（點(diǎn)E、H在AD邊上，點(diǎn)F、G在BC邊上），使得點(diǎn)B、點(diǎn)C落在AD邊上同一點(diǎn)P處，A點(diǎn)的對稱點(diǎn)為A'點(diǎn)，D點(diǎn)的對稱點(diǎn)為D'點(diǎn)，若∠FPG=90°，△A'EP的面積為4，△D【答案】65【分析】根據(jù)相似三角形的判斷得到△A'EP～△D'PH，由三角形的面積公式得到S△A'EP，再由折疊的性質(zhì)和勾股定理即可得到答案.【詳解】∵A'E∥PF∴∠A'EP=∠D'PH又∵∠A=∠A'=90°，∠D=∠D'=90°∴∠A'=∠D'∴△A'EP～△D'PH又∵AB=CD，AB=A'P，CD=D'P∴A'P=D'P設(shè)A'P=D'P=x∵S△A'EP：S△D'PH=4：1∴A'E=2D'P=2x∴S△A'EP=∵x>0∴∴A'P=D'P=2∴A'E=2D'P=4∴∴∴∴∴∴【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì).1．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，矩形ABCD中，AB=5，，點(diǎn)E是BC上一點(diǎn)，將△CDE沿DE折疊，使點(diǎn)C落在AB上的點(diǎn)F處．（1）的長度為___________；（2）設(shè)點(diǎn)P、、G分別在線段DE、BC、BA上，當(dāng)且四邊形BGPH為矩形時，求PE的長___________．【答案】32【分析】（1）由矩形性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及勾股定理求得、的長，設(shè)BE=x，然后在Rt△BEF中，由勾股定理列出方程，解方程即可；（2）由線段垂直平分線的性質(zhì)得BH=2，再證△EDC∽△EPH，得PHCD=EHEC，則【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC=4，CD=AB=5，∠A=90由折疊可得：DF=CD=5，CE=EF，在Rt△ADF中，由勾股定理得：∴BF=AB設(shè)BE=x，則CE=FE=4-在Rt△BEF中，解得：x=3即，故答案為：32（2）當(dāng)，且四邊形BGPH為矩形時，點(diǎn)P在BC的垂直平分線上，即PH垂直平分BC，∴BH=CH=∵BE=，EC=52∵四邊形ABCD是矩形，∴CD∴PH∴△∴PH即PH5解得：PH=1，在Rt△PEH中，故答案為：52【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)以及勾股定理等知識，熟練掌握翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江杭州·杭州綠城育華學(xué)校校考二模）已知矩形ABCD，AB=2，AD=5，E為DC上的點(diǎn)，連結(jié)AE，將△ADE沿AE翻折，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)為F，交BC于GEF交BC于N，H為AB上的點(diǎn)，將△BHG沿HG翻折，使B點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)M正好落在上，若∠AGB=30°，則AM=，DEFN=【答案】4-23【分析】①AM=x，則根據(jù)AH+HB=AB可得方程，進(jìn)而得到解答；②利用翻折性質(zhì)和三角函數(shù)證明△BHG∽△DEA可得，得到，可知GF=1，再利用特殊角的三角形函數(shù)值得到出FN的長，最后得到的值．【詳解】①解：設(shè)AM=x，∵∠AGB=30∴∠HAM=60∵∠HMG=∴∠AMH=90∴AH=2AM=2x，∵AH+HB=AB，∴，解得：x=4-即；②解：∵在Rt△ABG中，AB=2，∠AGB=30°，∴∠GAB=60°，BH=AB-∴BG=ABtan∠∵AD∥∴根據(jù)翻折的性質(zhì)可得：，∵，∴△BHG∴，即，解得：，∵AB=2，∴，∴GF=AF-又∵∠AGB=∴，∴NF=GF×∴DEFN故答案為：4-23，10【點(diǎn)睛】本題考查了解直角三角形、相似三角形的判定和性質(zhì)、勾股定理，熟練相似三角形的性質(zhì)和判定是解題的關(guān)鍵．3．（2022·浙江杭州·校考二模）如圖，在菱形ABCD中，，M，N分別在邊AB，CD上，將四邊形沿MN翻折，使AD的對應(yīng)線段EF經(jīng)過頂點(diǎn)C，當(dāng)EF⊥CD時，則CFCE的值是_____【答案】12【分析】由菱形的性質(zhì)得出∠B=∠D，AD=DC，由折疊的性質(zhì)得出∠D=∠F，AD=EF，DN=NF，得出sinB=sinF=【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠∵將四邊形沿MN翻折，∴∠D=∠F，AD=EF，∴∠B=∴sinB設(shè)，NF=DN=5x，∴CF=3x，CD=9x，∴EF=9x，∴CE=EF-∴CFCE故答案為：12【點(diǎn)睛】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)以及解直角三角形，正確表示出CE的長是解題關(guān)鍵．4．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E在邊AD上，△BEF是以E為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，EF，BF分別交CD于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)F作AD的垂線交AD的延長線于點(diǎn)G．連接DF，請完成下列問題：（1）∠FDG=________°（2）若DE=1，DF=22，則________．【答案】45【分析】（1）先證△ABE≌△GEF，得FG=AE=DG，可知△DFG是等腰直角三角形即可知∠FDG度數(shù)．（2）先作FH⊥CD于H，利用平行線分線段成比例求得MH；再作MP⊥DF于P，證△MPF∽△NHF,即可求得NH的長度，MN=MH+NH即可得解．【詳解】（1）∵四邊形ABCD是正方形，∴∠A=90°，AB=AD，∴∠ABE+∠AEB=90°，∵FG⊥AG，∴∠G=∠A=90°，∵△BEF是等腰直角三角形，∴BE=FE，∠BEF=90°，∴∠AEB+∠FEG=90°，∴∠FEG=∠EBA，在△ABE和△GEF中，∠A=∴△ABE≌△GEF（AAS），∴AE=FG，AB=GE，∵在正方形ABCD中，AB=AD∴∵AD=AE+DE，EG=DE+DG，∴AE=DG=FG，∴∠FDG=∠DFG=45°．故填：45°．（2）如圖，作FH⊥CD于H，∴∠FHD=90°又∵∠G=∠GDH=90°，∴四邊形DGFH是矩形，又∵DG=FG，∴四邊形DGFH是正方形，∴DH=FH=DG=2，∴AG∴DEFH∴DM=，MH=43，作MP⊥DF于P，∵∠MDP=∠DMP=45°，∴DP=MP，∵DP2+MP2=DM2，∴DP=MP=23∴PF=5∵∠MFP+∠MFH=∠MFH+∠NFH=45°，∴∠MFP=∠NFH，∵∠MPF=∠NHF=90°，∴△MPF∽△NHF,∴MPNH=PF∴NH=25∴MN=MH+NH=43+25=故填：．【點(diǎn)睛】本題主要考查正方形的性質(zhì)及判定以及相似三角形的性質(zhì)和判定，熟知相關(guān)知識點(diǎn)并能熟練運(yùn)用，正確添加輔助線是解題的關(guān)鍵．5．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，菱形OABC的一邊OA在x軸的負(fù)半軸上，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，A點(diǎn)坐標(biāo)為-5，0，對角線AC和OB相交于點(diǎn)D且AC?OB=40．若反比例函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)D，并與BC的延長線交于點(diǎn)E，則S△【答案】2【分析】如圖所示，過點(diǎn)C作CG⊥AO于G，根據(jù)菱形和三角形的面積公式可得S△OAC=12S菱形OABC=10，再由OA=5，求出CG=4，在Rt△OGC中，根據(jù)勾股定理得OG=3，即C-3，【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)C作CG⊥AO于∵BO?∴S菱形∴S△∴12∵A-∴OA=5，∴CG=4，在Rt△OGC中，∴OG=O∴C-∵四邊形OABC是菱形，∴B-∵D為BO的中點(diǎn)，∴D-又∵D在反比例函數(shù)上，∴k=-∵C-∴E的縱坐標(biāo)為4，又∵E在反比例函數(shù)上，∴E的橫坐標(biāo)為-8∴E-∴，∴S△故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及菱形性質(zhì)的運(yùn)用，解題時注意：菱形的對角線互相垂直平分．6．（2022·浙江杭州·校考一模）如圖，在菱形ABCD中，tanA=43，M，N分別在邊AD,BC上，將四邊形AMNB沿MN翻折，使AB的對應(yīng)線段EF經(jīng)過頂點(diǎn)D，當(dāng)EF⊥AD時，【答案】7【分析】延長NF交CD于點(diǎn)H，利用折疊性質(zhì)得出∠A=∠DFH，從而判斷NH⊥CD，再設(shè)出DM，分別表示出各個線段的長度即可求解．【詳解】解：如圖，延長NF交CD于點(diǎn)H，∵EF⊥∴∠ADF=90∵四邊形ABCD為菱形，∴AB∥∴∠A+∵四邊形AMNB沿MN翻折，∴∠A=∵∠DFN+∴∠A=∴∠DFH+∴∠DHF=90∴NH⊥設(shè)DM=4k，∵tanA∴tanE∴DE=3k,EM=5k，∴CD=AD=AM+DM=EM+DM=9k,DF=EF-∵tan∠∴sin∠∴DH=24∴CH=CD-∵cosC∴CN=7k，∴BN=BC-∴CNBN故答案為：72【點(diǎn)睛】本題考查菱形的性質(zhì)，翻折變換，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，得出NH⊥7．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，矩形OABC的頂點(diǎn)A、C分別在x軸和y軸上，反比例函數(shù)y=36x過BC的中點(diǎn)D．交AB于點(diǎn)E，F(xiàn)為AB上的一點(diǎn)，BF＝2AF，過點(diǎn)F的雙曲線y=kx交OD于點(diǎn)P，交OE于點(diǎn)Q，連結(jié)，則【答案】26【分析】（1）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)及矩形的性質(zhì)設(shè)Ba，b（2）根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)得到面積之間的關(guān)系，再根據(jù)坐標(biāo)P、Q點(diǎn)的坐標(biāo)即可求得【詳解】解：①∵BF＝2AF，點(diǎn)D是∴CD=2BC，AF=1設(shè)Ba∴Aa，0，F(xiàn)∵反比例函數(shù)y=36x過BC∴a2∴ab=66∵雙曲線y=kx過點(diǎn)∴13∴13②過點(diǎn)P作PG⊥OA于點(diǎn)G，過點(diǎn)Q作于點(diǎn)，∵點(diǎn)P、Q都在拋物線雙曲線∴S△∵S△OPG=S∴S△∵S△OPQ=S∴S△∵QH∥∴四邊形PGHQ是梯形，∵P1∴HQ=6，PG=26，∴S四邊形故答案為：26【點(diǎn)睛】本題考查了求反比例函數(shù)的解析式，反比例函數(shù)與三角形的面積，掌握反比例函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2021·浙江溫州·校聯(lián)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=10，AD=12，點(diǎn)N是AB邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)M是BC邊上的一動點(diǎn)連接MN，將△BMN沿MN折疊，若點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'，連接B'C，當(dāng)△B'【答案】103或【分析】分情況討論：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，再分別利用勾股定理和翻折的性質(zhì)可得答案；【詳解】解：∵△B當(dāng)時，∵點(diǎn)N是AB邊上的中點(diǎn)，AB=10，∴，∵NB∴點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)B'不能落在CD∴∠B當(dāng)時，如圖所示，由折疊性質(zhì)可得，∠BMN=∴BM=BN=1當(dāng)時，如圖所示∵∠N∴B'、N、C由勾股定理可得，NC=N設(shè)，則CM=12-x∴12解得：x=10綜上所述BM的長為103或5【點(diǎn)睛】本題考查翻折的性質(zhì)，根據(jù)題意畫出圖形并分情況討論是解題關(guān)鍵．9．（2023·浙江杭州·杭州育才中學(xué)校考一模）如圖，△ABC～△DBE，延長AD交CE于點(diǎn)P，若∠DEB=45°，AC=22，DE=2，BE=1.5，則tan∠【答案】2【分析】如圖作AH⊥BC于H．首先證明，推出∠DPC=∠ABC，求出AH、BH【詳解】如圖作AH⊥BC于H．BC交AP于O．∵△ABC～△DBE，AC=22，DE=∴∠ABC=∠DBE，ABBD∴AB∵BE=1.5，∴BC=3，∠ABD=∴，∴∠BAD=∵∠AOB=∴∠DPC=在Rt△ACH中，∵AC=22∴AH=HC=2，∴BH=1，∴tan∠故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、解直角三角形、勾股定理、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是正確尋找相似三角形解決問題，學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題．10．（2022·浙江杭州·?？级＃┤鐖D，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，E是BC的中點(diǎn)，連接AE，P是邊AD上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的D'處，當(dāng)PD'⊥AE時，AP=_______；當(dāng)△APD'【答案】10330-125【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得到AD=BC=6，∠BAD=∠D=∠B=90°，根據(jù)勾股定理得到AE=5，設(shè)AP=x，則PD'=PD=6-x，當(dāng)∠AD'【詳解】解：在矩形ABCD中，∵AB=4，BC=6，∴AD=BC=6，∠BAD=∵E是BC的中點(diǎn)，∴BE=CE=3，∴，∵沿過點(diǎn)P的直線將矩形折疊，使點(diǎn)D落在AE上的點(diǎn)D'∴PD設(shè)AP=x，則PD當(dāng)PD∴∠A∵AD∥∴∠PA∴△ABE∴APAE∴x5∴x=10∴AP=10如圖2中，當(dāng)時，設(shè)AP=x，則PD=PD'∵AD∥∴∠HA∵∠AH∴△AH∴AHBE∴AH3∴，HD=45∴PH=x-在Rt△6-解得x=30-125或30+12如圖3中，當(dāng)D'A=D'P時，過點(diǎn)D'作D'H⊥AP于∵AHA∴12∴x=36綜上所述，滿足條件的AP的值為30-125或36故答案為：103；30-125或【點(diǎn)睛】本題屬于幾何綜合題，是中考填空題壓軸題，考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題．11．（2022·浙江杭州·杭州市十三中教育集團(tuán)（總校）校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，折疊矩形紙片ABCD，AB=6，BC=10，具體操作：①點(diǎn)E為AD邊上一點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合）．把△ABE沿BE所在的直線折疊，A點(diǎn)的對稱點(diǎn)為F點(diǎn)；②過點(diǎn)E對折∠DEF，折痕EG所在的直線交DC于點(diǎn)G，D點(diǎn)的對稱點(diǎn)為H（1）如圖1，若AE=4，則DG的長是______．（2）如圖2，若點(diǎn)C恰在射線EF上，連接DH，則線段DH的長是______．【答案】48【分析】（1）證△AEB≌△DGE即可；（2）先證CE=CB=10，從而求出CF=8，則AE=EF=2，DE=8，再證△ABE∽△DEG，得DGDE=AEAB，即可求出DG=83，由勾股定理即可求得EG=，最后根據(jù)S四邊形DGFE=【詳解】解：（1）如圖1，∵矩形ABCD，∴AD=BC=10，CD=AB=6，∠A=∠D=90°，∴DE=ADAE=104=6，∴DE=AB，由折疊得：∠AEB=∠BEF，∠DEG=∠HEG，∴∠AEB+∠BEF+∠DEG+∠HEG=180°，∴∠AEB+∠DEG=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠ABE=∠DEG，∴△AEB≌△DGE（ASA），∴DG=AE=4，故答案為：4；（2）如圖2，由折疊可知∠AEB=∠FEB，AE=EF，AB=BF=6，∠BFE=∠A=90°，∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC，∴∠FEB=∠EBC，∴CE=CB=10，∵點(diǎn)C在直線EF上，∴∠BFC=90°，CF=10EF=10AE，∴CF=BC∴AE=EF=CECF=108=2，∴DE=ADAE=102=8，由（1）知，∠ABE=∠DEG，又∵∠GDE=∠A=90°，∴△ABE∽△DEG，∴DGDE=AE∴DG=83∴EG=DE由折疊可知，EG垂直平分線段DH，∴S四邊形DGFE=12∴12∴12∴DH=810故答案為：810【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，本題屬矩形折疊問題，屬中考試?？碱}型．12．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖，將矩形紙片ABCD的四個角向內(nèi)折疊，EH，EF，F(xiàn)G，GH別為折痕，其中點(diǎn)A，B落在點(diǎn)J處，點(diǎn)C，D落在點(diǎn)K處，且點(diǎn)H，J，K，F(xiàn)在同一直線上．（1）四邊形EFGH的形狀為____________．（2）若AHDH=34，JK＝2，則【答案】矩形；46【分析】（1）由題意，由折疊的性質(zhì)得到∠HEJ=12∠AEJ，∠FEJ=12（2）設(shè)AH=3x，DH=4x，則求出，得到AH和DH的長度，然后證明△EFJ?△GHK，從而求出HF的長度，過點(diǎn)H作HI⊥BC于點(diǎn)I，則HI=AB，BI=AH，求出【詳解】解：（1）根據(jù)題意，由折疊的性質(zhì)，∠HEJ=12∠AEJ∴∠HEJ+即∠HEF=90同理可求：∠EFG=90°，∴四邊形EFGH是矩形；故答案為：矩形；（2）∵AHDH設(shè)AH=3x，DH=4x，由折疊的性質(zhì)，則AH=HJ，HD=HK，∵JK=HK-∴4x-3x=2∴AH=32，；由（1）可知，四邊形EFGH是矩形，∴EF=HG，EF∥HG，∴∠EFJ=∠GHK，∵∠EJF=∠GKH=90°，∴△EFJ≌△GHK，∴FJ=HK，∵HD=HK，F(xiàn)B=FJ，∴HD=HK=FB=FJ=；∴HF=HK+FJ-如圖，過點(diǎn)H作HI⊥BC于點(diǎn)I，則HI=AB，BI=AH，∴FI=BF-在直角△FHIHI=F∴；故答案為：46【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，矩形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，解題的的關(guān)鍵是熟練掌握所學(xué)的知識，正確的分析題意．13．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊BC和CD的中點(diǎn)，連接AE，在AE上取點(diǎn)G，連接GF，若∠EGF=45°，則GF的長為__________．【答案】9【分析】連接交AE于，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，∠ABE=∠C=90°，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到，AE=BF，推出是等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理和三角形的面積公式即可得到結(jié)論．【詳解】解：連接交AE于，∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD，∠ABE=∵點(diǎn)E、F分別是邊BC，CD的中點(diǎn)，∴BE=CF在與中，AB=BC∠∴△∴∠BAE=∠CBF，AE=BF，，∴∠AEB+∴∠∴∠∵∠∴△∵AB=BC=6，∴BE=CF=3∴AE=BF=∵S∴BH=AB∴HF=HG=BF-∴GF=2故答案為：910【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．14．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是邊AD上的動點(diǎn)，沿直線PE將△APE對折，點(diǎn)A落在點(diǎn)F處.已知AB=6，AD=4，連結(jié)CF、CE，當(dāng)△CEF恰為直角三角形時，AP的長度等于___________.【答案】94或【分析】分∠CFE=90°和∠CEF=90°兩種情況根據(jù)矩形的性質(zhì)、勾股定理、全等三角形的判定及性質(zhì)求解．【詳解】解：①如圖，當(dāng)∠CFE=90°時，∵四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E是矩形ABCD的邊AB的中點(diǎn)，AB=6，AD=4，∴∠PAE=∠PFE=∠EBC=90°，AE=EF=BE=3，∴∠PFE+∠CFE=180°，∴P、F、C三點(diǎn)一線，∴△EFC≌△EBC，∴FC=BC=4，EC=32+42=5，∠FEC∴∠PEF+∠FEC=90°，設(shè)AP=x，則PC=x+4，∴(x+4)解得x=94②如圖，當(dāng)∠CEF=90°∴∠CEB+2∠PEA=90°，∴∠CEB+∠PEA=90°∠PEA，延長PE、CB，二線交于點(diǎn)G，∵AE=BE，∠PAE=∠GBE=90°，∠AEP=∠BEG，∴△PAE≌△GBE，∴PA=BG，∠AEP=∠BEG，∴∠G=90°∠GEB=90°∠PEA，∠CEB+∠PEA=90°∠PEA，∴∠G=∠CEB+∠PEA=∠CEB+∠GEB=∠CEG，∴CE=CBC+BG=BC+AP，∴5=4+AP，解得PA=1，故答案為：94或1【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握矩形的性質(zhì)，勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．（2022·浙江杭州·?？家荒＃┤鐖D，在矩形紙片ABCD中，AD=10，AB=8，將AB沿AE翻折，使點(diǎn)B落在B′處，AE為折痕；再將EC沿EF翻折，使點(diǎn)C恰好落在線段EB'上的點(diǎn)C'處，EF為折痕，連接AC'，若CF=3，則∠AEF=________度，AC'=________【答案】902【分析】連接，設(shè)EC=m，則，在Rt△ADF中，，在Rt△ABE中，，在Rt△ECF中，，在Rt△AEF中，，則有，解得m=4或m=6，由BE>EC，所以m=4，可求B'C'=2，最后根據(jù)勾股定理可得AC'的長．【詳解】解：如圖，連接，設(shè)EC=m，∵AD=10．由折疊可知，AB=AB'，CE=C'E，，∴∠，∴DF=5．在Rt△ADF中，AF．在Rt△ABE中，AE．在Rt△ECF中，，．在Rt△AEF中，，，，∴m=4或m=6．，∴m=4，，，．故答案為90，217【點(diǎn)睛】本題考查折疊的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，靈活應(yīng)用勾股定理是解題的關(guān)鍵．1．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，矩形ABCD的兩條對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，，垂足為E，F(xiàn)是OC的中點(diǎn)，連接EF交OB于點(diǎn)P，那么OPPB【答案】【分析】根據(jù)矩形性質(zhì)得到OA=OB=OC，利用三角形的三線合一得AE=EB，過O作OQ∥AB交EF于點(diǎn)Q，則有△OQF∽△AEF，△OQP∽△BEP，計(jì)算即可．【詳解】解：∵ABCD是矩形，∴OA=OB=OC，∵F是OC的中點(diǎn)，∴OF=1又∵OA=OB，∴AE=EB，過O作OQ∥AB交EF于點(diǎn)Q，∴△OQF∽△AEF，△OQP∴OPPB故答案為：13【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造三角形相似是解題的關(guān)鍵．2．（2022·浙江寧波·校考一模）如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E、F分別在邊BC、CD上，已知BE=2，AB=AE=CE，且∠AEF=∠B，設(shè)，DFCF=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是______【答案】y=【分析】延長AD與EF的延長線交于點(diǎn)M，證明△MAE∽△ABE，由其相似比用x表示DM，再證△DMF∽△CEF∽，便可得出結(jié)果．【詳解】解：延長AD與EF的延長線交于點(diǎn)M，如下圖，∵，∴∠B=∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，∴∠MAE=∵∠B=∴∠B=∴△MAE∴MAAB∵AB=AE=EC=x，BE=2，∴MAx∴MA=1∴AD=BC=x+2，∴DM=AM-∵DM∥∴△DMF∴DFCF∴DFCF∴y=1故答案為：y=x【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)與判定，關(guān)鍵在于構(gòu)造相似三角形．3．（2023·浙江麗水·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB=6，．折疊該矩形，使點(diǎn)D落在邊AB上的點(diǎn)G處，折痕分別與邊AD，CD交于點(diǎn)E，F(xiàn)．取BC的中點(diǎn)，連接FH，沿FH折疊，使點(diǎn)C恰好落在FG上的點(diǎn)I處，則GI的長為________．【答案】2或4【分析】連接DG，作FM⊥AB交AB于點(diǎn)M，DG與EF相交于N，根據(jù)矩形和翻折的性質(zhì)可證得△CFH∽△AGD，設(shè)CF=x，則GF=DF=6-x，從而得到AG=2x，GM=6-3x，再由GM2+M【詳解】解：連接DG，作FM⊥AB交AB于點(diǎn)M，DG與EF相交于N，如圖所示：∵四邊形ABCD為矩形，F(xiàn)M⊥AB，∴∠B=∠C=∠FMB=90°，∴四邊形為矩形，∴BC=FM=AD=4，MB=CF，由翻折的性質(zhì)可得：EF⊥DG，∠DFE=∠GFE，∠CFH=∠IFH，∵∠∴∠∵∠∴∠∵∠∴∠∴∠∵∠∴△∴AG設(shè)CF=x，則GF=DF=6-x，∴AG=2x，GM=6-∵GM2+M∴x1=2，∵GI=GF∴GI的長為2或4故答案為2或4．【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握矩形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．4．（2023·浙江寧波·?？家荒＃┤鐖D，P是矩形ABCD對角線AC上的一個動點(diǎn)，以點(diǎn)P為圓心，PC長為半徑作⊙P．若AC=53且tan∠ACB=34，當(dāng)⊙P與矩形【答案】58或【分析】由銳角的正切求出AB，BC的長，分兩種情況，由相似三角形的性質(zhì)即可求出【詳解】解：由題意知⊙P只能與AD，AB相切，作PM⊥AD與M，PN⊥AB于∵tan∠∴令A(yù)B=3x，∴，∴x=1∴AB=1，BC=4當(dāng)⊙P與AD相切時，PM=PC，∵四邊形ABCD是矩形，∴CD⊥AD，BC⊥AB，CD=AB=1，∴PM∥∴△APM∴，∵，∴，∴；當(dāng)⊙P與AB相切時，PN=PC，∵PN∥∴△ANP∴，∵，∴，∴．∴PC的長是58或20故答案為：58或20【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，解直角三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是要分兩種情況討論．5．（2023·浙江寧波·統(tǒng)考一模）如圖，在⊙O中，直徑AB=2，延長AB至C，使BC=OB，點(diǎn)D在⊙O上運(yùn)動，連接CD，將CD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，連接OE，則線段OE的最大值為___________．【答案】22+1【分析】過點(diǎn)C作AC的垂線，在垂線上截取CF=CO，連接DF，從而可證△OCE≌△FCD，進(jìn)而得到OE=FD，將求線段OE的最大值轉(zhuǎn)化為求FD的最大值，然后結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系求出最大值即可．【詳解】如圖，過點(diǎn)C作AC的垂線，在垂線上截取CF=CO，連接DF，∴∠DCE=∴∠OCE=∵CD繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)90°得到CE，∴CD=CE，在△OCE和△FCD中，CD=CE∠∴△OCE∴OE=FD，連接FO，并延長FO交圓于點(diǎn)H，F(xiàn)H即為FD最大值，∵AB=2，BC=OB，∴CF=CO=2，∴OF=22∴FH=OF+OH=22∴OE故答案為：22【點(diǎn)睛】本題考查了三角形全等的判定和性質(zhì)，點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，解決本題的關(guān)鍵是構(gòu)造全等三角形，將OE轉(zhuǎn)化為其他線段進(jìn)而求最大值．6．（2023·浙江·模擬預(yù)測）如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，且EC＝ED，在AD上取點(diǎn)G，連接GC，GD，AD．若，BD長為2π，則CD＝_________．【答案】6【分析】連接OC，OD，，圓周角定理求得∠COD＝120°，由OC＝OD，得到△OCD是等腰三角形，根據(jù)EC＝ED，等腰三角形三線合一得到OE⊥CD，∠COE＝∠DOE＝12∠COD＝60°，根據(jù)BD長為2π求得圓的半徑r＝6，在Rt△ODE中，利用解直角三角形進(jìn)一步即可得到CD．【詳解】解：連接OC，OD，∵，∴∠COD＝2∠G＝120°，∵OC＝OD，∴△OCD是等腰三角形，∵EC＝ED，∴OE⊥CD，∠COE＝∠DOE＝12∠COD＝60°設(shè)⊙O的半徑為r∵BD的長＝60π×r180∴r＝6，在Rt△ODE中，∠OED＝90°，OD＝6，∠DOE＝60°，∵EDOD∴ED＝ODsin∠DOE＝6×sin60°＝3，∴EC＝ED＝3，∴CD＝EC＋ED＝6，故答案為：6．【點(diǎn)睛】此題考查了圓周角定理、解直角三角形、等腰三角形的判定和性質(zhì)、弧長公式等，求出⊙O的半徑是解題的關(guān)鍵．7．（2023·浙江金華·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，將△BCD沿射線BD平移長度a（a＞0）得到△B'C'D'，連接AB'，AD'，則當(dāng)△AB'D'是直角三角形時，a的長為_____．【答案】75或【分析】分兩種情況：①如圖1，∠D'AB'＝90°，②如圖2，∠AB'D'＝90°，分別作輔助線，構(gòu)建相似三角形，證明三角形相似列比例式可得對應(yīng)a的值．【詳解】解：分兩種情況：①如圖1，∠D'AB'＝90°，延長C'B'交AB于G，過點(diǎn)D'作D'H⊥AB，交BA的延長線于H，∴∠H＝∠AGB'＝∠BGB'＝90°，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠C＝90°，AD＝BC＝3，∵tan∠ABD＝ADAB=B'G設(shè)B'G＝3x，BG＝4x，∴BB'＝a＝5x，由平移得：DD'＝BB'＝5x，∴D'H＝3+3x，AH＝BG＝4x，∴AG＝AB＝BG＝4﹣4x，∵∠D'AB'＝∠HAD'+∠BAB'＝90°，∠AD'H+∠HAD'＝90°，∴∠AD'H＝∠GAB'，∵∠H＝∠AGB'＝90°，∴△D'HA∽△AGB'，∴D'HAG=AH∴x＝725∴a＝5×725＝7②如圖2，∠AB'D'＝90°，延長C'B'交AB于M，則C'M⊥AB，∴∠AMB'＝90°，由平移得：B'C'＝BC＝3，同理設(shè)B'M＝3m，BM＝4m，則BB'＝a＝5m，∴AM＝4﹣4m，∵∠AB'M+∠D'B'C'＝90°，∠MAB'+∠AB'M＝90°，∴∠D'B'C'＝∠MAB'，∵∠C'＝∠AMB'＝90°，∴△D'C'B'∽△B'MA，∴C'D'MB'=B'C'∴m＝1625∴a＝5m＝5×1625＝16綜上，a的值是75或16【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)、平移的性質(zhì)、勾股定理、三角函數(shù)、三角形相似的性質(zhì)和判定、直角三角形的性質(zhì)等知識點(diǎn)；解題關(guān)鍵是畫出兩種情況的圖形，依題意進(jìn)行分類討論．8．（2023·浙江舟山·?？家荒＃┤鐖D，在△ABC中，AB＝2，AC＝4，△ABC繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A'B'C，使CB'∥AB，分別延長AB，CA'相交于點(diǎn)D，則線段BD的長為__【答案】6.【詳解】試題分析：∵將△ABC繞點(diǎn)C按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△A′B′C，AB＝2，AC＝4，∴A′B′＝AB＝2，AC′＝AC＝4，∠CA′B′＝∠A.又∵CB′∥AB，∴∠A′CB′＝∠A.∴△A′CB′∽△DAC.∴CA'AD=A'B'AC，即考點(diǎn)：1.旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)；2.平行的性質(zhì)；3.相似三角形的判定和性質(zhì).9．（2022·浙江杭州·?？家荒＃┤鐖D，已如矩形ABCD，將△BCD繞點(diǎn)B順時針旋轉(zhuǎn)90°至△BEF，連接AC，BF，若點(diǎn)A，C，F(xiàn)恰好在同一條直線上，則ABBC=【答案】1+【分析】設(shè)AB=a，BC=b，由矩形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知EF=a，BE=b．易證△ABC～△AEF，即得出ABAB+BE=BCEF，即aa+b=ba，將b看作已知數(shù)，根據(jù)公式法即可求出a=【詳解】設(shè)AB=a，BC=b，由矩形和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知EF=a，BE=b，∠E=∠BCD=∠ABC=90°，∴BC∥∴△ABC∴ABAE=BC∴aa+b整理，得：a2∴a=b∵a>0，∴a=b+∴ABBC故答案為：1+5【點(diǎn)睛】本題考查矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，一元二次方程的應(yīng)用．利用三角形相似求出AB和BC的關(guān)系是解題關(guān)鍵．10．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，點(diǎn)D在BC邊上．連接AD，將△ABD沿直線AD翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，AE交BC邊于點(diǎn)F．已知AC=3，，若△DEF為直角三角形，則△DEF的面積為______【答案】38或【分析】分類討論當(dāng)∠EDF=90°時和當(dāng)∠DFE=90°時，再根據(jù)翻折的性質(zhì)結(jié)合勾股定理即可解答．【詳解】分類討論：①如圖，當(dāng)∠EDF=90°時，∵∠C=90°，AC=3，，∴AB=AC2由翻折的性質(zhì)可知∠E=∠B，ED=BD，AE=AB=5，∴tan∠設(shè)DF=3x，則ED=BD=4x，∴CF=BC-BD-DF=4-7x，EF=D∴AF=AE-∵在Rt△ACF中，AF∴(5-解得：x1∴DF=3x=3∴S△②如圖，當(dāng)∠DFE=90°時，此時F點(diǎn)與C點(diǎn)重合，∵AE=AB=5，AC=3，∴EF=AE-設(shè)DF=y，則ED=BD=4-y，∵在Rt△DEF中，ED∴(4-解得：y=3∴DF=3∴S△綜上可知△DEF的面積為38或3故答案為：38或3【點(diǎn)睛】本題考查翻折的性質(zhì)，勾股定理，銳角三角函數(shù)的應(yīng)用．利用分類討論的思想是解題關(guān)鍵．11．（2022·浙江杭州·統(tǒng)考一模）如圖是一張矩形紙片ABCD，AB＝3，AD＝4，在BC上任意取一點(diǎn)E，將△DEC沿DE折疊，（1）若點(diǎn)C恰好落在對角線BD上的點(diǎn)C'處，則CE＝______；（2）若點(diǎn)C恰好落在對角線AC上的點(diǎn)C'處，則CE＝【答案】32【分析】（1）由勾股定理，得BD=5，由折疊可知，CD=C'D=3，∠DC'E=90°，設(shè)CE==x，則BE=4x，BC'=2，根據(jù)勾股定理BC'（2）令A(yù)C與DE交于點(diǎn)F，由題可知，DE垂直平分CC'，求出CF=3x9+x2，則AF=53x9+x2，證△AFD【詳解】解：（1）在矩形ABCD中AB＝CD=3，AD＝BC=4∠C=90°在Rt△BCD中BD=CD2+B由折疊可知，CD=C'D=3，∠D∵點(diǎn)C恰好落在對角線BD上的點(diǎn)C∴∠BC'設(shè)CE==x，則BE=4x，BC'=5在Rt△BC∴BC'2+2=BE∴22+x2=（4x）2解得x=3故答案為：32（2）解：令A(yù)C與DE交于點(diǎn)F∵點(diǎn)C恰好落在對角線AC上∴DE垂直平分C在Rt△CDE中DE=DC2∵DE×CF=EC×DC∴CF=3x∴AF=53x∵AD//BC∴△AFD∽△CFE∴AFCF=∴5-3x9+16x272x+81=0解得x=9故答案為：94【點(diǎn)睛】本題考查矩形中的翻折問題，運(yùn)用到的知識點(diǎn)有勾股定理，矩形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定，垂直平分線的性質(zhì)等知識點(diǎn)，熟練地掌握這些知識是解決問題的關(guān)鍵.12．（2022·浙江杭州·模擬預(yù)測）如圖，菱形ABCD的對角線交于點(diǎn)E，邊CD交y軸正半軸于點(diǎn)F，頂點(diǎn)A，D分別在x軸的正、負(fù)半軸上，反比例函數(shù)y＝kx的圖象經(jīng)過C，E兩點(diǎn)，過點(diǎn)E作EG⊥OA于點(diǎn)G，若CF＝2DF，DG﹣AG＝3，則k的值是_____【答案】4【分析】過點(diǎn)C作CH⊥OA，根據(jù)相似三角形的判定可得ODOH=DFCF=12，AGHG=AECE，再由DG﹣AG=3可知OH=2，CH=k2，進(jìn)而可證【詳解】解：過點(diǎn)C作CH⊥OA，如圖，則OF∥CH∥EG∴ODOH=DF∴OH=2OD∵四邊形AB