1722勾股定理的應(yīng)用(精練)-2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期重要考點(diǎn)(人教版)

17.2.2勾股定理的應(yīng)用一．選擇題1．小明從家出發(fā)向正北方向走了150m，接著向正東方向走到離家直線距離為250m遠(yuǎn)的地方，那么小明向正東方向走的路程是（）A．250m B．200m C．150m D．100m【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，進(jìn)而利用勾股定理求出即可．【解答】解：如圖所示：AB＝150m，AC＝250m，則BC＝＝＝200（m）．答：小明向正東方向走了200m，故選：B．2．為了測(cè)量學(xué)校的景觀池的長(zhǎng)AB，在BA的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)C，使得AC＝5米，在點(diǎn)C正上方找一點(diǎn)D（即DC⊥BC），測(cè)得∠CDB＝60°，∠ADC＝30°，則景觀池的長(zhǎng)AB為（）A．5米 B．6米 C．8米 D．10米【分析】根據(jù)含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出DC，進(jìn)而利用含30°角的直角三角形的性質(zhì)BC，進(jìn)而解答即可．【解答】解：∵DC⊥BC，∠ADC＝30°，AC＝5米，∴CD＝AC＝5（米），∵∠CDB＝60°，∴BC＝DC＝（米），∴AB＝BC﹣AC＝15﹣5＝10（米），故選：D．3．如圖，一支鉛筆放在圓柱體筆筒中，筆筒的內(nèi)部底面直徑是9cm，內(nèi)壁高12cm．若這支鉛筆長(zhǎng)為18cm，則這只鉛筆在筆筒外面部分長(zhǎng)度不可能的是（）A．3cm B．5cm C．6cm D．8cm【分析】首先根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用勾股定理計(jì)算出AC的長(zhǎng)度．然后求其差．【解答】解：根據(jù)題意可得圖形：AB＝12cm，BC＝9cm，在Rt△ABC中：AC＝＝＝15（cm），所以18﹣15＝3（cm），18﹣12＝6（cm）．則這只鉛筆在筆筒外面部分長(zhǎng)度在3cm～6cm之間．觀察選項(xiàng)，只有選項(xiàng)D符合題意．故選：D．4．如圖是一個(gè)外輪廓為矩形的機(jī)器零件平面示意圖，根據(jù)圖中的尺寸（單位：mm），計(jì)算兩圓孔中心A和B的距離為（）A．80mm B．100mm C．120mm D．150mm【分析】根據(jù)勾股定理：AC2+BC2＝AB2，即可求得．【解答】解：如圖，分別過(guò)點(diǎn)A、點(diǎn)B作AC⊥BC于C，在Rt△ABC中，∵AC＝150﹣60＝90，BC＝180﹣60＝120，∴AB＝＝150（mm），∴兩圓孔中心A和B的距離為150mm．故選：D．5．如圖，一棵大樹(shù)在離地面6m，10m兩處折成三段，中間一段AB恰好與地面平行，大樹(shù)頂部落在離大樹(shù)底部12m處，則大樹(shù)折斷前的高度是（）A．14m B．16m C．18m D．20m【分析】作BO⊥DC于點(diǎn)O，首先由題意得：AD＝BO＝6m，AB＝OD＝4m，然后根據(jù)DC＝6米，得到OC＝8米，最后利用勾股定理得BC的長(zhǎng)度即可．【解答】解：如圖，作BO⊥DC于點(diǎn)O，由題意得：AD＝BO＝6m，AB＝OD＝4m，∵DC＝12m，∴OC＝8m，∴由勾股定理得：BC＝（m），∴大樹(shù)的高度為10+10＝20（m），故選：D．6．如圖，數(shù)學(xué)興趣小組要測(cè)量學(xué)校旗桿的高度，同學(xué)們發(fā)現(xiàn)系在旗桿頂端的繩子垂到地面并多出一段（如圖1），同學(xué)們首先測(cè)量了多出的這段繩子長(zhǎng)度為1米，再將繩子拉直（如圖2），測(cè)出繩子末端C到旗桿底部B的距離為5米，則旗桿的高度為（）米．A．5 B．12 C．13 D．17【分析】因?yàn)槠鞐U、繩子、地面正好構(gòu)成直角三角形，設(shè)旗桿的高度為x米，則繩子的長(zhǎng)度為（x+1）米，根據(jù)勾股定理即可求得旗桿的高度．【解答】解：設(shè)旗桿的高度AB為x米，則繩子AC的長(zhǎng)度為（x+1）米，在Rt△ABC中，根據(jù)勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗桿的高度為12米．故選：B．7．《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)代表作，書(shū)中記載：今有開(kāi)門(mén)去閫（讀kun，門(mén)檻的意思）一尺，不合二寸，問(wèn)門(mén)廣幾何？題目大意是：如圖1、2（圖2為圖1的平面示意圖），從點(diǎn)O處推開(kāi)雙門(mén)，雙門(mén)間隙CD的長(zhǎng)度為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D到門(mén)檻AB的距離都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長(zhǎng)是（）A．104寸 B．101寸 C．52寸 D．50.5寸【分析】取AB的中點(diǎn)O，過(guò)D作DE⊥AB于E，根據(jù)勾股定理解答即可得到結(jié)論．【解答】解：取AB的中點(diǎn)O，過(guò)D作DE⊥AB于E，如圖2所示：由題意得：OA＝OB＝AD＝BC，設(shè)OA＝OB＝AD＝BC＝r寸，則AB＝2r（寸），DE＝10寸，OE＝CD＝1寸，∴AE＝（r﹣1）寸，在Rt△ADE中，AE2+DE2＝AD2，即（r﹣1）2+102＝r2，解得：r＝50.5，∴2r＝101（寸），∴AB＝101寸，故選：B．二．填空題8．如圖，某學(xué)校（A點(diǎn)）到公路（直線l）的距離為300米，到公交車(chē)站（D點(diǎn)）的距離為500米，現(xiàn)要在公路邊上建一個(gè)商店（C點(diǎn)），使之到學(xué)校A及到車(chē)站D的距離相等，則商店C與車(chē)站D之間的距離是米．【分析】過(guò)點(diǎn)A作AB⊥l于B，根據(jù)勾股定理解答即可．【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AB⊥l于B，則AB＝300m，AD＝500m．∴BD＝＝400m，設(shè)CD＝xm，則CB＝（400﹣x）m，根據(jù)勾股定理得：x2＝（400﹣x）2+3002，x2＝160000+x2﹣800x+3002，800x＝250000，x＝312.5．答：商店與車(chē)站之間的距離為312.5米，故答案為：312.5．9．某小區(qū)兩面直立的墻壁之間為安全通道，一架梯子斜靠在左墻DE時(shí)，梯子底端A到左墻的距離AE為0.7m，梯子頂端D到地面的距離DE為2.4m，若梯子底端A保持不動(dòng)，將梯子斜靠在右墻BC上，梯子頂端C到地面的距離CB為1.5m，則這兩面直立墻壁之間的安全通道的寬BE為m．【分析】先根據(jù)勾股定理求出AD的長(zhǎng)，同理可得出AB的長(zhǎng)，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，AE＝0.7米，DE＝2.4米，∴AD2＝0.72+2.42＝6.25．在Rt△A′BD中，∵∠ABC＝90°，BC＝1.5米，AB2+BC2＝AC2，∴AB2+1.52＝6.25，∴AB2＝4．∵AB＞0，∴AB＝2米．∴BE＝AE+AB＝0.7+2＝2.7米．答：小巷的寬度BE為2.7米，故答案為：2.7．10．如圖，在高為6米，坡面長(zhǎng)度AB為10米的樓梯表面鋪上地毯，則至少需要地毯米．【分析】將樓梯表面向下和右平移，則地毯的總長(zhǎng)＝兩直角邊的和，已知斜邊和一條直角邊，根據(jù)勾股定理即可求另一條直角邊，計(jì)算兩直角邊之和即可解題．【解答】解：將樓梯表面向下和右平移，則地毯的總長(zhǎng)＝兩直角邊的和，由題意得：∠ACB＝90°，AB＝10米，AC＝6米，由勾股定理得BC＝＝＝8（米），則AC+BC＝14（米），故答案為：14．三．解答題11．如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，公路PQ上點(diǎn)A處有學(xué)校，點(diǎn)A到公路MN的距離為120m，現(xiàn)有一卡車(chē)在公路MN上以5m/s的速度沿PN方向行駛，卡車(chē)行駛時(shí)130m范圍以?xún)?nèi)都會(huì)受到噪音的影響，請(qǐng)你算出該學(xué)校受影響的時(shí)間多長(zhǎng)？【分析】設(shè)卡車(chē)開(kāi)到C處剛好開(kāi)始受到影響，行駛到D處時(shí)結(jié)束，在Rt△ACB中求出CB，繼而得出CD，再由卡車(chē)的速度可得出所需時(shí)間．【解答】解：設(shè)卡車(chē)開(kāi)到C處剛好開(kāi)始受到影響，行駛到D處時(shí)結(jié)束了噪聲的影響．則有CA＝DA＝130m，在Rt△ABC中，CB＝＝50（m），∴CD＝2CB＝100（m），則該校受影響的時(shí)間為：100÷5＝20（s）．答：該學(xué)校受影響的時(shí)間為20s，12．如圖，是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬和高分別等于5cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻，想到B點(diǎn)去吃可口的食物．請(qǐng)你想一想，這只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)，沿著臺(tái)階面爬到B點(diǎn)，最短線路是多少？【分析】此類(lèi)題目只需要將其展開(kāi)便可直觀的得出解題思路．將臺(tái)階展開(kāi)得到的是一個(gè)矩形，螞蟻要從B點(diǎn)到A點(diǎn)的最短距離，便是矩形的對(duì)角線，利用勾股定理即可解出答案．【解答】解：將臺(tái)階展開(kāi)，如下圖，因?yàn)锳C＝3×3+1×3＝12，BC＝5，所以AB2＝AC2+BC2＝169，所以AB＝13（cm），所以螞蟻爬行的最短線路為13cm．答：螞蟻爬行的最短線路為13cm．13．如圖，△ABC的三邊分別為AC＝5，BC＝12，AB＝13，將△ABC沿AD折疊，使AC落在AB上．（1）試判斷△ABC的形狀，并說(shuō)明理由；（2）求折痕AD的長(zhǎng)．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷AC2+BC2＝52+122＝AB2是否成立即可．（2）設(shè)折疊后點(diǎn)C與AB上的點(diǎn)E重合．在Rt△EBD中，根據(jù)勾股定理即可得到一個(gè)關(guān)于DE的方程，解方程即可求