小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的思考與實(shí)踐

摘要：運(yùn)算教學(xué)對(duì)訓(xùn)練學(xué)生思維的敏捷性、靈活性具有十分重要的意義。以人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）”為例，通過分析教材和學(xué)情，提出根據(jù)認(rèn)知水平確定學(xué)習(xí)素材、根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)計(jì)教學(xué)流程和根據(jù)課標(biāo)要求轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式等教學(xué)思考，通過精心設(shè)計(jì)三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，引導(dǎo)學(xué)生在經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過程中實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。關(guān)鍵詞：小學(xué)數(shù)學(xué)；運(yùn)算教學(xué)；思維發(fā)展；兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）數(shù)與運(yùn)算是小學(xué)數(shù)學(xué)的重要教學(xué)內(nèi)容之一，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)及相關(guān)學(xué)科的基礎(chǔ)。運(yùn)算教學(xué)主要包括理解運(yùn)算對(duì)象、掌握運(yùn)算法則、探究運(yùn)算思路、選擇運(yùn)算方法、設(shè)計(jì)運(yùn)算程序、求得運(yùn)算結(jié)果等。小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)通過設(shè)計(jì)有效的課堂教學(xué)，提高學(xué)生的運(yùn)算能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。然而，在傳統(tǒng)的小學(xué)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，大多數(shù)教師都是直接出示運(yùn)算的過程和結(jié)果，讓學(xué)生在觀察中模仿和記憶運(yùn)算的方法，并通過大量的練習(xí)訓(xùn)練學(xué)生掌握運(yùn)算的技能。學(xué)生沒有經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識(shí)形成的過程，導(dǎo)致不能將知識(shí)與技能靈活遷移運(yùn)用?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)》）提出，教師在數(shù)學(xué)課堂上要敢于放手，讓學(xué)生經(jīng)歷探究算理和算法的全過程。要提高小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)的質(zhì)量和效率，教師需要調(diào)動(dòng)一切主動(dòng)因素，設(shè)計(jì)好課堂教學(xué)的每一個(gè)環(huán)節(jié)，有效落實(shí)數(shù)學(xué)知識(shí)與技能的教學(xué)，滲透數(shù)學(xué)思想方法，促進(jìn)學(xué)生積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，形成規(guī)范的思維品質(zhì)［1］。下面，筆者以人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)第四單元“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）”為例，從理解運(yùn)算對(duì)象、理解算理與算法之間的關(guān)系、感受算法多樣性等角度展開課堂教學(xué)過程，將數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)滲透在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，加強(qiáng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力，促進(jìn)學(xué)生的思維發(fā)展。一、教材和學(xué)情分析（一）明確教學(xué)目標(biāo)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）”一課編排在人教版數(shù)學(xué)三年級(jí)下冊(cè)第四單元“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”中。此前學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了表內(nèi)乘法、兩位數(shù)乘一位數(shù)（不進(jìn)位）、兩位數(shù)乘一位數(shù)（進(jìn)位）、兩位數(shù)乘整十和整百數(shù)等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，后續(xù)學(xué)生還要學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)（進(jìn)位）、三位數(shù)乘兩位數(shù)等數(shù)學(xué)知識(shí)。學(xué)生在學(xué)習(xí)本課前，已經(jīng)掌握了筆算乘法的運(yùn)算法則：用一個(gè)數(shù)與另一個(gè)數(shù)的每個(gè)數(shù)位相乘，乘到哪一位，乘積的末尾必須與該數(shù)字對(duì)齊，最后把兩個(gè)乘數(shù)的積相加。本課教學(xué)中，教師重點(diǎn)引導(dǎo)學(xué)生掌握乘法的順序以及各部分積的書寫位置，幫助學(xué)生理解算理、掌握算法，突出各部分積的實(shí)際意義，為學(xué)生以后學(xué)習(xí)三位數(shù)乘兩位數(shù)奠定學(xué)習(xí)基礎(chǔ)，也為學(xué)生學(xué)習(xí)除數(shù)是兩位數(shù)的除法和混合運(yùn)算做好充分準(zhǔn)備。因此，教師確定了“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）”的以下教學(xué)目標(biāo)：使學(xué)生經(jīng)歷兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的運(yùn)算探究過程，體會(huì)運(yùn)算方法的多樣性；在不同運(yùn)算方法的比較中理解算理，掌握兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的運(yùn)算方法；利用兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）的運(yùn)算方法解決數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力和解決問題的能力。（二）精準(zhǔn)分析學(xué)情為了精準(zhǔn)分析學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)情況，教師在教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）”前，主要從算法多樣性和對(duì)算理的理解這兩個(gè)角度設(shè)計(jì)了如圖1所示的課堂前測(cè)題，對(duì)三年級(jí)一個(gè)教學(xué)班級(jí)的40名學(xué)生進(jìn)行了課前小測(cè)。第1題考查學(xué)生是否能用多種方法計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位），第2題考查學(xué)生是否能結(jié)合具體情境解釋兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）每個(gè)數(shù)的含義。設(shè)計(jì)課堂前測(cè)題的目的是判斷學(xué)生對(duì)筆算兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）算理的理解層級(jí)。教師通過分析學(xué)生解答第1題的情況，對(duì)學(xué)生算法多樣性水平進(jìn)行了分層，結(jié)果如表1所示。教師通過分析學(xué)生解答第2題的情況，對(duì)學(xué)生算理的理解水平進(jìn)行了分層，結(jié)果如表2所示。教師通過分析課前小測(cè)學(xué)生的解答情況，發(fā)現(xiàn)大多數(shù)學(xué)生已經(jīng)會(huì)正確運(yùn)用豎式計(jì)算的方法計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位），而且會(huì)用1種或2種方法計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）。但是，大多數(shù)學(xué)生不會(huì)結(jié)合具體情境解釋每個(gè)數(shù)的含義。二、運(yùn)算教學(xué)的教學(xué)設(shè)計(jì)思考在小學(xué)數(shù)學(xué)運(yùn)算教學(xué)中，有效的課堂教學(xué)設(shè)計(jì)能幫助學(xué)生更好地解決運(yùn)算學(xué)習(xí)中的三個(gè)問題：一是如何計(jì)算，即學(xué)生對(duì)算法和運(yùn)算程序的使用，表現(xiàn)為運(yùn)算的熟練性；二是為什么這樣計(jì)算，即學(xué)生對(duì)算理的理解，表現(xiàn)為運(yùn)算的合理性；三是怎樣計(jì)算更好，即學(xué)生對(duì)算法的優(yōu)化，表現(xiàn)為運(yùn)算的靈活性?！皟晌粩?shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）”一課教學(xué)，教師要將重心放在學(xué)生對(duì)算理的理解和算法的掌握上，可通過分析教材和學(xué)情，在教學(xué)過程中提供可視化的學(xué)習(xí)工具、設(shè)計(jì)豐富的課堂活動(dòng)任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生把新知識(shí)轉(zhuǎn)化成舊知識(shí)來探索算理和算法。（一）根據(jù)學(xué)生認(rèn)知水平確定學(xué)習(xí)素材由于三年級(jí)學(xué)生的學(xué)習(xí)和認(rèn)知心理都處于從具體形象向抽象思維過渡的階段，因此，教師要為學(xué)生提供具象的學(xué)習(xí)素材，通過小棒、點(diǎn)子圖、方塊圖等可視化的學(xué)習(xí)工具，幫助學(xué)生理解抽象的運(yùn)算過程。考慮到學(xué)生學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘一位數(shù)乘法時(shí)由于計(jì)算數(shù)目較小，教師可以提供小棒等能夠動(dòng)手操作的學(xué)習(xí)素材，幫助學(xué)生學(xué)會(huì)解釋每個(gè)數(shù)的含義。而學(xué)生在學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）時(shí)由于計(jì)算數(shù)目較大，教師可以提供點(diǎn)子圖等能夠圈畫的學(xué)習(xí)素材，幫助學(xué)生在分點(diǎn)子圖中理解“先分后合”的運(yùn)算策略。（二）根據(jù)學(xué)習(xí)內(nèi)容設(shè)計(jì)教學(xué)流程“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）”一課的教學(xué)流程，通常分為以下三個(gè)環(huán)節(jié)：第一個(gè)環(huán)節(jié)是教師出示兩位數(shù)乘兩位數(shù)不進(jìn)位乘法的問題，讓學(xué)生獨(dú)立思考并進(jìn)行學(xué)習(xí)小組交流；第二個(gè)環(huán)節(jié)是先由每個(gè)學(xué)習(xí)小組分別介紹不同的算法，教師再組織教學(xué)活動(dòng)，幫助學(xué)生理解每一種運(yùn)算方法，并比較不同算法的異同，總結(jié)出兩位數(shù)乘兩位數(shù)不進(jìn)位乘法的一般算法；第三個(gè)環(huán)節(jié)是教師為學(xué)生提供適量的練習(xí)題，幫助學(xué)生鞏固乘法運(yùn)算的算理和算法，讓學(xué)生學(xué)會(huì)正確運(yùn)用兩位數(shù)乘兩位數(shù)不進(jìn)位乘法解決實(shí)際問題。（三）根據(jù)課標(biāo)要求轉(zhuǎn)變學(xué)習(xí)方式《2022年版數(shù)學(xué)課標(biāo)》強(qiáng)調(diào)，教師要改進(jìn)教學(xué)方式，促進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變。新課標(biāo)理念下的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，教師要設(shè)法營造讓學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、自主探究、合作交流的學(xué)習(xí)氛圍，讓學(xué)生在觀察思考、動(dòng)手實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)規(guī)律，培養(yǎng)合作意識(shí)、交流能力和理解能力。因此，教師要改變傳統(tǒng)的講授式教學(xué)，重視培養(yǎng)學(xué)生的自我探究意識(shí)，放手讓學(xué)生自己去解決數(shù)學(xué)問題。教師可以借助信息技術(shù)豐富教學(xué)情境，讓抽象的算理理解直觀化，促進(jìn)學(xué)生對(duì)筆算乘法運(yùn)算算理的理解和算法的探索。三、促進(jìn)學(xué)生思維發(fā)展的運(yùn)算教學(xué)實(shí)踐裴斯泰洛齊說過：“教學(xué)的主要任務(wù)不是積累知識(shí)，而是發(fā)展思維?！睂W(xué)生學(xué)習(xí)不是被動(dòng)的過程，而是主動(dòng)探索、積極思考、發(fā)展思維的過程。在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）”一課教學(xué)中，筆者精心設(shè)計(jì)各個(gè)環(huán)節(jié)的教學(xué)活動(dòng)，以學(xué)生數(shù)學(xué)思維發(fā)展為核心，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)探究，經(jīng)歷知識(shí)形成的過程。（一）引導(dǎo)學(xué)生交流表達(dá)，實(shí)現(xiàn)思維碰撞教師在教學(xué)中設(shè)計(jì)交流不同算法的教學(xué)活動(dòng)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽表達(dá)自己的想法，讓學(xué)生在交流中思考、在思考中學(xué)習(xí)。學(xué)生在互動(dòng)交流中，一步一步深入思考，積極主動(dòng)探究算法的本質(zhì)，比較不同算法之間的異同，從而促進(jìn)了思維的碰撞與發(fā)展。在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）”的教學(xué)中，教師先提出數(shù)學(xué)情境問題“一套書有14冊(cè)，王老師買了12套。一共買了多少冊(cè)？”，再引導(dǎo)學(xué)生利用點(diǎn)子圖探究問題解決的方法，然后讓學(xué)生列出乘法算式并自主探究計(jì)算結(jié)果。教師在課堂巡視過程中進(jìn)行指導(dǎo)。師：同學(xué)們，解決問題會(huì)有不同的算法，誰愿意與大家分享你的思考過程？生1：我把這個(gè)點(diǎn)子圖中的12行分成2行和10行（如圖2）。上面這個(gè)圈表示10套書有多少冊(cè)，下面這個(gè)圈表示2套書有多少冊(cè)。我用橫式計(jì)算，14×12=14×10+14×2=140+28=168（冊(cè)）。師：為什么把12行分成10行和2行？生1：因?yàn)槲蚁氲轿覀冊(cè)诶δ景舻臅r(shí)候，都是10個(gè)捆一起，剩余的放旁邊。把12分成10和2，這樣計(jì)算更方便。生2：我把這個(gè)點(diǎn)子圖中的12行平均分成3份（如圖3）。每個(gè)圈都是14×4=56，總共是56×3=168（冊(cè)）。師：生1的方法是把數(shù)字12分成10和2，生2的方法是平均分。同學(xué)們覺得哪種方法好？為什么？生3：把數(shù)字12分成10和2更好，因?yàn)椴皇撬械臄?shù)字都是可以平均分的。如果是14×13，那么13就不能平均分，而且在平均分計(jì)算時(shí)還要進(jìn)位，算法比較麻煩。師：這兩種分法有什么共同點(diǎn)？生4：都是把一個(gè)數(shù)字分開，變成我們之前學(xué)過的兩位數(shù)乘一位數(shù)乘法或者兩位數(shù)乘整十?dāng)?shù)乘法。師：生2將12套書平均分的思路值得表揚(yáng)，但并不是所有的因數(shù)都能寫成兩數(shù)相乘的形式，所以這種計(jì)算方法的應(yīng)用有一定的局限性。在解決數(shù)學(xué)情境問題的過程中，學(xué)生的解題方法是多種多樣的。教師與學(xué)生互動(dòng)交流時(shí)，注重引導(dǎo)學(xué)生從“是什么”的問題進(jìn)入到“為什么”的問題，學(xué)生的發(fā)散性思維被激活，思考解決問題這樣分的原因。學(xué)生在感受算法多樣化的同時(shí)，體驗(yàn)不同算法的異同，掌握解題的策略，在比較過程中提高分析和解決問題的能力，培養(yǎng)算法優(yōu)化意識(shí)。（二）探究運(yùn)算本質(zhì)，促使學(xué)生思維深入發(fā)展數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是學(xué)生系統(tǒng)地掌握數(shù)學(xué)知識(shí)與技能，逐步培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維能力的過程。學(xué)生在數(shù)學(xué)運(yùn)算學(xué)習(xí)過程中，不僅要學(xué)會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)，而且要體會(huì)知識(shí)產(chǎn)生的過程，發(fā)展數(shù)學(xué)思維。因此，教師在教學(xué)中要不斷引導(dǎo)學(xué)生去探究“是什么”“為什么”“怎么樣”，凸顯運(yùn)算教學(xué)的本質(zhì)，幫助學(xué)生抓住算理與算法的關(guān)系，從而實(shí)現(xiàn)思維的深入發(fā)展和運(yùn)算能力的提升。在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）”教學(xué)中，教師引導(dǎo)學(xué)生感悟無論是運(yùn)用哪一種解題方法，其實(shí)都用到了轉(zhuǎn)化思想——將復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化，將沒學(xué)過的知識(shí)與學(xué)過的知識(shí)建立聯(lián)系。教師要注重在教學(xué)過程中滲透轉(zhuǎn)化思想［2］。師：除了把12分成兩個(gè)不同的數(shù)來計(jì)算，同學(xué)們還有其他計(jì)算方法嗎？生：可以用豎式計(jì)算，14×2=28，14×10=140，28和140相加是168。師：為什么豎式計(jì)算過程中，計(jì)算結(jié)果“14”的4要與兩位數(shù)的十位對(duì)齊？生：因數(shù)12十位上的1表示10，14×10=140，所以4要與兩位數(shù)的十位對(duì)齊。師：同學(xué)們能在點(diǎn)子圖和橫式中找到對(duì)應(yīng)的140和28嗎？學(xué)生在點(diǎn)子圖和橫式中分別圈出，如圖4所示。學(xué)生邊圈邊介紹點(diǎn)子圖中的140表示橫式中的14×10=140，點(diǎn)子圖中的28表示橫式中的14×2=28。師：請(qǐng)結(jié)合題目來說一說，140、28和168分別表示什么。生：140表示10套書一共有140冊(cè)，28表示2套書一共有28冊(cè)，168表示12套書一共有168冊(cè)。師：所以豎式計(jì)算的算理與把12分成10和2這種方法是一致的。教師借助直觀的點(diǎn)子圖與豎式、橫式計(jì)算相對(duì)應(yīng)，在數(shù)形結(jié)合中引導(dǎo)學(xué)生親歷構(gòu)建兩位數(shù)乘兩位數(shù)不進(jìn)位乘法的數(shù)學(xué)模型的過程，不僅可以促進(jìn)學(xué)生理解算理、掌握算法，而且可以為學(xué)生提供數(shù)學(xué)思考和交流的機(jī)會(huì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力。特別是在教學(xué)兩位數(shù)乘兩位數(shù)不進(jìn)位乘法的運(yùn)算方法時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生通過點(diǎn)子圖去探索算法并得出結(jié)果，通過比較橫式和豎式發(fā)現(xiàn)它們的算理和算法是一致的，只是記錄的形式不同。學(xué)生通過結(jié)合具體情境解讀每一個(gè)數(shù)字的意義，不僅體會(huì)到了解題策略和算法的科學(xué)性、多樣性，而且體會(huì)到了乘法計(jì)算的簡(jiǎn)潔性和有效性，感悟到算理和算法中所滲透的轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法，從而實(shí)現(xiàn)了思維方法的結(jié)構(gòu)化［3］。（三）設(shè)計(jì)鞏固練習(xí)，體現(xiàn)“教—學(xué)—評(píng)”一致性運(yùn)算教學(xué)既需要例題的示范，也需要通過練習(xí)來鞏固。教師通過講解例題和設(shè)計(jì)鞏固練習(xí)，促進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解和掌握。課堂鞏固練習(xí)不僅能幫助學(xué)生進(jìn)一步理解乘法的算理和算法，還能幫助學(xué)生熟練地掌握各種解題方法，從而培養(yǎng)學(xué)生的運(yùn)算能力和問題解決能力。因此，教師在設(shè)計(jì)鞏固練習(xí)時(shí)，應(yīng)注重課時(shí)教學(xué)目標(biāo)和課時(shí)作業(yè)目標(biāo)的匹配，體現(xiàn)“教—學(xué)—評(píng)”的一致性，同時(shí)要考慮練習(xí)材料的難易程度和形式的多樣化，利用鞏固練習(xí)更好地培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，促進(jìn)學(xué)生更加主動(dòng)地學(xué)習(xí)，認(rèn)清數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)。在“兩位數(shù)乘兩位數(shù)（不進(jìn)位）”的課堂鞏固練習(xí)環(huán)節(jié)，教師設(shè)計(jì)了如圖5所示的兩道練習(xí)題，幫助學(xué)生鞏固兩位數(shù)乘兩位數(shù)不進(jìn)位的筆算乘法，促進(jìn)學(xué)生掌握乘法豎式計(jì)算的順序和方法，學(xué)會(huì)運(yùn)用豎式乘法解決實(shí)際問題。師：哪個(gè)同學(xué)來說一說第1題是怎么做的？生1：第一個(gè)括號(hào)里填69，23×3=69，表示3袋大米69千克。第二個(gè)括號(hào)里填23，3與兩位數(shù)的十位對(duì)齊，表示10袋大米23千克。生2：不對(duì)，應(yīng)該表示10袋大米230千克。師：你們同意誰的做法，為什么？生3：我同意他（指生2）的做法。因?yàn)檫@個(gè)23表示23個(gè)“十”，所以是230千克。師：哪個(gè)同學(xué)來說一說第2題是怎么做的？生4：①和②都是方框，什么數(shù)字都沒有，所以無法確定。生5：我通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，①中填42，②中也填42，所以我選C。生6：你們選的都不對(duì)，①和②都填42，但是②中的42表示42個(gè)十，表示420，420＞42，所以應(yīng)該選B。在這個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)，教師精心設(shè)置與學(xué)生的認(rèn)知水平相匹配的數(shù)學(xué)問題，讓學(xué)生有信心但又需要仔細(xì)思考才能解決問題。像這樣“有點(diǎn)難”的數(shù)學(xué)問題，能夠促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，使學(xué)生不斷