江蘇省“蘇南十校聯(lián)考”2025屆高三10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

第=page11頁，共=sectionpages11頁江蘇省“蘇南十校聯(lián)考”2025屆高三10月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)z=2?1+i(i為虛數(shù)單位)的虛部是A.1 B.i C.?i D.?12.已知集合A={x|x2?x?2≤0}，B={x|1≤2x≤8，A.[?1,3] B.{0,1} C.[0,2] D.{0,1,2}3.設(shè)公差d≠0的等差數(shù)列an中，a3，a5，a8成等比數(shù)列，則A.54 B.34 C.454.已知平面向量m，n滿足：|m|=|n|=2，且m在n上的投影向量為?12n，則向量A.30° B.60° C.120°5.已知α，β∈(0,π2)，tanαtanβ=1A.12 B.34 C.386.為迎接國慶假期，某公司開展抽獎活動，規(guī)則如下：在不透明的容器中有除顏色外完全相同的3個紅球和2個白球，每位員工從中摸出2個小球.若摸到一紅球一白球，可獲得價值a百元代金券;摸到兩紅球，可獲得價值b百元代金券;摸到兩白球，可獲得價值ab百元代金券(a,b均為整數(shù)).已知每位員工平均可得3.2百元代金券，則運氣最好者獲得至多(????)百元代金券A.5.4 B.9 C.8 D.187.已知雙曲線C:x2a2?y2=1(a>0)，點M在C上，過點M作C兩條漸近線的垂線，垂足分別為A，BA.54 B.233 C.8.已知函數(shù)f(x)的定義域為R，且滿足f(x)+f(y)=f(x+y)?2xy+2，f(1)=2，則下列結(jié)論正確的是(

)A.f(4)=12 B.方程f(x)=2x有解

C.f(x)是偶函數(shù) D.f(x?1二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。9.設(shè)正實數(shù)m，n滿足m+n=1，則(

)A.mn的最小值為12 B.1m+2n的最小值為3+22

C.10.已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的圖象過點A(0,1)和B(xA.φ=π6

B.ω=2π3

C.當(dāng)x∈[?14,1]時，函數(shù)f(x)11.已知Sn是數(shù)列an的前n項和，且Sn+1=?A.an+an+1=2n?1(n≥2)

B.an+2?an=2(n≥2)

C.若a三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.若(x+a)10的展開式中，x7的系數(shù)為15，則常數(shù)a=

.(用數(shù)字作答13.若正四棱錐的高為8，且所有頂點都在半徑為5的球面上，則該正四棱錐的側(cè)面積為

．14.函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，若在f(x)的定義域內(nèi)存在一個區(qū)間D，f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增，f′(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞減，則稱區(qū)間D為函數(shù)f(x)的一個“漸緩增區(qū)間”.若對于函數(shù)f(x)=aex?x2，區(qū)間(0,12四、解答題：本題共5小題，共60分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題12分)記△ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知sinC(1)證明：2(2)若a=3102，cos16.(本小題12分)如圖，在三棱柱ABC?A1B1C1中，CA=CB，四邊形(1)證明：BC=BB(2)已知平面ABC⊥平面ABB1A117.(本小題12分)已知橢圓C:x2a2+y2(1)求橢圓C的方程;(2)過P作兩條相互垂直的直線PA，PB分別交橢圓C于另一點A，B，求證：直線AB過定點．18.(本小題12分)設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn.若對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn=(1)已知數(shù)列an是等差數(shù)列，且a1=0，求證：數(shù)列an(2)若數(shù)列an的前n項和Sn=2an?1(n∈(3)設(shè)an是等差數(shù)列，其首項a1=1，公差d<0.若{an}19.(本小題12分)已知定義：函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f′(x)，我們稱函數(shù)f′(x)的導(dǎo)函數(shù)f′′(x)為函數(shù)f(x)的二階導(dǎo)函數(shù)，如果一個連續(xù)函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的二階導(dǎo)函數(shù)f′′(x)≥0，則稱f(x)為I上的凹函數(shù);二階導(dǎo)函數(shù)f′′(x)≤0，則稱f(x)為I上的凸函數(shù).若f(x)是區(qū)間I上的凹函數(shù)，則對任意的x1，x2，?，xn∈I，有不等式f(x1+x2+?+xnn)≤f(x1)+f(x2)+?+f(xn)n恒成立(當(dāng)且僅當(dāng)x1(1)試判斷f(x)在(0,π2(2)設(shè)x1，x2，?，xn>0，n≥2，且x(3)已知a∈N?，且當(dāng)x∈(0,π2]，都有sin參考答案1.D

2.D

3.C

4.C

5.B

6.C

7.B

8.B

9.BD

10.ABD

11.ABC

12.1213.【解答】

解：如圖所示，設(shè)P在底面的投影為G，易知正四棱錐P?ABCD的外接球球心在PG上，

由題意球O的半徑為PO=AO=5，OG=8?5=3，

所以AG=52?32=4，PA=82+42=45，

則AB=8×214.[15.解：(1)證明：已知sinCsin(A?B)=sinBsin(C?A)

可化簡為sinCsinAcosB?sinCcosAsinB=sinBsinCcosA?sinBcosCsinA，

由正弦定理可得accosB?bccosA=bc16.解：(1)設(shè)O為AB的中點，連接CO，B1O，AB因為CA=CB，所以AB⊥OC，因為四邊形ABB1A1為菱形，∠ABB又OC?平面OB1C，OB1?平面OB因為B1C?平面OB因為AC1⊥B1C，AB?平面AC1∩AB=A，所以B因為BC1?平面ABC1，所以B(2)因為平面ABC⊥平面ABB1A1，且平面ABC∩平面ABB1A1所以B1O⊥平面以O(shè)為坐標原點，OC，OA，OB1所在直線分別為x，y，建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)AB=2．則O0,0,0，C3,0,0，B0,?1,0可得AC=3,?1,0，設(shè)平面BCC1B1令x=1，則y=?3，z=1，可得設(shè)平面ACC1A1令a=1，則b=3，c=?1，可得|cos?<m,n

17.解：(1)由題意，得4a2+1b2=1,b=3,(2)當(dāng)直線AB斜率不存在時：A(x0,y0)，B(x0,?y0)，

由PA⊥PB知：AP·BP=(2?x0,1?y0)·(2?x0,1+y0)=0有：(2?整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2?6=0，

由△>0，得6k2?m2+3>0．

設(shè)A(x1,y1)，B(x2,y2)，

則x1+x2=?4km1+2k2，x1x2=2m2?61+2k2．

因為PA⊥PB，所以kPA?kPB18.解：(1)因為a1=0，，設(shè)公差為d，所以Sn=n(n?1)d2

令m=n(n?1)2+1，則m∈N?，這時Sn=am，

即對任意正自然數(shù)n，存在正自然數(shù)m，使得Sn=am，．

所以，數(shù)列an是“H數(shù)列”

(2)因為數(shù)列an的前n項和Sn=2an?1

當(dāng)n=1時，a1=2a1?1，所以a1=1

當(dāng)n≥2時，an=Sn?Sn?1=2an?1?2an?1+1，所以an=2an?1

所以an是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列．

所以an=2n?1，Sn=2n?1

假設(shè)數(shù)列an是“H數(shù)列”，則對任意正整數(shù)n，總存在正整數(shù)m，使得Sn=am，

當(dāng)m=1時，有2n?1=1，則19.解：(1)f(x)=x1+x，x∈(0,π2]，所以f′(x)=1(1+x)2，f”(x)=?2(1+x)3，

因為x∈(0,π2]，所以f″(x)<0，所以f(x)在(0,π2]為凸函數(shù)．

(2)由(1)因為f(x)在(0,π2]內(nèi)凸函數(shù)，所以W=f(x1)+f(x2)+?+f(xn)