2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題05圓錐曲線中的向量問題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題05圓錐曲線中的向量問題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：垂直關(guān)系向量化 1題型二：向量坐標(biāo)化 4題型三：利用向量求角 6題型四：利用向量證明三點共線問題 9專項訓(xùn)練 11題型一：垂直關(guān)系向量化1．（23-24高二上·重慶·期末）已知橢圓C：（）的離心率為，焦距為.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與C交點P，Q兩點，O為坐標(biāo)原點，且，求實數(shù)k的值.2．（23-24高二上·云南大理·期中）已知橢圓的短軸長為2，點在橢圓上，與兩焦點圍成的三角形面積的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)為橢圓的右頂點時，直線與橢圓相交于兩點（異于點），且.試判斷直線是否過定點？如果過定點，求出該定點的坐標(biāo)；如果不過定點，請說明理由.3．（23-24高三上·山東臨沂·期末）已知圓：的圓心為，圓：的圓心為，一動圓與圓內(nèi)切，與圓外切，動圓的圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程：(2)已知點，直線不過點并與曲線交于兩點，且，直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)：若不過定點，請說明理由，4．（23-24高二下·上海黃浦·期中）如圖：雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線l交y軸于點Q．

(1)當(dāng)直線l平行于的一條漸近線時，求點到直線l的距離；(2)當(dāng)直線l的斜率為1時，在的右支上是否存在點P，滿足？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.5．（23-24高二上·浙江·階段練習(xí)）已知拋物線，.(1)Q是拋物線上一個動點，求的最小值；(2)過點A作直線與該拋物線交于M、N兩點，求的值.題型二：向量坐標(biāo)化1．（2024·安徽淮北·二模）如圖，已知橢圓的左右焦點為，短軸長為為上一點，為的重心.

(1)求橢圓的方程；(2)橢圓上不同三點，滿足，且成等差數(shù)列，線段中垂線交軸于點，求點縱坐標(biāo)的取值范圍；(3)直線與交于點，交軸于點，若，求實數(shù)的取值范圍.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)直線l：與橢圓相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點F．(1)證明：；(2)若F是橢圓的一個焦點，且，求橢圓的方程．3．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，，，且的漸近線方程為，直線交雙曲線于，兩點.(1)求雙曲線的方程；(2)當(dāng)直線過點時，求的取值范圍.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，點在C上，點P與C的上、下焦點連線所在直線的斜率之積為．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點的直線與雙曲線C交于E，F(xiàn)兩點(異于點P)，過點F作平行于x軸的直線，直線PE與交于點D，且求直線AB的斜率．5．（23-24高二上·江蘇常州·期末）如圖，已知拋物線的方程為，焦點為，過拋物線內(nèi)一點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，與拋物線交于點，已知，，.(1)求的值；(2)斜率為的直線過點，且與曲線交于不同的兩點，，若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.題型三：利用向量求角1．（23-24高二上·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知橢圓：過點，，分別為橢圓的左、右焦點，且離心率.(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率為的直線與橢圓交于，兩點，若為鈍角，求的取值范圍.2．（2024·重慶·三模）已知橢圓的上、下頂點分別為，左頂點為，是面積為的正三角形．(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓外一點的直線交橢圓于兩點，已知點與點關(guān)于軸對稱，點與點關(guān)于軸對稱，直線與交于點，若是鈍角，求的取值范圍．3．（23-24高二上·吉林·期末）已知拋物線焦點為F，點在拋物線上，.(1)求拋物線方程；(2)過焦點F直線l與拋物線交于MN兩點，若MN最小值為4，且是鈍角，求直線斜率范圍.4．（2024·北京·三模）已知橢圓C：（）過點，右焦點為．(1)求橢圓C的方程；(2)過點F的直線l（不與x軸重合）交橢圓C于點M、N，點A是右頂點，直線MA、NA分別與直線交于點P、Q，求的大小．5．（23-24高二下·河北·開學(xué)考試）已知橢圓：（）的離心率為，左、右焦點分別為，，上、下頂點分別為，，且四邊形的面積為4．(1)求橢圓的方程．(2)平行于軸的直線與橢圓的一個交點為，與以為直徑的圓的一個交點為，且，位于軸兩側(cè)，，分別是橢圓的左、右頂點，直線，分別與軸交于點，．證明：為定值．題型四：利用向量證明三點共線問題1．（2024上海崇明）已知橢圓Γ：，點分別是橢圓Γ與軸的交點（點在點的上方），過點且斜率為的直線交橢圓于兩點．(1)若橢圓焦點在軸上，且其離心率是，求實數(shù)的值；(2)若，求的面積；(3)設(shè)直線與直線交于點，證明：三點共線．2．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，，.（1）求橢圓的方程.（2）過的直線與橢圓交于，兩點（均不與，重合），直線與直線交于點，證明：，，三點共線.3．（2024·山西太原·三模）已知雙曲線的左、右頂點分別為與，點在上，且直線與的斜率之和為.(1)求雙曲線的方程;(2)過點的直線與交于兩點(均異于點)，直線與直線交于點，求證:三點共線.4．（23-24高三上·廣東·階段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點為，一條漸近線方程為．（1）求雙曲線的方程；（2）記的左、右頂點分別為，過的直線交的右支于兩點，連結(jié)交直線于點，求證：三點共線．專項訓(xùn)練1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上第一象限內(nèi)的一點，且與軸相交于點，離心率，若，則（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·北京·期中）已知橢圓的上、下頂點為，過點的直線與橢圓相交于兩個不同的點（在線段之間），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．3．（2024·河南·一模）已知過橢圓的上焦點且斜率為的直線交橢圓于兩點，為坐標(biāo)原點，直線分別與直線相交于兩點.若為銳角，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．4．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知雙曲線的右焦點為，過點作直線與漸近線垂直，垂足為點，延長交于點.若，則的離心率為（

）A． B． C． D．5．（23-24高二下·安徽安慶·階段練習(xí)）已知點P為雙曲線C：（，）上位于第一象限內(nèi)的一點，過點P向雙曲線C的一條漸近線l作垂線，垂足為A，為雙曲線C的左焦點，若，則漸近線l的斜率為（）A． B． C． D．10．（2024·安徽淮北·二模）如圖，已知橢圓的左右焦點為，短軸長為為上一點，為的重心.

(1)求橢圓的方程；(2)橢圓上不同三點，滿足，且成等差數(shù)列，線段中垂線交軸于點，求點縱坐標(biāo)的取值范圍；(3)直線與交于點，交軸于點，若，求實數(shù)的取值范圍.11．（2024·山西太原·三模）已知雙曲線的左、右頂點分別為與，點在上，且直線與的斜率之和為.(1)求雙曲線的方程;(2)過點的直線與交于兩點(均異于點)，直線與直線交于點，求證:三點共線.12．（23-24高二上·黑龍江哈爾濱·期末）已知雙曲線，拋物線的焦點F是雙曲線M的右頂點，且以F為圓心，以b為半徑的圓與直線相切．(1)求雙曲線M的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線與雙曲線M交于A、B兩點，且雙曲線M是否存在上存在點P滿足，若存在，求出m的值，若不存在請說明理由．13．（23-24高三上·福建福州·期中）已知直線與拋物線交于A，B兩點，M為線段AB的中點，點N在拋物線C上，直線MN與y軸平行.(1)證明：拋物線在點N處的切線與直線l平行；(2)若，求拋物線C的方程.專題05圓錐曲線中的向量問題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-1"\h\u題型一：垂直關(guān)系向量化 1題型二：向量坐標(biāo)化 7題型三：利用向量求角 16題型四：利用向量證明三點共線問題 23專項訓(xùn)練 28題型一：垂直關(guān)系向量化1．（23-24高二上·重慶·期末）已知橢圓C：（）的離心率為，焦距為.(1)求橢圓C的方程；(2)若直線與C交點P，Q兩點，O為坐標(biāo)原點，且，求實數(shù)k的值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由焦距及離心率求出橢圓的方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓的方程，得，，由得，求得k的值.【詳解】（1）由題，，所以，，橢圓的方程為.（2）設(shè)，，聯(lián)立方程組，得，則，即，，，因為，所以，即，得，滿足，合題意.所以.2．（23-24高二上·云南大理·期中）已知橢圓的短軸長為2，點在橢圓上，與兩焦點圍成的三角形面積的最大值為.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)當(dāng)為橢圓的右頂點時，直線與橢圓相交于兩點（異于點），且.試判斷直線是否過定點？如果過定點，求出該定點的坐標(biāo)；如果不過定點，請說明理由.【答案】(1)(2)過定點【分析】（1）由已知可推得，即可得到橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理代入求出，再根據(jù)直線的方程可得答案.【詳解】（1）由已知得：，解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）由題意知，直線的斜率不為0，不妨設(shè)，由消去得，所以，即得，，，，又，所以，所以，解得，直線的方程為，則直線恒過點.【點睛】方法點睛：聯(lián)立直線與圓錐曲線方程，根據(jù)韋達(dá)定理得到坐標(biāo)的關(guān)系式，根據(jù)向量數(shù)量積為0，代入相關(guān)點的坐標(biāo)化簡后即可得到結(jié)論.3．（23-24高三上·山東臨沂·期末）已知圓：的圓心為，圓：的圓心為，一動圓與圓內(nèi)切，與圓外切，動圓的圓心的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程：(2)已知點，直線不過點并與曲線交于兩點，且，直線是否過定點？若過定點，求出定點坐標(biāo)：若不過定點，請說明理由，【答案】(1)，；(2)直線恒過點,，理由見解答．【分析】（1）由題意,，,，，結(jié)合雙曲線的定義求解即可得結(jié)論；（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立直線和雙曲線的方程消元后，應(yīng)用韋達(dá)定理，結(jié)合條件，可得，化簡整理即可求解．【詳解】（1）如圖，設(shè)圓的圓心為，半徑為，由題可得圓半徑為3，圓半徑為1，則，，所以，由雙曲線定義可知，的軌跡是以，為焦點、實軸長為4的雙曲線的右支，又,，,，所以動圓的圓心的軌跡方程為，，即曲線的方程為，．（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去得，由題意直線與曲線有兩個交點，則，設(shè),，,，其中，，由韋達(dá)定理得：，，又點，所以,，,，因為，所以，則，即，解得舍去），當(dāng)，直線的方程為，，故直線恒過點,．【點睛】圓錐曲線中定點問題的兩種解法（1）引進(jìn)參數(shù)法：先引進(jìn)動點的坐標(biāo)或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量，再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關(guān)系，找到定點.（2）特殊到一般法：先根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點，再證明該定點與變量無關(guān).技巧：若直線方程為,則直線過定點;若直線方程為(為定值),則直線過定點4．（23-24高二下·上海黃浦·期中）如圖：雙曲線的左、右焦點分別為，，過作直線l交y軸于點Q．

(1)當(dāng)直線l平行于的一條漸近線時，求點到直線l的距離；(2)當(dāng)直線l的斜率為1時，在的右支上是否存在點P，滿足？若存在，求出P點的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】(1)2(2)不存在，理由見解析【分析】（1）由點到直線的距離公式可直接求解；（2）先根據(jù)斜率求出直線l的方程，從而得點Q，再設(shè)出點的坐標(biāo)，根據(jù)得出點的橫、縱坐標(biāo)之間的關(guān)系式，與雙曲線聯(lián)立消去，由韋達(dá)定理即可解答.【詳解】（1）雙曲線，焦點在軸上，，則雙曲線左、右焦點分別為，，漸近線方程為，當(dāng)直線平行于的一條漸近線時，不妨令，則直線的方程為，即，則點到直線的距離為.（2）不存在，理由如下：當(dāng)直線l的斜率為1時，直線方程為，因此，又，所以，設(shè)的右支上的點，則，由得，又，聯(lián)立消去得，由韋達(dá)定理知，此方程無正根，因此，在的右支上不存在點P，滿足.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查直線與雙曲線的綜合應(yīng)用問題，解題關(guān)鍵是能夠利用來構(gòu)造等量關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理得到結(jié)論.5．（23-24高二上·浙江·階段練習(xí)）已知拋物線，.(1)Q是拋物線上一個動點，求的最小值；(2)過點A作直線與該拋物線交于M、N兩點，求的值.【答案】(1)(2)0【分析】（1）設(shè)，表達(dá)出，求出最小值；（2）設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理即得.【詳解】（1）設(shè)，，當(dāng)，即時，取得最小值，最小值為；（2）當(dāng)直線的斜率為0時，直線與拋物線只有1個交點，不合要求，設(shè)直線的方程是，與拋物線聯(lián)立，消x得，設(shè)，，則，，故，故.題型二：向量坐標(biāo)化1．（2024·安徽淮北·二模）如圖，已知橢圓的左右焦點為，短軸長為為上一點，為的重心.

(1)求橢圓的方程；(2)橢圓上不同三點，滿足，且成等差數(shù)列，線段中垂線交軸于點，求點縱坐標(biāo)的取值范圍；(3)直線與交于點，交軸于點，若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用三角形重心坐標(biāo)公式先求A坐標(biāo)，再代入橢圓方程結(jié)合其性質(zhì)計算即可；（2）設(shè)B、D、E坐標(biāo)，并根據(jù)焦半徑公式得，由等差中項的性質(zhì)得出，再根據(jù)點差法得出中垂線的斜率，表示中垂線方程，結(jié)合點在橢圓內(nèi)計算范圍即可；（3）設(shè)M、N坐標(biāo)，聯(lián)立橢圓方程結(jié)合韋達(dá)定理得出其橫坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)平面向量的坐標(biāo)表示，利用函數(shù)的性質(zhì)計算范圍即可.【詳解】（1）不妨設(shè)，因為的重心，所以，所以，又短軸長為6，所以，代入解得，所以橢圓方程為:；（2）由上可知，設(shè)中點，則，又，消去并整理得，同理，又，由題意得，即，因B，D在上，易得，化簡得，所以線段中垂線的斜率，線段中垂線方程:，令得，又線段中點在橢圓內(nèi)所以，所以；（3）設(shè)，由得，聯(lián)立消整理得，得，所以，當(dāng)時，，當(dāng)時，，解不等式得.

【點睛】思路點睛：根據(jù)焦半徑公式及等差中項的性質(zhì)可確定中點橫坐標(biāo)，再由中垂線方程得出E與中點的關(guān)系結(jié)合點在橢圓內(nèi)計算范圍即可解決第二問；利用平面向量共線的坐標(biāo)表示結(jié)合韋達(dá)定理計算橫坐標(biāo)關(guān)系，分類討論斜率是否為零，再含參表示結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)求范圍解不等式即可.2．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)直線l：與橢圓相交于A、B兩個不同的點，與x軸相交于點F．(1)證明：；(2)若F是橢圓的一個焦點，且，求橢圓的方程．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）將直線和橢圓聯(lián)立，得到判別式大于0，對不等式進(jìn)行化簡即可得到要證明的結(jié)論；（2）可將條件轉(zhuǎn)化為二次方程的問題，然后利用韋達(dá)定理對條件進(jìn)行轉(zhuǎn)化，即可求出橢圓的方程.【詳解】（1）將直線和橢圓聯(lián)立，得到，化簡即為，即，即.因為直線與橢圓有兩個交點，故該方程有兩個不同的解，從而判別式，直接計算知：，所以，故，從而.（2）由于直線和軸的交點為，故，半焦距.由于點在直線上，故可設(shè)，而，故，從而.將和的坐標(biāo)代入橢圓方程，知：故關(guān)于的方程有兩個不同的解，.該方程可化為，即，即，即.顯然，所以，.由于，故，從而，這意味著，故.而我們有，這就得到，所以，所以.而，故，所以.從而，故.于是，.所以橢圓的方程是.3．（2024·湖北襄陽·模擬預(yù)測）設(shè)雙曲線的左、右頂點分別為，，左、右焦點分別為，，，且的漸近線方程為，直線交雙曲線于，兩點.(1)求雙曲線的方程；(2)當(dāng)直線過點時，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意可得，解方程即可得出答案；（2）討論直線的斜率存不存在，存在時設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，將韋達(dá)定理代入，由反比例函數(shù)的單調(diào)性即可得出答案.【詳解】（1）由題意可得：，解得：，，.雙曲線的方程為：.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，，，此時，，所以，當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)，，因為直線過點，設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立可得：，當(dāng)時，，，，，令，則，令，在，上單調(diào)遞減，又，所以，所以的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是設(shè)直線，再將其聯(lián)立雙曲線方程，得到韋達(dá)定理式，計算相關(guān)向量，代入韋達(dá)定理式再利用換元法求出函數(shù)值域即可.4．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知雙曲線C的中心為坐標(biāo)原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，點在C上，點P與C的上、下焦點連線所在直線的斜率之積為．(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)經(jīng)過點的直線與雙曲線C交于E，F(xiàn)兩點(異于點P)，過點F作平行于x軸的直線，直線PE與交于點D，且求直線AB的斜率．【答案】(1)(2)【分析】（1）由題意知雙曲線焦點在軸上，設(shè)雙曲線方程為，將代入雙曲線方程，然后根據(jù)直線斜率公式即可得到關(guān)于的兩個方程，即可求解.（2）由題意設(shè)直線方程為，，，與雙曲線聯(lián)立后根據(jù)根與系數(shù)關(guān)系可以表示出與，分直線的斜率是否存在兩種情況進(jìn)行討論，通過直線的方程表示出點的坐標(biāo)，由已知條件可知點為中點，進(jìn)而可將點坐標(biāo)及直線斜率用表示，通過之前求得的與即可進(jìn)行求解.【詳解】（1）第一步：根據(jù)點P在雙曲線上得a，b的關(guān)系式由題意設(shè)雙曲線C的方程為()，由點在C上，得．①第二步：根據(jù)直線的斜率公式得a，b的關(guān)系式設(shè)C的上、下焦點分別為，，則，解得，所以．②第三步：聯(lián)立方程解得，的值由①②得，，第四步：得雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程故雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為．（2）第一步：設(shè)直線方程，聯(lián)立方程得根與系數(shù)的關(guān)系由題意可知，直線EF的斜率不為0，設(shè)直線EF的方程為，，，聯(lián)立，得方程組整理得所以，，解得，所以，，則．第二步：用，表示點D的坐標(biāo)當(dāng)直線PE的斜率不存在時，易得，，，，此時直線AB的斜率為．當(dāng)直線PE的斜率存在時，直線PE的方程為，所以點D的坐標(biāo)為，由，可得，第三步：用，表示點B的坐標(biāo)由，得點B為DF的中點，所以，則，第四步：根據(jù)斜率的計算公式求直線AB的斜率．所以．故直線AB的斜率為．【點睛】解決直線與雙曲線的綜合問題時，要注意：（1）注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個條件，明確確定直線、雙曲線的條件；（2）強(qiáng)化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．5．（23-24高二上·江蘇常州·期末）如圖，已知拋物線的方程為，焦點為，過拋物線內(nèi)一點作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足為，與拋物線交于點，已知，，.(1)求的值；(2)斜率為的直線過點，且與曲線交于不同的兩點，，若存在，使得，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)2(2)【分析】（1）先得到，由拋物線定義得到方程，求出，設(shè)，則，作出輔助線，得到，從而得到方程，求出答案；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立拋物線，得到兩根之和，兩根之積，由得，求出，轉(zhuǎn)化為對有解，而，所以，求出解集，因為，所以.【詳解】（1）因為，，則在中，，由拋物線的定義得，，故，則，即，設(shè)，則，解得，過點作⊥于點，因為，所以，因為，所以，故，，所以，解得；（2）由（1）可知拋物線方程為：，設(shè)，，設(shè)，聯(lián)立，整理得：，因為，所以，由韋達(dá)定理得，，因為，則，故，故，將代入（*）式得，因為存在，使得，所以有對有解，而，所以，解得，或，因為，所以.【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：（1）幾何法，若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件和結(jié)論能體現(xiàn)某種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值或范圍．題型三：利用向量求角1．（23-24高二上·貴州貴陽·階段練習(xí)）已知橢圓：過點，，分別為橢圓的左、右焦點，且離心率.(1)求橢圓的方程；(2)過點且斜率為的直線與橢圓交于，兩點，若為鈍角，求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)離心率和過點，得到方程組，求出，，得到橢圓方程；（2）設(shè)出直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程，得到兩根之和，兩根之積，根據(jù)為鈍角得到，得到不等式，求出，舍去，得到答案.【詳解】（1）由題意得，又，且，解得，故橢圓的方程為；（2）由題意得，，直線的方程為，聯(lián)立得，，恒成立，設(shè)，則，，因為為鈍角，所以，即，即，解得，又時，三點共線，此時不是鈍角，舍去，故的取值范圍是.2．（2024·重慶·三模）已知橢圓的上、下頂點分別為，左頂點為，是面積為的正三角形．(1)求橢圓的方程；(2)過橢圓外一點的直線交橢圓于兩點，已知點與點關(guān)于軸對稱，點與點關(guān)于軸對稱，直線與交于點，若是鈍角，求的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)的面積及其為正三角形的特征，可構(gòu)造方程組求得，由此可得橢圓方程；（2）假設(shè)直線方程，利用對稱性可知在軸上，由此可得；設(shè)，與橢圓方程聯(lián)立可得韋達(dá)定理的結(jié)論，代入中整理可得，根據(jù)，由向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）是面積為的正三角形，，解得：，橢圓的方程為：.（2）設(shè)，則，直線方程為：，即；由對稱性可知：點在軸上，則令，解得：，設(shè)直線，由得：，，，，又，，，，為鈍角，，解得：或，即實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查直線與橢圓綜合應(yīng)用中的向量數(shù)量積問題，解題關(guān)鍵是能夠利用韋達(dá)定理的結(jié)論化簡點坐標(biāo)，結(jié)合為鈍角，將問題轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積的求解問題，從而構(gòu)造不等式求得結(jié)果.3．（23-24高二上·吉林·期末）已知拋物線焦點為F，點在拋物線上，.(1)求拋物線方程；(2)過焦點F直線l與拋物線交于MN兩點，若MN最小值為4，且是鈍角，求直線斜率范圍.【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)題意列式求解，即可得結(jié)果；（2）設(shè)，與拋物線聯(lián)立，根據(jù)題意結(jié)合弦長公式可求得，再結(jié)合數(shù)量積以及韋達(dá)定理運(yùn)算求解，注意數(shù)量積的符號與向量夾角之間的關(guān)系.【詳解】（1）由題意可得：，解得或，故拋物線方程為或.（2）拋物線的焦點，設(shè)，聯(lián)立方程，消去x得，則，可得，解得，此時，則，若直線過點，則，解得，若是鈍角，則，且三點不共線，∵，則，解得或，注意到，故直線斜率范圍為.【點睛】方法定睛：與圓錐曲線有關(guān)的取值范圍問題的三種解法（1）數(shù)形結(jié)合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后數(shù)形結(jié)合求解．（2）構(gòu)建不等式法：利用已知或隱含的不等關(guān)系，構(gòu)建以待求量為元的不等式求解．（3）構(gòu)建函數(shù)法：先引入變量構(gòu)建以待求量為因變量的函數(shù)，再求其值域．4．（2024·北京·三模）已知橢圓C：（）過點，右焦點為．(1)求橢圓C的方程；(2)過點F的直線l（不與x軸重合）交橢圓C于點M、N，點A是右頂點，直線MA、NA分別與直線交于點P、Q，求的大?。敬鸢浮?1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，代入計算，即可求解；（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，驗證，即．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：，聯(lián)立直線與橢圓方程，結(jié)合韋達(dá)定理代入計算，分別表示出坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】（1）由題意可得，，解得，所以橢圓的方程為.（2）當(dāng)直線l的斜率不存在時，有，，，則，，故，即．當(dāng)直線l的斜率存在時，設(shè)l：，其中．聯(lián)立，得，由題意，知恒成立，設(shè)，則，．直線MA的方程為，令，得，即，同理可得．所以，．因為，所以．綜上所述，．5．（23-24高二下·河北·開學(xué)考試）已知橢圓：（）的離心率為，左、右焦點分別為，，上、下頂點分別為，，且四邊形的面積為4．(1)求橢圓的方程．(2)平行于軸的直線與橢圓的一個交點為，與以為直徑的圓的一個交點為，且，位于軸兩側(cè)，，分別是橢圓的左、右頂點，直線，分別與軸交于點，．證明：為定值．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）根據(jù)橢圓離心率及四邊形的面積建立等式即可求解；（2）設(shè)，直線的方程為（），則，直線與曲線聯(lián)立方程求出后，得直線的方程，則，設(shè)，計算的值后即可得證.【詳解】（1）由題意知，，．四邊形的面積為，，，，橢圓的方程為．（2）如圖，可得，設(shè)，則直線的方程為（），令，得，由得，，，，即．又，，直線的方程為，令，得．設(shè)，則，，，，代入，化簡得，即，.題型四：利用向量證明三點共線問題1．（2024上海崇明）已知橢圓Γ：，點分別是橢圓Γ與軸的交點（點在點的上方），過點且斜率為的直線交橢圓于兩點．(1)若橢圓焦點在軸上，且其離心率是，求實數(shù)的值；(2)若，求的面積；(3)設(shè)直線與直線交于點，證明：三點共線．【答案】(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）根據(jù)離心率的定義計算即可；（2）聯(lián)立直線和橢圓方程，根據(jù)弦長公式算出，用點到直線的距離公式算出三角形的高后即可；（3）聯(lián)立直線和橢圓方程，先表示出坐標(biāo)，將共線問題轉(zhuǎn)化成證明，結(jié)合韋達(dá)定理進(jìn)行化簡計算.【詳解】（1）依題意，，解得（負(fù)數(shù)舍去）.（2）的直線經(jīng)過，則直線方程為：；，則橢圓的方程為：.設(shè)聯(lián)立直線和橢圓方程：，消去得到，解得，則，故，于是.依題意知，為橢圓的下頂點，即，由點到直線的距離，到的距離為：.故（3）設(shè)聯(lián)立直線和橢圓方程：，得到，由，得到直線方程為：，令，解得，即，又，，為說明三點共線，只用證，即證：，下用作差法說明它們相等：，而，，，于是上式變?yōu)椋?由韋達(dá)定理，，于是，故，命題得證.2．（2024·陜西榆林·模擬預(yù)測）已知橢圓：的左、右焦點分別為，，左、右頂點分別為，，，.（1）求橢圓的方程.（2）過的直線與橢圓交于，兩點（均不與，重合），直線與直線交于點，證明：，，三點共線.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）由題設(shè)，可直接求出a、c，進(jìn)而寫出橢圓方程.（2）設(shè)為，，，聯(lián)立橢圓方程，應(yīng)用韋達(dá)定理可得，，又為求G點坐標(biāo)，根據(jù)向量共線的判定，即可證結(jié)論.【詳解】（1）由，即，又，即.∴，故橢圓的方程為.（2）證明：可設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立方程，得且，∴，，而直線的方程為，∴令，得，則有，，又∵，∴，而，∴，，三點共線.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，設(shè)直線方程，聯(lián)立橢圓方程應(yīng)用韋達(dá)定理求，，結(jié)合向量共線的判定證明三點共線.3．（2024·山西太原·三模）已知雙曲線的左、右頂點分別為與，點在上，且直線與的斜率之和為.(1)求雙曲線的方程;(2)過點的直線與交于兩點(均異于點)，直線與直線交于點，求證:三點共線.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）由題意點在上，且直線與的斜率之和為，建立方程組求解即可；（2）三點共線，即證，設(shè)出直線的方程聯(lián)立雙曲線的方程，由韋達(dá)定理，求出的坐標(biāo)，由坐標(biāo)判斷，證明即可.【詳解】（1）由題意得，且（2）由(1)得，設(shè)直線的方程為，則，由得，直線的方程為，令，則，，所以三點共線.4．（23-24高三上·廣東·階段練習(xí)）已知雙曲線的右焦點為，一條漸近線方程為．（1）求雙曲線的方程；（2）記的左、右頂點分別為，過的直線交的右支于兩點，連結(jié)交直線于點，求證：三點共線．【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）根據(jù)題意得，再根據(jù)即可求得答案；（2）由題知，，直線的斜率不為0，故設(shè)其方程為，，，進(jìn)而結(jié)合直線的方程得，再根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示判斷，共線即可.【詳解】解:（1）依題意可得，，解得，故的方程為.（2）易得，顯然，直線的斜率不為0，設(shè)其方程為，，聯(lián)立方程，消去整理得，所以，．直線，令得，故，，，（*）又，即的值為0．所以故A、Q、N三點共線．﹒專項訓(xùn)練1．（2024·福建泉州·模擬預(yù)測）橢圓的左、右焦點分別為為橢圓上第一象限內(nèi)的一點，且與軸相交于點，離心率，若，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由離心率得，，由得在圓上，解方程組求得點坐標(biāo)，利用的橫坐標(biāo)即可求得．【詳解】，，則，所以，，橢圓方程化為，，因此在圓上，由，解得，在第一象限，則，，則，故選：D．2．（23-24高二上·北京·期中）已知橢圓的上、下頂點為，過點的直線與橢圓相交于兩個不同的點（在線段之間），則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意畫出圖形，分直線的斜率不存在和存在兩種情況求解，當(dāng)直線斜率不存在時，求得，當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)出直線方程，和橢圓方程聯(lián)立，由判別式大于0求得的范圍，再結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系寫出數(shù)量積，由得范圍求得的范圍．【詳解】當(dāng)直線斜率不存在時，直線方程為，，，此時；當(dāng)直線斜率存在時，設(shè)斜率為，設(shè),則直線方程為，聯(lián)立，得，，得．，．．，，，則，綜上，的取值范圍是．故選：D．3．（2024·河南·一模）已知過橢圓的上焦點且斜率為的直線交橢圓于兩點，為坐標(biāo)原點，直線分別與直線相交于兩點.若為銳角，則直線的斜率的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程求出焦點坐標(biāo)，利用直線的斜截式方程設(shè)出直線的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達(dá)定理及兩直線相交聯(lián)立方程組求出交點坐標(biāo)，結(jié)合已知條件、點在直線上及向量的數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由題意可知，所以所以橢圓的上焦點為，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立消去，得，所以.由題設(shè)知，所在的直線方程為.因為直線與直線相交于點，所以；同理可得.所以.因為為銳角，所以，所以，即，解得：或，所以，或，或.故直線的斜率的取值范圍是.故選:D.4．（2024·河北衡水·模擬預(yù)測）已知雙曲線的右焦點為，過點作直線與漸近線垂直，垂足為點，延長交于點.若，則的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)的左焦點為，由雙曲線的定義，得，又，，在中，由余弦定理可得，結(jié)合可得，求得答案.【詳解】設(shè)為坐標(biāo)原點，則，從而.設(shè)的左焦點為，連接，由雙曲線的定義，得.在中，由余弦定理，得，解得.由，得，解得，所以.故選：B.5．（23-24高二下·安徽安慶·階段練習(xí)）已知點P為雙曲線C：（，）上位于第一象限內(nèi)的一點，過點P向雙曲線C的一條漸近線l作垂線，垂足為A，為雙曲線C的左焦點，若，則漸近線l的斜率為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)漸近線l的方程，由兩直線垂直的條件可得直線的方程，聯(lián)立兩直線方程求得A的坐標(biāo)，再由向量共線的坐標(biāo)表示可得P的坐標(biāo)，代入雙曲線的方程，化簡整理可得所求直線的斜率．【詳解】解：設(shè)，漸近線l的方程為，①直線的方程為，②聯(lián)立①②可得，，即有，由，可得，，解得，，即，由P在雙曲線上，可得，化為，即，可得，所以直線l的斜率為．故選：D．6．（23-24高二上·四川成都·期中）已知橢圓C：的離心率為，斜率為正的直線l與橢圓C交于A，B兩點，與x軸、y軸分別交于P，Q兩點，點的位置如圖所示，且，則直線l的斜率為．【答案】/0.75【分析】設(shè)，根據(jù)，得，，應(yīng)用點差法求得，結(jié)合離心率即可求解.【詳解】設(shè)，因為直線斜率為正，設(shè)為，所以可設(shè)點在第一象限，，，且A，B，P，Q四點共線，，，又，，，，在橢圓上，，，兩式相減可得，，，又，，，即，，，又直線斜率為正，．故答案為：.7．（2024·河北·三模）已知雙曲線的左、右焦點分別為，，過的直線與軸相交于點，與在第一象限的交點為，若，，則的離心率為．【答案】/【分析】設(shè)，利用雙曲線定義、勾股定理得，再由，得，可得答案.【詳解】設(shè)，則，所以，因為，所以，可得，即①，因為，所以，所以，即②，由①②可得，解得，或（舍去）.故答案為：.8．（2024高三·全國·專題練習(xí)）設(shè)雙曲線C的左、右焦點分別為，，且焦距為，P是C上一點，滿足，，則的周長為．【答案】/【分析】由已知可得.設(shè)，，在中，根據(jù)余弦定理整理化簡可得，求解即可得出，，進(jìn)而可得出答案.【詳解】因為，所以.設(shè)，，因為，所以.在中，根據(jù)余弦定理有，所以，整理可得，，解得（負(fù)值舍去），所以，所以，，故周長為.故答案為：.9．（23-24高二下·上?！るA段練習(xí)）設(shè)點，分別是橢圓:的左、右焦點，且橢圓C上的點到點的距離的最小值為點M，N是橢圓C上位于x軸上方的兩點，且向量與向量平行.(1)求橢圓C的方程;(2)當(dāng)時，求點N的坐標(biāo)；(3)當(dāng)時，求直線的方程.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）根據(jù)橢圓的簡單性質(zhì)可得，解得即可；（2）可設(shè)，根據(jù)向量的數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算即可求出點的坐標(biāo)；（3）向量與向量平行，不妨設(shè)，設(shè)，，根據(jù)坐標(biāo)之間的關(guān)系，求得的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的模，即可求出的值，根據(jù)斜率公式求出直線的斜率，根據(jù)直線平行和點斜式即可求出直線方程.【詳解】（1）點、分別是橢圓的左、右焦點，，，橢圓上的點到點的距離的最小值為，，解得，橢圓的方程為；（2）由（1）可得，，由點是橢圓上位于軸上方的點，可設(shè)，，，，，，即，解得，，；（3）向量與向量平行，，由題意，又，，即，設(shè)，，，，，，，，，，，，，，，解得，或（舍去