2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專用)專題01圓錐曲線中的軌跡方程問題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題01圓錐曲線中的軌跡方程問題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：定義法求軌跡方程 2題型二：直接法 3題型三：代入法（相關(guān)點(diǎn)法） 4題型四：點(diǎn)差法 5三、專項(xiàng)訓(xùn)練 6一、必備秘籍1、曲線方程的定義一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個關(guān)系：①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；②以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．此時，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．2、求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（如果已給出，本步驟省略）；（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）根據(jù)曲線上點(diǎn)所適合的條件寫出等式；（4）用坐標(biāo)表示這個等式，并化簡；（5）確定化簡后的式子中點(diǎn)的范圍．上述五個步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡、確定點(diǎn)的范圍．3、求軌跡方程的方法：3.1定義法：如果動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。3.2直接法：如果動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)的坐標(biāo)表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。3.3代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動點(diǎn)的運(yùn)動是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點(diǎn)的軌跡方程。3.4點(diǎn)差法：圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點(diǎn)的軌跡方程.二、典型題型題型一：定義法求軌跡方程1．（23-24高二上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知動圓過定點(diǎn)，并且在定圓B：的內(nèi)部與其相切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）已知動圓過動點(diǎn)，并且在定圓：的內(nèi)部與其相內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知動圓P與圓M：，圓N：均外切，記圓心P的運(yùn)動軌跡為曲線C，則C的方程為（

）A． B．C． D．4．（23-24高二上·新疆烏魯木齊·期末）一動圓過定點(diǎn)，且與已知圓：相切，則動圓圓心P的軌跡方程是（

）A． B． C． D．5．（23-24高二上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）一個動圓與定圓：相內(nèi)切，且與定直線相切，則此動圓的圓心M的軌跡方程是（）A． B． C． D．6．（23-24高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．題型二：直接法1．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知，若動點(diǎn)P滿足直線與直線的斜率之積為，則動點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．2．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線相交于點(diǎn),且直線的斜率與直線的斜率的差是1，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·河北邯鄲·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)，，直線與直線的斜率之積為-4，則動點(diǎn)的軌跡方程為A． B．C． D．4．（23-24高二上·浙江金華·期末）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，動點(diǎn)P滿足則P點(diǎn)的軌跡Γ為圓，過點(diǎn)A的直線交圓Γ于兩點(diǎn)C，D，且，則.5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，直線PM，PN的斜率乘積為，P點(diǎn)的軌跡為曲線C，則曲線C的方程為.題型三：代入法（相關(guān)點(diǎn)法）1．（23-24高三上·湖南婁底·期末）已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)分別為，離心率等于，設(shè)雙曲線的兩條漸近線分別為直線；若點(diǎn)分別在上，且滿足，則線段的中點(diǎn)的軌跡的方程為A． B．C． D．2．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知圓與軸交于點(diǎn)、，過圓上動點(diǎn)(不與、重合)作圓的切線，過點(diǎn)、分別作軸的垂線，與切線分別交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為3．（23-24高二下·江西上饒·期末）已知橢圓

的左右焦點(diǎn)為、，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，過作的外角平分線的垂線，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，線段的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為.4．（23-24高二上·四川成都·期中）點(diǎn)M為橢圓上一點(diǎn)，為橢圓的兩個焦點(diǎn)，則的內(nèi)心軌跡方程為.5．（22-23高二上·廣東·階段練習(xí)）已知圓上的動點(diǎn)M在x軸上的投影為N，點(diǎn)C滿足．(1)求動點(diǎn)C的軌跡方程C；4．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交雙曲線E于A、B兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則E的方程為（

）A． B．C． D．5．（23-24高二上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過的直線與相交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則的方程為（

）A． B． C． D．6．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（23-24高三下·重慶·期中）長為2的線段的兩個端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）已知面積為的正方形的頂點(diǎn)、分別在軸和軸上滑動，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則動點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．3．（23-24高二上·廣東佛山·期末）長為的線段的兩個端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·安徽合肥·階段練習(xí)）平面上動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大，則動點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C．或 D．或5．（23-24高二上·河南·期中）已知動點(diǎn)P在曲線上，則點(diǎn)與點(diǎn)P連線的中點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B． C． D．6．（23-24高二上·河南南陽·階段練習(xí)）已知點(diǎn)P是圓上的動點(diǎn)，作軸于點(diǎn)H，則線段PH的中點(diǎn)M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．7．（23-24高二上·安徽六安·期末）已知直線交拋物線：于軸異側(cè)兩點(diǎn)，，且，過向作垂線，垂足為，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A．（） B．（）C．（） D．（）8．（23-24高二·遼寧沈陽·階段練習(xí)）已知圓的方程為，若拋物線過點(diǎn)A（﹣1，0），B（1，0），且以圓的切線為準(zhǔn)線，則拋物線的焦點(diǎn)軌跡方程為（

）A． B．C． D．9．（24-25高二上·上海·課堂例題）已知，，，第三個頂點(diǎn)C在曲線上移動，則的重心的軌跡方程是．10．（23-24高二上·上海·期末）已知橢圓上有一點(diǎn)，是軸上的定點(diǎn)，若有一點(diǎn)滿足，則的軌跡方程為．11．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn)，，連接并延長至，使得，求動點(diǎn)Q的軌跡方程．12．（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）設(shè)圓的圓心為A，點(diǎn)P在圓上，則PA的中點(diǎn)M的軌跡方程是.專題01圓錐曲線中的軌跡方程問題(典型題型歸類訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2題型一：定義法求軌跡方程 2題型二：直接法 5題型三：代入法（相關(guān)點(diǎn)法） 8題型四：點(diǎn)差法 14三、專項(xiàng)訓(xùn)練 18一、必備秘籍1、曲線方程的定義一般地，如果曲線與方程之間有以下兩個關(guān)系：①曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解；②以方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn)．此時，把方程叫做曲線的方程，曲線叫做方程的曲線．2、求曲線方程的一般步驟：（1）建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系（如果已給出，本步驟省略）；（2）設(shè)曲線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)為；（3）根據(jù)曲線上點(diǎn)所適合的條件寫出等式；（4）用坐標(biāo)表示這個等式，并化簡；（5）確定化簡后的式子中點(diǎn)的范圍．上述五個步驟可簡記為：求軌跡方程的步驟：建系、設(shè)點(diǎn)、列式、化簡、確定點(diǎn)的范圍．3、求軌跡方程的方法：3.1定義法：如果動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律合乎我們已知的某種曲線（如圓、橢圓、雙曲線、拋物線）的定義，則可先設(shè)出軌跡方程，再根據(jù)已知條件，待定方程中的常數(shù)，即可得到軌跡方程。3.2直接法：如果動點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律是否合乎我們熟知的某些曲線的定義難以判斷，但點(diǎn)滿足的等量關(guān)系易于建立，則可以先表示出點(diǎn)所滿足的幾何上的等量關(guān)系，再用點(diǎn)的坐標(biāo)表示該等量關(guān)系式，即可得到軌跡方程。3.3代入法（相關(guān)點(diǎn)法）：如果動點(diǎn)的運(yùn)動是由另外某一點(diǎn)的運(yùn)動引發(fā)的，而該點(diǎn)的運(yùn)動規(guī)律已知，（該點(diǎn)坐標(biāo)滿足某已知曲線方程），則可以設(shè)出，用表示出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，然后把的坐標(biāo)代入已知曲線方程，即可得到動點(diǎn)的軌跡方程。3.4點(diǎn)差法：圓錐曲線中與弦的中點(diǎn)有關(guān)的軌跡問題可用點(diǎn)差法，其基本方法是把弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，然而相減，利用平方差公式可得，，，等關(guān)系式，由于弦的中點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，且直線的斜率為，由此可求得弦中點(diǎn)的軌跡方程.二、典型題型題型一：定義法求軌跡方程1．（23-24高二上·安徽蕪湖·階段練習(xí)）已知動圓過定點(diǎn)，并且在定圓B：的內(nèi)部與其相切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】設(shè)，動圓的半徑為，由圓與圓的位置關(guān)系可得，判斷出的軌跡為以為焦點(diǎn)，長軸長為8的橢圓，即可求出的軌跡方程.【詳解】設(shè)動圓圓心為，動圓的半徑為，則，因?yàn)閯訄A在定圓：的內(nèi)部與其相內(nèi)切，所以,所以，即，因?yàn)椋?所以，由橢圓的定義可知：的軌跡為以為焦點(diǎn)，長軸長為8的橢圓，所以，所以動圓圓心的軌跡方程為.故選：A2．（23-24高二上·河南洛陽·階段練習(xí)）已知動圓過動點(diǎn)，并且在定圓：的內(nèi)部與其相內(nèi)切，則動圓圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)，動圓的半徑為，由圓與圓的位置關(guān)系可得，判斷出的軌跡為以為焦點(diǎn)，長軸長為8的橢圓，即可求出的軌跡方程.【詳解】設(shè)，動圓的半徑為，則，因?yàn)閯訄A在定圓：的內(nèi)部與其相內(nèi)切，所以,所以，即，因?yàn)椋?所以,由橢圓的定義可知：的軌跡為以為焦點(diǎn)，長軸長為8的橢圓，所以，所以動圓圓心的軌跡方程為.故選：A3．（24-25高二上·上?！ふn堂例題）已知動圓P與圓M：，圓N：均外切，記圓心P的運(yùn)動軌跡為曲線C，則C的方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)圓P的半徑為r，外切關(guān)系可得，，進(jìn)而得，從而利用雙曲線的定義即可求解.【詳解】由圓M：，得圓心，半徑，由圓N：，得圓心，半徑．設(shè)圓P的半徑為r，則有，．兩式相減得，所以圓心P的運(yùn)動軌跡為以、為焦點(diǎn)的雙曲線的左支，又，所以C的方程為．故選：B．4．（23-24高二上·新疆烏魯木齊·期末）一動圓過定點(diǎn)，且與已知圓：相切，則動圓圓心P的軌跡方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)兩圓相切，得，結(jié)合，得動點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線，再根據(jù)求出，可得結(jié)果.【詳解】圓：的圓心，半徑為，當(dāng)動圓與圓相外切時，則，即當(dāng)動圓與圓相內(nèi)切時，因?yàn)槎c(diǎn)在圓外，所以只能是圓內(nèi)切于動圓，所以，即綜上所述：，又，所以動點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)的雙曲線，因?yàn)?，，所以，，所以，所以動圓圓心P的軌跡方程是.故選：D5．（23-24高二上·寧夏石嘴山·階段練習(xí)）一個動圓與定圓：相內(nèi)切，且與定直線相切，則此動圓的圓心M的軌跡方程是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】先利用圓與圓的位置關(guān)系，直線與圓的位置關(guān)系找到動點(diǎn)M的幾何條件，再根據(jù)拋物線的定義確定動點(diǎn)M的軌跡，最后利用拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程寫出軌跡方程．【詳解】設(shè)動圓M的半徑為r，依題意：，點(diǎn)M到定直線的距離為，所以動點(diǎn)M到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離，即M的軌跡為以F為焦點(diǎn)，為準(zhǔn)線的拋物線，所以此動圓的圓心M的軌跡方程是.故選：D．6．（23-24高二上·全國·課前預(yù)習(xí)）已知動圓M與直線y=2相切，且與定圓外切，則動圓圓心M的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)動圓M與直線y=2相切，且與定圓外切，可得動點(diǎn)M到C（0，-3）的距離與到直線y=3的距離相等，由拋物線的定義知，點(diǎn)M的軌跡是拋物線，由此易得軌跡方程．【詳解】設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等,由拋物線的定義可知，動圓圓心的軌跡是以C(0，-3)為焦點(diǎn)，以y＝3為準(zhǔn)線的一條拋物線，所以，其方程為，故選：A題型二：直接法1．（23-24高二上·廣東深圳·期末）已知，若動點(diǎn)P滿足直線與直線的斜率之積為，則動點(diǎn)P的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)出動點(diǎn)，利用條件直接建立關(guān)系，化簡得出，從而得出結(jié)論.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，又因?yàn)橹本€與直線的斜率之積為，所以，整理得.故選：C.2．（23-24高一上·安徽六安·期末）已知點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，直線相交于點(diǎn),且直線的斜率與直線的斜率的差是1，則點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)，分別求出直線的斜率，結(jié)合題意列出方程，整理即可得解.【詳解】解：設(shè)，直線的斜率為，直線的斜率為，有直線的斜率與直線的斜率的差是1，所以，通分得：，整理得：，即點(diǎn)的軌跡方程為.故選：B.3．（23-24高二上·河北邯鄲·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，已知定點(diǎn)，，直線與直線的斜率之積為-4，則動點(diǎn)的軌跡方程為A． B．C． D．【答案】A【詳解】設(shè)動點(diǎn)P的坐標(biāo)為（x，y），則由條件得即（x≠0）．所以動點(diǎn)P的軌跡C的方程為故選A．4．（23-24高二上·浙江金華·期末）已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，動點(diǎn)P滿足則P點(diǎn)的軌跡Γ為圓，過點(diǎn)A的直線交圓Γ于兩點(diǎn)C，D，且，則.【答案】【分析】設(shè)，根據(jù)可得圓的方程，利用垂徑定理可求.【詳解】設(shè)，則，整理得到，即.因?yàn)椋蕿榈闹悬c(diǎn)，過圓心作的垂線，垂足為，則為的中點(diǎn)，則，故，解得，故答案為：，.5．（2024高三·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，，直線PM，PN的斜率乘積為，P點(diǎn)的軌跡為曲線C，則曲線C的方程為.【答案】【分析】有已知條件結(jié)合斜率公式求解即可【詳解】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，∵，∴，∴，∴，∴曲線C的方程為.故答案為：.題型三：代入法（相關(guān)點(diǎn)法）1．（23-24高三上·湖南婁底·期末）已知雙曲線的兩個焦點(diǎn)分別為，離心率等于，設(shè)雙曲線的兩條漸近線分別為直線；若點(diǎn)分別在上，且滿足，則線段的中點(diǎn)的軌跡的方程為A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)離心率得到雙曲線方程，漸近線方程為．設(shè)，，線段的中點(diǎn)，根據(jù)得到軌跡方程.【詳解】由已知，求得，得雙曲線方程為，從而其漸近線方程為．設(shè)，，線段的中點(diǎn)，由已知不妨設(shè)，，從而，，由得，所以，即，則M的軌跡C的方程為．【點(diǎn)睛】本題考查了軌跡方程，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.2．（23-24高二下·江西宜春·期中）已知圓與軸交于點(diǎn)、，過圓上動點(diǎn)(不與、重合)作圓的切線，過點(diǎn)、分別作軸的垂線，與切線分別交于點(diǎn)，直線與交于點(diǎn)，關(guān)于的對稱點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為【答案】【分析】相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程：設(shè)，先根據(jù)條件，求出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，再聯(lián)立直線和求出交點(diǎn)，根據(jù)，兩點(diǎn)關(guān)于對稱，確定用，表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再由點(diǎn)在圓上，列方程整理即可.【詳解】依題意作圖，有，，設(shè)()，.過點(diǎn)的圓的切線的方程為，所以，.聯(lián)立解得，所以點(diǎn).又點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，即，又點(diǎn)在圓上，所以，把代入整理得，，又，所以點(diǎn)的軌跡方程().故答案為：().3．（23-24高二下·江西上饒·期末）已知橢圓

的左右焦點(diǎn)為、，點(diǎn)為橢圓上任意一點(diǎn)，過作的外角平分線的垂線，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，線段的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的軌跡方程為.【答案】【分析】先利用橢圓的幾何性質(zhì)得到的軌跡方程為：，再根據(jù)的坐標(biāo)與的坐標(biāo)關(guān)系可得的軌跡方程.【詳解】如圖，延長交的延長線于，連接.因?yàn)闉榈钠椒志€且，故為等腰三角形且，，所以.在中，因?yàn)椋?，故的軌跡方程為：.令，則，所以即，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)以及動點(diǎn)的軌跡方程，注意遇到與焦點(diǎn)三角形有關(guān)的軌跡問題或計(jì)算問題時，要利用好橢圓的定義，另外，求動點(diǎn)的軌跡，注意把要求的動點(diǎn)的軌跡轉(zhuǎn)移到已知的動點(diǎn)的軌跡上去.4．（23-24高二上·四川成都·期中）點(diǎn)M為橢圓上一點(diǎn)，為橢圓的兩個焦點(diǎn)，則的內(nèi)心軌跡方程為.【答案】【分析】設(shè)的內(nèi)心為，連接交軸于點(diǎn)，由內(nèi)角平分線性質(zhì)定理得到，設(shè)，再由焦半徑公式及內(nèi)角平分線定理得到，則，然后利用向量關(guān)系把的坐標(biāo)用的坐標(biāo)表示出來，代入橢圓方程求解.【詳解】如圖，設(shè)的內(nèi)心為，連接交軸于點(diǎn)，連接在中是的角平分線.根據(jù)內(nèi)角平分線性質(zhì)定理得到.同理可得.所以，根據(jù)等比定理得：在橢圓中，所以設(shè)，則同理又，則，可得所有由，得，所以，代入橢圓方程.得，由，則.所以的內(nèi)心軌跡方程為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查焦半徑公式，內(nèi)角平分線定理的應(yīng)用，屬于難題.5．（22-23高二上·廣東·階段練習(xí)）已知圓上的動點(diǎn)M在x軸上的投影為N，點(diǎn)C滿足．(1)求動點(diǎn)C的軌跡方程C；【答案】(1)【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)，根據(jù)已知列式得出點(diǎn)與點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系，即可根據(jù)點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，代入化簡即可得出答案；【詳解】（1）設(shè)，，則，則，，，，即，點(diǎn)是圓上的動點(diǎn)，，整理得，則動點(diǎn)C的軌跡方程C為：.6．（2024·全國·模擬預(yù)測）在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC的兩個頂點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為，，平面內(nèi)兩點(diǎn)G，M同時滿足以下3個條件：①G是△ABC三條邊中線的交點(diǎn)：②M是△ABC的外心；③(1)求△ABC的頂點(diǎn)C的軌跡方程；【答案】(1)；【分析】（1）設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求得軌跡方程；【詳解】（1）設(shè)C（x，y），G（，），M（，），因?yàn)镸是△ABC的外心，所以所以M在線段AB的中垂線上，所以，因?yàn)?，所以，又G是△ABC三條邊中線的交點(diǎn)，所以G是△ABC的重心，所以，所以，又，所以，化簡得，所以頂點(diǎn)C的軌跡方程為；題型四：點(diǎn)差法1．（2024·貴州·模擬預(yù)測）已知橢圓的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且斜率為1的直線交橢圓于兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，利用點(diǎn)差法可得的關(guān)系，從而可求得，即可的解.【詳解】設(shè)，則，由已知有，，作差得，則，所以，解得，則的方程為.故選：D．2．（2024·四川巴中·模擬預(yù)測）已知橢圓四個頂點(diǎn)構(gòu)成的四邊形的面積為，直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)為，則橢圓C的方程是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】設(shè)代入橢圓方程相減，利用，，，得出等量關(guān)系，即可求解.【詳解】設(shè)，，則，，兩式作差并化簡整理得，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)為，所以，，所以，由，得，又因?yàn)椋獾?，，所以橢圓C的方程為．故選：A．3．（23-24高二上·浙江杭州·階段練習(xí)）焦距為，并且截直線所得弦的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B．C． D．或【答案】A【分析】設(shè)橢圓方程為，且，及交點(diǎn)，將兩點(diǎn)代入橢圓方程可得，根據(jù)弦中點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系可得，結(jié)合直線方程得，再由橢圓的焦距求得的值，即可得橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】解：設(shè)橢圓方程為，且設(shè)直線與橢圓相交的兩點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意可知，即，所以，又在橢圓上，可得：，兩式相減得，整理得：，則，所以，又直線的斜率為，所以，即，所以橢圓的焦距為，所以，則，故可得：解得，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：A.4．（2024·陜西寶雞·模擬預(yù)測）已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交雙曲線E于A、B兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則E的方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】設(shè)，由，利用點(diǎn)差法求解.【詳解】解：設(shè)，則，兩式相減得，即，化簡得，又，解得，所以雙曲線的方程為：.故選：D.5．（23-24高二上·廣東廣州·階段練習(xí)）已知雙曲線的中心為原點(diǎn)，是的焦點(diǎn)，過的直線與相交于，兩點(diǎn)，且的中點(diǎn)為，則的方程為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】先根據(jù)，，的關(guān)系得出，設(shè)出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，兩式相減利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，求出，再根據(jù)直線過點(diǎn)，求出，即可得出，進(jìn)而求出，得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】解：設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：，由題意知：，即①設(shè)，，的中點(diǎn)為，，，又，在雙曲線上，則，兩式作差得：，即，即，又，即，解得：②，由①②解得：，，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.故選：B.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解決雙曲線有關(guān)弦以及弦中點(diǎn)的問題，常利用根與系數(shù)的關(guān)系以及“點(diǎn)差法”，但前提必須保證直線與雙曲線有兩個不同的交點(diǎn).6．（23-24高二·全國·課后作業(yè)）過拋物線的焦點(diǎn)作直線交拋物線于、兩點(diǎn)，則線段的中點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】分析可知直線不與軸重合，設(shè)點(diǎn)、，設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，求出線段的中點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得出線段的中點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，設(shè)點(diǎn)、，若直線與軸重合，則直線與拋物線只有一個交點(diǎn)，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，，由韋達(dá)定理可得，所以，，設(shè)線段的中點(diǎn)為，則，，則，所以，，化簡可得.因此，線段的中點(diǎn)的軌跡方程為.故選：D.三、專項(xiàng)訓(xùn)練1．（23-24高三下·重慶·期中）長為2的線段的兩個端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出、、點(diǎn)坐標(biāo)，由題意可得、兩點(diǎn)坐標(biāo)間的關(guān)系，用點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)替換、點(diǎn)坐標(biāo)代入計(jì)算即可得.【詳解】設(shè)、，，則有，，即，，由題意可得，即，即.故選：D.2．（23-24高三下·江西·開學(xué)考試）已知面積為的正方形的頂點(diǎn)、分別在軸和軸上滑動，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，則動點(diǎn)的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)、、，由平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出，由正方形的面積公式可得出，將代入等式整理可得出點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)、、，由，所以，，可得，因?yàn)檎叫蔚拿娣e為，即，即，整理可得，因此，動點(diǎn)的軌跡方程為.故選：C.3．（23-24高二上·廣東佛山·期末）長為的線段的兩個端點(diǎn)和分別在軸和軸上滑動，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)點(diǎn)、、，由已知條件可得出，分析可知，為的中點(diǎn)，可得出，代入等式化簡可得出點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)、、，則，可得，因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對稱點(diǎn)為，則為的中點(diǎn)，所以，，可得，將代入可得，即，因此，點(diǎn)的軌跡方程為.故選：C.4．（23-24高二上·安徽合肥·階段練習(xí)）平面上動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離比點(diǎn)到軸的距離大，則動點(diǎn)的軌跡方程為（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】設(shè)點(diǎn)，可得出，分、兩種情況討論，化簡可得出點(diǎn)的軌跡方程.【詳解】設(shè)點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫔蟿狱c(diǎn)到定點(diǎn)的