2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)解答題提優(yōu)思路(新高考專(zhuān)用)專(zhuān)題05解三角形(角平分線問(wèn)題問(wèn)題)練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專(zhuān)題05解三角形（角平分線問(wèn)題問(wèn)題）(典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 2方法一：等面積法 2方法二：角互補(bǔ) 4三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練 5一、必備秘籍角平分線如圖，在中，平分，角,,所對(duì)的邊分別為，，核心技巧1：內(nèi)角平分線定理：或核心技巧2：等面積法(使用頻率最高）核心技巧3：邊與面積的比值：核心技巧4：角互補(bǔ)：在中有：;在中有：二、典型題型方法一：等面積法1．（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿(mǎn)足(1)求；(2)的角平分線與交于點(diǎn)，求的最小值.2．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且，(1)求角；(2)若，求邊上的角平分線長(zhǎng)．3．（23-24高一下·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖在中，，，分別是角，，所對(duì)的邊，是邊上的一點(diǎn).(1)若，，，，求的面積.(2)試?yán)谩啊弊C明：“”；(3)已知，是的角平分線，且，，求的面積.4．（2024·四川遂寧·二模）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角C；(2)若CD是的角平分線，，的面積為，求c的值．5．（22-23高一下·江蘇連云港·期中）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，且．(1)求；(2)若的面積為；①已知E為BC的中點(diǎn)，求底邊BC上中線AE長(zhǎng)的最小值；②求內(nèi)角A的角平分線AD長(zhǎng)的最大值．方法二：角互補(bǔ)1．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿(mǎn)足，且．(1)求；(2)若點(diǎn)在邊上，，且滿(mǎn)足，求邊長(zhǎng)；請(qǐng)?jiān)谝韵氯齻€(gè)條件：①為的一條中線；②為的一條角平分線；③為的一條高線；其中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線中，并進(jìn)行解答．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．2．（2023高三上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在中，記角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知，中線交于，角平分線交于，且，，求的面積．3．（23-24高三上·江蘇南通·期末）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，，，點(diǎn)滿(mǎn)足.(1)若為的角平分線，求的周長(zhǎng)；(2)求的取值范圍.三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（23-24高二上·遼寧·階段練習(xí)）在中，，，，的角平分線交于，則．2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在中，是的角平分線且，若，則，的面積為．3．（23-24高三下·浙江·開(kāi)學(xué)考試）在△中，是的角平分線，且交于.已知，則，.7．（23-24高一下·湖南邵陽(yáng)·期中）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，.(1)求角A的大??；(2)若是角平分線，求證：.8．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角B；(2)設(shè)的角平分線交于點(diǎn)D，若，求的面積的最小值.9．（2024·廣東惠州·模擬預(yù)測(cè)）條件①，

條件②，條件③．請(qǐng)從上述三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下列問(wèn)題中，并解答．已知的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為、、，且滿(mǎn)足________，(1)求；(2)若是的角平分線，且，求的最小值．10．（23-24高三上·河北·階段練習(xí)）已知中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，其中，.(1)若點(diǎn)D為的中點(diǎn)且，求的余弦值；(2)若的角平分線與相交于點(diǎn)E，當(dāng)取得最大值時(shí)，求的長(zhǎng).專(zhuān)題05解三角形（角平分線問(wèn)題問(wèn)題）(典型題型歸類(lèi)訓(xùn)練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1方法一：等面積法 1方法二：角互補(bǔ) 7三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練 10一、必備秘籍角平分線如圖，在中，平分，角,,所對(duì)的邊分別為，，核心技巧1：內(nèi)角平分線定理：或核心技巧2：等面積法(使用頻率最高）核心技巧3：邊與面積的比值：核心技巧4：角互補(bǔ)：在中有：;在中有：二、典型題型方法一：等面積法1．（23-24高一下·山東·階段練習(xí)）的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿(mǎn)足(1)求；(2)的角平分線與交于點(diǎn)，求的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）由誘導(dǎo)公式正弦定理倍角公式化簡(jiǎn)已知等式，即可求解；（2）由，得，利用基本不等式求的最小值.【詳解】（1）由得：，由正弦定理得：，倍角公式得，由，有，所以，得，所以.（2）由，得，即，得，，當(dāng)且僅當(dāng)即

時(shí)等號(hào)成立所以的最小值為.2．（23-24高一下·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別是，且，(1)求角；(2)若，求邊上的角平分線長(zhǎng)．【答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用正弦定理邊化角，再利用兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可求出.（2）利用余弦定理及已知求出，然后利用三角形面積公式列方程求解即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理及，得，即，而，解得，又，所以.（2）由及余弦定理得，又，解得，由得，即，則，所以.3．（23-24高一下·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖在中，，，分別是角，，所對(duì)的邊，是邊上的一點(diǎn).(1)若，，，，求的面積.(2)試?yán)谩啊弊C明：“”；(3)已知，是的角平分線，且，，求的面積.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【分析】（1）根據(jù)，利用三角形面積公式求解即可；（2）由得，兩邊同時(shí)乘以，再利用向量的數(shù)量積即可證明；（3）根據(jù)正弦定理將角化邊求出，利用和余弦定理求出的值即可求出的面積.【詳解】（1），，，的面積為；（2），，兩邊同時(shí)乘以得，即,，兩邊同時(shí)除以，得，；（3），根據(jù)正弦定理有，即，，，，即，，，即，是的角平分線，，，，即，整理得①，在中，,即②，①②聯(lián)立解得（舍）或，,的面積為.4．（2024·四川遂寧·二模）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且．(1)求角C；(2)若CD是的角平分線，，的面積為，求c的值．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理化角為邊，結(jié)合和差角公式以及弦切互化可得，即可求解，（2）由，可得，根據(jù)等面積法可求，由余弦定理即可求的值．【詳解】（1）由可得故，進(jìn)而，由于所以（2）由面積公式得，解得，，，即，，又，，．5．（22-23高一下·江蘇連云港·期中）已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，且．(1)求；(2)若的面積為；①已知E為BC的中點(diǎn)，求底邊BC上中線AE長(zhǎng)的最小值；②求內(nèi)角A的角平分線AD長(zhǎng)的最大值．【答案】(1)(2)長(zhǎng)的最小值為，的最大值【分析】（1）由正弦定理和余弦定理得到，進(jìn)而求出；（2）由面積公式求出，進(jìn)而根據(jù)向量的模長(zhǎng)公式結(jié)合不等式即可求解的最值，根據(jù)三角形面積公式，結(jié)合等面積法，利用基本不等式可求解的最值.【詳解】（1）由正弦定理，得，即，故，因?yàn)?，所以，所以；?）①由（1）知，因?yàn)榈拿娣e為，所以，解得，由于，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)取得到，所以；②因?yàn)闉榻堑慕瞧椒志€，所以，由于，所以，由于,所以，由于，又，所以由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)取得到，故，故，方法二：角互補(bǔ)1．（23-24高二上·云南玉溪·期中）已知的三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，滿(mǎn)足，且．(1)求；(2)若點(diǎn)在邊上，，且滿(mǎn)足，求邊長(zhǎng)；請(qǐng)?jiān)谝韵氯齻€(gè)條件：①為的一條中線；②為的一條角平分線；③為的一條高線；其中任選一個(gè)，補(bǔ)充在上面的橫線中，并進(jìn)行解答．注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，借助三角恒等變換公式化簡(jiǎn)即可；（2）由（1）問(wèn)，分析邊角關(guān)系，利用余弦定理等知識(shí)求解即可.【詳解】（1）因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，由倍角公式可得，則，又因?yàn)椋瑒t，所以，即．且，則，可得，又因?yàn)?，所以．?）若選擇①：若為的中線，設(shè)（），由余弦定理可得，，因?yàn)?，可得，即，整理得，可知，又因?yàn)?，解得或（舍去），所以；若選擇②：若為的角平分線，則，在中，由余弦定理得，即，可知，即，可知，，所以；若選擇③：若為的高線，則，則，即，則，可知，可知，,所以．2．（2023高三上·全國(guó)·專(zhuān)題練習(xí)）在中，記角、、所對(duì)的邊分別為、、，已知，中線交于，角平分線交于，且，，求的面積．【答案】【分析】由三角恒等變換化簡(jiǎn)可得出，利用角平分線定理可得出，結(jié)合可得出，，然后在、中，應(yīng)用余弦定理可得出，結(jié)合已知條件可得出的值，分析可知，再利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】解：因?yàn)椋?，，即，由正弦定理可得，因?yàn)榈慕瞧椒志€交于，則，所以，．又因?yàn)?，，由可得，即，則，．在中，由余弦定理得，①在中，由余弦定理得．②因?yàn)?，則①②可得，，即，即，即，解得，此時(shí)滿(mǎn)足，故，所以，．3．（23-24高三上·江蘇南通·期末）已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，，，點(diǎn)滿(mǎn)足.(1)若為的角平分線，求的周長(zhǎng)；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）由和，根據(jù)為的角平分線，得到，再與求解.(2)由和，得到，再結(jié)合，得到求解.【詳解】（1）在中，，①在中，，②因?yàn)闉榈慕瞧椒志€，所以，所以，因?yàn)椋?，所以，又因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，，所以的周長(zhǎng)為.（2）在中，，在中，，因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以所以所以，令，則，則，，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增所以，所以的取值范圍為.三、專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（23-24高二上·遼寧·階段練習(xí)）在中，，，，的角平分線交于，則．【答案】【分析】由余弦定理求得，然后由角平分線定理求得，，再由余弦定理利用，求得．【詳解】中，由余弦定理得，解得（舍去），是角平分線，則，所以，，又由余弦定理得：，，而，因此，，，．故答案為：．

2．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）在中，是的角平分線且，若，則，的面積為．【答案】6【分析】根據(jù)給定條件，求出邊AB，AC長(zhǎng)的關(guān)系，再利用余弦定理、三角形面積定理求解作答.【詳解】在中，是的角平分線，且，則有：，令，則，在與中，由余弦定理得：，，因此，，得，即有，解得，的面積為.故答案為：；63．（23-24高三下·浙江·開(kāi)學(xué)考試）在△中，是的角平分線，且交于.已知，則，.【答案】【分析】由角平分線的性質(zhì)可得，設(shè)結(jié)合列方程求參數(shù)m，即可求，再由余弦定理求.【詳解】由角平分線的性質(zhì)知：，若，因?yàn)?，則，所以，整理得，解得或（舍）.所以，則.故答案為：4．（23-24高三上·江西贛州·）在中，內(nèi)角的對(duì)邊分別為，滿(mǎn)足為的角平分線，且，則.【答案】6【解析】根據(jù)題意先求出的三角函數(shù)值，在中，已知兩邊夾一角，可以利用余弦定理求出，再求出的三角函數(shù)值，在中，已知和，先求出，再利用正弦定理求解即可.【詳解】記，因?yàn)椋?，，在中，由余弦定理，，代入?shù)據(jù)，解得，，，所以，，在中，，由正弦定理，，即，解得，，即.故答案為：6【點(diǎn)睛】本題主要考查解三角形正弦定理和余弦定理的綜合應(yīng)用，考查學(xué)生對(duì)三角形中角和邊關(guān)系的分析能力，同時(shí)還考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題.5．（2024·江蘇常州·模擬預(yù)測(cè)）已知中內(nèi)角的對(duì)邊分別是，.(1)求的值；(2)設(shè)是的角平分線，求的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）由三角形的正弦定理，結(jié)合誘導(dǎo)公式以及兩角和的正弦公式可得所求值；（2）設(shè)ADx，運(yùn)用三角形的面積公式，結(jié)合等積法可得，解方程可得所求值．【詳解】（1），由，可得，，可得B為銳角，則，所以sin=，由=可得，解得；（2）由（1）可得，因?yàn)槭堑钠椒志€，所以,設(shè)，由，可得，化為，解得，則．6．（2024·安徽蚌埠·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，且滿(mǎn)足.(1)求角；(2)若的面積為，點(diǎn)在邊上，是的角平分線，且，求的周長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）由題中等式和二倍角公式，正弦定理，余弦定理整理可得.（2）利用三角形面積公式，先求，再利用余弦定理求即可.【詳解】（1），，由正弦定理得，，又，.（2），，，由題意知，，，，，，故.的周長(zhǎng)為.7．（23-24高一下·湖南邵陽(yáng)·期中）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，.(1)求角A的大??；(2)若是角平分線，求證：.【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）利用正弦定理邊化角結(jié)合同角的三角函數(shù)關(guān)系即可求得答案；（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)可得，利用展開(kāi)化簡(jiǎn)即可證明結(jié)論.【詳解】（1）由，由正弦定理可得，因?yàn)?，可得，所以，即，又因?yàn)?，可?（2）因?yàn)槭墙瞧椒志€，且，所以，所以，可得，可得，所以，所以，即.8．（2024·廣東深圳·模擬預(yù)測(cè)）已知的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且.(1)求角B；(2)設(shè)的角平分線交于點(diǎn)D，若，求的面積的最小值.【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理邊化角，結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)求值，可得答案.（2）根據(jù)三角形的面積之間的關(guān)系，即，可得，結(jié)合基本不等式，即可求得答案.【詳解】（1）由已知及正弦定理得：，又在中，,（2）由已知結(jié)合三角形的面積公式可得出，將與相乘，展開(kāi)后利用基本不等式可求得的最小值.【詳解】（1）解：選①：因?yàn)?，由正弦定理可得，即，所以，而，，故，因?yàn)?，所以；選②：因?yàn)椋烧叶ɡ?，即，由余弦定理，因?yàn)?，所以；選③：因?yàn)?，正弦定理及三角形?nèi)角和定理可得，即，因?yàn)椤?，則，所以，，，所以，所以，即.（2）解：由題意可知，，由角平分線性