2024-2025學(xué)年高中數(shù)學(xué)第1章常用邏輯用語1.4全稱量詞與存在量詞限時規(guī)范訓(xùn)練含解析新人教A版選修2-1

PAGE第一章1.4基礎(chǔ)練習(xí)1．命題“全部能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)”的否定是()A．全部不能被2整除的整數(shù)都是偶數(shù)B．全部能被2整除的整數(shù)都不是偶數(shù)C．存在一個不能被2整除的整數(shù)是偶數(shù)D．存在一個能被2整除的整數(shù)不是偶數(shù)【答案】D【解析】原命題是全稱命題，其否定是：存在一個能被2整除的數(shù)不是偶數(shù)．2．給出下列幾個命題：①至少有一個x0，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋1＝0成立；②對隨意的x，都有x2＋2x＋1＝0成立；③對隨意的x，都有x2＋2x＋1＝0不成立；④存在x0，使xeq\o\al(2,0)＋2x0＋1＝0成立．其中是全稱命題的個數(shù)為()A．1 B．2C．3 D．0【答案】B【解析】命題②③都含有全稱量詞“隨意的”，故②③是全稱命題．3．以下四個命題既是特稱命題又是真命題的是()A．銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角B．至少有一個實數(shù)x，使x2≤0C．兩個無理數(shù)的和必是無理數(shù)D．存在一個負(fù)數(shù)x，使eq\f(1,x)>2【答案】B【解析】選項A中銳角三角形的內(nèi)角是銳角或鈍角是全稱命題；選項B中x＝0時，x2＝0，所以選項B既是特稱命題又是真命題；選項C中因為eq\r(3)＋(－eq\r(3))＝0，所以選項C是假命題；D中對于任一個負(fù)數(shù)x，都有eq\f(1,x)<0，所以選項D是假命題．4.(2024年湖南長沙模擬)已知命題“x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命題，則實數(shù)a的取值范圍是()A.(4，＋∞)B.(0,4]C.(－∞，4]D.[0,4)【答案】C【解析】當(dāng)原命題為真命題時，a>0且Δ<0，所以a>4，故當(dāng)原命題為假命題時，a≤4.5．命題“?x0∈R，xeq\o\al(2,0)－x0＋3＝0”的否定是__________．【答案】?x∈R，x2－x＋3≠0【解析】∵命題“?x∈R，x2－x＋3＝0”是特稱命題，∴其否定命題為“?x∈R，x2－x＋3≠0”．6．給出下列命題：①正方形的四條邊相等；②有兩個角相等的三角形是等腰三角形；③正數(shù)的平方根不等于0；④至少有一個正整數(shù)是偶數(shù)．其中是全稱命題的是________；是特稱命題的是________．(填序號)【答案】①②③④【解析】①可表述為“每一個正方形的四條邊相等”，是全稱命題；②是全稱命題，即“凡是有兩個角相等的三角形都是等腰三角形”；③可表述為“全部正數(shù)的平方根不等于0”是全稱命題；④是特稱命題．7．推斷下列命題的真假，并寫出這些命題的否定．(1)?x∈N，x3>x2；(2)全部可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字都是0；(3)?x∈R，x2－x＋1≤0；(4)存在一個四邊形，它的對角線相互垂直且平分．解：(1)當(dāng)x＝1時，13＝12，∴x＝1時，x3>x2不成立，即此命題是假命題．命題的否定：?x0∈N，xeq\o\al(3,0)≤xeq\o\al(2,0).(2)15可以被5整除，但15的末位數(shù)字不是0，∴此命題是假命題．命題的否定：有些可以被5整除的整數(shù)，末位數(shù)字不是0.(3)∵x2－x＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))2＋eq\f(3,4)>0恒成立，∴此命題是假命題．命題的否定：?x∈R，x2－x＋1>0.(4)菱形的對角線相互垂直且平分，∴此命題是真命題．命題的否定：任何一個四邊形，它的對角線不相互垂直或不相互平分．8．已知命題p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”，命題q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”，若命題“p且q”是真命題，求實數(shù)a的取值范圍．解：若命題p：“?x∈[1,2]，x2－a≥0”為真命題，則a≤x2在區(qū)間[1,2]恒成立，所以a≤(x2)min＝1.若命題q：“?x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”為真命題，則Δ＝4a2－4(2－a)≥0，所以a≥1或a≤－2.命題“p且q”為真命題，即命題p，q都為真命題，所以取兩個范圍的交集，實數(shù)a的取值范圍為a≤－2或a＝1.實力提升9．(2024年四川成都模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為(a，b)，若“?x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命題，則f(a＋b)的值為()A．－1 B．0C．1 D．2【答案】B【解析】若“?x0∈(a，b)，f(x0)＋f(－x0)≠0”是假命題，則“?x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0”是真命題，即f(－x)＝－f(x)，則函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，則a＋b＝0，即f(a＋b)＝f(0)＝0.10．(2024年廣西柳州期中)下列關(guān)于函數(shù)f(x)＝x2與函數(shù)g(x)＝2x的描述，正確的是()A．?a0∈R，當(dāng)x>a0時，總有f(x)<g(x)B．?x∈R，f(x)<g(x)C．?x<0，f(x)≠g(x)D．方程f(x)＝g(x)在(0，＋∞)內(nèi)有且只有一個實數(shù)解【答案】A【解析】在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出兩函數(shù)的大致圖象，兩交點為(2,4)，(4,16)．當(dāng)x>4時，由圖象知f(x)<g(x)，選項A正確，選項B，C，D均錯誤．11．已知f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)，g(x)＝2x－2.若同時滿意條件：①?x∈R，f(x)<0或g(x)<0；②?x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0.則m的取值范圍是________．【答案】(－4，－2)【解析】由題意知m≠0，∴f(x)＝m(x－2m)(x＋m＋3)為二次函數(shù)．若?x∈R，f(x)<0或g(x)<0，則f(x)必需開口向下，即m<0.f(x)＝0的兩根x1＝2m，x2＝－m－3，則x1－x2＝3m＋3.(1)當(dāng)x1>x2，即m>－1時，必需大根x1＝2m<1，即m<eq\f(1,2)；(2)當(dāng)x1<x2，即m<－1時，大根x2＝－m－3<1，即m>－4；(3)當(dāng)x1＝x2，即m＝－1時，x1＝x2＝－2<1也滿意條件．∴滿意條件①的m的取值范圍為－4<m<0.若?x∈(－∞，－4)，f(x)g(x)<0，則滿意方程f(x)＝0的小根小于－4.(1)當(dāng)m>－1時，小根x2＝－m－3<－4且m<0，無解；(2)當(dāng)m<－1時，小根x1＝2m<－4且m<0，解得m<－2；(3)當(dāng)m＝－1時，f(x)＝－(x＋2)2≤0恒成立，∴不滿意②.∴滿意①②的m的取值范圍是－4<m<－2.12．已知命題p：?x∈R，使得x2－2ax＋2a2－5a＋4＝0；命題q：?x∈[0,1]，都有(a2－4a＋3)x－3<0.若“p或q”為真命題，“p且q”為假命題，求實數(shù)a的取值范圍．解：若p為真命題，則Δ＝4a2－4(2a2－5a＋4)≥0，解得1≤a≤4.對于q，令f(x)＝(a2－4a＋3)x－3，若q為真命題，則f(0)＜0且f(1)＜0，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－3＜0，,a2－4a＜0，))解得0＜a＜4.由“p或q”為真命題